Рад Ларана

Рад Ларана — двухбаковы бясконцы ступеневы рад па цэлых ступенях  над полем камплексных лікаў:


дзе 

Гэты рад з'яўляецца сумай двух радоў:

  — неадмоўная частка рада Ларана, якая часам называецца правільнай і
  — адмоўная частка рада Ларана, якая часам называецца галоўнай.

Пры гэтым рад Ларана лічыцца збежным тады і толькі тады, калі сыходзяцца яго правільная і галоўная часткі. Гэтыя рады названы так у гонар французскага матэматыка П. А. Ларана.

 Уласцівасці 

 Калі нутро вобласці збежнасці рада Ларана непустое, то яно ўяўляе сабой кругавое кольца



 Ва ўсіх пунктах свайго кольца збежнасці  рад Ларана сыходзіцца абсалютна;
 Як і для ступеневых радоў, паводзіны рада Ларана ў пунктах межавых акружнасцей кольца збежнасці могуць быць самымі разнастайнымі;
 На любым кампактным падмностве  рад збягаецца раўнамерна;
 Сума рада Ларана ў  ёсць аналітычная функцыя ;
 Рад Ларана можна дыферэнцаваць і інтэграваць у  пачленна;
 Раскладанне ў рад Ларана адзінае, гэта значыць калі сумы двух радоў Ларана супадаюць у , то супадаюць і ўсе каэфіцыенты гэтых радоў.
 Каэфіцыенты  рада Ларана вызначаюцца праз яго суму  формуламі

 дзе , ,  — любая акружнасць з цэнтрам , размешчаная ўсярэдзіне кольца збежнасці.

 Тэарэма Ларана 
Прымяненне радоў Ларана заснавана галоўным чынам на наступнай тэарэме Ларана:

Любую адназначную аналітычную функцыю  у колцы  можна прадставіць у  збежным радам Ларана.

У тым ліку, у праколатым наваколлі



ізаляванага асаблівага пункта  адназначная аналітычная функцыя  прадстаўляецца радам Ларана, які служыць асноўным інструментам даследавання яе паводзін у наваколлі ізаляванага асаблівага пункта.

Тып асаблівага пункта вызначаецца галоўнай часткай рада Ларана ў праколатым наваколлі гэтага пункта:

 Скасавальны асаблівы пункт — галоўная частка рада Ларана роўная 0.
 Полюс — галоўная частка змяшчае канечны лік ненулявых членаў.
 Істотна асаблівы пункт — галоўная частка змяшчае бясконцую колькасць ненулявых членаў.

 Літаратура 





Катэгорыя:Камплексны аналіз
Катэгорыя:Рады