Першаісны корань (тэорыя лікаў)

Першаі́сны корань па модулю m ― цэлы лік g такі, што

і
  пры 
дзе  ― .

Іншымі словамі, першаісны корань — гэта ўтваральны элемент  колца вылікаў па модулю m.

 Уласцівасці 

 Існаванне 

Першаісныя карані існуюць толькі па модулях  віду
  = 2, 4, , ,
дзе  ― просты лік. Толькі ў гэтых выпадках  па модулю  з'яўляецца цыклічнаю групаю парадку .

 Індэкс ліку па модулю 

Для першаіснага кораня g яго ступені g01, g, …, gφ(m)-1 непараўнальныя паміж сабою па модулю  і ўтвараюць прыведзеную сістэму рэшт па модулю . Таму для кожнага ліку , узаемна простага з , знойдзецца паказчык ℓ, 0 ⩽ ℓ ⩽ , такі што

Такі лік ℓ называецца індэксам ліку  па аснове g.

 Колькасць 

Калі па модулю  існуе першаісны корань g, то ўсяго існуе  розных першаісных каранёў па модулю , прычым усе іх можна атрымаць як gk, дзе  і лік  узаемна просты з .

 Гісторыя 

Першаісныя карані для простых модуляў  былі ўведзены Эйлерам, але існаванне першаісных каранёў для любых простых модуляў  даказаў толькі Гаус у 1801 годзе.

 Прыклады 
Лік 3 з'яўляецца першаісных коранем па модулю 7. Каб пераканацца ў гэтым, дастаткова кожны лік ад 1 да 6 прадставіць як некаторую ступень тройкі па модулю 7:







Прыклады найменшых першаісных каранёў па модулю  ():
 Модуль  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14 Першаісны корань 1  2  3  2  5  3  —  2  3  2  —  2  3

 Гл. таксама 




 Літаратура 


 Спасылкі 
 «Першаісныя карані» на сайце MAXimal 


Катэгорыя:Тэорыя лікаў