Дзэта-функцыя Рымана

Дзэта-функцыя Рымана — функцыя  камплекснай зменнай , якую пры  вызначаюць з дапамогай рада Дзірыхле:

дзе .

У зададзенай вобласці  гэты рад збягаецца, з’яўляецца аналітычнаю функцыяй і дапушчае аналітычны працяг на ўсю камплексную плоскасць без адзінкі.

 Тоеснасць Эйлера 

У зыходнай вобласці таксама справядліва прадстаўленне ў выглядзе бесканечнага здабытку (тоеснасць Эйлера)
  ,
дзе здабытак бярэцца па ўсіх простых ліках .

Гэта роўнасць з’яўляецца адной з асноўных уласцівасцей дзэта-функцыі.

 Уласцівасці 
 Існуюць яўныя формулы для значэнняў дзэта-функцыі ў цотных цэлых пунктах:

 дзе  — лік Бернулі.
 Напрыклад, 
 Пра значэнні дзэта-функцыі ў няцотных цэлых пунктах вядома мала: лічыцца, што яны ірацыянальныя і нават трансцэндэнтныя, але пакуль даказана толькі ірацыянальнасць ліку ζ(3) (Ражэ Аперы, 1978). Таксама даказана, што сярод значэнняў ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) ёсць хаця б адзін ірацыянальны.
 Пры 

 дзе  — функцыя Мёбіуса

 дзе  — лік дзельнікаў ліку 

 дзе  — лік простых дзельнікаў ліку 
  мае ў пункце  просты полюс з вылікам, роўным 1.
 Дзэта-функцыя пры  задавальняе ўраўненне:

 дзе  — гама-функцыя Эйлера. Гэта ўраўненне называецца функцыянальным ураўненнем Рымана.
 Для так званай ксі-функцыі Рымана

 уведзенай Рыманам для даследавання , гэта ўраўненне прымае выгляд:


 Нулі дзэта-функцыі 

Як вынікае з функцыянальнага ўраўнення Рымана, у паўплоскасці , функцыя  мае толькі простыя нулі ў адмоўных цотных пунктах:

Гэтыя нулі называюцца «трывіяльнымі» нулямі дзэта-функцыі. Далей,  пры рэчаісных . Такім чынам, усе «нетрывіяльныя» нулі дзэта-функцыі — камплексныя лікі. Акрамя таго, яны размяшчаюцца сіметрычна адносна рэчаіснае восі і адносна вертыкалі  і ляжаць у паласе , якая называецца крытычнаю паласою. Згодна з гіпотэзаю Рымана, яны ўсе знаходзяцца на крытычнай прамой .

 Абагульненні 
Існуе даволі вялікая колькасць адмысловых функцый, звязаных з дзэта-функцыяй Рымана і аб’яднаных пад агульнай назваю дзэта-функцыі. Напрыклад:

 Дзэта-функцыя Гурвіца:

 якая супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры q = 1 (бо сумаванне вядзецца ад 0, а не ад 1).

 Полілагарыфм:

 які супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры z = 1.

 Дзэта-функцыя Лерха:

 якая супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры z = 1 і q = 1 (бо сума бярэцца ад 0, а не ад 1).

 Квантавы аналаг (q-аналаг).

 Гісторыя 
Як функцыя рэчаіснай зменнай, дзэта-функцыя была ўведзена ў 1737 годзе Эйлерам, які і знайшоў формулу яе раскладання ў здабытак.
Затым гэту функцыю разглядаў Дзірыхле і, асабліва паспяхова, Чабышоў пры даследаванні закону размеркавання простых лікаў.
Але найбольш глыбокія ўласцівасці дзэта-функцыі былі выяўлены пазней, пасля працы Рымана (1859), у якой дзэта-функцыя разглядалася як функцыя камплекснай зменнай.

 Спасылкі 


Катэгорыя:Дзэта- і L-функцыі
Катэгорыя:Аналітычная тэорыя лікаў