ढ़ाल (Slope)

ढाल (अंग्रेजी: Slope) गणित आ ज्यामिति के एगो बुनियादी अवधारणा हवे, जेकर उपयोग रेखा (line) के चढ़ाई या ढलान के माप करे में होला। सरल शब्द में कहल जाव त ढाल बतावेला कि कउनो रेखा केतना तेजी से ऊपर चढ़त बा या नीचे झुकत बा। एकर उपयोग बीजगणित, त्रिकोणमिति, भौतिकी, आ इंजीनियरिंग में खूब होला। ढाल के सामान्य रूप से "m" अक्षर से निरूपित कइल जाला। एकर गणना रेखा पर चुनल गइल दू गो अलग-अलग बिंदु सभ के ऊर्ध्वाधर परिवर्तन (rise) आ क्षैतिज परिवर्तन (run) के अनुपात के रूप में कइल जाला। बिंदु सभ के चुनाव स्वतंत्र होला, लेकिन कौनों भी वैध जोड़ी से ढ़ाल के मान एकही रही।

 परिभाषा 
रेखा के ढाल के परिभाषा निम्नलिखित सूत्र से होला :



अगर दू गो बिंदु दिहल गइल बा:  आ , त  में बदलाव होई  ( रन ), जबकि  में बदलाव होई  ( राइज़ )। एह दुनों मान के ऊपर बतावल सूत्र में रखला पर slope के निम्नलिखित रूप मिलेला :



 उदाहरण 
मान लीं कि कवनो रेखा दू गो बिंदु से होके गुजरत बा: बिंदु P = (1,2) आ Q = (13,8)। एह दू गो बिंदु के x आ y निर्देशांकों में अंतर निकाल के, अर्थात् y में अंतर के x में अंतर से भाग देके रेखा के ढाल (slope) प्राप्त कइल जा सकेला:



 ढ़ाल के प्रकार 
ढाल के चार मुख्य प्रकार हो सकेला :
 धनात्मक ढ़ाल (Positive Slope): रेखा ऊपर की ओर चढ़त बा।
 ऋणात्मक ढ़ाल (Negative Slope): रेखा नीचे की ओर झुकत बा।
 शून्य ढ़ाल (Zero Slope): रेखा समतल बा; y में कौनों बदलाव नइखे।
 अनिर्धारित ढ़ाल (Undefined Slope): जब x में कौनों बदलाव नइखे; रेखा खड़ा बा (vertical line)।

 ज्यामितीय अर्थ 
ढाल के ज्यामितीय मतलब रेखा के कोण से होला, जे ऊ x-अक्ष (x-axis) से बनावेला। अगर रेखा x-अक्ष से 45° के कोण बनावेला, त एकर ढाल 1 होला।

जहाँ θ बा रेखा आ x-अक्ष के बीच के कोण।

 उपयोग 

 बीजगणित में: रेखीय समीकरण के ढाल-संधि रूप (slope-intercept form) में देखावल जाला: y=mx+c जहाँ m बा ढ़ाल आ c बा y-अक्ष पर कट बिंदु।
 भौतिकी में: गति (velocity) के ग्राफ में ढ़ाल से रफ्तार के जानकारी मिले ला।
 वास्तुकला आ इंजीनियरिंग में: सड़क, छत, या पाइपलाइन बनावत समय ढाल के विचार कइल जाला।

 अर्थशास्त्र में: मांग (demand) आ आपूर्ति (supply) के ग्राफ में ढ़ाल से प्रतिक्रिया दर (rate of change) मालूम होला।

 संदर्भ 

श्रेणी:शुरुआती गणित