Неперарыўная функцыя

Неперарыўная функцыя (неперарыўнае адлюстраванне), або непарыўная функцыя (непарыўнае адлюстраванне) — функцыя без «скачкоў», г.зн. такая, у якой малое змяненне аргумента прыводзіць да малога змянення значэння функцыі.

 Строгае азначэнне 

 ε-δ азначэнне 
200px|right
Няхай  і .

Функцыя  называецца непарыўнаю ў пункце  калі для любога  існуе  такое, што для любога

справядліва


Функцыя  называецца непарыўнаю на мностве , калі яна непарыўная ў кожным пункце мноства.

У гэтым выпадку кажуць, што функцыя  належыць класу , і пішуць:  ці, падрабязней, .

Інакш кажучы, функцыя  непарыўная ў пункце , гранічным для мноства , калі  мае граніцу ў пункце , і гэта граніца супадае са значэннем функцыі .

 Пункты разрыву 

Калі ўмова ў азначэнні непарыўнасці функцыі ў некаторым пункце парушаецца, то кажуць, што функцыя мае ў дадзеным пункце разрыў. Іншымі словамі, калі  — значэнне функцыі  у пункце , то граніца такой функцыі (калі яна існуе) у гэтым пункце не супадае з . На мове наваколляў умова разрыўнасці функцыі  у пункце  атрымліваецца адмаўленнем умовы непарыўнасці функцыі ў дадзеным пункце, а іменна: існуе такое наваколле пункта  вобласці значэнняў функцыі , што як бы мы блізка не падыходзілі к пункту  вобласці вызначэння функцыі , заўсёды знойдуцца такія пункты, чые вобразы будуць за межамі наваколля пункта .

200px|right

 Скасавальныя пункты разрыву 

Калі граніца функцыі існуе, але функцыя не вызначана ў гэтым пункце, ці граніца не супадае са значэннем функцыі ў дадзеным пункце:

то пункт  называецца пунктам скасавальнага разрыву функцыі  (у камплексным аналізе — скасавальны асаблівы пункт).

Калі «паправіць» функцыю  у пункце скасавальнага разрыву і прыняць  то атрымаецца функцыя, непарыўная ў дадзеным пункце. Такая аперацыя над функцыяй называецца давызначэннем функцыі да непарыўнай ці давызначэннем функцыі па непарыўнасці, што і абгрунтоўвае назву, як пункта скасавальнага разрыву.

 Пункты разрыву першага і другога роду 

Калі граніца функцыі ў дадзеным пункце не існуе (і функцыю нельга давызначыць да непарыўнай), то для лікавых функцый узнікае дзве магчымасці, звязаныя з існаваннем у лікавых функцый аднабаковых граніц:
 калі абедзве аднабаковыя граніцы існуюць і канечныя, але хоць адна з іх адрозніваецца ад значэння функцыі ў дадзеным пункце, то такі пункт называюць пунктам разрыву першага роду;
 калі хаця б адна з аднабаковых граніц не існуе ці не з'яўляецца канечнаю велічынёю, то такі пункт называюць пунктам разрыву другога роду.

 Уласцівасці 

 Лакальныя 
 Функцыя, непарыўная ў пункце , абмежавана ў некаторым наваколлі гэтага пункта.
 Калі функцыя  непарыўная ў пункце  і  (ці ), то  (ці ) для ўсіх , дастаткова блізкіх да .
 Калі функцыі  і  непарыўныя ў пункце , то функцыі  і  таксама непарыўныя ў пункце .
 Калі функцыі  і  непарыўныя ў кропцы  і пры гэтым , то функцыя  таксама непарыўная ў кропцы .
 Калі функцыя  непарыўная ў пункце  і функцыя  непарыўная ў кропцы , то іх кампазіцыя  непарыўная ў кропцы .

 Глабальныя 
 Функцыя, непарыўная на адрэзку (ці на любой іншай кампактнай прасторы), раўнамерна непарыўная на ім.
 Функцыя, непарыўная на адрэзку (ці на любым іншым кампактным мностве), абмежавана і дасягае на ім свайго найбольшага і найменшага значэння.
 Вобласцю значэнняў функцыі , непарыўнай на адрэзку , з'яўляецца адрэзак  дзе мінімум і максімум бяруцца па адрэзку .
 Калі функцыя  непарыўная на адрэзку  і  то існуе кропка  у якой 
 Калі функцыя  непарыўная на адрэзку  і лік  задавальняе няроўнасць  ці няроўнасць  то існуе пункт  у яком 
 Непарыўнае адлюстраванне адрэзка ў рэчаісную прамую ін'ектыўнае тады і толькі тады, калі дадзеная функцыя на адрэзку строга манатонная.
 Манатонная функцыя на адрэзку  непарыўная тады і толькі тады, калі вобласць яе значэнняў ёсць адрэзак з канцамі  і .
 Калі функцыі  і  непарыўныя на адрэзку , прычым  і  то існуе пункт  у яком  Адсюль, сярод іншага, вынікае, што любое непарыўнае адлюстраванне адрэзка ў сябе мае хаця б адзін нерухомы пункт.

 Прыклады 

 Элементарныя функцыі 

Адвольныя мнагачлены, рацыянальныя функцыі, паказчыкавыя функцыі, лагарыфмы, трыганаметрычныя функцыі (прамыя і адваротныя) непарыўныя ўсюды ў сваёй вобласці вызначэння.

 Функцыя са скасавальным разрывам 

Функцыя  вызначаная згодна з формулаю


непарыўная ў любым пункце  Пункт  з'яўляецца пунктам скасавальнага разрыву, бо граніца функцыі


 Функцыя знака 

Функцыя


называецца функцыяй знака.

Гэта функцыя непарыўная ў кожным пункце .

Пункт  ёсць пунктам разрыву першага роду, прычым
 ,
тады як у самім пункце функцыя раўняецца нулю.

 Ступеньчатая функцыя 

Ступеньчатая функцыя, вызначаная як

усюды непарыўная, акрамя кропкі , дзе функцыя церпіць разрыў першага роду. Тым не менш, у пункце  існуе правабаковая граніца, якая супадае са значэннем функцыі ў дадзеным пункце. Такім чынам, гэта функцыя з'яўляецца прыкладам непарыўнай справа функцыі на ўсёй вобласці вызначэння.

Гэтак жа, ступеньчатая функцыя, вызначаная як


з'яўляецца прыкладам непарыўнай злева функцыі на ўсёй вобласці вызначэння.

 Функцыя Дзірыхле 

Функцыя

называецца функцыяй Дзірыхле. Па сутнасці, функцыя Дзірыхле — гэта характарыстычная функцыя мноства рацыянальных лікаў. Гэта функцыя з'яўляецца ўсюды разрыўнаю функцыяй, бо на любым прамежку ёсць як рацыянальныя, так і ірацыянальныя лікі.

 Функцыя Рымана 
Функцыя

называецца функцыяй Рымана.

Гэта функцыя з'яўляецца непарыўнаю ўсюды на мностве ірацыянальных лікаў (), бо граніца функцыі ў кожным ірацыянальным пункце раўняецца нулю.

 Варыяцыі і абагульненні 

 Раўнамерная непарыўнасць 

Функцыя  называецца раўнамерна непарыўнаю на , калі для любога  існуе  такое, што для любых двух пунктаў  і  такіх, што , спраўджваецца .

Кожная раўнамерна непарыўная на мностве  функцыя, відавочна, з'яўляецца таксама і непарыўнаю на ім. Адваротнае, увогуле кажучы, не справядліва. Аднак, калі вобласць вызначэння — кампакт, то непарыўная функцыя аказваецца таксама і раўнамерна непарыўнаю на гэтым адрэзку.

 Паўнепарыўнасць 

Існуе дзве сіметрычныя адна адной уласцівасці — паўнепарыўнасць знізу і паўнепарыўнасць зверху:
 Функцыя  называецца паўнепарыўнаю знізу ў пункце , калі для любога  існуе такое наваколле , што  для ўсякага ;
 Функцыя  называецца паўнепарыўнаю зверху ў пункце , калі для любога  існуе такое наваколле , што  для ўсякага .
Паміж непарыўнасцю і паўнепарыўнасцю ёсць наступная сувязь:
 Калі ўзяць функцыю , непарыўную ў кропцы , і паменшыць значэнне  (на канечную велічыню), то мы атрымаем функцыю, паўнепарыўную знізу ў кропцы ;
 Калі ўзяць функцыю , непарыўную ў кропцы , і павялічыць значэнне  (на канечную велічыню), то мы атрымаем функцыю, паўнепарыўную зверху ў кропцы .
У адпаведнасці з гэтым можна дапусціць для паўнепарыўных функцый бесканечныя значэнні:
 Калі , то будзем лічыць такую функцыю паўнепарыўнаю знізу ў кропцы ;
 Калі , то будзем лічыць такую функцыю паўнепарыўнаю зверху ў кропцы .

 Аднабаковая непарыўнасць 

Функцыя  называецца аднабакова непарыўнаю злева (справа) у кожным пункце  сваёй вобласці вызначэння, калі для аднабаковае граніцы справядліва роўнасць:



 Непарыўнасць амаль усюды 

На рэчаіснай прамой звычайна разглядаецца простая лінейная мера Лебега. Калі функцыя  такая, што яна непарыўная ўсюды на , акрамя, магчыма, мноства меры нуль, то такая функцыя называецца непарыўнаю амаль усюды.

У тым выпадку, калі мноства пунктаў разрыву функцыі не больш чым злічальнае, мы атрымліваем клас інтэгравальных па Рыману функцый (гл. крытэрый інтэгравальнасці функцыі па Рыману).

 Літаратура 



 Спасылкі 

Катэгорыя:Матэматычны аналіз