Ранг матрыцы

Рангам сістэмы радкоў (слупкоў) матрыцы  з  радкоў і  слупкоў называецца максімальны лік лінейна незалежных радкоў (слупкоў). Некалькі радкоў (слупкоў) называюцца лінейна незалежнымі, калі ні адзін з іх не выражаецца лінейна праз іншыя. Ранг сістэмы радкоў заўсёды роўны рангу сістэмы слупкоў, і гэты лік называецца рангам матрыцы.

Ранг матрыцы — найвышэйшы з парадкаў мінораў гэтай матрыцы, няроўных нулю.

Ранг матрыцы — размернасць вобраза  лінейнага аператара, якому адпавядае матрыца.

Звычайна ранг матрыцы  абазначаецца  () або .
Абодва абазначэння прыйшлі да нас з замежных моў, таму і ўжывацца могуць абодва. Апошні варыянт уласцівы для англійскай мовы, у той час як першы — для нямецкай, французскай і шэрага іншых моў.

 Азначэнне 

Хай  — прамавугольная матрыца.

Тады па азначэнні рангам матрыцы  з’яўляецца:

 нуль, калі  — нулявая матрыца;
 лік , дзе  — мінор матрыцы  парадку , а  — аблямоўваючы яго мінор парадку , калі яны існуюць.

Тэарэма (пра карэктнасць вызначэння рангаў). Хай усе міноры матрыцы  парадку  роўныя нулю (). Тады , калі яны існуюць.

 Звязаныя азначэнні 

 Ранг  матрыцы  памеру  называюць поўным, калі .
 Базісны мінор матрыцы  — любы ненулявы мінор матрыцы  парадку , дзе .
 Радкі і слупкі, на скрыжаванні якіх знаходзіцца базісны мінор, называюцца базіснымі радкамі і слупкамі. (Яны вызначаны неадназначна ў сілу неадназначнасці базіснага мінора.)

 Уласцівасці 

 Тэарэма (аб базісным міноры): Няхай  — базісны мінор матрыцы , тады:
 базісныя радкі і базісныя слупкі лінейна незалежныя;
 любы радок (слупок) матрыцы  ёсць лінейная камбінацыя базісных радкоў (слупкоў).
 Следства:
 Калі ранг матрыцы роўны , то любыя  радкоў ці слупкоў гэтай матрыцы будуць лінейна залежныя.
 Калі  — квадратная матрыца, і , то радкі і слупкі гэтай матрыцы лінейна залежныя.
 Хай , тады максімальная колькасць лінейна незалежных радкоў (слупкоў) гэтай матрыцы роўная .
 Тэарэма (аб інварыянтнасці рангу пры элементарных пераўтварэннях): Увядзём абазначэнне  для матрыц, атрыманых адна з адной элементарнымі пераўтварэннямі. Тады справядліва сцвярджэнне: Калі , то іх рангі роўныя.
 Тэарэма Кронекера — Капелі: Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў сумесная тады і толькі тады, калі ранг яе асноўнай матрыцы роўны рангу яе пашыранай матрыцы. У прыватнасці:
 Колькасць галоўных пераменных сістэмы роўна рангу сістэмы.
 Сумесная сістэма будзе вызначанай (яе рашэнне адзіным), калі ранг сістэмы роўны ліку ўсіх яе зменных.

 Лінейнае пераўтварэнне і ранг матрыцы 

Няхай  — матрыца памеру  над полем  (або ). Няхай  — лінейнае пераўтварэнне, якое адпавядае  ў стандартным базісе; гэта значыць, што . Ранг матрыцы  — гэта размернасць вобласці значэнняў пераўтварэння .

 Метады 

Існуе некалькі метадаў знаходжання рангу матрыцы:

 Метад элементарных пераўтварэнняў

 Ранг матрыцы роўны ліку ненулявых радкоў у матрыцы пасля прывядзення яе да ступеньчатай формы пры дапамозе элементарных пераўтварэнняў над радкамі матрыцы.

 Метад аблямоўваючых мінораў

 Няхай ў матрыцы  знойдзены ненулявы мінор -га парадку . Разгледзім усе міноры -га парадку, якія ўключаюць у сябе (аблямоўваючы) мінор ; калі ўсе яны роўныя нулю, то ранг матрыцы роўны . У адваротным выпадку сярод аблямоўваючых мінораў знойдзецца ненулявы, і ўся працэдура паўтараецца.

 Літаратура 


Катэгорыя:Матрычныя інварыянты
Катэгорыя:Лінейная алгебра