Жарданава матрыца

Жарданава матрыца (нармальная жарданава форма) — адно з фундаментальных паняццяў лінейнай алгебры, якое мае вялікі лік прымяненняў у розных раздзелах матэматыкі і фізікі.

Жарданавай матрыцай называецца квадратная блокава-дыяганальная матрыца над полем , з блокамі выгляду



пры гэтым кожны блок  называецца жарданавай клеткай з уласным значэннем  (уласныя значэнні ў розных блоках, наогул кажучы, могуць супадаць).

Згодна з тэарэмай аб жарданавай нармальнай форме, для адвольнай квадратнай матрыцы  над алгебраічна замкнёным полем  (напрыклад, полем камплексных лікаў ) існуе квадратная нявыраджаная (гэта значыць адваротная, з вызначніком, які адрозніваецца ад нуля) матрыца  над , такая, што



з'яўляецца жарданавай матрыцай. Пры гэтым  называецца жарданавай формай (або жарданавай нармальнай формай) матрыцы . У гэтым выпадку таксама кажуць, што жарданава матрыца  ў поле  падобная (або спалучаная) дадзенай матрыцы . І наадварот, у сілу эквівалентных суадносін



матрыца  падобная ў поле  матрыцы . Няцяжка паказаць, што ўведзеныя такім чынам адносіны падабенства з'яўляюцца адносінамі эквівалентнасці і разбіваюць мноства ўсіх квадратных матрыц зададзенага парадку над дадзеным полем на класы эквівалентнасці, якія не перасякаюцца. Жарданава форма матрыцы вызначана не адназначна, а з дакладнасцю да парадку жарданавых клетак. Дакладней, дзве жарданавыя матрыцы падобныя над  ў тым і толькі ў тым выпадку, калі яны складзеныя з адных і тых жа жарданавых клетак і адрозніваюцца адзін ад аднаго толькі размяшчэннем гэтых клетак на галоўнай дыяганалі.

 Уласцівасці 

 Колькасць жарданавых клетак парадку  з уласным значэннем  ў жарданавай форме матрыцы  можна вылічыць па формуле

 дзе  — адзінкавая матрыца таго ж парадку, што і , сімвал  пазначае ранг матрыцы, а , па вызначэнні, роўны парадку . Вышэйпрыведзеная формула вынікае з роўнасці



 У выпадку, калі поле не з'яўляецца алгебраічна замкнёным, для таго каб матрыца  была падобная над  некаторай жордановой матрыцы, неабходна і дастаткова, каб поле  змяшчала ўсе карані характарыстычнага мнагачлена матрыцы .
 У эрмітавай матрыцы ўсе жарданавы клеткі маюць памер 1.
 З'яўляецца матрыцай лінейнага аператара ў кананічным базісе.
 Жарданавы формы двух падобных матрыц супадаюць з дакладнасцю да парадку клетак.

 Гісторыя 

Такая форма матрыцы разглядалася адным з першых Жарданам.

 Варыяцыі і абагульненні 

 Над полем рэчаісных лікаў уласныя значэнні матрыцы (гэта значыць карані характарыстычнага мнагачлена) могуць быць як рэчаіснымі, так і камплекснымі, прычым камплексныя ўласныя значэння, калі яны ёсць, прысутнічаюць парамі разам са сваімі камплексна спалучанымі: , дзе  и  — рэчаісныя лікі, . У рэчаіснай прасторы такой пары комплексных ўласных значэнняў адказвае блок , і да згаданага вышэй выгляду жарданавых матрыц дадаюцца матрыцы, якія змяшчаюць таксама блокі выгляду , якія адказваюць парам камплексных уласных значэнняў:Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson) Матричный анализ. — : Мир, 1989 (ISBN 5-03-001042-4).

 Тэарэма аб жарданавай нармальнай форме з'яўляецца прыватным выпадкам тэарэмы аб структуры канечнаспароджаных модуляў над абласцямі галоўных ідэалаў. Сапраўды, класіфікацыя матрыц адпавядае класіфікацыі лінейных аператараў, а вектарныя прасторы над полем  з фіксаваным лінейным аператарам біектыўна адпавядаюць модулям над кальцом мнагачлена  (множанне вектара на  задаецца як прымяненне лінейнага аператара) .
 Акрамя жарданавай нармальнай формы, разглядаюць шэраг іншых тыпаў нармальных форм матрыцы (напрыклад, фробеніўсава нармальная форма). Да іх разгляду звяртаюцца, у прыватнасці, калі асноўнае поле не змяшчае ўсіх каранёў характарыстычнага мнагачлена дадзенай матрыцы.

 Літаратура 

 Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — : Наука, 1966. — 576 с.
 Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — : Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
 Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
 Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
 Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
 Ким, Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Москва, 2005.
 В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. Жорданова форма матрицы оператора 
 P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.

Катэгорыя:Лінейная алгебра
Катэгорыя:Тыпы матрыц