Размеркаванне Пуасона

Размеркава́нне Пуасо́на — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей выпадковай велічыні з цэлалікавымі неадмоўнымі значэннямі, якое апісвае імавернасць здарэння пэўнай колькасці падзей за акрэслены прамежак часу пры ўмове, што падзеі здараюцца з нязменнай сярэдняй частатой і незалежна ад таго, калі здарылася папярэдняя падзея.

Напрыклад, кругласутачны кол-цэнтр прымае ў сярэднім 180 званкоў на гадзіну. Званкі незалежныя, то бок тое, калі здарыцца наступны званок не залежыць ад таго, калі быў папярэдні, і імавернасць атрымаць званок не залежыць ад часу дня. Тады колькасць званкоў, атрыманых за хвіліну, будзе мець размеркаванне Пуасона з частатой 3. Хутчэй за ўсё за хвіліну будзе 2 ці 3 званкі, але 1 ці 4 таксама верагодныя значэнні. Ёсць невялікая імавернасць атрымаць 0 званкоў і зусім маленькая таго, што іх будзе 10 ці больш.

 Гісторыя 
Размеркаванне атрымана Сімеонам Дэні Пуасонам у 1873 годзе пры вывядзенні прыбліжанай формулы біномнага размеркавання для вялікага ліку выпрабаванняў. У сваёй працы Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (1837) ён разважаў над колькасцю несправядлівых абвінавачванняў, выкарыстоўваючы пэўныя выпадковыя велічыні , якія сярод іншага апісвалі колькасць здарэнняў цягам зададзенага прамежку часу. Аналагічны вынік ужо быў атрыманы ў 1711 годзе Абрахамам дэ Муаўрам у De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus. Такім чынам, назва размеркавання — прыклад выканання , і некаторыя аўтары сцвярджаюць, што размеркаванне мусіць мець імя дэ Муаўра.

У 1860 годзе  выкарыстаў размеркаванне Пуасона для ацэнкі колькасці зорак на адзінку прасторы. У 1898 годзе  прымяняў размеркаванне каб даведацца колькі салдат прускай арміі гіне выпадкова ад конскіх удараў На старонцы 1 Барткевіч апісвае размеркаванне Пуасона.
 На старонках 23-25, Барткевіч прыводзіць прыклад «4. Beispiel: Die durch Schlag eines Pferdes im preußischen Heere Getöteten.» [4. Прыклад: Забітыя конскім ударам салдаты Прускай арміі.].

 Азначэнне 

Кажуць, што дыскрэтная выпадковая велічыня  мае размеркаванне Пуасона з параметрам  калі яе функцыя імавернасці мае выгляд:

дзе
  — колькасць здарэнняў падзеі ()
  — лік Эйлера ()
  — фактарыял.

 Вывядзенне 
Каб вывесці функцыю імавернасці размеркавання Пуасона, увядзём функцыю  — імавернасць таго, што за прамежак часу даўжынёй  (у некаторых адзінках вымярэння, што неістотна для вывядзення) адбудзецца  падзей, пры гэтым падзеі незалежныя.

Разаб’ём прамежак на часткі  настолькі маленькія, што імавернасцю здарэння дзвюх ці больш падзей за  можна пагрэбаваць  Пры гэтым дапусцім, што  а  Гэта значыць, што за час  здараецца ў сярэднім  падзей, то бок  выконвае ролю частаты.

Каб атрымаць функцыю імавернасці размеркавання Пуасона, трэба знайсці  — імавернасць здарэння  падзей за адзінку часу. Для пачатку можна знайсці  і метадам матэматычнай індукцыі абагульніць гэты вынік на іншыя .

Карыстаючыся незалежнасцю падзей, заўважым, што


Перапішам гэтую роўнасць наступным чынам:



Пераходзячы цяпер да ліміту  атрымліваем дыферэнцыяльнае раўнанне


Развязаць раўнанне можна праінтэграваўшы абедзве часткі:


Імавернасць таго, што ніводнай падзеі не здарыцца за нулявы прамежак часу роўная 1, то бок павінна выконвацца   Падстаўляючы  у развязанне дыферэнцыяльнага раўнання і карыстаючыся ўмовай, знаходзім  Такім чынам, 

Цяпер разгледзім выпадак  Існуе два варыянты, пры якіх за інтэрвал  можа здарыцца  падзей:
 за інтэрвал  здарылася  падзей, і ніводнай за 
 за інтэрвал  здарылася  падзея, і адна за 

Запішам гэта ў выглядзе роўнасці і пераўтворым у дыферэнцыяльнае раўнанне аналагічна папярэдняму выпадку:




Дамножым абедзве часткі на  і скарыстаемся  для вытворных:




Выкарыстоўваючы гэтае раўнанне, прыменім метад матэматычнай індукцыі. Дапусцім, . Справядлівасць гэтага сцверджання ўжо прадэманстравана для  што дае нам базу індукцыі.

Для 




Заўважым, што павінна выконвацца роўнасць  таму  Такім чынам, крок індукцыі даказаны, а значыць  мае месца для ўсіх цэлых 

Для адзінкі часу  атрымліваем  — функцыю імавернасці размеркавання Пуасона.

 Характарыстыкі 

 Матэматычнае спадзяванне 
Матэматычнае спадзяванне размеркавання Пуасона можна знайсці, скарыстаўшыся адным з азначэнняў паказнікавай функцыі:



 Дысперсія 
Каб знайсці дысперсію, спачатку падлічым матэматычнае спадзяванне квадрата выпадковай велічыні з размеркаваннем Пуасона:



Цяпер скарыстаемся формулай для дысперсіі:


 Выкарыстанне 
У тэарэтыка-імавернасных мадэлях размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца як прыбліжанае і як дакладнае размеркаванне.

Напрыклад, калі пры  незалежных выпрабаваннях падзеі  назіраюцца з аднолькавай малой імавернасцю , то імавернасць адначасовага ажыццяўлення якіх-небудзь  падзей прыбліжана выражаецца функцыяй  (гл. тэарэма Пуасона).
У прыватнасці, такая мадэль добра апісвае працэс радыеактыўнага распаду і іншыя фізічныя з’явы.

Як дакладнае, размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца ў тэорыі выпадковых працэсаў, напрыклад, пры разліку нагрузкі ліній сувязі, дзе мяркуюць, што колькасці выклікаў на працягу неперасякальных інтэрвалаў часу ёсць незалежныя выпадковыя велічыні, якія падпарадкоўваюцца размеркаванню Пуасона.

 Літаратура 
 Пуасона размеркаванне //  С. 114—115.

Пуасона