Гама-функцыя

Гама-функцыя (або Эйлераў інтэграл другога роду) — матэматычная функцыя, якая пашырае паняцце фактарыяла на поле камплексных лікаў. Звычайна абазначаецца грэчаскай літарай гама .

Для натуральных  справядліва роўнасць:


Гама-функцыя вызначана для ўсіх камплексных лікаў, за выключэннем адмоўных цэлых і нуля. Для камплексных лікаў з дадатнай рэчаіснай часткай, функцыя вызначаецца з дапамогай збежнага неўласцівага інтэграла:

Гэту інтэгральную функцыю можна аналітычна працягнуць на ўсю камплексную плоскасць, за выключэннем недадатных цэлых лікаў (дзе функцыя мае простыя полюсы). Атрыманая ў выніку мераморфная функцыя і называецца гама-функцыяй.

Была ўведзена Леанардам Эйлерам, а сваім абазначэннем гама-функцыя абавязана Лежандру.

 Азначэнні 
240px|thumb|Графік гама-функцыі рэчаіснай зменнай

 Інтэгральнае азначэнне 
Калі рэчаісная частка камплекснага ліку  дадатная, то Гама-функцыя вызначаецца праз інтэграл

На ўсю камплексную плоскасць функцыя аналітычна працягваецца праз тоеснасць

Існуе непасрэдны аналітычны працяг зыходнай формулы на ўсю камплексную плоскасць, т. зв. інтэграл Рымана-Ханкеля

дзе контур  — любы контур на камплекснай плоскасці, які абходзіць пункт  супраць гадзіннікавай стрэлкі, і канцы якога ідуць на бесканечнасць уздоўж дадатнай рэчаіснае восі.

Наступныя выразы з’яўляюцца альтэрнатыўнымі азначэннямі Гама-функцыі.

 Азначэнне па Гаусу 
Яно вернае для ўсіх камплексных , за выключэннем 0 і адмоўных цэлых лікаў


 Азначэнне па Эйлеру 


 Азначэнне па Веерштрасу 

дзе  — пастаянная Эйлера — Маскероні.

 Заўвагі 
 Вышэйпрыведзены інтэграл збягаецца абсалютна, калі рэчаісная частка камплекснага ліку  дадатна.
 Прымяняючы інтэграванне па частках, можна паказаць, што тоеснасць

 справядліва для падынтэгральнага выразу.
 Паколькі , для ўсіх натуральных лікаў 

  з’яўляецца мераморфнаю на камплекснай плоскасці і мае полюсы ў пунктах 

 Звязаныя азначэнні 
 Калі-нікалі выкарыстоўваецца альтэрнатыўны запіс, так званая пі-функцыя, якая звязана з гама-функцыяй наступным чынам:

 У інтэграле з азначэння гама-функцыі, межы інтэгравання нязменныя. Разглядаюць таксама няпоўную гама-функцыю, якую вызначаюць падобным інтэгралам са зменнай верхняй ці ніжняй мяжою інтэгравання. Вылучаюць верхнюю няпоўную гама-функцыю, якую часта абазначаюць як гама-функцыю ад двух аргументаў:

і ніжнюю няпоўную гама-функцыю, якую таксама абазначаюць малой літарай «гама»:


 Уласцівасці 
240px|thumb|right|Графік модуля гама-функцыі на камплекснай плоскасці.
 Формула дапаўнення Эйлера:

 З яе вынікае :

 якую пры n=2 называюць формулай падваення Лежандра:

 Гама-функцыя мае полюс у  для любога натуральнага  і нуля; вылік у гэтым пункце задаецца так:

 Наступнае прадстаўленне гама-функцыі ў выглядзе бесканечнага здабытку, як паказаў Веерштрас, верна для ўсіх камплексных , акрамя недадатных цэлых лікаў:

 дзе  — пастаянная Эйлера — Маскероні.
 Важная ўласцівасць, якая вынікае з гранічнага азначэння:
 .
 Гама-функцыя бесканечна дыферэнцавальная, і

 дзе  часта называюць «псі-функцыяй», ці дыгама-функцыяй.
 Гама-функцыя і бэта-функцыя звязаны наступнымі суадносінамі:


 Асобныя значэнні 
 Найбольш вядомыя значэнні гама-функцыі ад няцэлага аргумента:


 дзе  —  лікаў  і .




 Гл. таксама 
 Спіс аб'ектаў, названых у гонар Леанарда Эйлера
 K-функцыя
 G-функцыя Барнса
 Бэта-функцыя
 Гама-размеркаванне
 Няпоўная гама-функцыя
 Формула Стырлінга

 Літаратура 


 Спасылкі 


Катэгорыя:Спецыяльныя функцыі