Праблема Варынга

Прабле́ма Ва́рынга — сцвярджэнне ў тэорыі лікаў, згодна з якім пры кожным цэлым  існуе такі лік , што ўсякі натуральны лік  можна прадставіць у выглядзе:

з цэлымі неадмоўнымі .

Як гіпотэза прапанована ў 1770 годзе  (Варынгам)Waring E. Meditationes algebraicae. — Cambridge, 1770., даказана Гільбертам у 1909 годзе. Ужо пасля доказу вакол пытанняў, як звязаных з доказам асноўнай праблемы, так і з рознымі варыянтамі і абагульненнямі, праведзена значная колькасць даследаванняў, у рамках якіх атрыманы цікавыя вынікі і развіты важныя метады. У  (MSC) праблеме Варынга і звязаным з ёю даследаванням прысвечаны асобны раздзел трэцяга ўзроўню: 11P05, «Праблема Варынга і яе варыянты»11P05 Waring's problem and variants  // Mathematical Subject Classification, 2010.

 Асноўныя вынікі 
Да ХХ стагоддзя праблему ўдавалася рашыць толькі ў асобных выпадках. Напрыклад,  устанаўлівае  для праблемы ў выпадку .

Першы доказ справядлівасці гіпотэзы Варынга быў даны ў 1909 годзе Гільбертам. Доказ быў вельмі аб'ёмным і будаваўся на складаных аналітычных канструкцыях, уключаючы пяцікратныя інтэгралы.

У 1920 годзе новы доказ гэтай жа тэарэмы далі  і , распрацаваўшы дзеля гэтага адмысловы кругавы метадHardy G. H., Littlwood J. E. // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. p. 33—54. IV: Math. Z., 1922, № 12, p. 161—188.. Яны ўвялі дзве функцыі  і :
  — найменшае  такое, што праблема Варынга вырашальная пры ;
  — найменшае  такое, што праблема Варынга мае рашэнне пры .
Ясна, што . Хардзі і Літлвуд далі для  ацэнку знізу , якая па парадку і па канстанце ў агульным выпадку не палепшана (па стане на 2010-я гг.), і ацэнку зверху, якая пасля была карэнным чынам палепшана. Гэта функцыя з тае пары называецца функцыяй Хардзі. Яны таксама атрымалі асімптатычную формулу для ліку рашэнняў праблемы Варынга.

Такім чынам, у выніку даследавання праблемы Варынга былі распрацаваны магутныя аналітычныя метады. Аднак Ю. У. Ліннік у 1942 годзе знайшоў доказ асноўнай тэарэмы на аснове элементарных метадаўЛинник Ю. В. Элементарное решение проблемы Waring'a по методу Шнирельмана // Мат. сб., 1943, т. 12, № 54, с. 218—230..

Функцыя  сёння вядома.
Для больш фундаментальнай функцыі  атрыман шэраг ацэнак зверху і знізу, але яе канкрэтныя значэнні невядомыя нават для малых .

 Функцыя g(n) 
, сын Леанарда Эйлера, выказаў здагадку каля 1772 годаЛ. Эйлер Opera postuma (1), 203—204 (1862), што

дзе  абазначае  рэчаіснага ліку .

У 1940-я гады , , ,  з улікам выніку  даказалі, што гэта верна за выключэннем канечнага ліку значэнняў , большых за . Ёсць гіпотэза, што гэта формула верная для ўсіх натуральных лікаў.

Прывядзём некалькі першых значэнняў :
 1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, , , , , , , , , … 

Цікава, што, напрыклад, для  толькі лікі 23 і 239 нельга прадставіць сумаю васьмі кубоў.

 Функцыя G(n) 
У 1924 годзе І. М. Вінаградаў прымяніў да праблемы Варынга свой метад трыганаметрычных сумВиноградов И. М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, № 5, с. 637—642.. Гэта не толькі моцна спрасціла доказ, але і адкрыла шлях да прынцыповага паляпшэння ацэнкі для . Пасля цэлага рада ўдакладненняў ён у 1959 годзе даказаў, што

Прымяняючы сканструяваную ім -адычную форму кругавога метаду Хардзі — Літлвуда — Рамануджана — Вінаградава да ацэнак трыганаметрычных сум, у якіх сума бярэцца па ліках з малымі простымі дзельнікамі,  палепшыў гэту ацэнку. Пры :


Пазней ацэнку палепшыў . Спачатку ў працы 1992 годаWooley T. D. Large improvements in Waring's problem // Ann. of Math. 135 (1992), 131—164., а потым — у 1995 годзеWooley T. D. New estimates for smooth Weyl sums // J. London Math. Soc. (2) 51 (1995), 1-13.:


 і Вулі напісалі аб праблеме Варынга аб'ёмны аглядны артыкул, у якім вынік Карацубы адносяць да публікацыі Воана 1989 годаVaughan R. C. A new iterative method in Waring's problem // Acta Math. 162 (1989), 1—71..

 Межы 4 ≤ G(2) ≤ 4 4 ≤ G(3) ≤ 7 16 ≤ G(4) ≤ 16 6 ≤ G(5) ≤ 17 9 ≤ G(6) ≤ 24 8 ≤ G(7) ≤ 33 32 ≤ G(8) ≤ 42 13 ≤ G(9) ≤ 50 12 ≤ G(10) ≤ 59 12 ≤ G(11) ≤ 67 16 ≤ G(12) ≤ 76 14 ≤ G(13) ≤ 84 15 ≤ G(14) ≤ 92 16 ≤ G(15) ≤ 100 64 ≤ G(16) ≤ 109 18 ≤ G(17) ≤ 117 27 ≤ G(18) ≤ 125 20 ≤ G(19) ≤ 134 25 ≤ G(20) ≤ 142
Фактычна велічыня  вядома толькі для 2 значэнняў аргумента, а іменна  і .
Апошні вынік даказаў  Davenport H. On Waring's problem for fourth powers // Annals of Math., 1939, № 40, p. 731—747..

Верхнія межы ў табліцы справа для  прыведзены ў працы  і .

Верхнюю ацэнку  даказаў Ю. У. Ліннік. Камп'ютарныя эксперыменты дазваляюць меркаваць, што гэту ацэнку можна палепшыць да 4Nathanson (1996), p. 71. Найбольшы вядомы лік, які нельга прадставіць сумаю 4 кубоў, гэта .
Таксама камп'ютарныя эксперыменты паказваюць, што магчыма .

Акрамя дакладных значэнняў  адкрытым застаецца пытанне і пра лік рашэнняў праблемы Варынга пры заданых параметрах і абмежаваннях.

 Абагульненні 

 Праблема Варынга — Гольдбаха 
Праблема Варынга — Гольдбаха ставіць пытанне: ці можна прадставіць любы цэлы лік сумаю -ых ступеней простых лікаў, дзе колькасць складнікаў абмежавана некаторай сталай велічынёю (па аналогіі з праблемаю Варынга і ).

, з дапамогаю палепшаных метадаў Хардзі — Літлвуда і Вінаградава, атрымаўHua Lo Keng. Additive theory of prime numbers // Translations of Mathematical Monographs, 13, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1965, xiii+190 pp. для ліку простых складнікаў ацэнку зверху .

 Дакладнасць прадстаўлення цэлага ліку сумаю ступеней 
Абагульненнем праблемы Варынга можна лічыць пытанне аб дакладнасці прадстаўлення цэлага ліку сумаю ступеней цэлых, не развязанае нават для другой ступені.

Усе натуральныя лікі, за выключэннем лікаў віду , дзе , можна прадставіць у выглядзе . Натуральна ўзнікае пытанне: як блізка да заданага ліку  можна падысці сумаю двух квадратаў цэлых лікаў? Паколькі  і правая частка гэтай роўнасці мае парадак кораня квадратнага з , то адным квадратам можна падысці да  на адлегласць парадку . Такім чынам, сумаю двух квадратаў можна падысці да  на адлегласць парадку . А ці можна падысці бліжэй? З часоў Эйлера стаіць гэта задача «без руху», хоць ёсць гіпотэза, што

дзе  — любое, .
Замяніць  у папярэднім разважанні на  з адвольна малым фіксаваным  не ўдаецца, і гэта, на першы погляд, простая задача «стаіць на месцы» з сярэдзіны XVIII стагоддзяСовр. пробл. матем., 2008, выпуск 11.

 Мнагамерны аналаг праблемы Варынга 
У сваіх далейшых даследаваннях па праблеме Варынга А. А. Карацуба атрымаў
наступнае двухмернае абагульненне праблемы:

Разгледзім сістэму ўраўненняў

дзе  — зададзеныя натуральныя лікі з аднолькавым парадкам росту, , а  — невядомыя натуральныя лікі. Гэта сістэма вырашальная, калі ,
а калі , то ёсць такія , што сістэма не мае рашэнняў.

 Гл. таксама 


 Зноскі 

 Літаратура 




Катэгорыя:Аналітычная тэорыя лікаў