Матрыцы Паўлі

Матрыцы Паўлі — гэта набор з трох эрмітавых 2×2 матрыц, які складаюць базіс ў прасторы ўсіх эрмітавых 2×2 матрыц з нулявым следам. Былі прапанаваны Вольфгангам Паўлі для апісання спіна электрона ў квантавай механіцы. Матрыцы маюць выгляд






Замест  часам выкарыстоўваюць пазначэнне 

Часта таксама ўжываюць матрыцу

якая супадае з адзінкавай матрыцай.

Матрыцы Паўлі разам з матрыцай  ўтвараюць базіс ў прасторы ўсіх эрмітавых матрыц 2×2 (а не толькі матрыц з нулявым следам).

 Уласцівасці 

 Асноўныя суадносіны 
 Эрмітавасць: 
 Роўнасць нулю следу: 
  дзе  — адзінкавая матрыца размернасці 2×2.
 Вызначнік матрыц Паўлі роўны −1.
 алгебра, народжаная элементамі , ізаморфныя алгебры кватерніёнаў .

Правілы множання матрыц Паўлі



  для 
Гэтыя правілы множання можна перапісаць у кампактнай форме
 ,
дзе  — сімвал Кронекера, а εijk — сімвал Леві-Чывіты.

З гэтых правілаў множання вынікаюць камутацыйныя суадносіны



Квадратныя дужкі азначаюць камутатар, фігурныя — антыкамутатар.

 Сувязь з алгебрай Лі 
Камутацыйныя суадносіны матрыц  супадаюць з камутацыйнымі суадносінамі генератараў алгебры Лі su(2). І сапраўды, уся гэтая алгебра, якая складаецца з антыэрмітавых матрыц 2×2, можа быць пабудавана з адвольных лінейных камбінацый матрыц  Група SU(2) з алгебрай su(2) лакальна ізаморфныя групе SO(3) кручэнняў трохмернай прасторы; у прыватнасці гэтым тлумачыцца важнасць матрыц Паўлі для фізікі.

 Літаратура 


Катэгорыя:Квантавая механіка
Катэгорыя:Групы Лі
Паўлі