Падобнасць (геаметрыя)

Падобнасць — ператварэнне эўклідавай прасторы, пры якім для любых двух пунктаў ,  і іх выяў,  маюць месца суадносіны ,
дзе  — не роўны нулю лік, што завецца каэфіцыентам падобнасці.

 Адкрыццё 

Вучэнне пра падобнасць фігур было створана ў Старажытнай Грэцыі у V—IV стст. да н.э. працамі Гіпакрата Хіяскага, Архіта Тарэнцкага, Яўдокса Кнідскага і інш. Яно выкладзена ў VI кнізе «Пачаткаў» Эўкліда.

 Прыклады 
 Кожная гаматэтыя з'яўляецца падобнасцю.
 Кожны рух (у тым ліку і тоесны) таксама можна разглядаць як ператварэнне падобнасці з каэфіцыентам .

 Звязаныя вызначэнні 
 Фігура  завецца падобнай фігуры , калі існуе ператварэнне падобнасці, пры якім .
 Падобнасць фігур з'яўляецца дачыненнем эквівалентнасці.

 Уласцівасці 
 Падобнасць ёсць ўзаемна адназначным адлюстраваннем эўклідавай прасторы на сябе.
 Падобнасць захоўвае парадак пунктаў на простай, то бок калі пункт  ляжыць паміж пунктамі ,  і , ,  — адпаведныя іх выявы пры некаторай падобнасці, то  таксама ляжыць паміж пунктамі  і .
 Пункты, што не ляжаць на простай, пры кожнай падобнасці пераходзяць у пункты, што не ляжаць на адной простай.
 Падобнасць ператворыць простую ў простую, адрэзак у адрэзак, прамень у прамень, вугал у вугал, акружнасць у акружнасць.
 Пры падобнасці вугал захоўвае велічыню.
 Падобнасць з каэфіцыентам , што пераўтварае кожную простую ў паралельную ёй простую, з'яўляецца гаматэтыяй з каэфіцыентам  ці .
 Кожную падобнасць можна разглядаць як кампазіцыю руху  і некаторай гаматэтыі   з дадатным каэфіцыентам.
 Падобнасць завецца уласнай (няўласнай), калі рух  з'яўляецца ўласным (няўласным). Уласная падобнасць захоўвае арыентацыю фігур, а няўласная — змяняе арыентацыю на процілеглую.
 Два трохвугольніка з'яўляюцца падобнымі, калі
 іх адпаведныя вуглы роўныя, ці
 бакі сумерныя. Гл. таксама Прыкметы падобнасці трохвугольнікаў.
 Плошчы падобных фігур сумерныя квадратам іх адпаведных ліній (прыкладам, бакоў). Так, плошчы кругоў сумерныя адносінам квадратаў іх дыяметраў (ці радыусаў).

 Абагульненні 
Аналагічна вызначаецца падобнасць (з захаваннем указаных вышэй уласцівасцей) у 3-мернай эўклідавай прасторы, а таксама ў n-мернай эўклідавай і псеўдаэўклідавай прасторах.

У метрычных прасторах гэтак жа, як у -мерных рыманавых, псеўдарыманавых і фінслеравых прасторах падобнасць вызначаецца як ператварэнне, што перакладае метрыку прасторы ў сябе з дакладнасцю да пастаяннага множніка.

Сукупнасць усіх падабенстваў n-мернай эўклідавай, псеўдаэўклідавай, рыманавай, псеўдарыманавай ці фінслеравай прасторы складае -складовую групу ператварэнняў Лі, якая завецца групай падобных (гаматэтычных) ператварэнняў адпаведнай прасторы. У кожнай з прастор указаных тыпаў -складовая група падобных ператварэнняў Лі ўтрымвае -складовую нармальную падгрупу рухаў.

Абазначэнне
Для абазначэння падобнасці выкарыстоўваецца значок ~.

 Гл. таксама 
 Кангруэнтнасць, геаметрыя
 Канформавае адлюстраванне
 Прыкметы падобнасці трохвугольнікаў
 Сіметрыя
 Сама-падобнасць

 Літаратура 



 Спасылкі 
 Роўнасць і падобнасць геаметрычных фігур

Катэгорыя:Матэматычныя адносіны
Катэгорыя:Планіметрыя
Катэгорыя:Ператварэнні прасторы