Гілель Фюрстэнберг

Гілель (Гары) Фюрстэнберг (нар. , ) — амерыкана-ізраільскі матэматык. Лаўрэат Абелеўскай прэміі і Прэміі Вольфа па матэматыцы. Член Нацыянальнай акадэміі навук ЗША (з 1989).

 Біяграфія 
Нарадзіўся ў Германіі, адкуль яго сям’я збегла ў 1939 годзе, неўзабаве пасля Крыштальнай ночы. Незадоўга да пачатку Другой сусветнай вайны яны пасяліліся ў Нью-Ёрку. Наведваў Талмудычную акадэмію Марша Стэрн, а затым Ешыва-ўніверсітэт. У 1955 годзе, ва ўзросце дваццаці гадоў, атрымаў ступень магістра. Яшчэ да выпуску, у 1953—1955 гадах, апублікаваў дзве працы па матэматыцы. Абедзве з’явіліся на старонках «American Mathematical Monthly». У працы «On the infinitude of primes» (1955) змяшчаецца тапалагічны доказ знакамітай тэарэмы Еўкліда аб бясконцай колькасці простых лікаў.

Вучыўся ў аспірантуры ў Прынстанскім універсітэце пад кіраўніцтвам . У 1958 годзе атрымаў доктарскую ступень (PhD). У 1959—1960 гадах працаваў у МІТ. З 1961 года выкладаў ва ўніверсітэце Мінесоты. У 1965 годзе пераехаў у Ізраіль і да 2003 года працаваў у Яўрэйскім універсітэце ў Іерусаліме (Інстытут матэматыкі імя Эйнштэйна). Быў членам Камітэта дарадцаў універсітэта імя Бен-Гурыёна ў Негеве. У 2003 годзе абедзве гэтыя ВНУ правялі ў гонар выхаду вучонага на пенсію чатырохдзённую канферэнцыю Furstenfest 2003 з чытаннем лекцый.

 Доказ бясконцасці простых лікаў па Фюрстэнбергу 
Зададзім тапалогію на цэлых ліках  наступным чынам: падмноства U ⊆  будзем лічыць адкрытым (г. зн. элементам тапалогіі) у тым і толькі тым выпадку, калі яно або пустое, або з’яўляецца аб’яднаннем арыфметычных прагрэсій S(a, b) для a ≠ 0, дзе

Інакш кажучы, U адкрытае ў тым і толькі тым выпадку, калі для кожнага x ∈ U знойдзецца ненулявы цэлы лік a такі, што S(a, x) ⊆ U.

Лёгка праверыць, што выконваюцца аксіёмы тапалагічнай прасторы:

 Пустое мноства ∅ адкрытае паводле азначэння, а ўсё мноства  — гэта паслядоўнасць S(1, 0), таму яно таксама адкрытае.
 Любое аб’яднанне адкрытых мностваў адкрытае: разгледзім набор адкрытых мностваў Ui, хай x ляжыць у іх аб’яднанні U, тады можна ўзяць любы з лікаў ai, для якіх выконваецца S(ai, x) ⊆ Ui, каб упэўніцца, што таксама выконваецца S(ai, x) ⊆ U.
 Перасячэнне двух (і, значыць, любога канечнага сямейства) адкрытых мностваў адкрытае: хай U1 і U2 — адкрытыя мноствы і x ∈ U1 ∩ U2 (з адпаведнымі лікамі a1 і a2). Абазначым a найменшае агульнае кратнае a1 і a2. Тады S(a, x) ⊆ S(ai, x) ⊆ Ui.

У гэтай тапалагічнай прасторы ёсць дзве важныя ўласцівасці:

 Любое непустое адкрытае мноства ўтрымлівае бясконцую паслядоўнасць, таму непустое канечнае мноства не можа быць адкрытым. Інакш кажучы, дапаўненне непустога канечнага мноства не можа быць замкнёным.
 Прагрэсіі S(a, b) з’яўляюцца адначасова адкрытымі і замкнёнымі: адкрытымі паводле азначэння, а замкнёнымі таму, што можна прадставіць S(a, b) як дапаўненне адкрытага мноства наступным чынам:



Сярод цэлых лікаў толькі −1 і +1 нельга прадставіць як здабытак цэлага ліку і простага ліку, адкуль



Паводле першай уласцівасці, мноства  не можа быць замкнёным. Паводле другой уласцівасці, мноствы S(p, 0) замкнёныя. Уявім сабе, што колькасць усіх простых лікаў канечная, тады аб’яднанне ўсіх S(p, 0) было б замкнёным, як канечнае аб’яднанне замкнёных мностваў. Атрымліваем супярэчнасць, з якой вынікае, што колькасць усіх простых лікаў бясконцая.

Катэгорыя:Матэматыкі Ізраіля
Катэгорыя:Матэматыкі ЗША
Катэгорыя:Матэматыкі XX стагоддзя
Катэгорыя:Матэматыкі XXI стагоддзя