Матэматычнае спадзяванне

Матэматы́чнае спадзява́нне, таксама матэматычнае чаканне, сярэдняе значэнне, матспадзяванне выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка выпадковай велічыні X. Абазначаецца  або . Характарызуе размяшчэнне значэнняў велічыні  і роўнае сярэдняму значэнню яе размеркавання. З закона вялікіх лікаў вынікае, што сярэдняе арыфметычнае значэнне велічыні  пры павелічэнні колькасці выпрабаванняў набліжаецца да .

Паняцце матэматычнага спадзявання ўзнікла ў XVIII стагоддзі ў сувязі з тэорыяй азартных гульняў: калі выйгрышы гульца прымаюць значэнні , з імавернасцямі , дзе , то ў сярэднім ён можа спадзявацца на выйгрыш  (адсюль назва).

Матэматычнае спадзяванне — тое самае, што і першы пачатковы момант выпадковай велічыні.

 Азначэнне 

 Агульнае азначэнне праз інтэграл Лебега 
Няхай зададзена прастора імавернасцей  і азначаная на ёй выпадковая велічыня . То бок, паводле азначэння,  — вымерная функцыя. Калі існуе інтэграл Лебега ад  па прасторы , то ён завецца матэматычным спадзяваннем, або сярэднім значэннем і абазначаецца  або :

Калі гэты інтэграл не існуе ці роўны , кажуць, што ў выпадковай велічыні не існуе матэматычнага спадзяванняЗвяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5..

 Азначэнне праз функцыю размеркавання выпадковай велічыні 
Калі  — функцыя размеркавання выпадковай велічыні, то яе матэматычнае спадзяванне вызначаецца інтэгралам Лебега — Стыльт’еса:
 , .

 Азначэнне для абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні (праз шчыльнасць размеркавання) 
Матэматычнае спадзяванне абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні, размеркаванне якой вызначаецца шчыльнасцю , роўнае
 .

 Азначэнне для дыскрэтнай выпадковай велічыні 
Калі  — дыскрэтная выпадковая велічыня, з размеркаваннем
  , ,
тады непасрэдна з азначэння інтэграла Лебега вынікае, што
 .

 Матэматычнае спадзяванне цэлалікавай выпадковай велічыні 
 Калі  — дадатная цэлалікавая выпадковая велічыня, якая мае размеркаванне імавернасцей
  , , ,
то яе матэматычнае спадзяванне можа быць выражана праз утваральную функцыю паслядоўнасці 


 Уласцівасці матэматычнага спадзявання 
 Матэматычнае спадзяванне канстанты ёсць сама канстанта.

  — канстанта;

 Матэматычнае спадзяванне лінейнае, то бок
 ,
 дзе  — выпадковыя велічыні з канечным матспадзяваннем, а  — любыя канстанты;
 У прыватнасці, матспадзяванне сумы (рознасці) выпадковых велічынь роўнае суме (рознасці) матспадзяванняў гэтых выпадковых велічынь.

 Матэматычнае спадзяванне захоўвае няроўнасці, гэта значыць калі  амаль напэўна, і  — выпадковая велічыня з канечным матспадзяваннем, то матспадзяванне выпадковай велічыні  таксама канечнае, і больш за тое:
 .

 Матспадзяванне не залежыць ад паводзін выпадковай велічыні на падзеі імавернасці нуль, то бок калі  амаль напэўна, то
 .

 Матспадзяванне здабытку двух незалежных або некарэляваных выпадковых велічынь  роўнае здабытку іх матспадзяванняў
 .

 Для ўсякай  і інтэгравальнай па меры  функцыі  матэматычнае спадзяванне  існуе і роўнае


 Няроўнасці, звязаныя з матспадзяваннем 
Няроўнасць Маркава — для неадмоўнай выпадковай велічыні , азначанай на прасторы імавернасцей  з канечным матспадзяваннем , справядліва няроўнасць:
 , дзе .

Няроўнасць Енсена для матспадзявання выпуклай функцыі ад выпадковай велічыні. Няхай  — прастора імавернасцей,  — азначаная на ёй выпадковая велічыня,  — выпуклая барэлеўская функцыя, такія што , тады
 . 

 Тэарэмы, звязаныя з матспадзяваннем 

 Тэарэма Леві пра манатонную збежнасць
 Тэарэма Лебега пра мажажыруемую збегнасць

 Заўвагі 

 Літаратура 
 Матэматычнае спадзяванне і дысперсія // Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 111. — 206 с. — ISBN 978-985-01-1043-5.



Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей