Дзялімасць

Дзялі́масць — адно з асноўных паняццяў арыфметыкі і тэорыі лікаў, звязанае з аперацыяй дзялення. З пункту погляду тэорыі мностваў, дзялімасць цэлых лікаў з'яўляецца дачыненнем, вызначаным на мностве цэлых лікаў.

 Азначэнне 

Калі для некаторага цэлага ліку  і цэлага ліку  існуе такі цэлы лік , што  то кажуць, што лік  дзеліцца цалкам (ці дзеліцца без астачы) на  або што  дзеліць 

Пры гэтым лік  называецца дзельнікам ліку , дзеліва  будзе кратным ліку , а лік q называецца дзеллю ад дзялення a на b.

Хоць уласцівасць дзялімасці вызначана на ўсём мностве цэлых лікаў, звычайна разглядаецца толькі дзялімасць натуральных лікаў. У прыватнасці, функцыя колькасці дзельнікаў натуральнага ліку падлічвае толькі яго дадатныя дзельнікі.

 Абазначэнні 
 Запіс  абазначае, што  дзеліцца на , ці, што тое самае, лік  кратны ліку .
 Запіс  ці  абазначае, што  дзеліць , ці, што тое ж:  — дзельнік .

 Звязаныя азначэнні 
 У кожнага натуральнага ліку, большага за адзінку, ёсць прынамсі два натуральныя дзельнікі: адзінка і сам гэты лік. Пры гэтым натуральныя лікі, у якіх роўна два дзельнікі, называюцца простымі, а тыя, у якіх больш за два дзельнікі — састаўнымі. Адзінка мае роўна адзін дзельнік і не з'яўляецца ні простым, ні састаўным лікам.
 У кожнага натуральнага ліку, большага за 1, ёсць хоць адзін просты дзельнік.
 Уласным дзельнікам ліку называецца ўсякі яго дзельнік, не роўны самому ліку. У простых лікаў ёсць роўна адзін уласны дзельнік — адзінка.
 Незалежна ад дзялімасці цэлага ліку  на цэлы лік , лік a заўсёды можна падзяліць на b з астачаю, г. зн. прадставіць у выглядзе:

 дзе .
 У гэтых суадносінах лік  называецца няпоўнаю дзеллю, а лік r —  астачаю ад дзялення  на . Як дзель, так і астача вызначаюцца адназначна.
 Лік a дзеліцца цалкам на b тады і толькі тады, калі астача ад дзялення a на b роўная нулю.
 Усякі лік, які дзеліць як , так і , называецца іх агульным дзельнікам; найбольшы з такіх лікаў называецца найбольшым агульным дзельнікам. Любая пара цэлых лікаў мае сама менш два агульныя дзельнікі: +1 і -1. Калі іншых агульных дзельнікаў няма, то гэтыя лікі называюцца ўзаемна простымі.

 Уласцівасці 
 Заўвага: ва ўсіх формулах гэтага раздзела мяркуецца, што  — цэлыя лікі.

 Любы цэлы лік з'яўляецца дзельнікам нуля, і дзель роўная нулю:

 Любы цэлы лік дзеліцца на адзінку:

 На нуль дзеліцца толькі нуль:
,
 прычым дзель у гэтым выпадку не вызначана.

 Адзінка дзеліцца толькі на адзінку:

 Для любога цэлага ліку  знойдзецца такі цэлы лік  для якога 
 Калі  і  то  Адсюль жа вынікае, што калі  і  то 
 Для таго каб  неабходна і дастаткова, каб 
 Калі  то 
 Уласцівасць дзялімасці з'яўляецца дачыненнем нястрогага парадку і, адпаведна, яно:
 рэфлексіўнае, г. зн. любы цэлы лік дзеліцца на сябе: 
 транзітыўнае, г. зн. калі  і  то 
 антысіметрычнае, г. зн. калі  і  то альбо  альбо 

 Лік дзельнікаў 

Лік дадатных дзельнікаў натуральнага ліку  звычайна абазначаецца  і з'яўляецца мультыплікатыўнаю функцыяй, для яе справядліва асімптатычная формула Дзірыхле:

дзе  — пастаянная Эйлера — Маскероні, а для  Дзірыхле атрымаў значэнне  Гэты вынік неаднаразова паляпшаўся, і на сёння найлепшы вядомы вынік  (атрыман у 2003 годзе Хакслі). Аднак, найменшае значэнне , пры якім гэта формула застаецца вернаю, невядома (даказана, што яно не меншае, чым )Аналитическая теория чисел.

Пры гэтым сярэдні дзельнік вялікага ліку  у сярэднім расце як , што было выяўлена А. Карацубам. Паводле камп'ютарных ацэнак М. Каралёва
.

 Абагульненні 
Паняцце дзялімасці абагульняецца на адвольныя колцы, напрыклад колца мнагачленаў.

 Гл. таксама 
 Дзяленне з астачай
 Прыкметы дзялімасці
 Дзяленне
 Параўнанне па модулю
 Колца
 Фактарызацыя

 Літаратура 
 Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.


 Спасылкі 
 Відэа пра дзялімасць

Катэгорыя:Матэматычныя дачыненні
Катэгорыя:Тэорыя лікаў
Катэгорыя:Арыфметыка