Цэнтральная лімітавая тэарэма

Цэнтра́льная лімітавая тэарэма — агульная назва шэрага тэарэм у тэорыі імавернасцей, якія сцвярджаюць, што сума дастаткова вялікай колькасці слаба залежных выпадковых велічынь, у якіх прыкладна аднолькавыя маштабы (ні адзін са складнікаў не пераважвае, не ўносіць у суму вызначальнага ўкладу), мае размеркаванне, блізкае да нармальнага.

Многія выпадковыя велічыні ў прыкладаннях фарміруюцца пад уплывам некалькіх слаба залежных выпадковых фактараў, таму іх размеркаванне лічаць нармальным. Пры гэтым павінна выконвацца ўмова, што ні адзін з фактараў не пераважвае. Цэнтральныя лімітавыя тэарэмы ў гэтых выпадках абгрунтоўваюць прымяненне нармальнага размеркавання.

 Класічная цэнтральная лімітавая тэарэма 

Няхай  — паслядоўнасць незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь з канечным матэматычным спадзяваннем µ і дысперсіяй σ2. Няхай таксама

ТадыГнеденко. Курс теории вероятностей. с. 241.
  па размеркаванню пры 
дзе  — нармальнае размеркаванне з нулявым матэматычным спадзяваннем і стандартным адхіленнем, роўным адзінцы.

Заўвагі
Абазначыўшы сімвалам  выбарачнае сярэдняе першых  велічынь:

вынік цэнтральнай лімітавай тэарэмы можна перапісаць у наступным выглядзе:
  па размеркаванню пры .
Скорасць збежнасці можна ацаніць з дапамогаю няроўнасці Беры — Эсеена.

 Кажучы прасцей, класічная цэнтральная лімітавая тэарэма сцвярджае, што сума  незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь мае размеркаванне блізкае да  Ці, што тое самае,  мае размеркаванне блізкае да 
 Паколькі функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання непарыўная, збежнасць к гэтаму размеркаванню раўназначная папунктавай збежнасці функцый размеркавання к функцыі размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання. Прымаючы , атрымліваем , дзе  — функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання.
 Цэнтральная лімітавая тэарэма ў класічнай фармулёўцы даказваецца метадам характарыстычных функцый (тэарэма Леві аб непарыўнасці).
 Увогуле кажучы, са збежнасці функцый размеркавання не выцякае збежнасць шчыльнасцей. Тым не менш у дадзеным класічным выпадку гэта мае месца (пры ўмове, што для размеркавання велічынь  можна вызначыць шчыльнасць).

 Лакальная цэнтральная лімітавая тэарэма 

У дапушчэннях класічнае фармулёўкі, дапусцім у дадатак, што размеркаванне выпадковых велічынь  абсалютна непарыўнае, г. зн. мае шчыльнасць. Тады размеркаванне  таксама абсалютна непарыўнае, і больш таго,
  пры ,
дзе  — шчыльнасць выпадковае велічыні , а ў правай частцы стаіць шчыльнасць стандартнага нармальнага размеркавання.

 Абагульненні 

Вынік класічнай цэнтральнай лімітавай тэарэмы верны для выпадкаў, значна больш агульных, чым выпадак поўнай незалежнасці і аднолькавага размеркавання.

 Цэнтральная лімітавая тэарэма Ляпунова 

Ляпуноў сфармуляваў і даказаў гэту тэарэму ў 1901 годзе.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні  маюць канечныя матэматычныя спадзяванні μi і дысперсіі σ і абсалютныя моманты E[Xi − μi2+δ]. Няхай

Няхай выконваецца умова Ляпунова:

Тады
  па размеркаванню пры .

 Цэнтральная лімітавая тэарэма Ліндэберга 

Ліндэберг даказаў свой варыянт цэнтральнай лімітавай тэарэмы ў 1920-х гадах.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні  вызначаны на адной імавернаснай прасторы і маюць канечныя матэматычныя спадзяванні і дысперсіі:

Няхай

І няхай выконваецца ўмова Ліндэберга: г. зн. для любога ε > 0

дзе  — функцыя размеркавання велічыні  .

ТадыГнеденко. Курс теории вероятностей. с. 237.
  па размеркаванню пры .

Заўвагі
 З лінейнасці матэматычнага спадзявання маем

 Велічыні  незалежныя, таму

 Умову Ліндэберга можна перапісаць у наступным відзе:

дзе  — .

 Цэнтральная лімітавая тэарэма для мартынгалаў 
Няхай працэс  з'яўляецца  з абмежаванымі прырашчэннямі, г. зн. для ўсіх t

і існуе такая пастаянная , што для ўсіх t  справядліва няроўнасць

Будзем таксама лічыць, што 

Няхай

і рад з σ разбягаецца :

Няхай

ТадыBillingsley (1995, Theorem 35.11, p. 476)
  па размеркаванню пры .

 Гл. таксама 
 Закон вялікіх лікаў
 Закон паўторнага лагарыфма
 Тэарэма Беры — Эсеена
 Тэарэма Эрдзёша — Каца

 Зноскі 

 Літаратура 






 Спасылкі 
 Предельные теоремы теории вероятностей 

Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей
Катэгорыя:Тэарэмы тэорыі імавернасцей і матэматычнай статыстыкі