Функцыя размеркавання

Функцыя размеркавання выпадковай велічыні — гэта функцыя, якая апісвае імавернасць таго, што выпадковая велічыня прыме значэнне, меншае за некаторы рэчаісны лік. Функцыя размеркавання задае размеркаванне выпадковай велічыні.

 Азначэнне 
Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя , якая вызначаецца праз роўнасцьЗвяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

У некаторых крыніцах функцыя размеркавання вызначаецца з іншым знакам:

Такое вызначэнне ўплывае на ўласцівасць непарыўнасці, робячы функцыю непарыўнай справа, а не злева (гл. § Уласцівасці).

Існуе таксама абагульненне гэтага азначэння на многавымерныя выпадковыя велічыні.

 Уласцівасці 
Для функцыі размеркавання  кожнай выпадковай велічыні  справядлівыя наступныя ўласцівасці:
 . Калі , то .
 . Маюць месца няроўнасці , прычым 
 Непарыўнасць злева. Для кожнага  выконваецца 

Для кожнай функцыі , якая адпавядае ўмовам манатоннасці, абмежаванасці і непарыўнасці злева, існуюць імавернасная прастора  і выпадковая велічыня , у якой функцыя размеркавання  супадае з . Іншымі словамі, кожная такая функцыя і ёсць функцыяй размеркавання для некаторай выпадковай велічыні.

Часта функцыя размеркавання задаецца праз роўнасць . У такім выпадку для яе характэрна ўласцівасць непарыўнасці справа, а не злева.

 Доказы ўласцівасцей 

 Доказ манатоннасці 
Няхай . Тады , і таму

гэта значыць .

Карыстаючыся манатоннасцю імавернасці, атрымліваем

 Доказ абмежаванасці 
Няроўнасць  відавочна вынікае з .

Разгледзім улучэнні . Заўважым, што . Акрамя таго,

Па аксіёме непарыўнасці імавернасці атрымліваем

для . Няхай цяпер  імкнецца да . З манатоннасці функцыі размеркавання вынікае  Калі , абедзве крайнія часткі няроўнасці імкнуцца да нуля. Карыстаючыся , атрымліваем

Прадставім  як суму  і, скарыстаўшы злічоную адытыўнасць, атрымаем

для . Доказ для  праводзіцца аналагічна папярэдняму выпадку праз тэарэму аб заціснутай функцыі.

 Доказ непарыўнасці злева 
Возьмем адвольную нарастальную паслядоўнасць рэчаісных лікаў , якая збягаецца да . Існаванне   вынікае з манатоннасці . Пакажам, што гэты ліміт роўны .

Заўважым, што  і . Карыстаючыся аксіёмамі непарыўнасці і адытыўнасцю імавернасці, атрымліваем

Адсюль вынікае .

 Гл. таксама 
 Умоўная функцыя размеркавання
 Функцыя імавернасці
 Шчыльнасць імавернасці

*