Корань мнагачлена

Корань мнагачлена (не роўнага тоесна нулю)



над полем k — гэта элемент  (альбо элемент пашырэння поля k), такі, што выконваюцца дзве наступныя раўназначныя ўмовы:

 дадзены мнагачлена дзеліцца на мнагачлен ;
 падстаноўка элемента c замест x ператварае ўраўненне



у тоеснасць.

Раўназначнасць дзвюх фармулёвак вынікае з тэарэмы Безу. У розных крыніцах нейкая адна з іх выбіраецца ў якасці азначэння, а другая выводзіцца ў якасці тэарэмы.

Кажуць, што корань   мае кратнасць , калі мнагачлен дзеліцца на  і не дзеліцца на  Напрыклад, мнагачлен  мае адзіны корань роўны , кратнасці 2. Выраз «кратны корань» азначае, што кратнасць кораня большая за адзінку.

 Уласцівасці 
 Лік каранёў мнагачлена ступені  не перавышае  нават у тым выпадку, калі кожны корань улічваць столькі разоў, якая яго кратнасць.
 Кожны мнагачлен  з камплекснымі каэфіцыентамі мае прынамсі адзін, наогул кажучы, камплексны, корань (асноўная тэарэма алгебры).
 Аналагічнае сцвярджэнне справядліва для любога алгебраічна замкнёнага поля (па азначэнню).
 Больш таго, мнагачлен з рэчаіснымі каэфіцыентамі  можна запісаць у выглядзе



 дзе  — (у агульным выпадку камплексныя) карані мнагачлена , магчыма з паўторамі, пры гэтым калі сярод каранёў  мнагачлена  сустракаюцца роўныя, то агульнае іх значэнне называецца кратным коранем.

 Лік камплексных каранёў мнагачлена з камплекснымі каэфіцыентамі ступені n, улічваючы кратныя карані кратную колькасць разоў, роўны n. Пры гэтым усе чыста камплексныя карані (калі яны ёсць) мнагачлена з рэчаіснымі каэфіцыентамі можна разбіць на пары спалучаных аднолькавай кратнасці, такім чынам, мнагачлен цотнай ступені з рэчаіснымі каэфіцыентамі можа мець толькі цотную колькасць рэчаісных каранёў, а няцотнай — толькі няцотную.
 Карані мнагачлена звязаныя з яго каэфіцыентамі формуламі Віета.

 Гл. таксама 
 Схема Горнера
 Нуль функцыі

Катэгорыя:Мнагачлены