মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য

সংখ্যাতত্ত্বে মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য (ইংরেজি ভাষায়: Prime number theorem সংক্ষেপে PNT) মৌলিক সংখ্যাসমূহের আসন্ন, অসীমতটীয় বিন্যাস ব্যাখ্যা করে। সংখ্যা যত বড় হয়, মৌলিক সংখ্যার পরিমাণ তত কমে আসে। এই কমে আসার প্রকৃতি কী রকম, মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য তার নির্ভুল বর্ণনা দেয়।

সাধারণভাবে, মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য বলে যে যদি আমরা কোন বড় সংখ্যা N-এর কাছাকাছি কোন সংখ্যা দৈব চয়ন করি, তবে সংখ্যাটির একটি মৌলিক সংখ্যা হবার সম্ভাবনা প্রায় 1 / ln(N), যেখানে ln(N) হল N-এর স্বাভাবিক লগারিদম। উদাহরণস্বরূপ। যখন N = ১০,০০০, এর আশেপাশে প্রতি ৯টি সংখ্যার ১টি মৌলিক, অন্যদিকে যখন N = ১,০০০,০০০,০০০, কেবল তার আশেপাশের ২১টি সংখ্যার একটি মৌলিক।

 উপপাদ্যের বিবৃতি 
থাম্ব|313x313পিক্সেল|গ্রাফটি মৌলিক সংখ্যা গণনাকারী ফাংশন π(x) এর আনুমানিক দুটি অনুপাত x / log x এবং Li (x) দেখাচ্ছে। x বৃদ্ধি পেলে (x- অক্ষ লগারিদমিক), উভয় অনুপাত 1 এর দিকে যায়। x / log x অনুপাতটি উপর থেকে ধীরে ধীরে একত্রিত হয়, যখন Li (x) অনুপাতটি নীচে থেকে আরও দ্রুত একত্রিত হয়।
ধরি π(x) হচ্ছে মৌলিক সংখ্যা গণনাকারী ফাংশন যা কোন স্বাভাবিক সংখ্যা x-এর সমান বা ছোট মানের মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা প্রদান করে। উদাহরণস্বরূপ, π(10) = 4 কারণ চারটি মৌলিক সংখ্যা আছে (২, ৩, ৫ ও ৭) যেগুলি ১০-এর সমান বা ছোট। মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য বলে যে, যদি x-এর মান অসীমের নিকটবর্তী হয়, তবে π(x) এবং x / ln(x) ফাংশনদ্বয়ের ভাগফলের সীমা ১। সূত্র আকারে:



এটি মৌলিক সংখ্যাসমূহের বিন্যাসের অসীমতটীয় বিধি (the asymptotic law of distribution of prime numbers) নামে পরিচিত।

এ সম্বন্ধে একটি তালিকা 
 x π(x) π(x) - x / ln(x) π(x) / ( x / ln(x) ) li(x) - π(x) li(x) / π(x) x / π(x) 100=1  0  অসংজ্ঞাত  ln(1)=0  অসংজ্ঞাত  ln(1)=0  -অসীম    অসংজ্ঞাত  অসংজ্ঞাত 2  1  -2  0,347  0  0   2,000 4  2  -1  0,693  1  1,500 000 000 000   2,000 101  4  -0  0,921  2  1,500 000 000 000   2,500 102  25  3  1,151  5  1,200 000 000 000   4,000 103  168  23  1,161  10  1,059 523 809 524   5,952 104  1 229  143  1,132  17  1,013 832 384 052   8,137 105  9 592  906  1,104  38  1,003 961 634 696  10,430 106  78 498  6 116  1,084  130  1,001 656 093 149  12,740 107  664 579  44 159  1,071  339  1,000 510 097 370  15,050 108  5 761 455  332 774  1,061  754  1,000 130 869 720  17,360 109  50 847 534  2 592 592  1,054  1 701  1,000 033 452 950  19,670 1010  455 052 511  20 758 029  1,048  3 104  1,000 006 821 191  21,980 1011  4 118 054 813  169 923 159  1,043  11 588  1,000 002 813 950  24,280 1012  37 607 912 018  1 416 705 193  1,039  38 263  1,000 001 017 419  26,590 1013  346 065 536 839  11 992 858 452  1,034  108 971  1,000 000 314 885  28,900 1014  3 204 941 750 802   102 838 308 636  1,033  314 890  1,000 000 098 251  31,200 1015  29 844 570 422 669   891 604 962 452  1,031  1 052 619  1,000 000 035 270  33,510 1016  279 238 341 033 925  7 804 289 844 392  1,029  3 214 632  1,000 000 011 512  35,810 4.1016  1 075 292 778 753 150  28 929 900 579 949  1,028  5 538 861  1,000 000 005 151  37,200 1017  2 623 557 157 654 233  68 883 734 693 281  1,027  7 956 589  1,000 000 003 033  38,116 1018  24 739 954 287 740 860  612 483 070 893 536  1,025  21 949 555  1,000 000 000 887  40,420 1019  234 057 667 276 344 607  5 481 624 169 369 960  1,024  99 877 775  1,000 000 000 427  42,725 1020  2 220 819 602 560 918 840  49 347 193 044 659 701  1,023  222 744 644  1,000 000 000 100  45,028 1021  21 127 269 486 018 731 928  446 579 871 578 168 707  1,022  597 394 254  1,000 000 000 028  47,332 1022  201 467 286 689 315 906 290  4 060 704 006 019 620 994  1,021  1 932 355 208   1,000 000 000 010  49,636 1023  1 925 320 391 606 803 968 923  37 083 513 766 578 631 309  1,020  7 250 186 216   1,000 000 000 004  51,939

অন্যভাবে, মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য বলে যে n-তম মৌলিক সংখ্যা πn এবং n ln(n) প্রায় সমান, এবং n যত অসীমের দিকে অগ্রসর হয়, এই আসন্ন মানে ভুলের পরিমাণ ততই শূন্যের দিকে অগ্রসর হয়।

 আরও দেখুন 
মৌলিক সংখ্যা গণনাকারী ফাংশন

বিষয়শ্রেণী:মৌলিক সংখ্যা
বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক উপপাদ্য
বিষয়শ্রেণী:বিশ্লেষণী সংখ্যাতত্ত্ব
বিষয়শ্রেণী:লগারিদম