Частковая вытворная

У матэматычным аналізе частковая вытворная — адно з абагульненняў паняцця вытворнай на выпадак функцыі некалькіх зменных.

У яўным выглядзе частковая вытворная функцыі  у пункце  вызначаецца наступным чынам:


міні|Графік функцыі . Частковая вытворная ў кропцы  пры пастаянным y адпавядае вуглу нахілу датычнай прамой, паралельнай плоскасці xz.

міні|Сячэнні графіка, намаляванага вышэй, плоскасцю 

 Абазначэнне 

Варта звярнуць увагу, што абазначэнне  трэба разумець як цэльны сімвал, у адрозненне ад звычайнай вытворнай функцыі адной зменнай  якую можна прадставіць, як адносіну дыферэнцыялаў функцыі і аргумента. Аднак, і частковую вытворную можна прадставіць як адносіну дыферэнцыялаў, але ў гэтым выпадку неабходна абавязкова паказваць, па якой зменнай ажыццяўляецца прырашчэнне функцыі:  дзе  частковы дыферэнцыял функцыі  па зменнай . Часта неразуменне факта цэльнасці сімвала  з'яўляецца прычынай памылак і непаразуменняў, як, напрыклад, скарачэнне  ў выразе  Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления».

 Геаметрычная інтэрпрэтацыя 

Геаметрычна частковая вытворная з'яўляецца вытворнай па напрамку адной з каардынатных восей. Частковая вытворная функцыі  у пункце  па каардынаце  роўная вытворнай  па напрамку , дзе адзінка стаіць на -ым месцы.

 Прыклады 
міні|Аб’ём конуса залежыць ад вышыні і радыуса асновы

Аб’ём V конуса залежыць ад вышыні h і радыуса r, згодна з формулай



Частковая вытворная аб’ёму V адносна радыуса r



якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб’ём конуса, калі яго радыус мяняецца, а яго вышыня застаецца нязменнай. Напрыклад, калі лічыць адзінкі вымярэння аб’ёму , а вымярэнні даўжыні , то вышэйназваная вытворная будзе мець размернасць хуткасці змянення аб’ёму , г.зн. змяненне велічыні радыуса на 1 м будзе адпавядаць змяненню аб’ёму конуса на  .

Частковая вытворная адносна h



якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб’ём конуса, калі яго вышыня мяняецца, а яго радыус застаецца нязменным.

Поўная вытворная V адносна r і h



і



Адрозненне паміж поўнай і частковай вытворнай — ухіленне ўскосных залежнасцей паміж зменнымі ў апошняй.

Калі (па некаторых прычынах) прапорцыі конуса застаюцца нязменнымі, то вышыня і радыус знаходзяцца ў фіксаванай адносіне ,



Гэта дае поўную вытворную адносна r:



Ураўненні, у якія ўваходзяць частковыя вытворныя, называюцца дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі ў частковых вытворных і шырока вядомыя ў фізіцы, інжынерыі і іншых навуках і прыкладных дысцыплінах.

Катэгорыя:Дыферэнцыяльнае злічэнне