Тэарэма Эйлера (тэорыя лікаў)

Тэарэма Эйлера ў тэорыі лікаў абвяшчае:

Калі  і  узаемна простыя, то , дзе  — функцыя Эйлера.

Частковым выпадкам тэарэмы Эйлера з'яўляецца малая тэарэма Ферма (пры простым m). У сваю чаргу, тэарэма Эйлера з'яўляецца следствам тэарэмы Лагранжа.

 Доказы 

 З дапамогай тэорыі лікаў 

Хай  — усе розныя натуральныя лікі, меншыя  і ўзаемна простыя з ім.

Разгледзім усе магчымыя здабыткі  для ўсіх  ад  да 

Паколькі  ўзаемна просты з  і  ўзаемна просты з , то і  таксама ўзаемна просты з , г. зн.  для некаторага .

Адзначым, што ўсе астачы  пры дзяленні на  розныя. Сапраўды, хай гэта не так, то існуюць такія , што


або


Так як  ўзаемна просты з , то апошняе роўнасць раўнасільная таму , што

  или .

Гэта супярэчыць таму, што лікі  парамі розныя па модулю .

Перамножым ўсе параўнанні выгляду . Атрымаем:


або
 .

Паколькі лік  ўзаемна просты з , то апошняе параўнанне раўнасільнае таму, што


или 
 ■

 З дапамогай тэорыі груп 

Разгледзім мультыплікатыўную групу  абаротных элементаў колцы вылікаў . Яе парадак роўны  паводле вызначэння функцыі Эйлера. Паколькі лік  ўзаемна просты з , элемент  у , які адпавядае яму, з'яўляецца абаротным і належыць . Элемент  спараджае цыклічную падгрупу, парадак якой, згодна з тэарэме Лагранжа, дзеліць , адсюль . ■

 Гл. таксама 
 Функцыя Эйлера
 Малая тэарэма Ферма

Катэгорыя:Тэорыя лікаў