Цотнасць функцыі

Цотнымі ці няцотнымі называюцца функцыі, чые графікі маюць пэўны тып сіметрыю адносна змянення знака аргумента. Гэта паняцце важнае ў многіх галінах матэматычнага аналізу, такіх як тэорыя ступенных радоў і радоў Фур'е.


 Няцотная функцыя — функцыя, якая мяняе значэнне на процілеглае пры змене знака незалежнай зменнай (сіметрычная адносна цэнтра каардынат).
 Цотная функцыя — функцыя, якая не мяняе свайго значэння пры змене знака незалежнай зменнай (сіметрычная адносна восі ардынат).
 Ні цотная, ні няцотная функцыя (функцыя агульнага віду) — функцыя, якая не мае сіметрыі. Сюды адносяцца функцыі, якія не падыходзяць ні пад адно з папярэдніх двух азначэнняў.

 Строгае азначэнне 
Азначэнні ўводзяцца для любой сіметрычнай адносна нуля вобласці вызначэння , напрыклад, адрэзка ці прамежка.
 Функцыя  называецца цотнаю, калі справядліва роўнасць

 Функцыя  называецца няцотнаю, калі справядліва роўнасць


 Функцыі, якія не належаць ні адной з вышэйназваных катэгорый, называюцца ні цотнымі ні няцотнымі (ці функцыямі агульнага віду).

 Уласцівасці 

 Графік няцотнае функцыі сіметрычны адносна пачатку каардынат .
 Графік цотнае функцыі сіметрычны адносна восі ардынат .
 Адвольную функцыю  можна адназначна прадставіць як суму цотнай і няцотнай функцый:

дзе

 Функцыя  — адзіная функцыі, цотная і няцотная адначасова.
 Сума, рознасць і ўвогуле любая лінейная камбінацыя цотных функцый цотная, а няцотных — няцотная.
 Здабытак дзвюх функцый аднолькавае цотнасці цотны.
 Здабытак дзвюх функцый рознае цотнасці няцотны.
 Кампазіцыя дзвюх няцотных функцый няцотная.
 Кампазіцыя цотнае функцыі з цотнаю ці няцотнаю функцыяй цотная.
 Кампазіцыя любое функцыі з цотнаю цотная (але не наадварот!).
 Вытворная цотнае функцыі няцотная, а няцотнай — цотная.
 Інтэграл ад цотнае функцыі па сіметрычным адносна нуля прамежку роўны падвоенаму інтэгралу па палавіне прамежка:

 Інтэграл ад няцотнае функцыі па сіметрычным адносна нуля прамежку роўны нулю:

 Прыклады 

 Няцотныя функцыі 

 Няцотная ступень  дзе  — адвольны цэлы лік.
 Сінус .
 Тангенс .

 Цотныя функцыі 

 Цотная ступень  дзе  — адвольны цэлы лік.
 Косінус .
 Абсалютная велічыня (модуль) .

 Спасылкі 



Катэгорыя:Элементарная матэматыка
Катэгорыя:Тыпы функцый