Дыферэнцыял функцыі

Дыферэнцыя́л ( — рознасць, адрозненне) — галоўная лінейная частка поўнага прырашчэння функцыі.

 Гісторыя 
Тэрмін «дыферэнцыял» уведзены Лейбніцам.
Першапачаткова  ўжывалася для абазначэння «бясконца малой» — велічыні, якая менш усякай канчатковай велічыні і ўсё ж не роўная нулю. Падобны погляд апынуўся нязручным ў большасці раздзелаў матэматыкі за выключэннем нестандартнага аналізу.

 Абазначэнні 
Звычайна дыферэнцыял функцыі  пазначаецца .
Некаторыя аўтары аддаюць перавагу пазначэнню  шрыфтам прамога напісання, жадаючы падкрэсліць, што дыферэнцыял з’яўляецца аператарам.

Дыферэнцыял ў кропцы  пазначаецца , а часам ,
а таксама , калі значэнне  ясна з кантэксту.

Адпаведна, значэнне дыферэнцыяла ў кропцы  ад 
можа пазначацца як , а часам , а таксама , калі значэнне  ясна з кантэксту.

 Выкарыстанне знака дыферэнцыяла 
 Знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў выражэнні для інтэграла . Пры гэтым часам (і не зусім карэктна) дыферэнцыял  уводзіцца як частка вызначэння інтэграла.
 Таксама знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў пазначэнні Лейбніца для вытворнай . Гэта абазначэнне матываванае тым, што для дыферэнцыялаў функцыі  і аналагічнай функцыі  верныя суадносіны
 :

 Вызначэнне 

 Для функцый 
Дыферэнцыял функцыі  у кропцы  можа быць вызначаны як лінейная функцыя

дзе  абазначае вытворную  у кропцы .

Такім чынам  ёсць функцыя двух аргументаў .

Дыферэнцыял можа быць вызначаны наўпрост, г.зн., без прыцягнення вызначэння вытворнай, як функцыя , якая лінейна залежыць ад , і для якой верныя наступныя суадносіны


 Для адлюстраванняў 
Дыферэнцыялам адлюстравання  у кропцы  называюць лінейны аператар  такі, што выконваецца ўмова


 Звязаныя вызначэння 
 Адлюстраванне  называецца дыферэнцуемым у кропцы  калі вызначаны дыферэнцыял.

 Уласцівасці 
 Матрыца лінейнага аператара  роўная матрыцы Якобі; яе элементамі з’яўляюцца частковыя вытворныя.
 *Адзначым, частковыя вытворныя могуць быць вызначаны ў кропцы, дзе дыферэнцыял не вызначаны.
 Дыферэнцыял функцыі  звязаны з яе градыентам  наступнымі вызначальнымі суадносінамі

 Аперацыі дыферэнцыявання і інтэгравання з’яўляюцца узаемазваротнымі.

 Варыяцыі і абагульненні 
 Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў
 Знешні дыферэнцыял
 Дыферэнцыял (дыферэнцыяльная геаметрыя)
 Вытворная Пеано
 Вытворная Фрэшэ

 Крыніцы 

 Літаратура 




 Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. — М.: ACT: Астрель, 2006. — 991, [1] с: ил. — ISBN 5-17-012238-1 (ООО «Издательство ACT»), ISBN 5-271-03651-0 (ООО «Издательство Астрель»).
 Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

Катэгорыя:Дыферэнцыяльнае злічэнне
Катэгорыя:Матэматычны аналіз