Формула Герона

Фо́рмула Герона дазваляе вылічыць плошчу трохвугольніка (S) па яго баках a, b, c:


дзе p — паўперыметр трохвугольніка: .

 Гісторыя 
Гэта формула ўтрымліваецца ў «Метрыцы» Герона Александрыйскага (I стагоддзя н. э.) і названая ў яго гонар. Герон цікавіўся трохвугольнікамі з цэлалікавымі бакамі, плошчы якіх таксама з’яўляюцца цэлымі. Такія трохвугольнікі носяць назву  геронавых трохвугольнікаў. Прасцейшым геронавым трохвугольнікам з’яўляецца егіпецкі трохвугольнік.

 Варыяцыі і абагульненні 
 Выразіўшы паўперыметр праз паўсуму ўсіх бакоў дадзенага трохвугольніка, прыйдзем да формулы выгляду:

 Плошча ўпісанага ў акружнасць чатырохвугольніка вылічваецца па формуле Брахмагупты:

 дзе  — паўперыметр чатырохвугольніка. (Трохвугольнік з’яўляецца лімітавым выпадкам упісанага чатырохвугольніка пры памкненні даўжыні адной з бакоў да нуля.)
 Тэарэма Люілье. Плошча сферычнага трохвугольніка выяўляецца праз яго бакі  як:
 , где  — паўпрыметр.

 Для тэтраэдраў з’яўляецца ісціннай формула Герона — Тарталья, якая абагульнена таксама на выпадак іншых мнагаграннікаў (гл. выгінаныя мнагаграннікі): калі ў тэтраэдра даўжыні кантаў роўныя , то для яго аб’ёма  ісцінны выраз
 .

 Формулу Герона можна запісаць з дапамогай вызначальніка ў выглядзе:

 Яна з’яўляецца прыватным выпадкам вызначальніка Кэлі — Менгера для вылічэння гіпераб’ёма сімплекса.

 Гл. таксама 
 Тэарэма катангенсаў

 Літаратура 
 § 258 у 

  — доказ формулы Герона на аснове тэарэмы Піфагора

Катэгорыя:Геаметрыя трохвугольніка
Герона
Катэгорыя:Планіметрыя
Катэгорыя:Плошча