Ізамарфізм

213x213пкс210x210пксПрыклад двух ізаморфных графаў. Ізамарфізм ставіць у адпаведнасць вяршыням аднаго графа вяршыні іншага графа таго ж колеру: дзве вяршыні злучаныя рэбрам у адным графе тады і толькі тады, калі вяршыні тых жа колераў злучаныя рэбрам у іншым графе.
Ізамарфізм (ад  стар.-грэч.:  ἴσος.  — «роўны, аднолькавы, падобны» і μορφή — «форма») — гэтае вельмі агульнае паняцце, якое азначаецца па-рознаму ў розных раздзелах матэматыкі. Ізамарфізм азначаецца для мностваў, надзеленых некаторай структурай (напрыклад, для груп, кольцаў, вектарных прастор і г. д.).
У агульных рысах яго можна апісаць так: абарачальнае адлюстраванне (біекцыя) між двума мноствамі, надзеленымі структурай, называецца ізамарфізмам, калі яно захоўвае гэтую структуру.
Калі між такімі структурамі існуе ізамарфізм, то яны называюцца ізаморфнымі. Ізамарфізм заўжды задае дачыненне эквівалентнасці на класе такіх структур.

Так, напрыклад, два графа называюцца ізаморфнымі, калі паміж імі існуе ізамарфізм: гэта значыць вяршыням аднаго графа можна супаставіць вяршыні іншага графа, так каб злучаным вяршыням першага графа адпавядалі злучаныя вяршыні другога графа і наадварот. Іначай кажучы, два графа ізаморфны, калі яны «аднолькавыя» (з дакладнасцю да перайменавання вяршынь).

У агульным выпадку, аб’екты, паміж якімі існуе ізамарфізм, з’яўляюцца «аднолькава упарадкаванымі» у сэнсе гэтай структуры.

Іншым класічным прыкладам ізаморфных сістэм могуць служыць мноства  усіх рэчаісных лікаў з акрэсленай на ім аперацыяй складання і мноства  дадатніх рэчаісных лікаў з зададзенай на ім аперацыяй множання. Адлюстраванне  у гэтым выпадку з’яўляецца ізамарфізмам.

 Агульная алгебра 
У агульнай алгебры ізамарфізмам называецца абарачальнае адлюстраванне, якое з’яўляецца гомамарфізмам. Ніжэй прыводзяцца некалькі прыкладаў.

 Групы 
Няхай

і   — дзве групы. Біекцыя  называецца ізамарфізмам, калі для любых 
 .

Калі група з’яўляецца тапалагічнай, дадаецца умова гамеаморфнасці адпаведных тапалагічных прастор.

 Палі 
Няхай  і   — палі. Біекцыя  называецца ізамарфізмам, калі яна захоўвае абедзве аперацыі поля, гэта значыць для любых  выконваецца

 ,
 .

Прыклад. Фактар-кальцо для кальца паліномаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі  па модулю палінома  з’яўляецца полем, ізаморфным полю камплексных лікаў 


Для палёў з дадатковай структурай (упарадкаваныя, тапалагічныя палі і г.д.) можа дабавіцца умова, што біекцыя захоўвае таксама гэтыя дадатковыя структуры.

 Тэорыя мностваў 
У тэорыі мностваў кожная біекцыя з’яўляецца ізамарфізмам.

На прыклад, два часткова упарадкаваных мноства ізаморфны, калі паміж імі ёсць біекцыя,  якая захоўвае парадак.

 Ізамарфізм у тэорыі катэгорый 
У тэорыі катэгорый ізамарфізм гэта абарачальны марфізм, гэта значыць марфізм , для якога існуе такі марфізм 
, што кампазіцыі  и  — тоесныя марфізмы. Азначэнні катэгорыі груп, катэгорыі кольцаў, катэгорыі вектарных прастор і іншых структур будуюцца такім чынам, што класічныя азначэнні ізамарфізма груп, кольцаў, вектарных прастор супадаюць з агульным азначэннем у катэгорыі.

 Тэорыя графаў 
Граф  называецца ізаморфным графу , калі існуе біекцыя  з мноства вяршынь графа  у мноства вяршынь графа 
, якая мае наступную уласцівасць: калі ў графе  ёсць рэбра з вяршыні  у вяршыню , то ў графе  павінна быць рэбра з вяршыні  у вяршыню  і наадварот — калі ў графе  ёсць рэбра з вяршыні  у вяршыню , то ў графе  павінна быць рэбра з вяршыні 
у вяршыню . У выпадку арыентаванага графа гэтая биекция таксама павінна захоўваць арыентацыю рэбра. У выпадку ўзважанага графа біекцыя таксама павінна захоўваць вагу рэбра.

 Звязанные азначэнні 
Ізамарфізм алгебраічнай сістэмы на сябе называецца аўтамарфізмам.

 Літаратура 
 Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. СПб.: Лань, 2004, 624 стр., ISBN 5-8114-0552-9.

Катэгорыя:Абстрактная алгебра