Куб (алгебра)

У арыфметыцы і алгебры, куб ліку  — гэта яго трэцяя ступень , г.зн. здабытак трох аднолькавых множнікаў, роўных ліку :
 .

Куб ліку роўны здабытку самога ліку і яго квадрата:
 .

Аперацыя ўзвядзення ў куб мае просты геаметрычны сэнс: куб ліку  роўны аб'ёму геаметрычнага куба з рабром , адкуль і паходзіць назва самой арыфметычнай аперацыі. Адваротная аперацыя знаходжання ліку, чый куб роўны , называецца здабываннем кубічнага кораня з  і вызначае рабро куба з аб'ёмам .

І куб, і кубічны корань з'яўляюцца няцотнымі функцыямі:
 .

Куб ліку ці любога іншага матэматычнага выразу абазначаецца верхнім індэксам 3, напрыклад,  ці .

 Гісторыя 
Вызначэнне кубоў вялікіх лікаў было распаўсюджана ў многіх старажытных цывілізацыях. У старававілонскі перыяд (20 — 16 стст. да н.э.) месапатамскія матэматыкі стварылі клінапісныя таблічкі з табліцамі для вылічэння кубоў і кубічных каранёў. Кубічныя ўраўненні былі вядомы старажытнагрэчаскаму матэматыку ДыяфантуVan der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5. У 1-м ст. н.э. Герон Александрыйскі вынайшаў метад вылічэння кубічных каранёў. Метады рашэння кубічных ураўненняў і здабывання кубічных каранёў сустракаюцца ў «Матэматыцы ў дзевяці кнігах», кітайскім матэматычным тэксце, састаўленым каля 2-га ст. да н.э., з каментарыямі Лю Хуэя (3 ст. н.э.). Індыйскі матэматык Арыябхата напісаў тлумачэнне кубоў у сваёй працы Арыябхація. У 2010 годзе Альберта Цаноні знайшоў новы алгарытмhttp://www.springerlink.com/content/q1k57pr4853g1513/ вылічэння кубоў вялікіх цэлых лікаў, які ў пэўным дыяпазоне значэнняў скарэйшы чым узвядзенне ў квадрат і дамнажэнне.

 Паслядоўнасць кубоў 
Паслядоўнасць кубоў неадмоўных лікаў пачынаецца лікамі:

 1³ = 1  11³ = 1331  21³ = 9261  31³ =  41³ =   51³ =  2³ = 8  12³ = 1728  22³ =   32³ =  42³ =   52³ =  3³ = 27  13³ = 2197  23³ =   33³ =  43³ = 79,507  53³ = 148,877 4³ = 64  14³ = 2744  24³ =   34³ =  44³ =   54³ =  5³ = 125  15³ = 3375  25³ =   35³ =  45³ =   55³ =  6³ = 216  16³ = 4096  26³ =   36³ =  46³ =   56³ =  7³ = 343  17³ = 4913  27³ =   37³ =  47³ =   57³ =  8³ = 512  18³ = 5832  28³ =   38³ =  48³ =   58³ =  9³ = 729  19³ = 6859  29³ =   39³ =  49³ =   59³ =  10³ = 1000  20³ = 8000  30³ =   40³ =  50³ =   60³ = 

 Сума кубоў паслядоўных цэлых лікаў 
Сума кубоў першых  дадатных натуральных лікаў вылічаецца па формуле:


 Вывад формулы 
Формулу сумы кубоў можна вывесці з дапамогай табліцы множання і формулы сумы арыфметычнай прагрэсіі. Разглядаючы ў якасці ілюстрацыі метаду дзве табліцы множання , правядзём разважанні для табліц памерам .

+ Табліца множання і кубы лікаў × 1 2 3 4 5 1 1  2  3  4  5 2 2  4 6  8  10 3 3  6  9  12  15 4 4  8  12  16  20 5 5  10  15  20  25+ Табліца множання і арыфметычная прагрэсія × 1 2 3 4 5 1 1  2  3  4  5 2 2  4 6  8  10 3 3  6  9  12  15 4 4  8  12  16  20 5 5  10  15  20  25

Сума лікаў у k-ай (k = 1,2, …) выдзеленай вобласці першай табліцы:


А сума лікаў у k-ай (k = 1,2, …) выдзеленай вобласці другой табліцы, якія ўяўляюць сабой арыфметычную прагрэсію:


Складваючы па ўсіх выдзеленых абласцях першай табліцы, атрымліваем такі ж лік, як і складваючы па ўсіх выдзеленых абласцях другой табліцы:


 Геаметрычны сэнс 
Куб ліку роўны аб'ёму куба з даўжынёй рабра, роўнай гэтаму ліку.

 Дзесятковае разлажэнне 
 У дзесятковым запісе куб можа заканчвацца на любую лічбу (у адрозненне ад квадрата)
 У дзесятковым запісе дзве апошнія лічбы куба могуць быць 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Залежнасць перадапошняй лічбы куба ад апошняй можна прадставіць у выглядзе наступнай табліцы:

 {| class="standard" style="text-align: center"
!width="50%"| апошняялічба
!width="50%"| перадапошняялічба
|-
| 0 || 0
|-
| 5 || 2, 7
|-
| 4, 8 || цотная
|-
| 2, 6 || няцотная
|-
| 1, 3, 7, 9 || любая
|}

 Гл. таксама 
 Кубічны корань — адваротная аперацыя адносна ўзвядзення ў куб.
 Квадрат (алгебра)
 Чацвёртая ступень
 Пятая ступень
 Шостая ступень
 Сёмая ступень
 Восьмая ступень

 Зноскі 

 Спасылкі 


Катэгорыя:Алгебра
Катэгорыя:Матэматычныя аперацыі
Катэгорыя:Цэлалікавыя паслядоўнасці