Камплексная плоскасць

Камплексная плоскасць — гэта двухмерная рэчаісная прастора , ізаморфная полю камплексных лікаў . Кожны пункт такой прасторы — гэта ўпарадкаваная пара выгляду , дзе  і  — рэчаісныя лікі, і дзе першы элемент пары адпавядае рэчаіснай частцы, а другі элемент пары адпавядае ўяўнай частцы камплекснага ліку :

Упарадкаваную пару  натуральна вытлумачваць як радыус-вектар з пачаткам у нулі і з канцом у пункце . 

З прычыны ізамарфізму  і , алгебраічныя аперацыі над камплекснымі лікамі пераносяцца на аперацыі над адпаведнымі ім радыус-вектарамі:
 складанне камплексных лікаў — гэта складанне адпаведных радыус-вектараў;
 множанне камплексных лікаў — гэта пераўтварэнне радыус-вектара, звязанае з яго паваротам і расцяжэннем.

Вынікам кампактыфікацыі (замыкання) камплекснай плоскасці з'яўляецца пашыраная камплексная плоскасць — камплексная плоскасць, дапоўненая бясконца аддаленым пунктам, ізаморфная камплекснай сферы. Камплексная плоскасць звязана з камплекснай сферай, напрыклад, стэрэаграфічнай праекцыяй.

Камплексназначныя функцыі комплекснай пераменнай звычайна інтэрпрэтуюцца як адлюстраванні камплекснай плоскасці або сферы ў сябе. Паколькі прамыя на плоскасці (пры стэрэаграфічнай праекцыі) пераходзяць у акружнасці на сферы, якія ўтрымліваюць бясконца аддалены пункт, камплексныя функцыі зручней разглядаць на сферы.

Разглядаючы на камплекснай плоскасці тапалогію , можна ўводзіць паняцці адкрытых, замкнёных мностваў, і даваць вызначэнні такіх аб'ектаў як крывыя і фармуляваць такія ўласцівасці камплексных функцый як непарыўнасць, дыферэнцавальнасць і аналітычнасць, а камплекснае прадстаўленне дазваляе кампактна апісваць гэтыя ўласцівасці на мове суадносін паміж рэчаіснымі і ўяўнымі часткамі, а таксама, паміж модулямі і аргументамі адпаведных камплексных лікаў.

Асаблівую ролю ў камплексным аналізе адыгрываюць канформныя адлюстраванні.

 Мноствы на камплекснай плоскасці 

 Адкрытыя мноствы 
Фундаментальнае паняцце наваколля ўводзіцца на камплекснай плоскасці вельмі проста - наваколлем  пункта  называецца мноства выгляду . Геаметрычна на камплекснай плоскасці наваколлі маюць вельмі просты выгляд — гэта проста акружнасці з цэнтрам у пэўных пунктах камплекснай плоскасці. Часам бывае зручна разглядаць праколатыя наваколлі .

Зараз азначым адкрытае мноства — паводле аднаго з варыянтаў класічнага азначэння з агульнай тапалогіі, адкрытым мноства будзе, калі яно для любога свайго пункта змяшчае некаторае яго наваколле. Паняцце наваколля ўжо вызначана, адпаведна, адкрытае мноства на  цалкам вызначана.

 Гранічны пункт і замкнёнае мноства 

Вызначыць гранічны пункт таксама няцяжка — пункт  будзе гранічным для мноства , калі для адвольнага наваколля  перасячэнне  будзе непустым. Іншымі словамі, пункт з'яўляецца гранічным, калі ў адвольнай «блізкасці» да яго заўсёды ёсць пункты мноства. Мноства гранічных пунктаў часам называецца вытворным і абазначаецца як .

Мноства  будзе называцца замкнёным, калі для яго справядліва ўключэнне . Ясна відаць, што для адвольнага мноства  мноства  будзе замкнёна; яно называецца замыканнем мноства .

 Мяжа 

Кропка  называецца межавою для мноства , калі для адвольнага наваколля  перасячэнні  і  пустыя. Мноства ўсіх межавых пунктаў называецца межавым мноствам  або проста мяжой.

 Усюды шчыльныя мноствы 

Мноства  называецца ўсюды шчыльным ў іншым мностве , калі для адвольнага пункта  і любога наваколля  перасячэнне  непустое.

 Звязнасць 

 Адлегласць паміж мноствамі 

Як вядома з элементарнай матэматыкі, на камплекснай плоскасці адлегласць паміж двума пунктамі роўна модулю іх рознасці. Вызначым адлегласць паміж пунктам  і некаторым мноствам  як велічыню .

На аснове гэтага паняцця ўжо можна вызначыць адлегласць паміж двума адвольнымі мноствамі ў : .

 Звязнасць 

Мноства  называецца звязным, калі для яго выконваюцца суадносіны . Калі дадзеная велічыня не роўная нулю, то мноства называецца нязвязным. Можна паказаць, што нязвязнае мноства  можна прадставіць у выглядзе аб'яднання (канечнага або злічальнага) , дзе  — неперасякальныя звязныя мноствы, так званыя звязнымі кампанентамі мноства . Магутнасць мноства звязных кампанент называецца парадкам звязнасці.

 Выпуклыя, зорныя і лінейна звязныя мноствы 
Мноства  называецца зорным адносна пункта , калі для адвольнага пункта  справядліва ўключэнне .

Мноства  называецца выпуклым, калі яно зорнае адносна любога свайго пункта. Мноства  называецца выпуклай абалонкай мноства , калі яно выпуклае,  і для любога выпуклага мноства , якое змяшчае мноства , выконваецца ўключэнне.

Ламанаю  называецца мноства пунктаў камплекснай плоскасці, што прадстаўляецца ў выглядзе аб'яднання адрэзкаў. Мноства  называецца лінейна звязным, калі для двух адвольных пунктаў  існуе ламаная  такая, што выконваецца .

Можна даказаць, што любое лінейна звязнае мноства будзе звязным. Адсюль адразу вынікае, што ўсе выпуклыя і зорныя мноствы звязныя.

 Крывыя на  
 Крывыя і шляхі 

Крывой або шляхам на камплекснай плоскасці  называецца адлюстраванне выгляду . Асабліва варта адзначыць, што пры такім азначэнні можна канкрэтызаваць не толькі выгляд крывой, які будзе залежаць ад аналітычных уласцівасцей функцыі , але і яе кірунак. Для прыкладу, функцыі  і  будуць вызначаць аднолькавую з віду крывую, але з процілеглымі кірункамі.

 Гоматопія крывых 

Крывыя  і  называюцца гоматопнымі, калі існуе крывая , якая залежыць ад параметра  такім чынам, што  і .

 Бясконца аддалены пункт 

У камплексным аналізе часта карысна разглядаць поўную камплексную плоскасцьСвешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. Указ. соч., стр. 20-21., дапоўненую у параўнанні са звычайнай бясконца аддаленым пунктам: . Пры такім падыходзе неабмежавана нарастальная (па модулю) паслядоўнасць лічыцца збежнай да бясконца аддаленага пункта. Алгебраічныя аперацыі з бесканечнасцю не вызначаны, хоць некалькі алгебраічных суадносін маюць месца:


-наваколлем бясконца аддаленага пункта лічыцца мноства пунктаў , модуль якіх большы, чым , гэта значыць знешняя частка -наваколляў пачатку каардынат.

 Літаратура 

 Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002.
 Понтрягин Л. Комплексные числа , Квант, № 3, 1982.
 Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967, 304с.

Катэгорыя:Камплексны аналіз