লাপ্লাস রূপান্তর

গণিতে লাপ্লাস রূপান্তর (, ) বহুল পরিচিত ও ব্যবহৃত একটি সমাকলনীয় রূপান্তর। এটি সাধারণত একটি সাধারণ অন্তরক সমীকরণকে সহজে সমাধানযোগ্য বীজগাণিতিক সমীকরণে রূপান্তর করতে ব্যবহার করা হয়। এই অপেক্ষকের নামকরণ হয় ফরাসি গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ পিয়ের সিমোঁ লাপ্লাসকে সম্মান জানিয়ে। লাপ্লাস রূপান্তর মূলত সময় (time) চলককে রূপান্তর করে থাকে। সংকেত প্রক্রিয়াকরণ, পদার্থবিজ্ঞান, আলোকবিজ্ঞান, তড়িৎ কৌশল, নিয়ন্ত্রণ কৌশল এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্বে এর গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার রয়েছে।

লাপ্লাস রূপান্তর ফুরিয়ার রূপান্তরের সাথে সম্পর্কযুক্ত, তবে যেখানে ফুরিয়ে রূপান্তর একটি ফাংশন বা সংকেতকে এর কম্পনের ধরনে বিভক্ত করে, সেখানে লাপ্লাস রূপান্তর তা এর মোমেন্টে বিভক্ত করে। ফুরিয়ে রূপান্তরের মত লাপ্লাস রূপান্তরও অন্তরক ও সমাকলনীয় সমীকরণ সমাধানে ব্যবহৃত হয়।

লাপ্লাস রূপান্তরকে  দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এটি ফাংশনে f(t) (প্রকৃত) একটি রৈখিক অপারেটর, যার একটি বাস্তব আর্গুমেন্ট t (t ≥ 0) আছে, যা একে জটিল আর্গুমেন্ট বিশিষ্ট একটি ফাংশনে F(s) (ছবি) রূপান্তরিত করে। 

ইতিহাস
প্রচলিত সংজ্ঞা
যদি একটি অপেক্ষক  থাকে, যাতে

বিরাজ করে, তবে  কে  এর লাপ্লাস রূপান্তর (Laplace transform) বলে। সংক্রিয়া (operation)  যা প্রদত্ত অপেক্ষকটিকে  অপেক্ষকে রূপান্তর করে, তাকে লাপ্লাস রূপান্তরক (Laplace transformation) বলে।  হলো একটি অপেক্ষক, আর  হলো একটি সংকারক (operator)।  অপেক্ষকের  চলকটিকে রূপান্তর পরামিতি (transformation parameter) বলে।

দেখা যাচ্ছে, লাপ্লাস রূপান্তর একটি অপ্রকৃত সমাকলন, যেহেতু এর একটি সীমা অসীম।

সম্ভাবনা তত্ত্ব
দ্বিপার্শ্বিক লাপ্লাস রূপান্তর
বিপরীত লাপ্লাস রূপান্তর
ধর্ম

 রৈখিকতা 
 ও  দুটি ধ্রুবক এবং  এবং  দুটি অপেক্ষকের জন্য

আবার এই ধর্ম বিপরীত লাপ্লাসেও বিদ্যমান: 

 ছক 

+লাপ্লাস ছকঅপেক্ষকসময় ডোমেইন ডোমেইনঅভিসারী অঞ্চলহেভিসাইড ধাপ অপেক্ষক বা একক ধাপ অপেক্ষক (Unit Step Function) -অক্ষ বরাবর রদবদল (translation) বা স্থানান্তর (shifting)। একে প্রথম রদবদল উপপাদ্য বা প্রথম স্থানান্তর উপপাদ্য বলা হয়ে থাকে। । এখানে আপাতদৃষ্টে  হলেও অপেক্ষক সংজ্ঞয়িত, তবে তা হলে লাপ্লাস রূপান্তর অপসারী হয়ে পড়ে।সাইনকোসাইনঅন্তরজধরে নিয়ে যে,  যতটা স্ফীত হয় বা অভিসারী হয়, তার চেয়ে  দ্রুত সংকুচিত হয় বা চেপে আসে বা অভিসারী হয়। ব্যাখ্যা ছকের নিচে দেওয়া হয়েছে।সময়ের ঘাত

+কোন অপেক্ষক কত দ্রুত প্রসারিত বা সংকুচিত হয়102.718220.69317.38931.098620.08541.386254.59851.6094148.4161.7917403.4271.94591096.6
দেখা গেল, চলকের মান বাড়াতে থাকলেও  এর মান ২-এর ঘরেই যখন পৌঁছে নি, তখন  এর মান ১০০০ পার করে ফেলেছে। তাই বলা যায়,  এর চেয়ে  অধিকতর বর্ধিষ্ণু। অসীমতক সীমা সংবলিত সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে এই ধারণা বা মানসচিত্র কাজে দেয়।

ঘাত শ্রেণির সঙ্গে সম্পর্ক
ক্ষণকালের সঙ্গে সম্পর্ক
লাপ্লাস অবকল অপেক্ষকের প্রমাণ
অপ্রকৃত সমাকলের মান নির্ণয়
অন্যান্য রূপান্তর পদ্ধতির সঙ্গে সম্পর্ক

 তথ্যসূত্র 

বিষয়শ্রেণী:অন্তরকল সমীকরণ
বিষয়শ্রেণী:পদার্থবিজ্ঞান
বিষয়শ্রেণী:তড়িৎ প্রকৌশল
বিষয়শ্রেণী:প্রকৌশল শিক্ষা
বিষয়শ্রেণী:গণিত শিক্ষা
বিষয়শ্রেণী:আলোকবিজ্ঞান
বিষয়শ্রেণী:ফুরিয়ে বিশ্লেষণ
বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান