Формулы Віета

Формулы Віета — формулы, якія выражаюць каэфіцыенты мнагачлена праз яго карані.

Гэтымі формуламі зручна карыстацца для праверкі правільнасці знаходжання каранёў мнагачлена, а таксама для састаўлення мнагачлена па зададзеных каранях.

 Фармулёўка 

Калі  — карані мнагачлена



(кожны корань узяты адпаведную яго кратнасці колькасць разоў), то каэфіцыенты  выражаюцца ў выглядзе сіметрычнага мнагачлена ад каранёў, а менавіта:



Інакш кажучы,  роўнае суме ўсіх магчымых здабыткаў з  каранёў:

Калі старшы каэфіцыент мнагачлена , то для прымянення формулы Віета неабходна спачатку падзяліць усе каэфіцыенты на  (гэта не ўплывае на значэнне каранёў мнагачлена). У гэтым выпадку формулы Віета даюць выраз для адносін усіх каэфіцыентаў да старшага. З апошняй формулы Віета вынікае, што калі карані мнагачлена цэлалікавыя, то яны з'яўляюцца дзельнікамі яго свабоднага члена, які пры гэтым таксама цэлалікавы.

 Доказ 

Доказ вынікае з роўнасці, атрыманай раскладаннем мнагачлена па каранях, улічваючы, 



Прыраўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях  (тэарэма адзінасці), атрымліваем формулы Віета.

 Прыклады 
 Квадратнае ўраўненне 

Калі  і  — карані квадратнага ўраўнення  ,то



У асобным выпадку, калі  (прыведзеная форма ), то



 Кубічнае ўраўненне 

Калі  — карані кубічнага ўраўнення  то


 Гл. таксама 

 Тэарэма Безу
 Асноўная тэарэма алгебры

Катэгорыя:Мнагачлены
Катэгорыя:Матэматычны аналіз