P-адычны лік

p-адычны лікчытаецца: пэ-адычны; адпаведна: два-адычны, тры-адычны і г.д. (дзе p — нейкі выбраны просты лік) — элемент пашырэння поля рацыянальных лікаў, якое з’яўляецца папаўненнем поля рацыянальных лікаў адносна p-адычнай нормы, вызначанай на аснове ўласцівасцей дзялімасці цэлых лікаў на р.

p-адычныя лікі ўвёў  у 1897 годзе.

Поле p-адычных лікаў звычайна абазначаецца  ці .

 Алгебраічная пабудова 

 Цэлыя p-адычныя лікі 

 Стандартнае азначэнне 

Няхай p — некаторы просты лік.
Цэлым p-адычным лікам называецца бесканечная паслядоўнасць  цэлых лікаў , якія задавальняюць умову:


Дзве паслядоўнасці  і  вызначаюць адзін і той жа цэлы p-адычным лік тады і толькі тады, калі

для ўсіх .

Складанне і множанне цэлых p-адычных лікаў вызначаецца як пачленнае складанне і множанне такіх паслядоўнасцей. Для іх непасрэдна правяраюцца ўсе аксіёмы кальца.

 Азначэнне праз праектыўны ліміт 

У тэрмінах  кальцо цэлых p-адычных лікаў вызначаецца як ліміт

кольцаў  вылікаў па модулю  адносна натуральных праекцый .

Такія пабудовы можна правесці ў выпадку не толькі простага ліку , але і любога састаўнога ліку  — атрымаецца т. зв. кальцо -адычных лікаў, але гэтае кальцо ў адрозненне ад  утрымлівае дзельнікі нуля, таму далейшыя пабудовы, якія разглядаюцца ніжэй, для яго непрыдатныя.

 Уласцівасці 

Кальцо цэлых p-адычных лікаў звычайна абазначаецца . Звычайныя цэлыя лікі ўкладваюцца ў  відавочным чынам:  і з’яўляюцца падкальцом.

Беручы ў якасці элемента класа вылікаў лік  (такім чынам, ), мы можам запісаць кожны цэлы p-адычны лік у выглядзе  адназначным чынам. Такое прадстаўленне называецца кананічным.

Запісваючы кожнае  у p-ічнай сістэме злічэння  і, улічваючы, што

мы можам усякі p-адычны лік у кананічным выглядзе прадставіць як

ці запісаць у выглядзе бесканечнай паслядоўнасці лічбаў у p-ічнай сістэме злічэння

Дзеянні над такімі паслядоўнасцямі ажыццяўляюцца па звычайных правілах складання, адымання і множання «слупком» у p-ічнай сістэме злічэння.

У такой форме запісу натуральным лікам і нулю адпавядаюць p-адычныя лікі з канечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, якія супадаюць з лічбамі зыходнага ліку. Адмоўным лікам адпавядаюць p-адычныя лікі з бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, напрыклад у пяцярковай сістэме −1=…4444=(4).

 p-адычныя лікі 

 Азначэнне як поля дзелей 

p-адычным лікам называецца элемент поля дзелей  кальца  цэлых p-адычных лікаў.
Гэтае поле называецца полем p-адычных лікаў.

 Уласцівасці 

Поле p-адычных лікаў утрымлівае ў сабе поле рацыянальных лікаў.

Няцяжка даказаць, што любы цэлы -адычны лік, някратны , будзе абарачальным у колцы , а кратнае  адназначна запісваецца ў выглядзе , дзе лік  не дзеліцца на  і таму абарачальны, а .

Таму любы ненулявы элемент поля  можна запісаць у выглядзе , дзе x не кратнае p, а n любое.

Калі n адмоўнае, то, зыходзячы з прадстаўлення цэлых p-адычных лікаў у выглядзе паслядоўнасці лічбаў у p-ічнай сістэме злічэння, мы можам запісаць такі p-адычны лік у выглядзе паслядоўнасці

г.зн. фармальна прадставіць у выглядзе p-ічнага дробу з канечным лікам лічбаў пасля коскі і, магчыма, бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў да коскі.

Дзяліць такія лікі можна аналагічна «школьнаму» правілу, але пачынаючы з малодшых, а не старшых разрадаў ліку.

 Метрычная пабудова 

Любы ненулявы рацыянальны лік  можна запісаць як

дзе  і  — цэлыя лікі, якія не дзеляцца на , а  — цэлы лік, які ў такім прадстаўленні вызначаецца адназначна.

Тады p-адычная норма ліку  вызначаецца як


Для нуля p-адычная норма паводле азначэння роўная нулю:


Поле p-адычных лікаў ёсць папаўненне поля рацыянальных лікаў з метрыкаю , вызначанаю p-адычнай нормай:


Гэтая пабудова аналагічная пабудове поля рэчаісных лікаў як папаўнення поля рацыянальных лікаў пры дапамозе нормы, якая з’яўляецца звычайнаю абсалютнаю велічынёю.

Норма  працягваецца па непарыўнасці да нормы на .

 Уласцівасці 
 Кожны элемент x поля p-адычных лікаў можна прадставіць у выглядзе збежнага рада

 дзе  — некаторы цэлы лік, а  — цэлыя неадмоўныя лікі, не большыя чым . А іменна, у якасці  тут выступаюць лічбы з запісу x у сістэме злічэння з асноваю p. Такая сума заўсёды збягаецца ў метрыцы  да самога .
 p-адычная норма  задавальняе моцную няроўнасць трохвугольніка

 Лікі  з умоваю  утвараюць кальцо  цэлых p-адычных лікаў, якое з’яўляецца папаўненнем кальца цэлых лікаў  у норме .
 Лікі  з умоваю  утвараюць мультыплікатыўную групу і называюцца p-адычнымі адзінкамі.
 Сукупнасць лікаў  з умоваю  з’яўляецца галоўным ідэалам у  з утваральным элементам p.
 Метрычная прастора  гомеаморфная Кантараву мноству, а прастора  гомеаморфная Кантараву мноству з выразаным пунктам.
 Для розных p нормы  незалежныя, а палі  неізаморфныя.
 Для любых элементаў , , , , , … такіх, што  і , можна знайсці паслядоўнасць рацыянальных лікаў  такіх, што для любога p  і .

 Выкарыстанне 
 Калі  — мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі, то вырашальнасць пры ўсіх k параўнання

 раўназначная вырашальнасці ўраўнення

 у цэлых p-адычных ліках. Неабходнаю ўмоваю вырашальнасці гэтага ўраўнення ў цэлых ці рацыянальных ліках з’яўляецца яго вырашальнасць у кольцах ці, адпаведна, палях p-адычных лікаў пры ўсіх p, а таксама ў полі рэчаісных лікаў. Для некаторых класаў мнагачленаў (напрыклад, для квадратычных форм) гэтая ўмова з’яўляецца таксама дастатковаю.

 На практыцы для праверкі вырашальнасці ўраўнення ў цэлых p-адычных ліках дастаткова праверыць вырашальнасць названага параўнання для пэўнага канечнага ліку значэнняў k. Напрыклад, згодна з , пры  дастатковаю ўмоваю для вырашальнасці параўнання пры ўсіх натуральных k будзе наяўнасць простага рашэння ў параўнання па модулю p (г.зн. простага кораня ў адпаведнага ўраўнення ў полі вылікаў па модулю p). Інакш кажучы, пры  для праверкі наяўнасці кораня ў ураўнення у цэлых p-адычных ліках, як правіла, дастаткова рашыць адпаведнае параўнанне пры .

 Літаратура 


 Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — : Наука, 1985.
 Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. — : Мир, 1982.
 Радына А. Я., Радына Я. В. Элементарныя ўводзіны ў р-адычны аналіз. — : БДПУ, 2006.
 Серр Ж.-П. Курс арифметики. — : Мир, 1972.

 Спасылкі 


 p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
 Completion of Algebraic Closure — on-line lecture notes by Brian Conrad
 An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis  — on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
 Efficient p-adic arithmetic (slides)

Катэгорыя:Тэорыя лікаў
Катэгорыя:Лікі