Непарыўны дроб

Непары́ўны дроб (або ланцуго́вы дроб) — гэта матэматычны выраз віду

дзе  ёсць цэлы лік, і ўсе астатнія  — натуральныя лікі (дадатныя цэлыя).

Любы рэчаісны лік можна прадставіць у выглядзе непарыўнага дробу (канечнага ці бесканечнага).
Лік можна прадставіць канечным ланцуговым дробам , калі ён рацыянальны. Лік можна прадставіць перыядычным ланцуговым дробам тады і толькі тады, калі ён ёсць квадратычная ірацыянальнасць.

 Раскладанне ў непарыўны дроб 
Любы рэчаісны лік  можна прадставіць (канечным ці бесканечным, перыядычным ці неперыядычным) ланцуговым дробам , дзе






дзе  абазначае  ліку .

Для рацыянальнага ліку  гэта раскладанне абарвецца па дасягненні нулявога  для некаторага . У гэтым выпадку  прадстаўляецца канечным непарыўным дробам .

Для ірацыянальнага  усе велічыні  будуць ненулявыя і працэс раскладання можна працягваць без канца. У гэтым выпадку  прадстаўляецца бесканечным ланцуговым дробам .

Каб хутка раскласці рацыянальны лік у ланцуговы дроб, можна скарыстаць алгарытм Еўкліда.

 Падыходныя дробы 

n-ым падыходным дробам (або падыходзячым дробам) для ланцуговага дробу  называецца канечны ланцуговы дроб . Значэнне падыходнага дробу раўняецца некатораму рацыянальнаму ліку . Падыходзячыя дробы з цотнымі нумарамі ўтвараюць нарастаючую паслядоўнасць, граніца якой роўная . Аналагічна, падыходзячыя дробы з няцотнымі нумарамі ўтвараюць спадаючую паслядоўнасць, граніца якой таксама роўная .

Эйлер вывеў  для вылічэння лічнікаў і назоўнікаў падыходных дробаў:


Такім чынам, велічыні  і  прадстаўляюцца значэннямі :



Паслядоўнасці  і  нарастаюць.

Лічнікі і назоўнікі суседніх падыходных дробаў звязаны суадносінамі:
      (1)
якія можна перапісаць у выглядзе

Адкуль вынікае, што


 Прыбліжэнне рэчаісных лікаў рацыянальнымі 

Непарыўныя дробы дазваляюць эфектыўна знаходзіць добрыя рацыянальныя прыбліжэнні рэчаісных лікаў. А іменна, калі рэчаісны лік  раскласці ў ланцуговы дроб, то яго падыходныя дробы будуць задавальняць няроўнасць


Адсюль, сярод іншага, вынікае:
 падыходны дроб  з'яўляецца найлепшым прыбліжэннем для  сярод усіх дробаў, назоўнік якіх не пераўзыходзіць ;
  любога ірацыянальнага ліку не меншая чым 2.

 Прыклады 

 Раскладзём лік =3,14159265… у непарыўны дроб і падлічым яго падыходныя дробы:
 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …
 Другі падыходны дроб 22/7 — гэта вядомае архімедава прыбліжэнне. Чацвёрты падыходны дроб 355/113 быў упершыю атрыман у .

 У тэорыі музыкі трэба адшукаць рацыянальнае прыбліжэнне для . Трэці падыходны дроб 7/12 дазваляе абгрунтаваць класічнае дзяленне актавы на 12 .

 Уласцівасці і прыклады 

 Любы рацыянальны лік можна прадставіць у выглядзе канечнага непарыўнага дробу двума спосабамі, напрыклад:

 Тэарэма Лагранжа: Лік прадстаўляецца ў выглядзе бесканечнага перыядычнага ланцуговага дробу тады і толькі тады, калі ён з'яўляецца ірацыянальным рашэннем квадратнага ўраўнення з цэлымі каэфіцыентамі.
 Напрыклад:

 залатое сячэнне 
 Для алгебраічных лікаў ступені, большай за 2, характар раскладанняў у непарыўны дроб невядомы. Напрыклад, нават для  невядома, ці канечная колькасць розных лікаў у яго раскладанні ().
 Для некаторых трансцэндэнтных лікаў можна знайсці простую заканамернасць. Напрыклад, для асновы натуральнага лагарыфма:

для ліку

 У ліку пі простай заканамернасці не відаць:

 :  (акрамя мноства нулявой меры) рэчаісных лікаў існуе сярэдняе геаметрычнае каэфіцыентаў адпаведных ім ланцуговых дробаў, і яно роўнае .
 Тэарэма Маршала Хола. Калі ў раскладанні ліку  у непарыўны дроб, пачынаючы з другога элемента не сустракаюцца лікі, большыя за , то кажуць, што лік  адносіцца да класа . Любы рэчаісны лік можна прадставіць у выглядзе сумы двух лікаў з класа  і ў выглядзе здабытку двух лікаў з класа M. Hall, On the sum and product of continued fractions, Annals of Math. 48 (1947) 966—993.. У далейшым было паказана, што любы рэчаісны лік можна прадставіць сумаю трох лікаў з класа  і сумаю чатырох лікаў з класа . Колькасць неабходных складнікаў у гэтай тэарэме нельга паменшыць — для прадстаўлення некаторых лікаў названым спосабам меншай колькасці складнікаў недастатковаB. Diviš, On sums of continued fractions, Acta Arith. 22 (1973) 157—173.T. W. Cusick and R. A. Lee, Sums of sets of continued fractions, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 241-46..

 Прыкладанні непарыўных дробаў 

 Тэорыя календара 

Пры распрацоўцы  неабходна знайсці рацыянальнае прыбліжэнне для ліку дзён у годзе, які роўны 365,2421988… Падлічым падыходныя дробы для дробнай часткі гэтага ліку:

Першы дроб азначае, што раз у 4 гады трэба дабаўляць дадатковы дзень; гэты прынцып лёг у аснову юліянскага календара. Пры гэтым памылка ў 1 дзень набіраецца за 128 гадоў. Другое значэнне (7/29) ніколі не выкарыстоўвалася. Трэці дроб (8/33), г.зн. 8 высакосных гадоў за перыяд у 33 гады, быў прапанован Амарам Хаямам у XI ст. і даў пачатак , у якім памылка ў дзень набіраецца за 4500 гадоў (у грыгарыянскім — за 3280 гадоў). Вельмі дакладны варыянт з чацвёртым дробам (31/128, памылка ў суткі набіраецца толькі за 100000 гадоў) прапагандаваў нямецкі астраном Іаган фон Медлер (1864), аднак вялікай цікавасці ён не выклікаў.

 Рашэнне параўнанняў першай ступені 

Разгледзім :

дзе  зададзеныя, прычым можна лічыць, што  узаемна простае з . Трэба знайсці .

Раскладзём  у непарыўны дроб. Ён будзе канечны, і апошні падыходны дроб . Падставім у формулу (1):

Адсюль вынікае:
 ,  ці:  
Вывад: клас вылікаў   ёсць рашэнне зыходнага параўнання.

 Іншыя прыкладанні 
 Доказ ірацыянальнасці лікаў. Напрыклад, з дапамогаю ланцуговых дробаў была даказана ірацыянальнасць значэння дзэта-функцыі Рымана 
 Рашэнне ў цэлых ліках Бугаенко В. О. Уравнения Пелля, М.:МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-96-0.:  і іншых .
 Вызначэнне заведама трансцэндэнтнага ліку (гл. )
 Алгарытмы фактарызацыі SQUFOF і CFRAC.
 Характарыстыка 
 Характарыстыка 

 Уласцівасці залатога сячэння 

У непарыўным дробе залатога сячэння φ няма цэлых лікаў, большых за 1. Адсюль выцякае цікавы вынік: сярод рэчаісных лікаў лік φ — адзін з самых «цяжкіх» для прыбліжэння рацыянальнымі лікамі. Тэарэма Гурвіца сцвярджае, што любы рэчаісны лік  можна прыблізіць дробам  так, што


Хоць практычна ўсе рэчаісныя лікі  маюць бесканечна многа прыбліжэнняў , значна бліжэйшых да , чым гэта верхняя мяжа, прыбліжэнні для φ (г.зн. лікі 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 і г. д.) на граніцы дасягаюць гэтай мяжы, утрымліваючы адлегласць амаль дакладна на  ад φ, тым самым ніколі не даючы такога добрага прыбліжэння як, напрыклад, 355/113 для . Можна паказаць, што любы рэчаісны лік віду (a + bφ)/(c + dφ), дзе a, b, c і d — цэлыя лікі, такія што ad − bc = ±1, мае такую ж уласцівасць, як і залатое сячэнне φ; а таксама, што ўсе астатнія рэчаісныя лікі можна прыблізіць намнога лепш.

 Гістарычная даведка 

 ўмелі прадстаўляць адносіны несувымерных велічынь у выглядзе ланцужка падыходных адносін, атрымліваючы гэты ланцужок з дапамогаю алгарытма Еўкліда. Відаць, іменна такім спосабам Архімед атрымаў прыбліжэнне  — гэта 12-ы падыходны дроб для  ці  ад 4-га падыходнага дробу для .

У V стагоддзі індыйскі матэматык Арыябхата прымяняў падобны «метад здрабнення» для рашэння неазначальных ураўненняў першай і другой ступені. З дапамогаю гэтай жа тэхнікі было, мабыць, атрымана вядомае прыбліжэнне ліку  (355/113). У XVI стагоддзі  здабываў з дапамогаю ланцуговых дробаў квадратныя карані (гл. яго алгарытм).

Пачатак сучаснай тэорыі непарыўных дробаў даў у 1613 годзе П’етра Антоніа Катальдзі. Ён адзначыў іх асноўную ўласцівасць (гранічнае значэнне ляжыць паміж падыходнымі дробамі) і ўвёў абазначэнне, падобнае на сучаснае. Пазней яго тэорыю пашырыў Джон Валіс, які і прапанаваў тэрмін «непарыўны дроб». Раўназначны тэрмін «ланцуговы дроб» паявіўся ў канцы XVIII стагоддзя.

Прымяняліся гэтыя дробы найперш для рацыянальнага прыбліжэння рэчаісных лікаў; напрыклад, Хрысціян Гюйгенс выкарыстоўваў іх пры праектаванні зубчастых колаў свайго планетарыя. Гюйгенс ужо знаў, што падыходныя дробы заўсёды нескарачальныя і што яны даюць найлепшае рацыянальнае прыбліжэнне.

У XVIII стагоддзі тэорыю ланцуговых дробаў у агульных рысах завяршылі Леанард Эйлер і Жазеф Луі Лагранж.

 Гл. таксама 
 Алгарытм Еўкліда
 Лікі Фібаначы



 Зноскі 

 Літаратура 













Катэгорыя:Тэорыя лікаў
Катэгорыя:Непарыўныя дробы