Ураўненне Шродзінгера

Ураўне́нне Шро́дзінгера — лінейнае дыферэнцыяльнае ўраўненне ў частковых вытворных, якое апісвае змяненне ў прасторы (у агульным выпадку, у канфігурацыйнай прасторы) і ў часе чыстага стану, заданага хвалевай функцыяй, у гамільтанавых квантавых сістэмах.

Іграе ў квантавай механіцы такую ж важную ролю, як ураўненні Гамільтана або ўраўненне другога закона Ньютана у класічнай механіцы, або ўраўненні Максвела для электрамагнітных хваль.

Сфармулявана Эрвінам Шродзінгерам у 1925 годзе, апублікавана ў 1926 годзе. Ураўненне Шродзінгера не выводзіцца, а пастуліруецца метадам аналогіі з класічнай оптыкай, на аснове абагульнення эксперыментальных дадзеных.

Ураўненне Шродзінгера апісвае часціцы без спіна, якія рухаюцца са скарасцямі, шмат меншымі за скорасць святла. У выпадку хуткіх часціц і часціц са спінам выкарыстоўваюцца яго абагульненні (, ураўненне Паўлі, ураўненне Дзірака і інш.)

 Гісторыя 
У пачатку XX ст. навукоўцы прыйшлі да высновы, што паміж прадказаннямі класічнай тэорыі і эксперыментальнымі дадзенымі аб атамнай структуры існуе шэраг разыходжанняў. Адкрыццё ўраўнення Шродзінгера адбылося ўслед за рэвалюцыйнай здагадкай дэ Бройля, што не толькі святло, але і наогул любыя целы (у тым ліку і любыя мікрачасціцы) валодаюць хвалевымі ўласцівасцямі.

Гістарычна канчатковай фармулёўцы ўраўнення Шродзінгера папярэднічаў працяглы перыяд развіцця фізікі.

Само ўраўненне сфармулявана Эрвінам Шродзінгерам у 1925 годзе, апублікавана ў 1926 годзе.

 Агляд 

 Залежнае ад часу ўраўненне 
Найбольш агульная форма ўраўнення Шродзінгера — гэта форма, якая ўключае залежнасць ад часу:

дзе  — уяўная адзінка;  — прыведзеная пастаянная Планка, роўная ; сімвал  абазначае частковую вытворную па часу ;  — хвалевая функцыя квантавай сістэмы;  —  (які характарызуе поўную энергію сістэмы).

Прыклад нерэлятывісцкага ўраўнення Шродзінгера ў каардынатным прадстаўленні для кропкавай часціцы масы , якая рухаецца ў патэнцыяльным полі з патэнцыялам :

У апошнім ураўненні гамільтаніян . Сімвалам  абазначаны лапласіян (дыферэнцыяльны аператар).

 Стацыянарнае ўраўненне 
Нестацыянарнае (залежнае ад часу) ураўненне Шродзінгера, апісанае вышэй, прадказвае, што хвалевыя функцыі могуць утвараць стаячыя хвалі, якія называюцца  (таксама называюцца «арбіталямі», як атамныя і ). Гэтыя станы асабліва важныя, бо іх асобнае вывучэнне спрашчае пазней задачу рашэння нестацыянарнага ўраўнення Шродзінгера для любога стану. Стацыянарныя станы можна таксама апісаць больш простай формай ураўнення Шродзінгера, т.зв. стацыянарным ураўненнем Шродзінгера.

дзе  — пастаянная, роўная поўнай энергіі сістэмы.

Гэта ўраўненне выкарыстоўваецца толькі, калі  сам не залежыць яўна ад часу. Аднак, нават у гэтым выпадку поўная хвалевая функцыя ўсё яшчэ залежыць ад часу.

Словамі ўраўненне можна сфармуляваць так:
 Калі Гамільтанаў аператар дзейнічае на некаторую хвалевую функцыю , і вынік прапарцыянальны гэта жа хвалевай функцыі , тады  — , і пастаянная прапарцыянальнасці  ёсць энергія гэтага стану .
У тэрмінах лінейнай алгебры, гэта ўраўненне з’яўляецца характарыстычным ураўненнем аператара Гамільтана, і ў гэтым сэнсе хвалевая функцыя з’яўляецца  аператара Гамільтана.

Як і вышэй, найбольш распаўсюджаны прыклад — нерэлятывісцкае ўраўненне Шродзінгера для адзіночнай часціцы, якая рухаецца ў электрычным полі (але не ў магнітным):

дзе абазначэнні супадаюць з уведзенымі раней.

 Некаторыя ўласцівасці 
Паколькі квантавая тэорыя не патрабуе поўнага адмаўлення ад законаў Ньютана, а толькі вызначае межы прымянімасці класічнай фізікі, то ўраўненне Шродзінгера павінна ўзгадняцца з законамі Ньютана ў «гранічным выпадку».

Сярэднія значэнні механічных велічынь для хвалевага пакета, які можна апісаць ураўненнем Шродзінгера, задавальняюць класічным ураўненням Гамільтана (тэарэма Эрэнфеста).

Ураўненне Шродзінгера інварыянтнае адносна пераўтварэнняў Галілея. З гэтага факта выцякае шэраг важных вынікаў: існаванне рада аператараў квантавай механікі, звязаных з пераўтварэннямі Галілея, немагчымасць апісання станаў са спектрам мас або нестабільныя элементарныя часціцы ў нерэлятывісцкай квантавай механіцы (), існаванне квантавамеханічных інварыянтаў, спароджаных пераўтварэннем Галілея.

Ураўненне Шродзінгера з’яўляецца больш складаным у параўнанні з ураўненнямі Гамільтана класічнай механікі. Ураўненні Гамільтана з’яўляюцца сістэмай звычайных дыферэнцыяльных ураўненняў першага парадку, а ўраўненне Шродзінгера з’яўляецца дыферэнцыяльным ураўненнем ў частковых вытворных.

Ураўненне Шродзінгера, як і ўраўненні Гамільтана, з’яўляецца ўраўненнем першага парадку па часе. Яно з’яўляецца матэматычным выразам прынцыпу статыстычнага дэтэрмінізму ў квантавай механіцы — дадзены стан сістэмы вызначае яе наступны стан не адназначна, а толькі з пэўнай імавернасцю, заданай пры дапамозе хвалевай функцыі .

Ураўненне Шродзінгера лінейнае, гэта значыць, калі хвалевыя функцыі  і  задавальняюць ураўненню Шродзінгера, то яму задавальняе любая іх лінейная камбінацыя , дзе  і  — камплексныя лікі. З прычыны гэтага лінейная суперпазіцыя хвалевых функцый не парушаецца ўраўненнем Шродзінгера, і патрэбна аперацыя вымярэння для рэдукцыі хвалевай функцыі. Лінейнасць аператара Шродзінгера з’яўляецца вынікам і абагульненнем прынцыпу суперпазіцыі, які важны для карэктнай фармулёўкі паняцця аперацыі вымярэння.

Для ўсіх квантавых сістэм, якія займаюць абмежаваныя вобласці прасторы, рашэнні ўраўнення Шродзінгера існуюць толькі для злічальнага мноства значэнняў энергіі  і ўяўляюць сабой злічальнае мноства хвалевых функцый , члены якога нумаруюцца наборам квантавых лікаў .

 Абмежаванні прымянімасці 
Ураўненне Шродзінгера не можа растлумачыць , бо хвалевая функцыя ўзбуджанага стану з’яўляецца дакладным рашэннем залежнага ад часу ўраўнення Шродзінгера.

Ураўненне Шродзінгера не можа апісваць працэс  ў квантавай механіцы, бо яно лінейнае, дэтэрміністычнае і абарачальнае ў часе, а працэс вымярэння нелінейны, стахастычны і неабарачальны ў часе.

Паводле , у нерэлятывісцкай квантавай механіцы нельга апісваць станы са спектрам мас ці нестабільныя элементарныя часціцы.

 Фармулёўка 

 Агульны выпадак 
У квантавай фізіцы ўводзіцца камплексназначная функцыя , якая апісвае чысты стан аб’екта і называецца хвалевай функцыяй. У найбольш распаўсюджанай капенгагенскай інтэрпрэтацыі гэтая функцыя звязана з імавернасцю выяўлення аб’екта ў адным з чыстых станаў (квадрат модуля хвалевай функцыі ўяўляе сабой шчыльнасць імавернасці). Паводзіны гамільтанавай сістэмы ў чыстым стане поўнасцю апісваюцца з дапамогай хвалевай функцыі.

Адмовіўшыся ад апісання руху часціцы з дапамогай траекторый, якія атрымліваюцца з законаў дынамікі, і вызначыўшы замест гэтага хвалевую функцыю, неабходна ўвесці ў разгляд ураўненне, якое эквівалентнае законам Ньютана і дае рэцэпт для знаходжання  у розных фізічных задачах. Такім ураўненнем з’яўляецца ўраўненне Шродзінгера.

Няхай ёсць сістэма  нерэлятывісцкіх часціц, і -я часціца з масай  размешчана ў пункце, які зададзены радыусам-вектарам .

Аператар Гамільтана для такой сістэмы часціц мае выгляд:


дзе
  — прыведзеная пастаянная Планка (пастаянная Дзірака); тут  — пастаянная Планка;
  — маса -й часціцы;
  — поўная патэнцыяльная энергія сістэмы часціц з радыусамі-вектарамі  у момант часу ;
  — аператар Лапласа (ці лапласіян), у якім дыферэнцыраванне праводзіцца па каардынатах -й часціцы, і які ў дэкартавых каардынатах выглядае так:


Хвалевая функцыя сістэмы  часціц з’яўляецца функцыяй ад становішча  кожнай часціцы і ад часу .
Таму хвалевая функцыя бярэцца ў выглядзе 

Такім чынам, для сістэмы  часціц ураўненне Шродзінгера запішацца ў выглядзе:

дзе  — поўная патэнцыяльная энергія сістэмы часціц, якая складаецца з асобных патэнцыяльных энергій узаемадзеяння часціц са знешнім полем і між сабою:


 Нестацыянарнае ўраўненне для адзіночнай часціцы
У выпадку адзіночнай часціцы ў трохмернай прасторы -функцыя з’яўляецца функцыяй трох прасторавых каардынат і часу.
У дэкартавай сістэме каардынат дзеянне аператара Лапласа на функцыю  выглядае наступным чынам


У выніку, ураўненне Шродзінгера для адной часціцы ў дэкартавых каардынатах прыме выгляд:


дзе ,  — пастаянная Планка;  — маса часціцы,  — патэнцыяльная энергія часціцы ў кропцы  у момант часу .

 Стацыянарнае ўраўненне Шродзінгера 
Час уваходзіць ва ўраўненне Шродзінгера толькі праз першую вытворную па часе і праз магчымую залежнасць патэнцыялу знешняга поля ад часу. Калі знешняе поле, якое дзейнічае на часціцы сістэмы, можна лічыць пастаянным у часе, то рашэнне ўраўнення Шродзінгера павінна быць нескладанай функцыяй адносна часавай пераменнай .
Форма ўраўнення Шродзінгера паказвае, што адносна часу яго рашэнне павінна быць простым, паколькі час уваходзіць у гэта ўраўненне толькі праз першую вытворную ў правай частцы.

Сапраўды, можна паказаць, што  ў выпадку, калі  не з’яўляецца функцыяй часу, можна запісаць у выглядзе:



дзе функцыя  для сістэмы  нерэлятывісцкіх часціц (з масамі ) павінна задавальняць ураўненню:

якое атрымліваецца з нестацыянарнага ўраўнення Шродзінгера пры падстаноўцы ў яго названага вышэй асобнага рашэння для . Заўважым, што апошняе ўраўненне наогул не ўтрымлівае часу; у сувязі з гэтым яно называецца стацыянарным ураўненнем Шродзінгера (г.зн. ураўненне Шродзінгера, якое не змяшчае часу).

 Стацыянарнае ўраўненне для адзіночнай часціцы

Для адзіночнай часціцы (з масай ) хвалевая функцыя  павінна задавальняць ураўненню:

якое ў дэкартавых каардынатах прынімае выгляд


 Агульнае рашэнне для стацыянарнага патэнцыялу

Няхай функцыя патэнцыяльнай энергіі  не залежыць ад часу.
Няхай  ёсць рашэнне стацыянарнага ўраўнення Шродзінгера для значэння . Тады функцыя

з’яўляецца асобным рашэннем часавага (нестацыянарнага) ураўнення Шродзінгера і апісвае стан з дакладна вызначанай поўнай энергіяй .

Агульнае рашэнне ўяўляе сабой  ўсіх асобных рашэнняў :

дзе сума бярэцца па ўсіх значэннях , для якіх існуе фізічна дапушчальнае рашэнне  стацыянарнага ўраўнення Шродзінгера, а  — пастаянныя камплексныя лікі (якія называюцца амплітудамі і вылічаюцца з умоў канкрэтнай задачы).

Фізічны сэнс: агульнае рашэнне апісвае стан з нявызначанай энергіяй, які з'яўляецца сумессю () станаў з энергіямі  (для якіх амплітуды ).

 Ураўненне Шродзінгера ў электрамагнітным полі 
Гамільтаніян нерэлятывісцкай бясспінавай часціцы з масай  і зарадам  ў электрамагнітным полі, заданым   і , выглядае так:

дзе  — . Патэнцыял электрычнага поля — скалярны і ўваходзіць як звычайны складнік .

Адсюль атрымліваецца ўраўненне Шродзінгера ў магнітным полі, якое апісвае такую часціцу:


Гэта ўраўненне і выраз для гамільтаніяна запісаныя ў Гаусавай сістэме адзінак. У сістэме СІ каэфіцыент пры  роўны не , а .

 Метады рашэння ўраўнення Шродзінгера 
 Аналітычны метад. Рашэнне шукаецца ў выглядзе дакладнага матэматычнага выразу. Гэты метад прыдатны толькі ў нешматлікіх найпрасцейшых выпадках (, лінейны асцылятар, патэнцыяльная яма з бесканечна высокімі сценкамі і пад.).
 . Аператар Гамільтана разглядаецца як сума двух складнікаў. Адзін з іх разглядаецца як няўзбураны аператар, які мае дакладнае аналітычнае рашэнне. Другі складнік разглядаецца як малая ўзбураючая дабаўка да яго. Пры стацыянарным узбурэнні рашэнне заключаецца ў раскладанні ўласных значэнняў і ўласных функцый у рад па ступенях малой пастаяннай узбурэння і ў знаходжанні прыбліжанага рашэння сістэмы атрыманых ураўненняў. Пры нестацыянарным узбурэнні хвалевая функцыя шукаецца ў выглядзе лінейнай камбінацыі ўласных хвалевых функцый з каэфіцыентамі, якія залежаць ад часу.
 . Прымяняецца для рашэння стацыянарнага ўраўнення Шродзінгера. Вызначаюцца экстрэмальныя значэнні сярэдняй поўнай энергіі сістэмы пры дапамозе вар’іравання параметраў некаторай пробнай функцыі.
 .
 .

 Аналогіі і сувязі з іншымі ўраўненнямі 
Ураўненні Максвела для электрамагнітных хваль у пустой прасторы

можна шляхам увядзення новай камплекснай велічыні , якая аналагічная хвалевай функцыі ва ўраўненні Шродзінгера, пераўтварыць у адно ўраўненне

падобнае на ўраўненне Шродзiнгера.

Ураўненне Шродзінгера падобнае з ураўненнямі цеплаправоднасці і дыфузіі класічнай фізікі тым, што яно з’яўляецца ўраўненнем першага парадку па часе, і адрозніваецца ад іх наяўнасцю ўяўнага каэфіцыента перад . Дзякуючы гэтаму множніку яно можа мець і перыядычныя рашэнні.

Ураўненне Шродзінгера можна атрымаць з прынцыпу найменшага дзеяння, разглядаючы як 

некаторай варыяцыйнай задачы, у якой шчыльнасць лагранжыяна мае выгляд:


 Навадныя меркаванні 
Да ўраўнення Шродзінгера можна прыйсці, абапіраючыся на адпаведнасць паміж класічнай механікай і геаметрычнай оптыкай. Паняццям матэрыяльнага пункта, траекторыі, скорасці, патэнцыяльнай энергіі, энергіі, варыяцыйнаму  ў класічнай
механіцы адпавядаюць паняцці , прамяня, групавой скорасці, фазавай скорасці (паказчык пераламлення), частаты,
варыяцыйнага прынцыпу Ферма ў геаметрычнай оптыцы.

Варыяцыйнаму прынцыпу Маперцюі ў класічнай механіцы

  (1)

адпавядае варыяцыйны прынцып Ферма ў оптыцы

  (2)

Тут  — поўная энергія,  — патэнцыйная энергія,  — фазавая скорасць. Траекторыя у класічнай механіцы адпавядае прамяню святла ў оптыцы, калі

  (3)

Хвалевы пакет можна прадставіць у выглядзе



Для максімуму пакета справядліва роўнасць:



З гэтай роўнасці вынікае, што . У класічнай механіцы гэтаму адпавядае роўнасць . З гэтых двух выразаў атрымліваецца формула для групавой скорасці:

  (4)

Тады ўмову роўнасці скорасці матэрыяльнай кропкі і групавой скорасці хвалевага пакета можна запісаць у выглядзе:

  (5)

Адсюль, скарыстаўшы (3), атрымліваем:


Параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях , знаходзім:

Першае з іх дае , тады з другога вынікае

Фазавая скорасць хвалі  залежыць ад частаты :

  (6)

Монахраматычная хваля з фазавай скорасцю  задавальняе ўраўненню

  (7)

Асобнае рашэнне гэтага ўраўнення мае выгляд:

  (8)

дзе  — частата хвалі. Падставіўшы рашэнне (8) ва ўраўненне (7), атрымліваем:

  (9)

Падстаўляючы (6) у (9), атрымліваем:

  (10)

З ураўнення (8) атрымліваем:

  (11)

Падстаўляючы (11) у (10), атрымліваем залежнае ад часу ўраўненне Шродзінгера (12):

  (12)

 Абагульненні 
 Ураўненне Дзірака
 Ураўненне Паўлі



 Гл. таксама 
 Хвалевая функцыя
 Тэарэма Эрэнфеста


 Крыніцы 

 Літаратура 
 Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976.
 Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. : Изд-во МГУ, 1983. 392 с.


















 Спасылкі 

 Сферычна сіметрычныя станы электрона ў атаме вадароду 

Катэгорыя:Квантавая механіка
Шродзінгера ўраўненне
Шродзінгера ўраўненне