Найменшае агульнае кратнае

Найме́ншае агу́льнае кра́тнае (найменшы агульны кратны лік, НАК) двух цэлых лікаў  і  — найменшы натуральны лік, які дзеліцца на  і  без астачы. Абазначаецца адным з наступных спосабаў:
 ;
 ;
     (ад ).
Прыклад: НАК(16, 20) = 80.

Найменшае агульнае кратнае некалькіх лікаў — гэта найменшы натуральны лік, які дзеліцца на кожны з гэтых лікаў.

Адно з найбольш частых прымяненняў НАК — прывядзенне дробаў да агульнага назоўніка.

 Уласцівасці 
 Перастаўляльнасць (камутатыўнасць): 
 Спалучальнасць (асацыятыўнасць): 
 Сувязь з найбольшым агульным дзельнікам :

 У прыватнасці, калі  і  — , то: 
  пры 
 Найменшае агульнае кратнае двух цэлых лікаў  і  з'яўляецца дзельнікам усіх іншых агульных кратных  і . Больш таго, мноства агульных кратных  і  супадае з мноствам кратных для .
 Асімптотыкі для  можна выразіць праз некаторыя тэарэтыка-лікавыя функцыі.

 . Гэта вынікае з азначэння і ўласцівасцей  g(n).
 , што вынікае з .

 Вылічэнне НАК 

 можна вылічыць некалькімі спосабамі.

1. Калі вядомы найбольшы агульны дзельнік, можна выкарыстаць яго сувязь з НАК:

2. Няхай вядома кананічнае раскладанне абодвух лікаў на простыя множнікі:


дзе  — розныя простыя лікі, а  і  — неадмоўныя цэлыя лікі (яны могуць быць нулямі, калі адпаведнага простага няма ў раскладанні). Тады  вылічаецца па формуле:

Іншымі словамі, раскладанне НАК утрымлівае ўсе простыя множнікі, якія ўваходзяць хоць у адно з раскладанняў лікаў  і , прычым з двух паказчыкаў ступені гэтага множніка бярэцца найбольшы. Прыклад:




Вылічэнне найменшага агульнага кратнага некалькіх лікаў можна звесці да некалькіх паслядоўных вылічэнняў НАК ад двух лікаў:



 Гл. таксама 
 Найбольшы агульны дзельнік

 Літаратура 


 Спасылкі 


Катэгорыя:Тэорыя лікаў