Геаметрычная імавернасць

У тэорыі імавернасцей геаметрычная імавернасць — мадэль імавернаснай прасторы для задач, у якіх прастора элементарных падзей ёсць некаторым падмноствам прасторы Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5..

 Азначэнне 

Няхай  і  мае канечны дадатны -мерны аб’ём, які пазначым праз . Праз  пазначым некаторую σ-алгебру  падмностваў . За імавернасць падзеі  прымаецца лік

дзе праз  пазначаны -мерны аб’ём (мера Лебега) мноства .

Адпаведнасць геаметрычнай імавернасці аксіёмам неадмоўнасці, нармаванасці і злічонай адытыўнасці вынікае з прыведзенага вышэй азначэння імавернасці падзеі і ўласцівасцей меры Лебега.

 Выкарыстанне 

Геаметрычная імавернасць служыць мадэллю для задач, дзе часціца выпадкова кідаецца на мноства  і каардынаты падзення раўнамерна размеркаваныя па гэтым мностве.

 Прыклады 

 Задача Бюфона 

Адзін з прыкладаў выкарыстання геаметрычнай імавернасці — задача Бюфона.

На гарызантальную паверхню, разлінееную  прамымі на адлегласці  паміж сабой кідаецца іголка даўжынёй , . Патрабуецца знайсці імавернасць таго, што іголка перасячэ якую-кольвек прамую.

 Развязанне 

Становішча іголкі можна  значэннямі  і , дзе  — адлегласць паміж цэнтрам іголкі і бліжэйшай прамой, а  — вугал паміж іголкай і прамымі. Параметры  і  незалежныя адзін ад аднаго, таму за прастору элементарных падзей можна прыняць прамавугольнік . 

З ілюстрацыі відаць, што іголка перасякае прамую тады і толькі тады, калі . Такім чынам, падзея перасячэння адпавядае мноству . Знойдзем плошчу мноства , палічыўшы інтэграл 

Па формуле геаметрычнай імавернасці знаходзім 

Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей