Гаўсаў пучок

Гаўсаў пучок (сін. гаўсаўскі пучок) - пучок электрамагнітнага выпраменьвання, у якім размеркаванне электрычнага поля ў папярочным сячэнні добра набліжаецца функцыяй Гаўса. Кагерэнтны светлавы пучок з гаўсаўскім размеркаваннем поля мае фундаментальае значэнне ў тэорыі хвалевых пучкоў. Гэты пучок называецца асноўнай модай у адрозненне ад іншых модаў больш высокага парадку.

 Матэматычнае апісанне 
Шукаецца рашэнне наступнага хвалевага раўнання, якое апісвае распаўсюджванне пучка ў выглядзе  Гончаренко А. М. Гауссовы пучки света. Мн., «Наука и техника», 1977, 144 с.  :

  ,

дзе  - павольна змяняльная камплексная функцыя, якая вызначае ўласцівасці лазернага промня, якія адрозніваюць яго ад плоскай хвалі . Прымяненне аператара Δ да функцыі Ψ дае:

  .

Калі у гэтым выразе пагрэбаваць другой вытворнай ад  па  у параўнанні з першай, на аснове хвалевага раўнання Гельмгольца атрымліваецца раўнанне:

  .

Атрыманае раўнанне адносіцца да ўраўненняў парабалічнага тыпу, а набліжэнне, у якім яно атрыманае, называецца парабалічным набліжэннем. Лёгка паказаць, што раўнанню будзе задавальняць гаўсаў пучок, амплітуда якога змяняецца ўздоўж папярочнай каардынаты паводле закона Гаўса.

Для гаўсавага пучка можна запісаць выраз:

  ,

дзе r 2 = х 2 + у 2 . Параметр р - камплексны зрух фазы падчас распаўсюджвання святла ўздоўж восі z, і q - комплексны параметр пучка, які вызначае гаўсавае размеркаванне поля па каардынаце r, дзе r - адлегласць ад восі. Акрамя таго, q вызначае крывізну хвалевага фронту, які з'яўляецца сферычным каля восі z.

Разгледзім уласцівасці гаўсавага пучка з даўжынёй хвалі λ больш падрабязна. Для гэтага выразім камплексны параметр q праз два параметры пучка R і w



дзе R - радыус крывізны хвалевага фронту, а w характарызуе змяненне поля E ў папярочнай плоскасці (параметр w называецца шырынёй пучка). Размеркаванне поля ў гэтай плоскасці падпарадкоўваецца закону Гаўса, а w роўнае адлегласці, на якім амплітуда поля памяншаецца ў e разоў у параўнанні з полем на восі.

 Уласцівасці пучка 
справа|міні|350x350пкс| Шырыня гаўсава пучка w як функцыя ад z. 

w 0 : перацяжка пучка; b: канфакальны параметр; zR : рэлееўская даўжыня; Θ: вуглавая разбежнасць пучка

 Шырыня пучка 
У некаторай плоскасці, так званай шыйцы каўстычнай паверхні або перацяжцы, гаўсавы пучок сцягваецца да мінімальнай шырыні w0 . У гэтай плоскасці, ад якой мэтазгодна вылічваць адлегласць z, фазавы фронт плоскі, а камплексны параметр пучка становіцца чыста ўяўным:



дзе zR - рэлееўская даўжыня. Тады шырыня промня на адлегласці z задаецца наступнай формулай:



 Радыус крывізны 
Залежнасць радыусу крывізны ад каардынаты:



 Разбежнасць пучка 
Абгінальная промня w (z) ставіць сабой гіпербалу, асімптота якой нахіленая да восі пад вуглом

  .

Гэты вугал роўны вуглу дыфракцыі галоўнай моды ў далёкай зоне.

Поўная вуглавая разбежнасць промня складае

  .

 Моды вышэйшых парадкаў 
міні| Першыя дзевяць модаў Эрміта-Гаўса
Гаўсавы пучкі - толькі адно з магчымых рашэнняў параксіяльнага хвалевага ўраўнення. Для мадэлявання лазерных прамянёў выкарыстоўваюцца камбінацыі розных артаганальных рашэнняў. У агульным выпадку, калі вызначаецца поўны базіс рашэнняў, то любы пучок можна апісаць як суперпазіцыю рашэнняў з базісу.

Катэгорыя:Электрамагнітнае выпраменьванне
Катэгорыя:Фізічная оптыка
Катэгорыя:Лазерная фізіка