Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага

Няроўнасць Кашы́ — Буняко́ўскага звязвае норму і скалярны здабытак вектараў у еўклідавай прасторы.
Гэта няроўнасць раўназначная няроўнасці трохвугольніка для нормы.

Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага часам, асабліва ў замежнай літаратуры, называюць няроўнасцю Шварца і няроўнасцю Кашы — Бунякоўскага — Шварца («няроўнасць КБШ»), хаця працы Шварца на гэту тэму паявіліся толькі праз 25 гадоў пасля прац БунякоўскагаBounjakowsky W. «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9..
Канечнамерны выпадак гэтай няроўнасці называецца няроўнасцю Кашы і быў даказан Агюстэнам Кашы ў 1821 годзе.

 Фармулёўка 
Няхай  - лінейная прастора са скалярным здабыткам . Няхай  — норма, спароджаная скалярным здабыткам, г.зн. . Тады для любых  маем:

прычым роўнасць дасягаецца тады і толькі тады, калі вектары  і  прапарцыянальныя (калінеарныя).

 Каментарыі 
У канечнамерным выпадку можна заўважыць, што , дзе  — плошча паралелаграма, нацягнутага на вектары  і .

У агульным выпадку:


 Прыклады 
 У прасторы камплексназначных квадратычна складальных паслядоўнасцей  няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:

дзе  абазначае камплекснае спалучэнне .
 У прасторы камплексных квадратычна інтэгравальных функцый  няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:

 У прасторы выпадковых велічынь з канечным другім момантам  няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:

 дзе  абазначае каварыяцыю, а  — дысперсію.

 Доказ 
 Калі  то  справядліва наступнае

Значыць дыскрымінант мнагачлена  недадатны, г.зн.

Такім чынам,

 Калі  то прадставім скалярны здабытак у трыганаметрычным выглядзе 
Вызначым вектар 
Тады
  і

Да скалярнага здабытку  прыменім вынік першага пункта доказу.


 Зноскі 

Катэгорыя:Функцыянальны аналіз
Катэгорыя:Лінейная алгебра
Катэгорыя:Няроўнасці
Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей
Катэгорыя:Тэорыя аператараў
Катэгорыя:Тэарэмы функцыянальнага аналізу
Катэгорыя:Імавернасныя няроўнасці
Катэгорыя:Лікавыя няроўнасці