Дыфракцыя Фрэнеля

Дыфракцыя Фрэнеля — дыфракцыйная карціна, якая назіраецца на невялікай адлегласці ад перашкоды, ва ўмовах, калі асноўны ўнёсак у інтэрферэнцыйную карціну даюць межы экрана.

 Дыфракцыя Фрэнеля: Дыфракцыя Фраўнгофера:

На малюнку схематычна намаляваны (злева) непразрысты экран з круглай адтулінай (апертура), злева ад якой размешчана крыніца святла. Выява фіксуецца на іншым экране — справа. З прычыны дыфракцыі святло, якое праходзіць праз адтуліну, разыходзіцца, таму вобласць, якая была прыцемнена па законах геаметрычнай оптыкі, будзе часткова асветленай. У вобласці, якая пры просталінейным распаўсюдзе святла была б асветленай, назіраюцца ваганні інтэнсіўнасці асвятлення ў выглядзе канцэнтрычных кольцаў.

Дыфракцыйная карціна для дыфракцыі Фрэнеля залежыць ад адлегласці паміж экранамі і ад размяшчэння крыніц святла. Яе можна разлічыць, лічачы, што кожны пункт на мяжы апертуры выпраменьвае сферычную хвалю па прынцыпу Гюйгенса. У пунктах назірання на другім экране хвалі ці ўзмацняюць адна адну, ці гасяцца ў залежнасці ад рознасці ходу, а значыць інтэрферыруюць паміж сабой. Гэты дапоўнены прынцып мае назву прынцыпу Гюйгенса-Фрэнеля.

 Інтэграл Фрэнеля 
У скалярнай тэорыі дыфракцыі размеркаванне электрычнага поля дыфрагавальнага святла у пункце (x,y,z) задаецца выразам Рэлея-Зомерфельда:



дзе ,  — уяўная адзінка, і  — косінус кута паміж кірункамі z і r. У аналітычным выглядзе гэты інтэграл прадстаўляльны толькі для найпростых геаметрый адтулін, таму ён вылічаецца звычайна лічбавымі метадамі.

 Апраксімацыя Фрэнэля 
Галоўная цяжкасць пры вылічэнні інтэграла ўяўляе сабою выраз для r. Па-першае, спросцім вылічэнні, зрабіўшы замену зменных:

Падстаўляючы гэты выраз замест r, знойдзем:

Скарыстаемся раскладаннем Тэйлара у шэраг

і выкажам r у выглядзе

Калі мы разгледзім усе члены раскладання, гэта будзе дакладным выразамНабліжэнне аднак было на папярэднім кроку, калі мы выказалі здагадку, што  рэальная хваля. У рэчаіснасці не існуе сапраўднага рашэння вектарнага раўнання Гельмгольца, толькі для скалярнага. Гл. скалярнае хвалевае набліжэнне. Падставім гэты выраз у аргумент экспанентнай функцыі пад інтэгралам; ключавую ролю ў набліжэнні Фрэнэля гуляе грэбаванне трэцім членам у раскладанні, які мяркуецца малым. Каб гэта было магчымым, ён павінен слаба ўплываць на паказчык ступені. Іншымі словамі, ён павінен быць нашмат менш, чым перыяд паказчыку экспаненты, гэта значыць :

Выяўляючы k у тэрмінах даўжыні хвалі,



атрымаем наступныя суадносіны:

Памнажаючы абодва бакі на , атрымаем

ці, падстаўляючы раней атрыманы выраз для ρ2, 

Калі гэта ўмова выконваецца для ўсіх значэнняў x, x' , y і y' , тады мы можам занядбаць трэцім членам у раскладанні Тэйлара. Больш таго, калі трэці член малы, тое ўсё наступныя складнікі больш высокіх парадкаў таксама малыя, і імі можна занядбаць. Тады можна апраксімаваць выраз, выкарыстоўваючы два члена раскладання:

Гэты выраз завецца набліжэннем Фрэнэля, а няроўнасць, атрыманая раней, ёсць умова дастасавальнасці гэтага набліжэння.

 Дыфракцыя Фрэнэля 

Умова дастасавальнасці досыць слабая і дазваляе ўсе характэрныя памеры ўзяць як параўнальныя велічыні, калі апертура шмат менш, чым даўжыня шляху. Да таго ж, нас цікавіць толькі малая вобласць недалёка ад крыніцы, велічыні x і y шмат менш, чым z, выкажам здагадку , што азначае , і r у назоўніку можна апраксімаваць выразам .

У супрацьлегласць дыфракцыі Фраўнгофера, дыфракцыя Фрэнэля павінна ўлічваць крывізну хвалевага фронта, каб правільна ўлічыць адносныя фазы інтэрферуючых хваль.

Электрычнае поле для дыфракцыі Фрэнэля ў пункце (x,y,z) дадзена ў выглядзе:



Гэта - інтэграл дыфракцыі Фрэнэля; ён азначае, што, калі набліжэнне Фрэнэля сапраўднае, то поле, якое распаўсюджваецца, з'яўляецца хвалей, якая пачынаецца ў апертуры і рухаецца ўздоўж z. Інтэграл мадулюе амплітуду і фазу сферычнай хвалі. Аналітычнае рашэнне гэтага выраза магчыма толькі ў рэдкіх выпадках. Для далейшага спрашчэння, сапраўднага толькі для нашмат большых адлегласцяў ад крыніцы дыфракцыі, гл. дыфракцыя Фраўнгофера.

 Гл. таксама 
 Дыфракцыя Фраўнгофера
 Інтэграл Кірхгофа
 Інтэгралы Фрэнэля

 Спасылкі 
 http://www.falstad.com/diffraction/

Катэгорыя:Оптыка
Катэгорыя:Дыфракцыя