Алгебраічнае лікавае поле

Алгебраі́чнае лі́кавае по́ле (ці проста лікавае поле) — гэта канечнае (і як вынік — алгебраічнае) пашырэнне поля рацыянальных лікаў . Такім чынам, лікавае поле — гэта поле, якое ўтрымлівае  і з’яўляецца канечнамернаю вектарнаю прастораю над ім.

Лікавыя палі і, больш агульна, алгебраічныя пашырэнні поля рацыянальных лікаў з’яўляюцца асноўным аб'ектам вывучэння алгебраічнай тэорыі лікаў.

 Прыклады 
 Найменшае і базавае лікавае поле — поле рацыянальных лікаў .
 Гаусавы рацыянальныя лікі, якія абазначаюцца , — першы нетрывіяльны прыклад лікавага поля. Яго элементы — выразы віду

 дзе  і  — рацыянальныя лікі,  — уяўная адзінка. Такія выразы можна складваць і перамнажаць па звычайных правілах дзеянняў з камплекснымі лікамі, і ў кожнага ненулявога элемента існуе адваротны, як гэта відаць з роўнасці

 З гэтага вынікае, што рацыянальныя гаусавы лікі ўтвараюць поле, якое з'яўляецца двухмернаю прастораю над  (г. зн. квадратычным полем).
 Больш агульна, для любога свабоднага ад квадратаў цэлага ліку   будзе квадратычным пашырэннем поля .
 Кругавое поле  атрымліваецца дабаўленнем у  прымітыўнага кораня n-й ступені з адзінкі. Поле павінна ўтрымліваць і ўсе яго ступені (г. зн. усе карані n-й ступені з адзінкі), яго размернасць над  раўняецца функцыі Эйлера .
 Рэчаісныя і камплексныя лікі маюць бесканечную ступень над рацыянальнымі, таму яны не з’яўляюцца лікавымі палямі. Гэта вынікае з незлічальнасці: любое лікавае поле з’яўляецца злічальным.

 Кальцо цэлых лікавага поля 

Паколькі лікавае поле з’яўляецца алгебраічным пашырэннем поля , любы яго элемент з’яўляецца коранем некаторага мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі (г. зн. з’яўляецца алгебраічным). Больш таго, кожны элемент з’яўляецца коранем мнагачлена з цэлымі каэфіцыентамі, бо можна дамножыць усе рацыянальныя каэфіцыенты на здабытак назоўнікаў. Калі ж дадзены элемент з’яўляецца коранем некаторага прыведзенага (унітарнага) мнагачлена з цэлымі каэфіцыентамі, ён называецца цэлым элементам (ці алгебраічным цэлым лікам). Не ўсе элементы лікавага поля цэлыя: напрыклад, лёгка паказаць, што цэлыя элементы поля рацыянальных лікаў  — гэта звычайныя цэлыя лікі і толькі яны.

Можна даказаць, што сума і здабытак двух алгебраічных цэлых лікаў — ізноў алгебраічны цэлы лік, таму цэлыя элеманты ўтвараюць падкальцо лікавага поля , якое называецца кальцом цэлых поля  і абазначаецца . Поле не ўтрымлівае дзельнікаў нуля і гэтая ўласцівасць наследуецца пры пераходзе да падкальца, таму кальцо цэлых цэластнае; поле дзелей кальца  — гэта само поле . Кальцо цэлых любога лікавага поля валодае наступнымі трыма ўласцівасцямі: яно цэлазамкнутае, нётэрава і аднамернае. Камутатыўнае кальцо з такімі ўласцівасцямі называецца дэдэкіндавым у гонар Рыхарда Дэдэкінда.

 Раскладанне на простыя і група класаў 
У адвольным дэдэкіндавым кальцы існуе адно і толькі адно раскладанне ненулявых ідэалаў у здабытак простых. Аднак не любое кальцо цэлых мае ўласцівасць фактарыяльнасці: ужо для кальца цэлых квадратычнага поля
 раскладанне не адзінае:


Увёўшы на гэтым кальцы норму, можна паказаць, што гэтыя раскладанні сапраўды розныя, г.зн. адно нельга атрымаць з другога дамнажэннем на абарачальны элемент.

Ступень парушэння ўласцівасці фактарыяльнасці вымяраюць пры дапамозе групы класаў ідэалаў, гэтая група для кальца цэлых заўсёды канечная і яе парадак называюць лікам класаў.

 Базісы лікавага поля 

 Цэлы базіс 
Цэлы базіс лікавага поля F ступені n — гэта мноства
 B = {b1, …, b<sub>n</sub>}
з n элементаў кальца цэлых поля F, такое што любы элемент кальца цэлых O<sub>F</sub> поля F можна толькі адным спосабам запісаць як Z-лінейную камбінацыю элементаў B; г.зн. для любога x з OF існуе адзінае раскладанне
 x = m1b1 + … + mnb<sub>n</sub>,
дзе mi — звычайныя (рацыянальныя) цэлыя лікі. У гэтым выпадку любы элемент F можна запісаць як
 m1b1 + … + mnbn,
дзе mi — рацыянальныя лікі. Пры такім базісе цэлыя элементы F вылучаюцца тою ўласцівасцю, што гэта дакладна тыя элементы, для якіх усе mi цэлыя.

Выкарыстоўваючы такія працэдуры як лакалізацыя і эндамарфізм Фрабеніуса, можна пабудаваць такі базіс для любога лікавага поля. Его пабудова з’яўляецца ўбудаванаю функцыяй у многіх сістэмах камп'ютарнай алгебры.

 Ступенны базіс 
Няхай F — лікавае поле ступені n. Сярод усіх магчымых базісаў F (як Q-вектарнай прасторы), існуюць ступенныя базісы, г.зн. базісы віду
 Bx = {1, x, x², …, xn−1}
для некаторага x ∈ F. Згодна з тэарэмаю аб прымітыўным элеменце, такі x заўсёды існуе, яго называюць прымітыўным элементам дадзенага пашырэння.

 Норма і след 

Алгебраічнае лікавае поле з’яўляецца канечнамернаю вектарнаю прастораю над  (абазначым яе размернасць праз ), і дамнажэнне на адвольны элемент поля з’яўляецца лінейным пераўтварэннем гэтае прасторы. Няхай  — які-небудзь базіс поля F, тады пераўтварэнню  адпавядае матрыца , вызначаная ўмовай


Элементы гэтай матрыцы залежаць ад выбару базіса, аднак ад яго не залежаць усе інварыянты матрыцы, такія як вызначнік і след. У кантэксце алгебраічных пашырэнняў, вызначнік матрыцы дамнажэння на элемент называецца нормай гэтага элемента (абазначаецца ); след матрыцы — следам элемента (абазначаецца ).

След элемента з’яўляецца лінейным функцыяналам на F:
  и .

Норма з’яўляецца мультыплікатыўнай і аднароднай функцыяй:
  и 

У якасці зыходнага базіса можна выбраць цэлы базіс, дамнажэнню на цэлы алгебраічны лік (г.зн. на элемент кальца цэлых) у гэтым базісе будзе адпавядаць матрыца з цэлымі элементамі. Такім чынам, след і норма любога элемента кальца цэлых з’яўляюцца цэлымі лікамі.

 Прыклад выкарыстання нормы 
Хай  — натуральны лік, свабодны ад квадратаў, тады  — квадратычнае поле (і такім чынам, лікавае поле). Выберам у гэтым полі цэлы базіс  ( — цэлы элемент, бо ён з’яўляецца коранем прыведзенага мнагачлена ). У гэтым базісе дамнажэнню на  адпавядае матрыца


Такім чынам, . На элементах кальца  гэтая норма прымае цэлыя значэнні. Норма з’яўляецца гомамарфізмам мультыплікатыўнай групы  на мультыплікатыўную групу , таму норма абарачальных элементаў кальца можа быць роўная толькі  або . Для таго, каб рашыць ураўненне Пеля , дастаткова знайсці ўсе абарачальныя элементы кальца цэлых (так званыя адзінкі кальца) і вылучыць сярод іх тыя, што маюць норму . Згодна з , усе абарачальныя элементы дадзенага кальца з’яўляюцца ступенямі аднаго элемента (з дакладнасцю да множання на ), таму для знаходжання ўсіх рашэнняў ураўнення Пеля дастаткова знайсці адно фундаментальнае рашэнне.

 Гл. таксама 
 Тэорыя Кумера

 Літаратура 



 Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000

Катэгорыя:Алгебраічная тэорыя лікаў
Катэгорыя:Тэорыя палёў