Залатое сячэнне

Сістэма злічэння  Ацэнка ліку φ Двайковая  1.1001111000110111011… Дзесятковая  1.6180339887498948482… Шаснаццаткавая  1.9E3779B97F4A7C15F39… Непарыўны дроб 

Залатое сячэнне (залатая прапорцыя, дзяленне ў крайняй і сярэдняй адносіне, гарманічнае дзяленне) — адносіна дзвюх велічынь a і b, b > a, калі справядліва b/a = (a+b)/b.
Лік, роўны адносіне b/a, звычайна абазначаецца грэчаскай літарай , радзей — грэчаскай літарай .
З зыходнай роўнасці няцяжка атрымаць, што

Адваротны лік

Адсюль вынікае, што


Для практычных мэт абмяжоўваюцца прыблізным значэннем  ці . У працэнтным акругленым значэнні залатое сячэнне — гэта дзяленне якой-небудзь велічыні ў адносінах 62 % і 38 %.

Гістарычна першапачаткова залатым сячэннем называлася дзяленне адрэзка АВ кропкай С на дзве часткі (меншы адрэзак АС і большы адрэзак СВ), каб для даўжынь адрэзкаў было верна AC/CB = CB/AВ. Пазней гэта было распаўсюджана на адвольныя велічыні.

Лік  называецца таксама залатым лікам.

У дайшоўшай да нас антычнай літаратуры дзяленне адрэзка ў крайняй і сярэдняй адносіне () упершыню сустракаецца ў «Пачатках» Еўкліда (каля 300 г. да н. э.), дзе яно прымяняецца для пабудовы правільнага пяцівугольніка.

Лука Пачолі, сучаснік і друг Леанарда да Вінчы, называў гэту адносіну «боскай прапорцыяй». Тэрмін «залатое сячэнне» () быў уведзены ва ўжытак Марцінам Омам ў 1835 годзе.

Залатое сячэнне мае мноства выдатных уласцівасцей, але, акрамя таго, яму прыпісваюць і многія выдуманыя ўласцівасціРадзюкевич А. В. Красивая сказка о «золотом сечении»Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing NumberDevlin's Angle, The Myth That Will Not Go Away.

 Матэматычныя ўласцівасці 

 Лікава-алгебраічныя ўласцівасці 
  — ірацыянальны алгебраічны лік, дадатнае рашэнне квадратнага ўраўнення

 адкуль, у прыватнасці, вынікаюць суадносіны:


  выражаецца праз значэнні трыганаметрычных функцый:



  прадстаўляецца ў выглядзе бесканечнага ланцужка квадратных каранёў:


  прадстаўляецца ў выглядзе бесканечнага ланцуговага дробу

 падыходнымі дробамі якой служаць адносіны паслядоўных лікаў Фібаначы . Такім чынам,


 Мера ірацыянальнасці  роўная 2.

 Значэнні дробу пасля коскі для ,  і  у любой сістэме злічэння будуць роўныя.

 Геаметрычныя ўласцівасці 
 У правільнай пяціканцовай зорцы кожны адрэзак дзеліцца перасякаючым яго адрэзкам у залатым сячэнні (на прыведзеным малюнку адносіны чырвонага адрэзка да зялёнага, зялёнага да сіняга і сіняга да пурпурнага роўныя . Акрамя таго, адносіна чырвонага адрэзка да адлегласці паміж суседнімі вяршынямі зоркі (якое роўна зялёнаму адрэзку), таксама роўная ).

 Адносіна дыяганалі правільнага пяцівугольніка да стараны роўна залатому сячэнню.
 Пры дзяленні папалам вугла паміж дыяганаллю і меншай стараной прамавугольніка з адносінамі старон 1:2 атрымліваем лік

 Геаметрычная пабудова
Залатое сячэнне адрэзка  можна пабудаваць наступным чынам: у пункце  будуюць перпендыкуляр да , адкладваюць на ім адрэзак , роўны палавіне , на адрэзку  адкладваюць адрэзак , роўны , і нарэшце, на адрэзку  адкладваюць адрэзак , роўны  . Тады


 Залатое сячэнне і гармонія ў мастацтве 


Пад «правілам залатога сячэння» ў архітэктуры і мастацтве звычайна маюцца на ўвазе кампазіцыі, якія змяшчаюць прапорцыі, блізкія да залатога сячэння.

Некаторыя са сцвярджэнняў на карысць гіпотэзы ведання старажытнымі правіла залатога сячэння:
 Прапорцыі піраміды Хеопса, храмаў, барэльефаў, прадметаў побыту і ўпрыгажэнняў з грабніцы Тутанхамона сведчаць, што егіпецкія майстры карысталіся суадносінамі залатога сячэння пры іх стварэнні.
 Згодна з Ле Карбюзье, у рэльефе з храма фараона Сеці I у Абідасе прапорцыі фігур адпавядаюць залатому сячэнню. У фасадзе старажытнагрэчаскага храма Парфенона таксама прысутнічаюць залатыя прапорцыі. У цыркулі з старажытнарымскага горада Пампеі (музей у Неапалі) таксама закладзены прапорцыі залатога дзялення, і т. д.
 Варта адзначыць, што сама дакладная прапорцыя з'яўляецца ідэальным эталонным значэннем. У прыродзе рэальныя суадносіны у біялагічных відаў, як правіла, трохі адрозніваюцца ад залатога сячэння, што выклікана прыстасаваннем да навакольнага асяроддзя ў працэсе жыцця. Прыкладам такіх «адхіленняў» можа служыць марская камбала.

 Прыклады свядомага выкарыстання 
Пачынаючы з Леанарда да Вінчы, многія мастакі свядома выкарыстоўвалі прапорцыі «залатога сячэння». Расійскі дойлід Жалтоўскі выкарыстоўваў залатое сячэнне ў сваіх праектахЗолотой запас зодчества .
Іаган Себасцьян Бах у сваёй інвенцыі E-dur № 6 BWV 792 выкарыстоўваў двухчасткавую форму, у якой суадносіны памераў частак адпавядаюць прапорцыям залатога сячэння. 1 частка — 17 тактаў, 2 частка — 24 такты. (Невялікія неадпаведнасці выраўноўваюцца за кошт ферматы ў 34 такце).

Геаметрыя плана грабніцы фараона Старажытнага Егіпта Менеса пабудавана з выкарыстаннем прапорцыі, якую мы цяпер звязваем з залатым сячэннемСтеликов Н. Е. «Гармония древнеегипетской архитектуры.» Горки: БГСХА. 2009, 108 с..

 Залатое сячэнне ў біялогіі і медыцыне 


Жывыя сістэмы таксама валодаюць уласцівасцямі, характэрнымі для «залатога сячэння». Напрыклад: прапорцыі цел, спіральныя структуры ці параметры біярытмаўЦветков, В. Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. — Пущино: ПНЦ РАН, 1997. — 170 с. і інш.

 Гл. таксама 





 Зноскі 

 Літаратура 
 Залатое сячэнне //  С. 510.

 Аракелян Г. Б. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.
 Бендукидзе А. Д. Золотое сечение «Квант» № 8, 1973
 Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).
 Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства: В 10 т. — Т.3. — СПб.: Азбука-Классика, 2005. — С.725-732.
 Власов В. Г. Искусство России в пространстве Евразии. — Т.3. Классическое искусствознание и «русский мир». — СПб.: Дмитрий Буланин, 2012. — С.156-192.
 Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С.2-7.
 Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2-3. — С. 32-56.

 Спасылкі 
 В. С. Белнин, «Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа» 
 А. В. Радзюкевич, К вопросу о научном изучении пропорций в архитектуре и искусстве.
 А. В. Радзюкевич, Критический анализ Адольфа Цейзинга — основоположника гипотезы «золотого сечнения».
 В. Лаврус, Золотое сечение
 Статья о золотом сечении в изобразительном искусстве, Золотое сечение в изобразительном искусстве 
 Функция Фибоначчи в Wolfram alpha



Катэгорыя:Залатое сячэнне
Катэгорыя:Алгебраічныя лікі
Катэгорыя:Безразмерныя параметры