Бра і кет

⟨
 ∣
 ⟩
  bra
  ket
  бра
  кетдужка
Бра і кет ( - дужка) — алгебраічны фармалізм (сістэма абазначэнняў), прызначаны для апісання квантавых станаў. Называется таксама абазначэннямі Дырака. У матрычнай механіцы такая сістэма абазначэнняў з'яўляецца агульнапрынятай.

 Азначэнне і выкарыстанне 
У квантавай механіцы стан сістэмы апісваецца променем (напрамкам) у сепарабельнай гільбертовай прасторы, ці, што эквівалентна, элементам праектыўнай гільбертавай прасторы   элементы якой завуцца «вектары стана» («кет-вектары») і пазначаюцца сімвалам .

Кожнаму кет-вектару  ставіцца ў адпаведнасць бра-вектар з прасторы, сапружанай да  гэта значыць з  

Бра-вектар  з прасторы азначаецца раўнаннем:

 для любога кет-вектара   

Вольна кажучы, у нейкім сэнсе бра-вектары «супадаюць» з адпаведнымі ім камплексна-сапружанымі кет-вектарамі. Пры гэтым звычайна адбываецца атаясамленне вектараў і функцыяналаў над вектарамі са слупкамі ці радкамі каардынат разлажэння іх па адпаведным базісе ці  

Скалярны здабытак бра-вектара з кет-вектарам (а больш дакладна, дзеянне бра-вектара на кет-вектар) запісваецца у выглядзе  дзве вертыкальныя рысы «зліваюцца», а дужкі не пішуцца. Квадрат вектара, па вызначэнні гильбертовай прасторы, неадмоўны:  На вектары, што апісваюць станы сістэмы, накладаецца ўмова нарміроўкі 

 Лінейныя аператары 
Калі  — лінейны аператар з  у , то дзеянне аператара  на кет -вектар  запісваецца як   

Для кожнага аператара  і бра-вектара  уводзіцца  функцыянал  з прасторы  гэта  значыць бра-вектар, памножаны на аператар , што азначаецца роўнасцю:

  для любого вектара  

Паколькі месцазнаходзанне дужак не мае значэння, іх звычайна прыбіраюць і пішуць проста  

Гэтае выражэнне называется свёрткай аператара  з  бра-вектарам  і кет-вектарам  Значэнне гэтага выражэння ёсць скаляр (камплексны лік).

У прыватнасці, матрычны элемент аператара  ў  акрэсленым базісе (у тэнзарных абазначэннях — ) запісваецца у абазначэннях Дырака як  а сярэдняе значэнне назіраемай у квантавым стане  — як  

Множанне вектараў на аператар (кет-вектара — злева, бра-вектара — справа) дае вектары таго ж тыпа і запісвается тым жа спосабам, што і ў лінейнай алгебры (гэта значыць, што бра- і кет-вектары атаясамліваюцца з вектарамі-радкамі і слупкамі, а аператары — з квадратнымі матрыцамі):




Ураўненне Шродзінгера (для стацыянарнага стана) будзе мець выгляд:

  дзе  — гамильтаніян, а   — скаляр (энергія стану).

 Адрозненні бра-кет-абазначэнняў ад традыцыйных 
У матэматыцы ўжываецца абазначэнне «эрмітавага» скалярнага здабытку  ў гільбертавай прасторы, якое мае той жа сэнс, што і перамнажэнне бра на кет. Аднак матэматыкі звычайна разглядаюць вуглавыя дужкі як знак аперацыі, а не часткі абазначэння вектара. Традыцыйнае матэматычнае абазначэнне, у адрозненне ад дыракаўскага, несіметрычнае — абодва вектары лічацца велічынямі аднаго тыпу, і па першым аргуменце з двух аперацыя з'яўляецца антылінейнай.

З іншага боку, здабытак бра і кет з'яўляецца білінейным, але ад двух аргументаў рознага тыпу. Сапружаным да кет-вектара  ёсць бра-вектар   (дзе  — уяўная адзінка).  Аднак, у квантавай механіцы гэтую мудрагелістасць абазначэнняў дазваляецца ігнараваць, паколькі квантавы стан, прадстаўляемы вектарам, не залежыць ад множання вектара на любыя камплексныя лікі, па модулю роўныя адзінцы.

Акрамя таго, выкарыстанне бра і кет дазваляе падкрэсліць адрозненне стана  (запісваецца літарай без дужак і рысак) ад канкрэтных вектараў, што яго прадстаўляюць.

У адрозненне ад алгебраічных абазначэнняў, дзе элементы базісу пазначаюцца як  у бра-кет-абазначэннях можа указвацца адзін толькі індэкс базіснага элемента, напрыклад:  Гэтым яны падобныя да тэнзарных абазначэнняў, але, у адрозненне ад апошніх, дазваляюць запісваць здабыткі аператараў з вектарамі без выкарыстання дапаўняльных (падтэкставых ці надрадковых) літар.

 Матэматычныя ўласцівасці 
Бра і кет можна выкарыстоўваць і ў чыстай матэматыцы для абазначэння элементаў сапружаных адна да адной лінейных прастораў. Калі, напрыклад,  то кет-вектары лічацца пры гэтым «вектарамі-слупкамі», а бра-вектары — «вектарамі-радкамі».

Перамнажэнне бра- і кет-вектараў адзін на аднаго і на аператары можна разглядаць як прыватны выпадак матрычнага фармалізму «радок на слупок». А менавіта, над трэба лічыць кет-вектары матрыцамі памеру , бра-вектары — памеру , аператары — памеру , дзе  — колькасць станаў квантавай сістэмы (размернасць прасторы ). Матрыцы памеру  маюць адзіны элемент і атаясамляюцца са скалярамі. У выпадку бясконцамернае прасторы станаў на «матрыцы» (фактычна рады) даводзіцца накладаць дадатковыя ўмовы збежнасці.

Формула для сапружанага вектара выглядае наступным чынам:
дзе
Запіс тыпа  заўжды азначае скаляр. Бра-вектар заўжды мае дужку злева:  кет-вектар —  дужку справа:   Да таго ж, уводзіцца здабытак у «ненатуральным» парадку —  (аналагічна матрычнаму множанню вектара-слупка на вектар-радок), якое дае гэтак называемый кет-бра-аператар. Аператар  мае ранг 1 і з'яўляецца тэнзарным здабыткам   і   Такія аператары часта разглядаюцца ў тэорыі аператараў і квантавых вылічэннях. У прыватнасці, аператар  (пры ўмове нарміроўкі ) з'яўляецца праектарам на стан , дакладней, на адпаведную аднамерную лінейную падпрастору ў  

Мае месца асацыятыўнасць:


 .

 Літаратура 








Катэгорыя:Тэнзарнае злічэнне
Катэгорыя:Квантавая механіка