গিলব্রেথ অনুমান

গিলব্রেথের অনুমান হল সংখ্যা তত্ত্বের একটি উল্লেখযোগ্য অনুমান, যা ধারাবাহিকভাবে মৌলিক সংখ্যার উপর ফরোয়ার্ড ডিফারেন্স অপারেটর প্রয়োগ করে উৎপন্ন ধারাগুলি নিয়ে আলোচনা করে। এই প্রক্রিয়ায় পার্থক্যের পরম মান নেওয়া হয়, এবং এর ফলে প্রাপ্ত ধারার পরপর পদগুলিতে একই প্রক্রিয়া পুনরাবৃত্তি করা হয়। এই অনুমানের নামকরণ করা হয়েছে নরম্যান এল. গিলব্রেথের নামে, যিনি ১৯৫৮ সালে একটি ন্যাপকিনে হিসাব করার সময় কাকতালীয়ভাবে এই প্যাটার্ন আবিষ্কার করেন।. অবশ্য গিলব্রেথের আবিষ্কারের ৮০ বছর আগে, ১৮৭৮ সালে ফ্রাঁসোয়া প্রোথ একই পর্যবেক্ষণ প্রকাশ করেন এবং একটি প্রমাণের প্রচেষ্টা চালান, যা পরবর্তীতে ভুল প্রমাণিত হয়।

 পটভূমি ও গাণিতিক প্যাটার্ন 

মৌলিক সংখ্যার ধারা নিয়ে পরীক্ষা করার সময় গিলব্রেথ একটি চমকপ্রদ প্যাটার্ন লক্ষ্য করেন:  

প্রথম ধাপে, পরপর দুটি পদের পার্থক্যের পরম মান নিলে পাওয়া যায়:  

এই নতুন ধারার উপর একই প্রক্রিয়া প্রয়োগ করলে, এবং পরবর্তী প্রতিটি ধারায় অসীমবার পুনরাবৃত্তি করলে, পরবর্তী পাঁচটি ধারা হয়:  

গিলব্রেথ (এবং তাঁর আগে প্রোথ) লক্ষ্য করেন—প্রতিটি ধারার প্রথম পদ অবিকল 1!

 অনুমানের রূপায়ণ 

এই পর্যবেক্ষণকে গাণিতিকভাবে প্রকাশ করতে, প্রথমে ধারাগুলিকে সংজ্ঞায়িত করা যাক।  
মৌলিক সংখ্যার ক্রমকে  দ্বারা প্রকাশ করি। প্রথম পার্থক্য ধারা  এর সংজ্ঞা:  

(যেখানে  ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা)।  

কোনো পূর্ণসংখ্যা  এর জন্য  ধারাটি হবে:  

গিলব্রেথের অনুমান দাবি করে: প্রতিটি ধারার প্রথম পদ  (যেকোনো ধনাত্মক  এর জন্য) সর্বদা 1 হবে।

 যাচাইকরণ ও প্রমাণের প্রচেষ্টা 
ফ্রাঁসোয়া প্রোথের প্রমাণ প্রচেষ্টা ত্রুটিপূর্ণ প্রমাণিত হয়। ১৯৯৩ সালে অ্যান্ড্রু অডলাইজকো যাচাই করেন যে  পর্যন্ত ।.তবে অনুমানটি এখনো অমীমাংসিত। অডলাইজকো লক্ষ্য করেন যে ৬৩৫তম ধারার শুরু 1 দিয়ে, এবং পরবর্তী  সংখ্যক পদ শুধু 0 ও 2 দ্বারা গঠিত—যা পরবর্তী  ধারার শুরুতে 1 থাকার বিষয়টি নিশ্চিত করে।

 সাধারণীকরণ 
১৯৮০ সালে মার্টিন গার্ডনার, হ্যালার্ড ক্রফটের একটি অনুমান প্রকাশ করেন: গিলব্রেথ অনুমানের ধর্ম (প্রতিটি পার্থক্য ধারার প্রথম পদ 1) এমন যেকোনো ধারার জন্য প্রযোজ্য হবে যা 2 দিয়ে শুরু হয়, কেবল বিজোড় সংখ্যা ধারণ করে, এবং পরপর পদের মধ্যকার ব্যবধান যথেষ্ট ছোট। তবে এই অনুমান ভুল প্রমাণিত হয়: এমন ধারা তৈরি সম্ভব যেখানে প্রারম্ভিক অংশে 2 ও বিজোড় সংখ্যা থাকলেও, পার্থক্য ধারার প্রথম পদ 1 হয় না। অডলাইজকো পরামর্শ দেন যে এই যুক্তি অন্যান্য ধারার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হতে পারে—যেখানে প্রথম পদ 1, বাকিগুলো জোড়, এবং পদগুলির ব্যবধান "যথেষ্ট এলোমেলো ও ছোট"।

 আরও দেখুন 
 সসীম পার্থক্য
 মৌলিক ব্যবধান
 রুল ৯০ (একটি সেলুলার অটোমেটন যা 0 ও 2 দ্বারা গঠিত অংশের আচরণ নিয়ন্ত্রণ করে)

 তথ্যসূত্র 

বিষয়শ্রেণী:বিশ্লেষণী সংখ্যাতত্ত্ব  
বিষয়শ্রেণী:মৌলিক সংখ্যা সংক্রান্ত অনুমান  
বিষয়শ্রেণী:সংখ্যাতত্ত্বের অমীমাংসিত সমস্যা  
বিষয়শ্রেণী:সংখ্যার ত্রিভুজ