Градыент

У вектарным злічэнні градые́нт скалярнага поля — вектарнае поле, якое ўказвае напрамак найхутчэйшага нарастання скалярнага поля, а амплітуда гэтага поля ёсць хуткасць нарастання. У дэкартавых каардынатах градыент роўны вектару частковых вытворных функцыі па адпаведных каардынатах.

Напрыклад, калі ўзяць у якасці  вышыню паверхні зямлі над узроўнем мора, то яе градыент у кожным пункце будзе паказваць «напрамак самага крутога пад’ёму», а сваёю велічынёй характарызаваць крутасць схілу.

З матэматычнага пункту гледжання градыент — гэта вытворная скалярнай функцыі, вызначанай на вектарнай прасторы.

Прастора, на якой вызначана функцыя і яе градыент, можа быць, увогуле кажучы, як звычайнай трохмернай прасторай, так і прасторай любой іншай размернасці і любой фізічнай прыроды, ці чыста абстрактнай.

Тэрмін упершыню з’явіўся ў метэаралогіі, а ў матэматыку быў уведзены Максвелам у 1873 г. Абазначэнне grad таксама прапанаваў Максвел.

Стандартныя абазначэнні:

або, з выкарыстаннем аператара набла,

— замест  можа быць любое скалярнае поле, абазначанае любою літарай, напрыклад  — абазначэнне градыента поля V.

 Азначэнне 

У выпадку трохмернай прасторы градыентам
скалярнай функцыі  каардынат , ,  называецца вектарная функцыя з кампанентамі


Абазначыўшы адзінкавыя вектары (орты) па восях прамавугольных дэкартавых каардынат як  градыент можна запісаць у выглядзе:


Калі  — функцыя  зменных  то яе градыентам называецца -мерны вектар


кампаненты якога роўныя частковым вытворным  па яе адпаведных аргументах.

 Размернасць вектара градыента поля вызначаецца, такім чынам, размернасцю прасторы (ці мнагастайнасці), на якой зададзена гэта скалярнае поле.
 Аператарам градыента (які звычайна абазначаюць як  або ) называецца аператар, дзеянне якога на скалярную функцыю (поле) дае яе градыент. Гэты аператар іншы раз называюць проста «градыентам».

Сэнс градыента любой скалярнай функцыі  у тым, што яго скалярны здабытак з бесканечна малым вектарам перамяшчэння  дае поўны дыферэнцыял гэтай функцыі пры адпаведным змяненні каардынат у прасторы, на якой вызначана , г. зн. лінейную (у выпадку агульнага становішча яна ж галоўная) частку змянення  пры перамяшчэнні на . Прымяняючы адну і тую ж літару для абазначэння функцыі ад вектара і адпаведнай функцыі ад яго каардынат, можна напісаць:

Варта тут заўважыць, што раз формула поўнага дыферэнцыяла не залежыць ад віду каардынат , г.зн. ад прыроды параметраў  увогуле, то атрыманы дыферэнцыял з’яўляецца скалярным інварыянтам пры любых пераўтварэннях каардынат, а раз  — гэта вектар, то градыент, вылічаны звычайным спосабам, аказваецца каварыянтным вектарам, г.зн. вектарам, прадстаўленым у дуальным базісе, які толькі і можа даць скаляр пры простым складанні здабыткаў каардынат звычайнага (контраварыянтнага), г.зн. вектарам, запісаным у звычайным базісе. Такім чынам, выраз (увогуле кажучы — для адвольных крывалінейных каардынат) можа быць цалкам правільна і інварыянтна запісаны як:

ці, апускаючы згодна з правілам Эйнштэйна знак сумы,

(у ортанарміраваным базісе мы можам пісаць усе індэксы ніжнімі, як мы і рабілі вышэй).
Аднак градыент аказваецца сапраўдным каварыянтным вектарам у любых крывалінейных каардынатах.

 Прыклад 
Напрыклад, градыент функцыі  будзе роўны:



 У фізіцы 
У розных галінах фізікі выкарыстоўваецца паняцце градыента розных фізічных палёў.

Напрыклад, напружанасць электрастатычнага поля ёсць мінус градыент электрычнага патэнцыялу, напружанасць гравітацыйнага поля (паскарэнне свабоднага падзення) у класічнай тэорыі гравітацыі ёсць мінус градыент гравітацыйнага патэнцыялу. Кансерватыўная сіла ў класічнай механіцы ёсць мінус градыент патэнцыяльнае энергіі.

 У прыродазнаўчых навуках 
Паняцце градыента прымяняецца не толькі ў фізіцы, але і ў сумежных і нават параўнальна далёкіх ад фізікі навуках (іншы раз гэта прымяненне мае колькасны, а часам і проста якасны характар).

Напрыклад, градыент канцэнтрацыі — нарастанне ці спаданне па якім-небудзь напрамку канцэнтрацыі растворанага рэчыва, градыент тэмпературы — павелічэнне ці памяншэнне па якім-небудзь напрамку тэмпературы асяроддзя і пад.

Градыент такіх велічынь можа быць выкліканы рознымі прычынамі, напрыклад, механічнаю перашкодаю, дзеяннем электрамагнітных, гравітацыйных ці іншых палёў або адрозненнямі ў растваральнай здольнасці пагранічных фаз.

 Геаметрычны сэнс 
Разгледзім сямейства ліній узроўню функцыі :



Няцяжка паказаць, што градыент функцыі  у кропцы  перпендыкулярны яе лініі ўзроўню, якая праходзіць праз гэту кропку. Модуль градыента паказвае найбольшую скорасць змянення функцыі ў наваколлі , г.зн. частату ліній узроўню. Напрыклад, лініі ўзроўню вышыні рысуюцца на тапаграфічных картах, пры гэтым модуль градыента паказвае крутасць спуску ці пад’ёму ў дадзенай кропцы.

 Сувязь з вытворнаю па напрамку 
Прымяняючы правіла дыферэнцавання складанай функцыі, няцяжка паказаць, што
вытворная функцыі  па напрамку  раўняецца скалярнаму здабытку градыента  на адзінкавы вектар :



Такім чынам, для вылічэння вытворнай па любым напрамку дастаткова знаць градыент функцыі, то бок вектар, кампаненты якога з’яўляюцца яе частковымі вытворнымі.

 Градыент у артаганальных крывалінейных каардынатах 

дзе  — каэфіцыенты Ламе.

 Палярныя каардынаты (на плоскасці) 
Каэфіцыенты Ламе:

Адсюль:


 Цыліндрычныя каардынаты 
Каэфіцыенты Ламе:

Адсюль:


 Сферычныя каардынаты 
Каэфіцыенты Ламе:

Адсюль:


 Гл. таксама 
 Вектарны аналіз
 Тэарэма Гаўса
 Формулы вектарнага аналізу
 Аператар набла
 Класічная тэорыя поля
 Градыент канцэнтрацыі
 4-градыент
 Аператар Кэнні

 Літаратура 
 Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, 1986. стр.30

Катэгорыя:Вектары
Катэгорыя:Вектарны аналіз
Катэгорыя:Матэматычная фізіка