Магутнасць мноства

Магутнасць мноства, кардынальны лік мноства (лац. cardinalis ← cardo «стрыжань; асяродак») — характарыстыка мностваў (у тым ліку бясконцых), якая абагульняе паняцце колькасці (лічбы) элементаў канечнага мноства.

У аснове гэтага паняцця ляжаць натуральныя прадстаўленні аб параўнанні мностваў:

 Любыя два мноствы, паміж элементамі якіх можа быць выяўлена ўзаемна-адназначная адпаведнасць (біекцыя), змяшчаюць аднолькавую колькасць элементаў (маюць аднолькавую магутнасць).
 Наадварот: мноствы, роўныя па магутнасці, павінны мець такую ўзаемна-адназначную адпаведнасць.
 Частка мноства не перавышае поўнага мноства па магутнасці (гэта значыць па колькасці элементаў).

Да пабудавання тэорыі магутнасці мностваў мноства адрозніваліся па прыкметам: пустое/непустое і канечнае/бясконцае, таксама канечныя мноствы адрозніваліся па колькасці элементаў. Бясконцыя ж мноства нельга было параўновываць.

Магутнасць мностваў дазваляе параўновываць бясконцыя мноствы.
Напрыклад, злічальныя мноствы з'яўляюцца самымі «маленькімі» бясконцымі мноствамі.

Магутнасць мноства  пазначаецца праз . Часам сустракаюцца абазначэнні ,  і .

 Азначэнне 
Пры выконванні аксіёмы выбару магутнасць мноства фармальна азначаецца як мінімальны парадкавы лік , пры каторым між  і  можна выявіць біектыўную адпаведнасць. Дадзенае азначэнне таксама называецца размеркаваннем кардынальных лікаў па фон Нэйману. 

Фармальны парадак сярод кардынальных лікаў уводзіцца наступным вобразам:  азначае, што мноства  можна ін'ектыўна адлюстраваць на . Згодна з тэарэмай Кантара — Бярнштэйна, з двух няроўнасцей  і  вынікае, што . Аксіёма выбару эквівалентная сцвярджэнню аб тым, што для любых мностваў  і  выконваецца прынамсі адно з няроўнасцей  або .

 Звязаныя азначэнні 

 Магутнасць мноства натуральных лікаў  пазначаецца сімвалам  («алеф-нуль»). Мноства называецца бясконцым, калі яго магутнасць  (не менш магутнасці мноства натуральных лікаў), такім вобразам, злічальныя мноствы — гэта «самыя маленькія» з бясконцых мностваў. Наступныя кардынальныя лікі ў парадку нарастання пазначаюцца  (дзе індэкс прабягае усё парадкавыя лікі). Сярод кардынальных лікаў няма найбольшага: для любога мноства кардынальных лікаў існуе кардынальны лік, большы за ўсе элементы гэтага мноства.

 Пра мноствы, раўнамагутныя мноству ўсіх рэчаісных лікаў, кажуць, што яны маюць магутнасць кантынуума, і магутнасць такіх мностваў пазначаецца сімвалам  . Меркаванне аб тым, што , называецца кантынуум-гіпотэзай.

 Прыклады 

 Мноства называецца канечным, калі яно раўнамагутна адрэзку натуральнага шэрага  пры некаторым неадмоўным цэлым . Лік  абазначае колькасць элементаў канечнага мноства. Пры  мноства не змяшчае элементаў (пустое мноства). Калі , то не існуе ін'ектыўнага адлюстравання з  у  (прынцып Дырыхле), а значыць, не існуе і біекцыі між імі. Таму мноства  і  маюць розную магутнасць.

 Мноства называецца злічальным, калі яно раўнамагутна мноству ўсіх натуральных лікаў . Злічальнымі мноствамі з'яўляюцца:
 Мноства  пры любым натуральным . Адпаведнасць: . 
 Мноства . Адпаведнасць: .
 Мноства цэлых лікаў . Адпаведнасць атрымоўваецца пры супастаўленні складнікаў шэрага   яго частковымі сумам (складнікі шэрага бяруцца без учоту знака).
 Мноства пар натуральных лікаў .
 Мноства рацыянальных лікаў  ін'ектыўна адлюстроўваецца у мноства  (нескарачальнаму дробу  выгляду адпавядае пара лікаў . Таму мноства рацыянальных лікаў не больш, за злічальнае. Але паколькі яно змяшчае мноства натуральных лікаў, то яно і не менш, за злічальнае. Па тэарэме Кантара-Бярнштэйна яно злічальнае.

 Бясконцыя мноствы, нераўнамагутныя мноству , называюцца незлічальнымі. Па тэарэме Кантара незлічальным з'яўляецца мноства бясконцых паслядоўнасцей, састаўленых з лічб 0 і 1. Магутнасць гэтага мноства называется кантынуум.

 Магутнасць мноства  рэчаісных лікаў роўна кантынууму.

 Уласцівасці 

 Два канечных мноства раўнамагутныя тады і толькі тады, калі яны складаюцца з аднолькавай лічбы элементаў. Гэта значыць што для канечнага мноства паняцце магутнасці супадае з звычайным паняццем колькасці.
 Для бясконцых мностваў магутнасць мноства можа супадаць з магутнасцю свайго ўласнага падмноства, напрыклад .
 Больш таго, мноства бясконца тады і толькі тады, калі яно змяшчае раўнамагутнае ўласнае (гэта значыць яно не супадае з асноўным мноствам) падмноства.
 Тэарэма Кантара гарантуе існаванне больш магутнага мноства за любое дадзенае: Мноства ўсіх падмноств мноства A мае большую моцнасць, чым А, іначай кажучы . 
 З дапамогай кантарава квадрата можна таксама даказаць наступнае прыдатнае сцвярджэнне: дэкартаў  здабытак бясконцага мноства A з самім сабой раўнамагутны A.

 Літаратура 

 Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948.

Катэгорыя:Тэорыя мностваў