Квадратычны закон узаемнасці

Квадратычны закон узаемнасці — сцвярджэнне аб вырашальнасці квадратычнага  простага ліку. Часцей за ўсё фармулюецца праз сімвалы Лежандра.

 Фармулёўка 
Азначэнне сімвала Лежандра
Няхай  — цэлы лік, і  — просты лік, не роўны 2.   вызначаецца наступным чынам:
 , калі  дзеліцца на ;
 , калі  з'яўляецца  па модулю , г.зн.  не дзеліцца на  і існуе такі цэлы , што ;
 , калі  з'яўляецца квадратычнаю нярэштаю па модулю , г.зн.  не дзеліцца на  і не з'яўляецца квадратычнаю рэштаю па модулю .

Тэарэма
Квадратычны закон узаемнасці Гауса для сімвалаў Лежандра сцвярджаеВиноградов. Основы теории чисел. С. 70—71., што

дзе  і  — розныя няцотныя простыя лікі.

Таксама справядлівыя наступныя дапаўненні:
     і     

 Прымяненні 
 Наступны факт, вядомы яшчэ П'еру Ферма: простымі дзельнікамі лікаў  могуць быць толькі лік 2 і простыя лікі, прыналежныя арыфметычнай прагрэсіі 
 . 
Іншымі словамі, параўнанне 

па простаму модулю  вырашальнае ў тым і толькі ў тым выпадку, калі 
З дапамогаю сімвала Лежандра, апошняе сцвярджэнне можна выразіць наступным чынам:

 Пытанне аб вырашальнасці параўнання 

развязваецца алгарытмам з выкарыстаннем мультыплікатыўнасці сімвала Лежандра і квадратычнага закона ўзаемнасці.

 Гісторыя 
Фармулёўка квадратычнага закона ўзаемнасці была вядома яшчэ Эйлеру ў 1783 годзеEuler, Opuscula analytica, Petersburg, 1783..
Лежандр сфармуляваў закон незалежна ад Эйлера і даказаў яго ў некаторых асобных выпадках у 1785 годзе.
Поўны доказ быў атрыман Гаусам у 1796 годзе, які пазней даў некалькі яго доказаў, заснаваных на зусім розных ідэях.

Адзін з самых простых доказаў быў прапанаваны  у 1872 годзе.

Пазней былі атрыманы розныя абагульненні квадратычнага закона ўзаемнасціАйерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. С. 73, 136..

 Гл. таксама 




 Зноскі 

 Літаратура 



 Спасылкі 


Катэгорыя:Тэорыя лікаў
Катэгорыя:Тэарэмы