Праектыўная прастора

Праекты́ўная прасто́ра над полем  — прастора, якая складаецца з прамых (аднамерных падпрастор) некаторай лінейнай прасторы  над гэтым полем. Прамыя прасторы  называюцца пунктамі праектыўнай прасторы. Гэта азначэнне можна абагульніць на адвольнае цела .

Калі  мае размернасць , то размернасцю праектыўнай прасторы называецца лік , а сама праектыўная прастора абазначаецца  і называецца асацыяванаю з 
(каб гэта пазначыць, прынята абазначэнне ).

Пераход ад вектарнай прасторы  размернасці  да адпаведнай праектыўнай прасторы  называецца праектывізацыяй прасторы .

Пункты  можна апісаць з дапамогаю .

 Аксіяматычнае азначэнне 
Праектыўная прастора можа таксама вызначацца сістэмаю аксіём тыпу . У гэтым выпадку праектыўная прастора вызначаецца як сістэма, якая складаецца з мноства пунктаў P, мноства прамых L і дачынення інцыдэнтнасці I, якое звычайна выражаецца словамі «пункт ляжыць на прамой» ці «прамая праходзіць праз пункт», і задавальняе наступныя аксіёмы:
 Для любых двух розных пунктаў існуе адзіная прамая, інцыдэнтная абодвум пунктам; (праз любыя два пункты праходзіць толькі адна прамая)
 Кожная прамая інцыдэнтная не менш чым тром пунктам; (на кожнай прамой ляжыць не менш чым тры пункты)
 Калі прамыя L і M перасякаюцца (маюць агульны інцыдэнтны пункт), пункты p і q ляжаць на прамой L, а пункты s і r — на прамой M, то прамыя ps і qr перасякаюцца.

Падпрастораю праектыўнай прасторы называецца падмноства T мноства P, такое што для любых  з гэтага падмноства ўсе пункты прамой pq належаць T. Размернасцю праектыўнай прасторы P называецца найбольшы лік n, такі што існуе строга нарастаючы  падпрастор віду


Заўвага: усе сцвярджэнні можна лёгка сфармуляваць з дапамогаю паняцця прыналежнасці, не ўводзячы паняцця інцыдэнтнасці. Аднак паняцце інцыдэнтнасці дазваляе фармуляваць сцвярджэнні ў форме, сіметрычнай адносна паняццяў "пункт" і "прамая". І ў некаторых выпадках гэта аказваецца даволі зручным.

 Класіфікацыя 
 Размернасць 0: прастора складаецца з аднаго пункта.
 Размернасць 1: адвольнае непустое мноства пунктаў і адзіная прамая, на якой ляжаць усе гэтыя пункты.
 Размернасць 2 (): у гэтым выпадку класіфікацыя больш складаная. Усе плоскасці віду  для некаторага цела  задавальняюць , аднак існуюць такія .
 Большыя размернасці: згодна з Veblen, Oswald; Young, John Wesley. Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London, 1965 (Reprint of 1910 edition), любая праектыўная прастора размернасці больш чым два можа быць атрымана як праектывізацыя  над некаторым целам.

 Звязаныя азначэнні і ўласцівасці 
 Няхай  — гіперплоскасць у лінейнай прасторы . Праектыўная прастора  называецца праектыўнаю гіперплоскасцю ў .
 На дапаўненні праектыўнай гіперплоскасці  існуе натуральная структура .
 Наадварот, узяўшы за аснову афінную прастору  можна атрымаць праектыўную прастору як афінную, да якой дабаўлены т. зв. бесканечна аддаленыя пункты. Першапачаткова праектыўная прастора і была ўведзена такім чынам.

 Таўталагічнае расслаенне 
Таўталагічным расслаеннем  называецца , прастораю расслаення якога з'яўляецца падмноства прамога здабытку 

а слоем — рэчаісная прамая . Кананічная праекцыя  адлюстроўвае прамую, якая праходзіць праз пункты , у адпаведны пункт праектыўнай прасторы. Пры  гэта расслаенне не з'яўляецца трывіяльным.
Пры  прастораю расслаення з'яўляецца стужка Мёбіуса.

 Зноскі 

 Літаратура 
 Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
 Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
 Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: МГУ, 1980.
 Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
 Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
 Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
 Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
 Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.

Катэгорыя:Праектыўная геаметрыя