Гіпотэза Пуанкарэ

Гіпо́тэза Пуанкарэ́ — адна з самых вядомых задач тапалогіі.
Яна дае дастатковую ўмову таго, што прастора з'яўляецца трохвымернаю сфераю з дакладнасцю да дэфармацыі.

 Фармулёўка 

 Гіпотэза Пуанкарэ 
У зыходнай форме гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

Усякая   трохмерная  без краю гомеаморфная трохмернай сферы.

 Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ 
Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

Для любога натуральнага ліку n усякая мнагастайнасць размернасці n  сферы размернасці n тады і толькі тады, калі яна гомеаморфная ёй.

Зыходная гіпотэза Пуанкарэ з'яўляецца асобным выпадкам абагульненай гіпотэзы пры n = 3.

 Схема доказу 

 — гэта пэўнае , падобнае на .
Ён дазваляе дэфармаваць рыманаву метрыку на мнагастайнасці, але ў працэсе дэфармацыі могуць утварацца «сінгулярнасці» — пункты, у якіх крывізна імкнецца да бесканечнасці, і дэфармацыю немагчыма працягнуць.
Асноўны крок у доказе заключаецца ў класіфікацыі такіх сінгулярнасцей у трохмерным арыентаваным выпадку.
Пры падыходзе да сінгулярнасці паток спыняюць і ажыццяўляюць  — выкідваюць малую звязную кампаненту ці выразаюць «шыю» (г. зн. адкрытую вобласць  прамому здабытку ), а атрыманыя дзве дзіркі заклейваюць двума шарамі так, што  атрыманай мнагастайнасці становіцца дастаткова гладкаю — пасля чаго працягваюць дэфармацыю ўздоўж патоку Рычы.

Працэс, апісаны вышэй, называецца «паток Рычы з хірургіяй».
Класіфікацыя сінгулярнасцей дазваляе заключыць, што кожны «выкінуты кавалак»  .

Пры доказе гіпотэзы Пуанкарэ пачынаюць з адвольнай рыманавай метрыкі на адназвязнай трохмернай мнагастайнасці  і прымяняюць да яе паток Рычы з хірургіяй.
Важным крокам з'яўляецца доказ таго, што ў выніку такога працэсу «выкідваецца» ўсё.
Гэта значыць, што зыходную мнагастайнасць  можна прадставіць як набор сферычных прасторавых форм , злучаных адна з адною трубкамі .
Падлік  паказвае, што  дыфеаморфная  набору прасторавых форм , і больш таго, усе  трывіяльныя.
Такім чынам,  з'яўляецца звязнаю сумаю набору сфер, г.зн. сфераю.

 Гісторыя 
У 1900 годзе Пуанкарэ выказаў здагадку, што трохмерная мнагастайнасць са ўсімі групамі гамалогій як у сферы гомеаморфнае сферы.
У 1904 годзе ён жа знайшоў контрпрыклад, які цяпер называецца , і сфармуляваў канчатковы варыянт сваёй гіпотэзы.
Спробы даказаць гіпотэзу Пуанкарэ прывялі да шматлікіх новых вынікаў у тапалогіі мнагастайнасцей.

Доказы абагульненай гіпотэзы Пуанкарэ для n ⩾ 5 атрыманы ў пачатку 1960—1970-х амаль адначасова Смейлам, незалежна і іншымі метадамі  (для n ⩾ 7, яго доказ быў пашыраны на выпадкі n = 5 і 6 ). Доказ значна цяжэйшага выпадку n = 4 быў атрыман толькі ў 1982 годзе Фрыдманам. З тэарэмы Новікава аб тапалагічнай інварыянтнасці характарыстычных класаў Пантрагіна вынікае, што існуюць гоматапічна эквівалентныя, але не гомеаморфныя мнагастайнасці ў высокіх размернасцях.

Доказ зыходнай гіпотэзы Пуанкарэ (і больш агульнай гіпотэзы Цёрстана) быў знойдзены толькі ў 2002 годзе Рыгорам Перэльманам.
Пазней доказ Перэльмана быў правераны і прадстаўлены ў разгорнутым выглядзе сама меней трыма групамі навукоўцаўИ. Иванов Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков 03/08/06, elementy.ru. Доказ выкарыстоўвае паток Рычы з хірургіяй і ў многім прытрымліваецца плана, намечанага , які таксама першым прымяніў паток Рычы.

 Прызнанне і ацэнкі 
 Фрыдман (у 1986 годзе) і Перэльман (у 2006 годзе) сталі Філдсаўскімі лаўрэатамі.
 У 2006 годзе часопіс Science назваў доказ Перэльманам гіпотэзы Пуанкарэ навуковым «прарывам года» (). Гэта першая праца па матэматыцы, якая заслужыла такое званнеKeith Devlin. The biggest science breakthrough of the year. Mathematical Association of America. 2006..
 У 2006 годзе  апублікавала нашумелыСярод іншага, «Manifold Destiny» была ўключана ў кнігу The Best American Science Writing за 2007 год. артыкул , які расказвае гісторыю доказу гіпотэзы Пуанкарэ Рускі пераклад: «Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет»..
 18 сакавіка 2010 года  прысудзіў Прэмію тысячагоддзя за доказ гіпотэзы Пуанкарэ Р. Я. ПерэльмануPrize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman . Пресс-релиз математического института Клэя., але той адмовіўся яе браць.

 Гл. таксама 



 Зноскі 

 Літаратура 



 J. Milnor, The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report

 John W.Morgan, Gang Tian Ricci Flow and the Poincare Conjecture
 B. Kleiner, J. Lott Notes on Perelman's papers
 Terence Tao Perelman's proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective

Катэгорыя:Тапалогія
Пуанкарэ
Катэгорыя:Задачы тысячагоддзя