Сярэдняе арыфметычнае

У матэматыцы і статыстыцы сярэдняе арыфметычнае — адна з найбольш распаўсюджаных , якая ўяўляе сабой суму ўсіх значэнняў, якія назіраліся, падзеленую на іх колькасць.

Прапанавана (разам з сярэднім геаметрычным і ) яшчэ піфагарэйцамі Cantrell, David W., "Pythagorean Means" from MathWorld .

Прыватнымі выпадкамі сярэдняга арыфметычнага з'яўляюцца генеральнае сярэдняе (генеральная сукупнасці) і выбарачнае сярэдняе (выбаркі).

 Увядзенне 

Пазначым мноства дадзеных X = (x1, x2, …, xn), тады выбарачнае сярэдняе звычайна пазначаецца гарызантальнай рысай над зменнай (, вымаўляецца «x з рысай»).

Для абазначэння сярэдняга арыфметычнага ўсёй сукупнасці выкарыстоўваецца грэчаская літара μ. Для выпадковай велічыні, для якой вызначана сярэдняе значэнне, μ ёсць імавернаснае сярэдняе ці матэматычнае чаканне выпадковай велічыні. Калі мноства X з'яўляецца сукупнасцю выпадковых лікаў з імавернасным сярэднім μ, тады для любой выбаркі xi з гэтай сукупнасці μ = E{xi} ёсць матэматычнае чаканне гэтай выбаркі.

На практыцы розніца паміж μ і  у тым, што μ з'яўляецца тыповай неназіранай зменнай, таму што бачыць мага хутчэй выбарку, а не ўсю генеральную сукупнасць. Таму, калі выбарку прадстаўляць выпадковым чынам (у тэрмінах тэорыі імавернасцей), тады  (але не μ) можна трактаваць як выпадковую зменную, якая мае размеркаванне імавернасцей на выбарцы (імавернаснае размеркаванне сярэдняга).

Абедзве гэтыя велічыні вылічаюцца адным і тым жа спосабам:



Калі X — выпадковая пераменная, тады матэматычнае чаканне X можна разглядаць як сярэдняе арыфметычнае значэнняў у паўтаральных вымярэннях велічыні X. Гэта з'яўляецца праявай закона вялікіх лікаў. Таму выбарачнае сярэдняе выкарыстоўваецца для ацэнкі невядомага матэматычнага чакання.

У элементарнай алгебры даказана, што сярэдняе n+1 лікаў больш сярэдняга n лікаў тады і толькі тады, калі новы лік больш, чым старое сярэдняе, менш тады і толькі тады, калі новы лік менш за сярэдняе, і не змяняецца тады і толькі тады, калі новы лік роўны сярэдняму. Чым больш n, тым менш адрозненне паміж новым і старым сярэднімі значэннямі.

Заўважым, што маецца некалькі іншых «сярэдніх» значэнняў, у тым ліку сярэдняй ступені, сярэдняе Калмагорава, гарманічнае сярэдняе, арыфметыка-геаметрычнае сярэдняе і розныя сярэдне-ўзважаныя велічыні.

 Прыклады 

 Для трох лікаў складзём іх і падзелім на 3 :



 Для чатырох лікаў складзём іх і падзелім на 4 :



 Бесперапынная выпадковая велічыня 

Для непарыўна размеркаванай велічыні  сярэдняе арыфметычнае на адрэзку  вызначаецца праз вызначаны інтэграл:



 Гл. таксама 

 Сярэдняе гарманічнае
 Сярэдняе геаметрычнае
 Медыяна
 Мода

 Спасылкі 


 Финансовая математика 
 Прикладная математика

Катэгорыя:Сярэднія велічыні
Катэгорыя:Матэматычная статыстыка
Катэгорыя:Статыстыка