Пра спіралі (Архімед)

«Пра спіралі» () — трактат старажытнагрэчаскага матэматыка Архімеда, напісаны каля 225 года да н. э. У гэтай працы Архімед не толькі даследаваў уласцівасці спіралі, пазней названай ягоным імем, але і выкарыстаў яе для вырашэння класічных задач: квадратуры круга і трысекцыі вугла.

 Змест твора 

 Прадмова 
Архімед пачынае трактат «Пра спіралі» са звароту да Дасіфея з Пелузія, згадваючы смерць Конана Самоскага як вялікую страту для матэматыкі. Затым ён пераходзіць да кароткага выкладу вынікаў сваіх прац «Пра шар і цыліндр» () і «Пра каноіды і сфероіды» (). Пасля гэтага ён пералічвае вынікі даследаванняў, выкладзеныя ў кнізе «Пра спіралі».

 Архімедава спіраль  
Архімедава спіраль упершыню даследавалася Конанам, а пазней — Архімедам у гэтым трактаце. Архімед змог знайсці розныя датычныя да спіралі. Ён вызначае спіраль наступным чынам:

Калі прамая, адзін канец якой застаецца замацаваным, раўнамерна абарачаецца ў плоскасці, пакуль не вернецца ў становішча, з якога пачала рух, і калі адначасова з абарачэннем прамой пункт раўнамерна рухаецца ўздоўж гэтай прамой, пачынаючы ад замацаванага канца, то гэты пункт апіша ў плоскасці спіраль.

 Трысекцыя вугла 
Трысекцыя вугла — гэта задача па пабудове вугла, велічыня якога роўная адной трэцяй частцы дадзенага вугла. Калі падзел вугла папалам можна выканаць з дапамогай цыркуля і лінейкі, то трысекцыя пры дапамозе толькі гэтых інструментаў немагчымая. Архімед прапанаваў наступны спосаб трысекцыі вугла з выкарыстаннем спіралі:

Няхай патрабуецца падзяліць вугал  на тры роўныя часткі. Падзелім адрэзак  на тры роўныя часткі і адзначым адрэзак , роўны адной трэцяй  (). Правядзём акружнасць з цэнтрам у пункце  і радыусам . Няхай акружнасць з цэнтрам  перасякае спіраль у пункце . Тады вугал  складае адну трэцюю вугла .

 Квадратура круга 
Для квадратуры круга Архімед прапанаваў наступную пабудову:

Няхай  — пункт на спіралі пасля завяршэння ёю аднаго поўнага абароту. Няхай датычная ў пункце  перасякае прамую, перпендыкулярную , у пункце . Тады даўжыня адрэзка  роўная даўжыні акружнасці радыуса .

У першым сцвярджэнні трактата «Вымярэнне круга» () Архімед ужо даказаў, што плошча круга роўная плошчы прамавугольнага трохвугольніка, катэты якога роўныя радыусу круга і даўжыні яго акружнасці. Такім чынам, плошча круга з радыусам  роўная плошчы трохвугольніка .

 Крыніцы 

Катэгорыя:Архімед
Катэгорыя:Спіралі
Катэгорыя:Эўклідава геаметрыя