Характарыстыка кальца

Характары́стыка (кальца ці поля) — найменшы лік , такі што складанне  адвольных аднолькавых элементаў кальца дасць у выніку нуль.
Калі такога дадатнага ліку няма, тады кажуць, што кальцо мае нулявую характарыстыку.

Гэта значыць, што характарыстыка кальца  (калі яна не роўная нулю) ёсць найменшы натуральны лік n, такі што для любога элемента  з кальца  справядліва роўнасць

Характарыстыка кальца  абазначаецца як .

 Азначэнне 
Няхай  — адвольнае кальцо. Калі існуе такі дадатны лік , што для любога элемента  выконваецца роўнасць

то найменшы з такіх лікаў  называецца характарыстыкай кальца  і абазначаецца сімвалам . Пры гэтым кальцо  называецца кальцом дадатнай характарыстыкі .

Калі ж такіх лікаў  няма, то лічаць  і называюць  кальцом характарыстыкі нуль.

У выпадку, калі кальцо  змяшчае адзінку, азначэнне трохі спрашчаецца. У гэтым выпадку характарыстыку звычайна вызначаюць як найменшы ненулявы лік , такі што

калі ж такога  няма, то характарыстыка лічыцца роўнай нулю.

 Прыклады 
 Характарыстыкі кальца цэлых лікаў , поля рацыянальных лікаў , поля рэчаісных лікаў , поля камплексных лікаў  роўныя нулю.
 Характарыстыка кальца вылікаў  роўная .
 Характарыстыка канечнага поля  (дзе  — просты лік,  — натуральны лік) раўняецца .

 Уласцівасці 
 Калі кальцо  з адзінкай і без дзельнікаў нуля мае дадатную характарыстыку , то яна з’яўляецца простым лікам. Такім чынам, характарыстыка любога поля  ёсть альбо , альбо просты лік . У першым выпадку поле  змяшчае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю рацыянальных лікаў , у другім выпадку поле  змяшчае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю вылікаў . У абодвух выпадках гэтае падполе называецца простым полем (уключаным у ).
 Характарыстыка любога поля — просты лік ці нуль. Характарыстыка канечнага поля заўсёды дадатная, аднак з таго, што характарыстыка поля дадатная, не вынікае, што поле канечнае. У якасці контрпрыкладаў можна прывесці поле рацыянальных функцый з каэфіцыентамі ў  і алгебраічнае замыканне поля .
 Калі  — камутатыўнае кальцо простай характарыстыкі , то

 для ўсіх , . Для такіх кольцаў можна вызначыць .

 Літаратура 
 Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
 Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
 Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.

Катэгорыя:Тэорыя колцаў
Катэгорыя:Тэорыя палёў