Рад Фур’е

Рад Фур'е — прадстаўленне адвольнай функцыі  з перыядам  у выглядзе рада


Гэты рад можна таксама запісаць у відзе

дзе
  — амплітуда -га гарманічнага вагання,
  — кругавая частата гарманічнага вагання,
  — пачатковая фаза -га вагання,
  — -я камплексная амплітуда.

У больш агульным выглядзе радам Фур'е элемента гільбертавай прасторы называецца раскладанне гэтага элемента па артаганальнаму базісу. Існуе мноства сістэм артаганальных функцый: Уолша, Лагера, Кацельнікава і інш.

Раскладанне функцыі ў рад Фур'е з'яўляецца магутным інструментам пры рашэнні самых розных задач дзякуючы таму, што рад Фур'е празрыстым чынам паводзіць сябе пры дыферэнцаванні, інтэграванні, зруху функцыі па аргументу і згортцы функцый.

Рад названы так у гонар французскага матэматыка Жана Фур'е.

 Трыганаметрычны рад Фур'е 

Трыганаметрычным радам Фур'е функцыі  называюць функцыянальны рад віду

 (1)

дзе







Лікі ,  і  () называюцца каэфіцыентамі Фур'е функцыі . Формулы для іх можна растлумачыць наступным чынам. Дапусцім, трэба прадставіць функцыю  у выглядзе рада (1), і трэба вызначыць невядомыя каэфіцыенты ,  і . Калі дамножыць правую частку (1) на  і праінтэграваць па прамежку , дзякуючы артаганальнасці ў правай частцы ўсе складнікі будуць роўныя нулю, акрамя аднаго. З атрыманай роўнасці лёгка выражаецца каэфіцыент . Гэтак жа для .

Рад (1) збягаецца к функцыі  у прасторы . Іншымі словамі, калі абазначыць праз  частковыя сумы рада (1):



то іх сярэдняе квадратовае адхіленне ад функцыі  будзе імкнуцца к нулю:



Нягледзячы на збежнасць стандартнага адхілення, рад Фур'е функцыі, увогуле кажучы, не абавязан збягацца к ёй папунктава.

Часта пры рабоце з радамі Фур'е бывае зручней у якасці базіса выкарыстоўваць замест сінусаў і косінусаў экспаненты ўяўнага аргумента. Разгледзім прастору  камплесназначных функцый са скалярным здабыткам
 .

Таксама разгледзім сістэму функцый



Як і раней, гэтыя функцыі з'яўляюцца папарна артаганальнымі і ўтвараюць поўную сістэму, і такім чынам, любую функцыю  можна раскласці па іх у рад Фур'е:



дзе рад у правай частцы збягаецца к  па норме ў  Тут



Каэфіцыенты  звязаны з класічнымі каэфіцыентамі Фур'е па наступных формулах:




 Камплексная функцыя рэчаіснай зменнай раскладаецца ў такі ж рад Фур'е па ўяўных экспанентах, як і рэчаісная, але ў адрозненне ад апошняй, у яе раскладанні  і  не будуць, наогул кажучы, камплексна спалучанымі.

 Абагульненні 

 Рады Фур'е ў гільбертавай прасторы 
Апісаную вышэй канструкцыю можна абагульніць з выпадка прасторы  з трыганаметрычнай сістэмай на адвольную гільбертаву прастору. Няхай зададзеныя артаганальная сістэма  ў гільбертавай прасторы 
і  — адвольны элемент з . Дапусцім, трэба прадставіць  у выглядзе (бесканечнай) лінейнай камбінацыі элементаў :

Дамножым гэты выраз на . З улікам артаганальнасці сістэмы функцый  усе складнікі рада аказваюцца нулямі, акрамя складніка пры :

Паслядоўнасць лікаў

называецца каардынатамі, ці каэфіцыентамі Фур'е элемента  па сістэме , а рад

называецца радам Фур'е элемента  па артаганальнай сістэме .

Рад Фур'е любога элемента  па любой артаганальнай сістэме збягаецца ў прасторы , але яго сума не абавязкова роўная . Для ортанармаванай сістэмы  у сепарабельнай гільбертавай прасторы наступныя ўмовы раўназначныя:

 сістэма з'яўляецца базісам, г. зн. сума рада Фур'е любога элемента роўная гэтаму элементу.
 сістэма з'яўляецца поўнай, г. зн. у  не існуе ненулявога элемента, артаганальнага ўсім элементам  адначасова.
 сістэма з'яўляецца замкнутай, г. зн. для любога  справядліва роўнасць Парсеваля

 лінейныя камбінацыі элементаў  шчыльныя ў прасторы .

Калі гэтыя ўмовы не выконваюцца, то сума рада Фур'е элемента  роўная яго артаганальнай праекцыі на замыканне лінейнай абалонкі элементаў  У гэтым выпадку замест роўнасці Парсеваля справядліва няроўнасць Беселя:


 Дваістасць Пантрагіна 

Пры абагульненні радоў Фур'е на выпадак гільбертавых прастор губляюцца ўласцівасці, якія звязваюць рады Фур'е са згорткаю — тое, што каэфіцыенты Фур'е згорткі функцый з'яўляюцца пачленнымі здабыткамі іх каэфіцыентаў Фур'е, і наадварот, каэфіцыенты Фур'е здабытку прадстаўляюцца згорткаю каэфіцыентаў Фур'е сумножнікаў. Гэтыя ўласцівасці ключавыя для прыкладанняў тэорыі Фур'е да рашэння дыферэнцыяльных, інтэгральных і іншых функцыянальных ураўненняў. Таму найбольш цікавымі з'яўляюцца такія абагульненні радоў Фур'е, для якіх гэтыя ўласцівасці захоўваюцца. Такім абагульненнем з'яўляецца тэорыя дваістасці Пантрагіна. Яна разглядае функцыі, зададзеныя на лакальна-кампактных абелевых групах. Аналагам рада Фур'е такой функцыі будзе функцыя, зададзеная на дваістай групе.

 Збежнасць рада Фур'е 

 Агляд вынікаў аб збежнасці рада Фур'е 
Абазначым праз  частковыя сумы рада Фур'е функцыі :

Далей абмяркоўваецца збежнасць паслядоўнасці функцый  к функцыі  у розных сэнсах. Функцыя  лічыцца -перыядычнаю (калі яна зададзена толькі на прамежку , яе можна перыядычна працягнуць).

 Калі , то паслядоўнасць  збягаецца к функцыі  у сэнсе . Акрамя таго,  з'яўляюцца найлепшым (у сэнсе адлегласці ў ) прыбліжэннем функцыі  трыганаметрычным мнагачленам ступені не больш за .
 Збежнасць радоў Фур'е ў зададзеным пункце  — лакальная ўласцівасць, г. зн. калі функцыі  і  супадаюць у некаторым наваколлі , то паслядоўнасці  і  альбо адначасова разбягаюцца, альбо адначасова збягаюцца, і ў гэтым выпадку іх граніцы супадаюць.
 Калі функцыя  дыферэнцавальная ў пункце , то яе рад Фур'е ў гэтым пункце збягаецца к . Больш дакладныя дастатковыя ўмовы ў тэрмінах гладкасці функцыі  задаюцца прыкметаю Дзіні.
 Функцыя, непарыўная ў пункце , можа мець разбежны ў ёй рад Фур'е. Але, калі ён збягаецца, то абавязкова к . Гэта вынікае з таго, што для непарыўнай у  функцыі  паслядоўнасць  збягаецца па Чэзара к .
 Калі функцыя  разрыўная ў пункце , але мае граніцы ў гэтым пункце справа і злева , то пры некаторых дадатковых умовах  збягаюцца к . Падрабязней гл. мадыфікаваную прыкмету Дзіні.
 Тэарэма Карлесана: калі , то яе рад Фур'е збягаецца к ёй амаль усюды. Гэта верна і калі . Аднак, існуюць функцыі з , чый рад Фур'е разбягаецца ва ўсіх пунктах (тэарэма Калмагорава).
 Возьмем пункт . Тады мноства ўсіх непарыўных функцый, чый рад Фур'е збягаецца ў гэтым пункце, з'яўляецца мноствам першай катэгорыі ў прасторы . У некаторым сэнсе гэта азначае, што «тыповая» непарыўная функцыя мае разбежны рад Фур'е.

 Спаданне каэфіцыентаў Фур'е і аналітычнасць функцыі 
Існуе фундаментальная сувязь паміж аналітычнасцю функцыі і скорасцю спадання яе каэфіцыентаў Фур'е. Чым «лепшая» функцыя, тым скарэй яе каэфіцыенты імкнуцца да нуля, і наадварот. Ступеннае спаданне каэфіцыентаў Фур'е ўласцівае функцыям класа , а экспаненцыяльнае — аналітычным функцыям. Прыклады такой сувязі:
 Каэфіцыенты Фур'е любой інтэгравальнай функцыі імкнуцца да нуля ().
 Калі функцыя  належыць класу , г. зн. дыферэнцавальная  разоў і яе -я вытворная непарыўная, то 
 Калі рад  збягаецца абсалютна, то  пры ўсіх .
 Калі функцыя належыць класу Гёльдэра з паказчыкам , та рад  збягаецца абсалютна (тэарэма Бернштэйна).
 Калі , то функцыя  з'яўляецца аналітычнаю. Справядліва і адваротнае.

 Гл. таксама 
 Пераўтварэнне Фур’е
 Хуткае пераўтварэнне Фур'е
 Трыганаметрычны рад
 Прыкмета Жардана
 Прыкмета Дзіні
 Лікавы рад
 АТС тэарэма

 Літаратура 





Катэгорыя:Пераўтварэнне Фур'е
Катэгорыя:Рады
Катэгорыя:Гарманічны аналіз