Няроўнасць трохвугольніка

Няро́ўнасць тро́хвуго́льніка ў геаметрыі, функцыянальным аналізе і сумежных дысцыплінах — адна з інтуітыўных уласцівасцей адлегласці. 
Яна сцвярджае, што даўжыня любой стараны трохвугольніка заўсёды не перавышае сумы даўжынь яго іншых старон.
Няроўнасць трохвугольніка ўключаецца як аксіёма ў азначэнне метрычнай прасторы, нормы і г.д.;
таксама, часта з'яўляецца тэарэмаю ў розных тэорыях.

 Еўклідава геаметрыя 


Няхай ёсць трохвугольнік  Тады  прычым роўнасць  дасягаецца толькі тады, калі трохвугольнік выраджаны, і пункт  ляжыць строга паміж  і .

Еўклід у Пачатках даказвае няроўнасць трохвугольніка наступным чынам. Спачатку даказваецца тэарэма, што знешні вугал трохвугольніка большы за ўнутраны вугал, з ім не сумежны. З яе выводзіцца тэарэма аб тым, што насупраць большай стараны трохвугольніка ляжыць большы ўнутраны вугал. Далей, метадам ад процілеглага даказваецца тэарэма аб тым, што насупраць большага ўнутранага вугла трохвугольніка ляжыць большая старана. А з гэтай тэарэмы выводзіцца няроўнасць трохвугольніка.

 Нармаваная прастора 
Няхай  — нармаваная вектарная прастора, дзе  — адвольнае мноства, а  — вызначаная на  норма. Тады па азначэнню апошняй справядліва:


 Гільбертава прастора 
У гільбертавай прасторы, няроўнасць трохвугольніка з'яўляецца вынікам няроўнасці Кашы — Бунякоўскага.

 Метрычная прастора 

Няхай  — метрычная прастора, дзе  — адвольнае мноства, а  — вызначаная на  метрыка. Тады па азначэнню апошняй


 Варыяцыі і абагульненні 
 Моцная няроўнасць трохвугольніка


 Адваротная няроўнасць трохвугольніка 
Вынікам няроўнасці трохвугольніка ў нармаванай і метрычнай прасторах з'яўляюцца наступныя няроўнасці:



 Няроўнасць трохвугольніка для трохграннага вугла 

Кожны плоскі вугал выпуклага трохграннага вугла меншы за суму двух другіх яго плоскіх вуглоў.

Катэгорыя:Метрычная геаметрыя
Катэгорыя:Эўклідава геаметрыя
Катэгорыя:Лінейная алгебра
Катэгорыя:Няроўнасці