Біекцыя

Біекцыя — гэта адлюстраванне, якое з’яўляецца адначасова і сюр’ектыўным, і ін’ектыўным. Пры біектыўным адлюстраванні кожнаму элементу аднаго мноства адпавядае роўна адзін элемент іншага мноства, пры гэтым азначана адваротнае адлюстраванне, якое мае тыя самыя ўласцівасці. Таму біектыўнае адлюстраванне яшчэ называюць узаемна-адназначным адлюстраваннем (адпаведнасцю), адна-адназначным адлюстраваннем.

Калі між двума мноствамі можна выявіць узаемна-адназначную адпаведнасць (біекцыю), то такія мноствы называюцца роўнамагутнымі. З пункту гледжання тэорыі мностваў, роўнамагутныя мноствы не адрозніваюцца.

Узаемна-адназначнае адлюстраванне канечнага мноства ў сябе называецца перастаноўкай (або падстаноўкай) элементаў гэтага мноства.

 Азначэнне 
Функцыя  называецца біекцыяй (і пазначаецца ), калі яна:

 Пераводзіць розныя элементы мноства  у розныя элементы мноства  (ін’ектыўнасць). Іначай кажучы,
 .
 Кожны элемент з  мае свой правобраз (сюр’ектыўнасць). Іначай кажучы,
 .

 Прыклады 

 Тоеснае адлюстраванне  на мностве  біектыўнае.
  — біектыўныя функцыі з  у сябе. Наогул, любы маном адной пераменнай няцотнай ступені з’яўляецца біекцыяй з  у сябе.
   — біектыўная функцыя з  у .
   не з’яўляецца біектыўнай функцыяй, калі лічыць яе акрэсленай на ўсім .
 Строга манатонная і неперарыўная функцыя  з’яўляецца біекцыяй з адрэзка  на адрэзак .

 Уласцівасці 
міні|300x300пкс|Кампазіцыя ін’екцыі і сюр’екцыі, якая дае біекцыю.

 Функцыя  з’яўляецца біектыўнай тады і толькі тады, калі існуе адваротная функцыя  такая, што

  и 

 Калі функцыі  і  біектыўныя, то і кампазіцыя функцый  біектыўная, у гэтым выпадку . Коратка: кампазіцыя біекцый з’яўляецца біекцыяй. Адваротнае, аднак, няверна: калі  біектыўная, то мы можам казаць толькі, што  ін’ектыўная, а  сюр’ектыўная.

 Літаратура 


Катэгорыя:Тыпы функцый