Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера

У матэматыцы, гіпо́тэза Бёрча — Сві́нертан-Да́ера — адкрытая праблема ў тэорыі лікаў, матэматычная здагадка пра ўласцівасці эліптычных крывых.

Яна лічыцца адной з самых складаных матэматычных праблем. Гіпотэза была ўнесена ў спіс з сямі задач тысячагоддзя, састаўлены , які прапанаваў узнагароду $ за першы правільны доказГіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера  на сайце Матэматычнага інстытута Клэя. Праблема названа так у гонар матэматыкаў  і , якія распрацоўвалі гіпотэзу на працягу першай палавіны 1960-х гг. з дапамогай машынных вылічэнняў. На 2014 год даказаныя толькі асобныя выпадкі гіпотэзы.

Гіпотэза суадносіць арыфметычныя даныя, звязаныя з эліптычнаю крывою E над лікавым полем K, з паводзінамі  L(E, s) крывой E у пункце s = 1. А іменна, выказана здагадка, што  абелевай групы E(K) пунктаў крывой E раўняецца парадку нуля функцыі L(E, s) у пункце s = 1, а першы ненулявы каэфіцыент у раскладанні Тэйлара функцыі L(E, s) у s = 1 вызначаецца больш тонкімі арыфметычнымі характарыстыкамі крывой E над K .

Найбольш яркім дасягненнем па стане на 2014 год астаецца даказанае ў 1977 годзе Джонам Коўтсам і Эндру Уайлсам сцвярджэнне, справядлівае для вялікага класа эліптычных крывых аб тым, што калі крывая E утрымлівае бесканечна многа рацыянальных пунктаў, то L(E, 1) = 0.

 Перадумовы 
  даказаў : група  на эліптычнай крывой мае канечны . Гэта азначае, што для любой эліптычнай крывой існуе канечнае падмноства рацыянальных пунктаў на крывой, з якіх можна спарадзіць усе астатнія рацыянальныя пункты.

Калі колькасць рацыянальных пунктаў на крывой бесканечная, то некаторы пункт з канечнага базіса павінен мець бесканечны парадак. Лік незалежных базісных пунктаў з бесканечным парадкам называецца  крывой і з’яўляецца важнаю  ўласцівасцю эліптычнай крывой.

Калі ранг эліптычнай крывой роўны 0, тады крывая мае толькі канечны лік рацыянальных пунктаў. З другога боку, калі ранг крывой большы за 0, то крывая мае бесканечна многа рацыянальных пунктаў.

Хаця Мордэлава тэарэма паказвае, што ранг эліптычнай крывой заўсёды канечны, яна не дае эфектыўнага спосабу вылічэння рангу кожнай крывой. Ранг некаторых эліптычных крывых можна вылічыць, карыстаючыся лікавымі метадамі, але (на сённяшнім узроўні ведаў) яны не паддаюцца абагульненню на ўсе крывыя.

L-функцыя L(E, s) можа быць вызначана для эліптычнай крывой E пабудаваннем  з колькасці пунктаў на крывой па модулю кожнага простага p. Гэтая L-функцыя з’яўляецца аналагам дзэта-функцыі Рымана і , вызначанага для бінарнай . Яна з’яўляецца адмысловым выпадкам .

Натуральнае азначэнне функцыі L(E, s) збягаецца толькі пры тых камплексных s, для якіх Re(s) > 3/2.  выказаў здагадку, што функцыю L(E, s) можна  на ўсю камплексную плоскасць. Гэтая здагадка была ўпершыню даказана Дойрынгам  для эліптычных крывых з . Пазней было паказана, што гэта справядліва для ўсіх эліптычных крывых над Q, як вынік з .

Пошук рацыянальных пунктаў на эліптычных крывых агульнага выгляду — складаная праблема. Пошук пунктаў на эліптычнай крывой па модулю пэўнага простага p ідэйна няхітры, бо неабходна праверыць толькі канечнае мноства магчымасцей. Аднак, пры вялікіх простых знаходжанне пунктаў будзе вылічальна натужлівым.

 Гісторыя 
350px|right|thumb|Графік  для крывой y² = x³ − 5x, калі X прабягае першыя 100000 простых. Па восі X адкладваецца log(log(X)), а вось Y у лагарыфмічнай шкале. Такім чынам, здагадка прадказвае, што даныя павінны ляжаць каля прамой з вуглавым каэфіцыентам, роўным рангу крывой, які ў дадзеным выпадку раўняецца адзінцы. Для параўнання на графіку нарысована чырвоная прамая з вуглавым каэфіцыентам 1.

У пачатку 1960-х гг.  займаўся на камп’ютары EDSAC у  вылічэннем колькасці пунктаў па модулю p (абазначаецца як Np) для вялікай колькасці простых p на эліптычных крывых, ранг якіх быў вядомы. На аснове вынікаў вылічальных эксперыментаў Свінертан-Даер  выказаў здагадку, што Np для крывой E з рангам r падпарадкоўваецца асімптатычнаму закону



дзе C — пастаянная.

Першапачаткова здагадка грунтавалася на не вельмі пераканаўчых заканамернасцях на графіках; гэта дало падставы для пэўнага скептыцызму. Праз нейкі час накапіліся лікавыя даныя на карысць здагадкі.

Гэта, у сваю чаргу, прывяло іх да агульнай здагадкі аб паводзінах L-функцыі крывой L(E, s) у пункце s = 1, а іменна, што яна будзе мець нуль парадку r у гэтым пункце. Гэта была праніклівая гіпотэза для таго часу, калі ўлічыць, што аналітычны працяг функцыі L(E, s) быў устаноўлены яшчэ толькі для крывых з камплексным множаннем, якія былі таксама асноўнаю крыніцай лікавых прыкладаў. (Варта заўважыць, што  L-функцыі з пэўнага погляду з’яўляецца больш натуральным аб’ектам для даследавання; у такім выпадку гэта азначае, што трэба разглядаць , а не нулі.)

Гіпотэза пазней была пашырана, каб уключыць прадказанне дакладнага значэння першага ненулявога каэфіцыента рада Тэйлара L-функцыі ў пункце s = 1. Згодна з гіпотэзай гэты каэфіцыент раўняецца



дзе велічыні ў правай частцы — гэта інварыянты крывой, якія даследаваліся , , Шафарэвічам і іншымі: у формулу ўваходзяць парадак , парадак , і  базіса рацыянальных пунктаў .

 Цяперашні стан 
Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера даказана толькі ў асобных выпадках:

  і Уайлс  даказалі, што калі E — крывая над лікавым полем F з камплексным множаннем адносна  K з  1, F = K ці Q, і L(E, 1) не роўная 0, тады E(F) — канечная група. У рабоце Ніколь Арто  гэтае сцвярджэнне было пашырана на выпадак, калі F — адвольнае канечнае  поля K.
  і   паказалі, што калі L-функцыя  мае нуль першага парадку ў пункце s = 1, тады на крывой ёсць рацыянальны пункт бесканечнага парадку; гл. .
   паказаў, што мадулярная эліптычная крывая E, для якой L(E, 1) не роўная нулю, мае ранг 0, а мадулярная эліптычная крывая E, для якой L(E, 1) мае нуль першага парадку ў s = 1, мае ранг 1.
   паказаў, што для эліптычных крывых, вызначаных над уяўным квадратычным полем K з камплексным множаннем па полі K, калі L-рад эліптычнай крывой не роўны нулю ў s = 1, тады p-частка групы Тэйта — Шафарэвіча мае парадак, прадказаны гіпотэзай Бёрча — Свінертан-Даера для ўсіх простых p > 7.
 Група матэматыкаў , працягваючы работу , даказала, што , што пашырае вынікі 2 і 3 на ўсе эліптычныя крывыя над рацыянальнымі лікамі і паказвае, што L-функцыі ўсіх эліптычных крывых над Q вызначаны ў пункце s = 1.
 Бхаргава і Шанкар  даказалі, што сярэдні ранг групы Мордэла — Вейля эліптычнай крывой над Q абмежаваны зверху лікам 7/6. Аб’ядноўваючы гэта з тэарэмай аб p-цотнасці (гл.  і ) і з доказам  для GL(2) , яны вывелі, што дадатная доля эліптычных крывых над Q мае нулявы аналітычны ранг, і такім чынам, згодна з працаю , задавальняе гіпотэзу Бёрча — Свінертан-Даера.

Нічога не даказана для крывых з рангам, большым за 1, хоць на карысць гіпотэзы сведчыць вялікая колькасць лікавых дадзеных.

 Вынікі 
Як і з гіпотэзы Рымана, са здагадкі Бёрча — Свінертан-Даера вынікае мноства вывадаў, у тым ліку наступныя два:
 Хай n — няцотны  цэлы лік. Калі здагадка Бёрча — Свінертан-Даера правільная, лік n з’яўляецца плошчаю прамавугольнага трохвугольніка з рацыянальнымі даўжынямі старон () тады і толькі тады, калі колькасць троек цэлых лікаў (x, y, z), якія задавальняюць роўнасць , раўняецца падвоенай колькасці цэлалікавых троек, якія задавальняюць . Гэтае сцвярджэнне, праз  , звязана з тым фактам, што лік n з’яўляецца кангруэнтным тады і толькі тады, калі эліптычная крывая  мае рацыянальны пункт бесканечнага парадку (і такім чынам, пры справядлівасці здагадкі Бёрча — Свінертан-Даера, яе L-функцыя мае нуль у пункце 1). Сцвярджэнне цікавае тым, што выкананне яго ўмовы лёгка праверыць.
 У іншым напрамку, некаторыя аналітычныя метады дазваляюць ацэньваць парадак нулёў пасярэдзіне крытычнай паласы сямействаў L-функцый. Паводле гіпотэзы Бёрча — Свінертан-Даера, гэтыя ацэнкі адпавядаюць інфармацыі аб рангу сямействаў разглядаемых эліптычных крывых. Напрыклад: пры дапушчэнні  і здагадкі Бёрча — Свінертан-Даера, сярэдні ранг крывых, зададзеных ураўненнем , меншы чым 2.

 Гл. таксама 
 Адкрытыя матэматычныя праблемы
 Эліптычная крывая
 L-функцыя Дзірыхле

 Зноскі 

 Літаратура 




















 Спасылкі 



Катэгорыя:Тэорыя лікаў
Катэгорыя:Дзэта- і L-функцыі
Катэгорыя:Дыяфантава геаметрыя
Бёрча — Свінертан-Даера
Катэгорыя:Задачы тысячагоддзя
Катэгорыя:Адкрытыя матэматычныя праблемы