Формула Эйлера

Формула Эйлера звязвае камплексную экспаненту з трыганаметрычнымі функцыямі. Названа ў гонар Леанарда Эйлера, які яе ўвёў.

Формула Эйлера сцвярджае, што для любога камплекснага ліку (рэчаіснага ў прыватнасці)  выконваецца наступная роўнасць:
 ,
дзе
  — адна з найважнейшых матэматычных пастаянных, вызначаная наступнай формулай: ,
  — уяўная адзінка.

 Гісторыя 
Формула Эйлера ўпершыню была прыведзена ў артыкуле англійскага матэматыка Роджэра Котса (памочніка Ньютана) «Лагаметрыя» (), апублікаваным у часопісе «Філасофскія працы Каралеўскага таварыства» ў 1714 годзе  і перадрукавана ў кнізе «Гармонія мер» (), якая была выдадзена ў 1722 годзе, ужо пасля смерці аўтара. Котс прывёў яе як невялікае сцвярджэнне сярод мноства геаметрычных пабудоў, якое пасля перакладу на сучасную матэматычную мову і выпраўлення памылкі ў знаку, мае выгляд:


Эйлер апублікаваў формулу ў яе звыклым выглядзе ў артыкуле 1740 года і ў кнізе «Уводзіны ў аналіз бесканечна малых» () (1748), пабудаваўшы доказ на роўнасці бесканечных раскладанняў у ступенныя рады правай і левай частак. Ні Эйлер, ні Котс не ўяўлялі сабе геаметрычнага вытлумачэння формулы: уяўленне аб камплексных ліках як кропках на камплекснай плоскасці з’явілася прыкладна на 50 год пазней у К. Веселя.

 Вытворныя формулы 
З дапамогай формулы Эйлера можна вызначыць функцыі  і  наступным чынам:



Далей можна ўвесці паняцце трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Няхай , тады:



Вядомая тоеснасць Эйлера, якая звязвае пяць фундаментальных матэматычных канстант:

з’яўляецца асобным выпадкам формулы Эйлера пры .

 Прымяненне ў камплексным аналізе 
Дзякуючы формуле Эйлера з’явіўся так званы трыганаметрычны і паказчыкавы запіс камплекснага ліку:


Таксама значным вынікам можна лічыць формулы ўзвядзення камплекснага ліку ў адвольную ступень:
 , 
Геаметрычны сэнс дадзенай формулы наступны: пры ўзвядзенні ліку  ў ступень  яго адлегласць да цэнтра ўзводзіцца ў ступень , а вугал павароту адносна восі  павялічваецца ў  разоў.

Формула ўзвядзення ў ступень верная не толькі для цэлых , але і для рэчаісных. У прыватнасці, паказчыкавы запіс ліку дазваляе знаходзіць карані любой ступені з любога камплекснага ліку.

 Узаемасувязь з трыганаметрыяй 
Формула Эйлера выяўляе сувязь паміж матэматычным аналізам і трыганаметрыяй, а таксама дазваляе інтэрпрэтаваць функцыі сінуса і косінуса як узважаныя сумы экспаненцыяльнай функцыі:




Вышэйпрыведзеныя ўраўненні можна атрымаць складваючы ці аднімаючы формулы Эйлера:





з наступным рашэннем адносна сінуса ці косінуса.

Таксама гэтыя формулы могуць служыць вызначэннем трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Напрыклад, робячы падстаноўку x = iy, атрымліваем:





Камплексныя экспаненты дазваляюць спрасціць трыганаметрычныя разлікі, бо імі прасцей маніпуляваць, чым сінусоіднымі кампанентамі. Адзін з падыходаў прадугледжвае пераўтварэнне сінусоід ў адпаведныя экспаненцыяльныя выразы. Пасля спрашчэння вынік выразу застаецца рэчаісным. Напрыклад:



Сутнасць іншага падыходу ў прадстаўленні сінусоід ў якасці рэчаісных частак камплекснага выразу і правядзення маніпуляцый непасрэдна з камплексным выразам. Напрыклад:



Гэта формула выкарыстоўваецца для рэкурсіўнага вылічэння значэнняў cos(nx) для цэлых значэнняў n і адвольных значэнняў x (у радыянах).

 Доказ 
Доказ формулы Эйлера можна правесці з выкарыстаннем рада Маклорэна. Раскладзём функцыю  у рад Маклорэна ў наваколлі кропкі a = 0 па ступенях . Атрымаем:

Але

Таму , што і трэба было даказаць.

 Паказчыкавая форма камплекснага ліку 
Паказчыкавая і трыганаметрычная формы камплексных лікаў звязаныя паміж сабой формулай Эйлера.

Няхай камплексны лік  у трыганаметрычнай форме мае выгляд . Згодна з формулай Эйлера выраз у дужках можна замяніць на паказчыкавы выраз. У выніку атрымаем:


Гэты запіс называецца паказчыкавай формай камплекснага ліку. Гэтак жа, як і ў трыганаметрычнай форме, тут  , .

 Гл. таксама 
 Формула Муаўра
 Спіс аб'ектаў, названых у гонар Леанарда Эйлера

 Зноскі 

 Літаратура 
 Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщённых синуса и косинуса // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Орёл, 2006. С. 35—37. 



 Спасылкі 


Катэгорыя:Трыганаметрыя
Катэгорыя:Камплексны аналіз
Катэгорыя:Леанард Эйлер