Адваротная функцыя

Адваро́тная фу́нкцыя — функцыя, якая абарачае вызначаную функцыю: калі функцыя  ад аргумента  дае значэнне , то яе адваротная функцыя  ад  дае , г. зн. , і . Коратка гэта можна запісаць так: .

Функцыю, адваротную да функцыі , звычайна абазначаюць як .

Функцыя, для якой існуе адваротная функцыя, называецца абарачальнаю.

 Азначэнне 
Функцыя  з'яўляецца адваротнаю да функцыі , калі выконваюцца наступныя тоеснасці:
  для ўсіх 
  для ўсіх 

 Існаванне 
Каб знайсці адваротную функцыю, трэба развязаць ураўненне  адносна . Калі яно мае больш чым адзін корань, то функцыі, адваротнай да , не існуе. Такім чынам, функцыя  абарачальная на прамежку  тады і толькі тады, калі на гэтым прамежку яна ін'ектыўная.

Для непарыўнай функцыі  выразіць  з ураўнення  можна ў тым і толькі тым выпадку, калі функцыя  манатонная (см. тэарэма пра няяўную функцыю). Тым не менш, непарыўную функцыю заўсёды можна абярнуць на прамежках яе манатоннасці. Напрыклад,  з'яўляецца адваротнаю да  на , хоць на прамежку  адваротная функцыя іншая: .

 Прыклады 
 Калі , дзе  то 
 Калі , дзе  вызначаныя пастаянныя і , то 
 Калі , то 

 Уласцівасці 
 Вобласцю вызначэння  з'яўляецца мноства , а вобласцю значэнняў — мноства .
 Па азначэнню маем:

ці


або карацей


дзе  абазначае кампазіцыю функцый, а  — тоесныя адлюстраванні на  і  адпаведна.
 Функцыя  з'яўляецца адваротнаю да :
 .
 Няхай  — біекцыя. Няхай  яе адваротная функцыя. Тады графікі функцый  і  сіметрычныя адносна прамой .

 Раскладанне ў ступенны рад 
Адваротную функцыю аналітычнай функцыі можна прадставіць у выглядзе ступеннага рада:

дзе каэфіцыенты  задаюцца рэкурсіўнаю (зваротнаю) формулай:


 Гл. таксама 
 Біектыўнае адлюстраванне
 Тэарэма Лагранжа аб абарачэнні радоў
 Адваротныя трыганаметрычныя функцыі

Катэгорыя:Функцыі