Аксіяматыка Калмагорава

Аксіёмы Калмагорава — асноўныя палажэнні тэорыі імавернасцей, прапанаваныя савецкім матэматыкам Андрэем Калмагоравым у 1933 г. Гэтыя аксіёмы сталі класічнымі і дагэтуль застаюцца найбольш распаўсюджанай  у сучаснай тэорыі імавернасцей.

 Аксіёмы 

Для задання аксіём уводзіцца паняцце імавернаснай прасторы — тройкі , дзе  — прастора элементарных падзей,  — σ-алгебра падмностваў мноства , якія называюцца выпадковымі падзеямі,  — , якая называецца .

Аксіёмы Калмагорава для тэорыі імавернасцейЗвяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.:

 Неадмоўнасць.  для адвольнай падзеі .
 Нармаванасць. , г.зн. імавернасць верагоднай падзеі роўна 1.
 Адытыўнасць.  для якіх-кольвек несумесных падзей .
 Непарыўнасць. Калі паслядоўнасць  падзей  такая, што  і , то .

 Аксіёма злічонай адытыўнасці 

Часам замест чатырох аксіём Калмагорава прыводзяцца тры, дзе аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці замяняюцца эквівалентнай ім аксіёмай злічонай адытыўнасці: 

Для адвольнай злічонай сям'і дыз'юнктных (то бок несумесных) падзей  справядліва роўнасць

З пункту гледжання праўдзівасці сцверджанняў, якія грунтуюцца на аксіёмах Калмагорава, няма розніцы паміж класічным наборам з чатырох аксіём і наборам, дзе аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці замененыя на аксіёму злічонай адытыўнасці, бо гэтыя наборы аксіём эквівалентныя паміж сабой.

 Доказ эквівалентнасці 
Дапусцім спачатку, што выконваюцца аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці. Зададзім злічоную сям'ю дыз'юнктных мностваў  і атрымаем, што . Пазначым  і запішам

Такім чынам,  і паводле аксіёмы непарыўнасці . З вызначэння  і аксіёмы адытыўнасці вынікае 

Пераходзячы ў апошняй роўнасці да ліміту  атрымліваем роўнасць з аксіёмы злічонай адытыўнасці.

Цяпер дакажам што выканання аксіёмы злічонай адытыўнасці дастаткова для выканання адытыўнасці і непарыўнасці. 

Для доказу спатрэбіцца факт таго, што . Сапраўды, прымаючы  (што можна зрабіць, бо пустое мноства не перасякаецца з самім сабой) атрымліваем 

Успомнім, што паводле азначэння  можа прымаць толькі рэчаісныя значэнні, а з усіх рэчаісных лікаў выкананне прыведзенай вышэй роўнасці магчыма толькі для .

Для адвольных несумесных падзей  прымем . Улічваючы аксіёму злічонай адытыўнасці і тое, што , маем

Гэта значыць, што праўдзіцца аксіёма адытыўнасці. 

Возьмем цяпер адвольны набор падзей , для якіх . Пазначым  для ўсіх  і атрымаем дыз'юнктнае мноства падзей . Паводле аксіёмы злічонай адытыўнасці, шэраг  збягаецца і таму паслядоўнасць ягоных астачаў імкнецца да нуля, г.зн.:

Такім чынам мы паказалі, што аксіём адытыўнасці і непарыўнасці дастаткова для выканання аксіёмы злічонай адытыўнасці, а таксама што аксіёмы злічонай адытыўнасці дастаткова для выканання аксіём адытыўнасці і непарыўнасці. Гэта значыць, што аксіёма злічонай адытыўнасці эквівалентная аксіёмам адытыўнасці і непарыўнасці, узятым разам.

 Высновы з першых трох аксіём 

Грунтуючыся на аксіёмах Калмагорава, можна даказаць шэраг сцверджанняў, карысных для вывучэння тэорыі імавернасцей.

 Адытыўнасць для канечнага мноства падзей 

Калі падзеі  парамі несумесныя, то

 Доказ 

Доказ будуецца метадам матэматычнай індукцыі з аксіёмы адытыўнасці. Паводле аксіёмы, роўнасць слушная для . Для  дапусцім, што праўдзіцца роўнасць

Выкарыстоўваючы яе і аксіёму адытыўнасці, маем

 Правіла сумы 

Для адвольных дзвюх падзей  справядліва роўнасць

 Доказ 

Заўважым, што , дзе ўсе тры падзеі парамі несумесныя. З адытыўнасці для канечнага мноства падзей вынікае

 Імавернасць надмноства 

Калі , то .

 Доказ 

З  вынікае . Тады паводле аксіёмы адытыўнасці маем .

 Імавернасць немагчымай падзеі 

.
 Доказ 

У формуле імавернасці надмноства прымем . Атрымаем  Адсюль вынікае, што .

 Імавернасць процілеглай падзеі 

, дзе  — падзея, процілеглая да .

 Доказ 

Сыходзячы з таго, што , а таксама з аксіём адытыўнасці і нармаванасці, атрымліваем
.

 Манатоннасць 

Калі , то .

 Доказ 

З формулы імавернасці надмноства і аксіёмы неадмоўнасці маем

 Лікавыя межы імавернасці 

Для кожнай падзеі  праўдзіцца .

 Доказ 

З таго, што  вынікае 

 Няроўнасць для імавернасці аб'яднання 

Для якіх-кольвек падзей  справядліва няроўнасць

 Доказ 

Для , з правіла сумы і аксіёмы неадмоўнасці вынікае 

Дапусцім, што для  выконваецца

Сумяшчаючы гэтыя няроўнасці, атрымоўваем 

Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей