Тэарэма Беры — Эсеена

У тэорыі імавернасцей цэнтральная лімітавая тэарэма сцвярджае, што пры пэўных умовах размеркаванне імавернасцей сярэдняга значэння выпадковай выбаркі  к нармальнаму размеркаванню пры нарастанні аб'ёму выбаркі да бесканечнасці. Пры больш моцных дапушчэннях, тэарэма Беры — Эсеена (або няроўнасць Беры — Эсеена) колькасна ацэньвае скорасць, з якою гэта збежнасць адбываецца, даючы ацэнку найбольшай пагрэшнасці прыбліжэння сапраўднага размеркавання нармальным. Прыбліжэнне ацэньваецца па адлегласці Калмагорава — Смірнова. У выпадку незалежных выбарак скорасць збежнасці мае парадак , дзе  — аб'ём выбаркі, а пастаянная ацэньваецца праз трэція абсалютныя нарміраваныя моманты.

 Сцвярджэнне тэарэмы 
Фармулёўкі тэарэмы могуць адрознівацца, бо яна была адкрыта незалежна двума матэматыкамі: Эндру Беры (у 1941) і  (1942), які затым, разам з іншымі аўтарамі, некалькі разоў паляпшаў тэарэму на працягу наступных дзесяцігоддзяў.

 Аднолькава размеркаваныя складнікі 

Адзін з варыянтаў, які ў нечым ахвяруе агульнасцю дзеля яснасці, гучыць наступным чынам:

 Няхай X1, X2, …, — незалежныя і аднолькава размеркаваныя выпадковыя велічыні з E(Xi) = 0, E(X) = σ² > 0, і E(|Xi|³) = ρ < ∞. Вызначым выбарачнае сярэдняе:

 Няхай Fn ёсць функцыя размеркавання велічыні

 а Φ ёсць функцыя стандартнага нармальнага размеркавання.
 Тады існуе дадатная пастаянная C такая, што для ўсіх x і n справядліва няроўнасць


Гэта значыць: зададзена паслядоўнасць  з нулявым спадзяваннем і дадатнаю дысперсіяй, і, акрамя таго, з канечным трэцім абсалютным момантам. Тады функцыі размеркавання ўнармаванага выбарачнага сярэдняга і стандартнай нармальнай велічыні адрозніваюцца не больш чым на вызначаную велічыню. Варта заўважыць, што хібнасць прыбліжэння для ўсіх n абмежавана велічынёю парадку n−1/2.

На працягу гадоў вылічаныя значэнні пастаяннай C прыкметна панізіліся са значэння 7.59, атрыманага Эсеенам, да 0.7882, атрыманага ван-Беекам, пасля 0.7655, тады 0.7056, затым 0.7005, потым 0.5894, пазней 0.5129, затым 0.4785. Падрабязны агляд можна знайсці ў артыкулах. Найлепшая ацэнка на 2012 год, C < 0.4748, вынікае з няроўнасці

даказанай Шаўцовай, пры ўліку суадносін σ³ ≤ ρ і 0.33554 · 1.415 < 0.4748. Аднак, калі ρ ≥ 1.286σ³, тады ацэнка

якая таксама даказана Шаўцовай, дае яшчэ стражэйшую верхнюю ацэнку.

Эсеен атрымаў ніжнюю мяжу для пастаяннай


 Рознаразмеркаваныя складнікі 

 Няхай X1, X2, …, — незалежныя выпадковыя велічыні з E(Xi) = 0, E(Xi²) = σi² > 0, і E(|Xi|³) = ρi < ∞. Таксама няхай

 унармаваная n-я частковая сума. Абазначым Fn функцыю размеркавання велічыні Sn, а сімвалам Φ — функцыю стандартнага нармальнага размеркавання. Дзеля зручнасці абазначым

 У 1941 Эндру Беры даказаў, што для ўсіх n існуе абсалютная пастаянная C1, такая што

 дзе


 Незалежна, у 1942 годзе, Карл Густаў Эсеен даказаў, што для любых n існуе абсалютная пастаянная C0, такая што

 дзе


Лёгка пераканацца, што ψ0≤ψ1. Таму няроўнасць (3) прынята называць няроўнасцю Беры-Эсеена, велічыня ψ0 называецца дробам Ляпунова трэцяга парадку. Больш таго, у выпадку, калі ўсе складнікі X1,… Xn размеркаваны аднолькава

ацэнкі з няроўнасцей (1), (2) і (3) супадаюць.

Адносна C0, відавочна, ніжняя мяжа, устаноўленая Эсеенам, застаецца ў сіле:


Верхнія межы для C0 пазней былі паніжаны ад зыходнай ацэнкі 7.59 Эсеена да (тут пералічваюцца толькі нядаўнія вынікі) 0.9051 Залатарова, 0.7975 ван-Беека, 0.7915 Шыганава, 0.6379 і 0.5606 Цюрына. На 2011 год найлепшая ацэнка 0.5600 атрымана Шаўцовай.

 Гл. таксама 
 Цэнтральная гранічная тэарэма



 Крыніцы 

 Літаратура 


 Durrett, Richard (1991). Probability: Theory and Examples. Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 0-534-13206-5.


 Feller, William (1972). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume II (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-25709-5.


 Manoukian, Edward B. (1986). Modern Concepts and Theorems of Mathematical Statistics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96186-0.
 Serfling, Robert J. (1980). Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02403-1.










 Спасылкі 


Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей
Катэгорыя:Тэарэмы тэорыі імавернасцей і матэматычнай статыстыкі
Катэгорыя:Імавернасныя няроўнасці