Вышыня трохвугольніка

Вышыня́ трохвугольніка — перпендыкуляр, праведзены з вяршыні трохвугольніка да прамой, якая змяшчае процілеглую старану.
У залежнасці ад віду трохвугольніка вышыня можа праходзіць унутры трохвугольніка (для востравугольнага трохвугольніка), супадаць з яго стараною (катэтам прамавугольнага трохвугольніка) ці праходзіць па-за трохвугольнікам (для тупавугольнага).

 Уласцівасці 
 Вышыні трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, так званым артацэнтры. Гэта сцвярджэнне лёгка даказаць, карыстаючыся вектарнаю тоеснасцю, справядліваю для любых пунктаў A, B, C, E (нават калі яны не ляжаць у адной плоскасці):


(Каб даказасць тоеснасць, трэба скарыстаць формулы


У якасці пункта E трэба ўзяць перасячэнне дзвюх вышынь трохвугольніка.)

 У востравугольным трохвугольніку артацэнтр ляжыць унутры трохвугольніка; у тупавугольным — па-за трохвугольнікам; у прамавугольным — у вяршыні прамога вугла.
 У прамавугольным трохвугольніку вышыня, праведзеная з вяршыні прамога вугла, разбівае яго на два трохвугольнікі, падобныя зыходнаму.
 У востравугольным трохвугольніку дзве яго вышыні адсякаюць ад яго падобныя трохвугольнікі.
 Асновы вышынь утвараюць так званы ортатрохвугольнік, які мае свае ўласцівасці.

Найменшая з вышынь трохвугольніка мае экстрэмальныя уласцівасці. Напрыклад:

 Найменшая артаганальная праекцыя трохвугольніка на прамыя, што ляжаць у плоскасці трохвугольніка, мае даўжыню, роўную найменшай з яго вышынь.
 Найменшы прамалінейны разрэз у плоскасці, праз які можна працягнуць незгінальную трохвугольную пласціну, павінен мець даўжыню, роўную найменшай з вышынь гэтай пласціны.
 Пры непарыўным руху двух пунктаў па перыметры трохвугольніка насустрач адзін аднаму, найбольшая адлегласць паміж імі не можа быць меншаю за даўжыню найменшай з вышынь трохвугольніка.

Найменшая вышыня ў трохвугольніку заўсёды праходзіць унутры гэтага трохвугольніка.

 Асноўныя суадносіны 


дзе  — плошча трохвугольніка,  — даўжыня стараны трохвугольніка, на якую апушчана вышыня.

 , дзе r — радыус упісанай акружнасці.
 Вышыня раўнабедранага трохвугольніка, апушчаная на аснову:

дзе  — аснова.
  — вышыня ў роўнастароннім трохвугольніку.

 Тэарэма аб вышыні прамавугольнага трохвугольніка 
Калі вышыня даўжынёю h, праведзеная з вяршыні прамога вугла, дзеліць гіпатэнузу даўжынёю c на адрэзкі m і n, адпаведныя катэтам b і a, то верныя наступныя роўнасці:





 Мнеманічны верш 

 Вышыня
 Падобна на ката́,
 Што выгнуў спі́ну
 І пад прамым вуглом
 Злучыў вяршыню
 І старану хвастом.

 Спасылкі 
 Даведнік: Трохвугольнікі  

Катэгорыя:Геаметрыя трохвугольніка
Катэгорыя:Планіметрыя