Сігма-алгебра

σ-алгебра — алгебра мностваў, замкнутая адносна аперацыі злічальнага аб’яднання. Паняцце σ-алгебры мае важнае значэнне для тэорыі імавернасцей, дзе выступае адным з элементаў імавернаснай прасторы.

 Азначэнне 

Алгебра  падмностваў мноства  называецца σ-алгебрай, калі для кожнай злічонай сям’і  справядлівае адно з судачыненняўЗвяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.:

Карыстаючыся , можна паказаць, што са злічонага аб’яднання вынікае перасячэнне, і наадварот, з перасячэння вынікае аб’яднанне. Таму толькі аднаго з гэтых судачыненняў дастаткова патрабаваць для задання σ-алгебры.

Самая маленькая сярод усіх магчымых σ-алгебраў, што змяшчаюць усе  тапалагічнай прасторы, называецца сігма-алгебрай барэлеўскіх мностваў .

 Неэквівалентнасць азначэнню алгебры мностваў 

Не ўсе алгебры мностваў адпавядаюць азначэнню σ-алгебрыЗвяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.. Для доказу дастаткова прывесці прыклад такой алгебры.

Няхай  мноства рэчаісных лікаў. Праз  пазначым мноства ўсіх тых падмностваў , якія з’яўляюцца канечнымі аб’яднаннямі   (у тым ліку аднапунктавых і ). Можна паказаць, што калі , то і яго дадатак  (дадатак канечнага аб’яднання звязных мностваў з’яўляецца канечным аб’яданнем звязных мностваў). Відавочна, што калі  і , то . Такім чынам,  — алгебра мностваў.

Цяпер пакажам, што  — не σ-алгебра. Мноства рацыянальных лікаў  не належыць , бо яго немагчыма запісаць у выглядзе канечнага аб’яднання звязаных мностваў. Пры гэтым кожнаму рацыянальнаму ліку  адпавядае аднаэлементнае звязнае мноства . Вядома, што  — злічальнае мноства, то бок яго можна прадставіць як , дзе кожнае , але само аб’яднанне не належыць . Такім чынам, парушаецца ўласцівасць σ-алгебры быць замкнутай адносна злічальнага аб’яднання, а значыць  — не σ-алгебра.

Катэгорыя:Тэорыя мностваў