Упісаная акружнасць

Акружнасць называюць упісанаю (умежанаю) у вугал, калі яна ляжыць унутры вугла і датыкаецца да яго старон. Цэнтр акружнасці, упісанай (умежанай) у вугал, ляжыць на бісектрысе гэтага вугла.

Акружнасць называецца ўпісанаю ў выпуклы многавугольнік, калі яна ляжыць унутры дадзенага многавугольніка і датыкаецца да ўсіх яго старон.

 У многавугольніку 

 Калі ў дадзены выпуклы многавугольнік можна ўпісаць (умежыць) акружнасць, то бісектрысы ўсіх унутраных вуглоў дадзенага многавугольніка перасякаюцца ў адным пункце, які з'яўляецца цэнтрам упісанай акружнасці.
 Радыус упісанай у многавугольнік акружнасці роўны адносіне яго плошчы да паўперыметра



 У трохвугольніку 

Уласцівасці ўпісанай акружнасці:

 У кожны трохвугольнік можна ўпісаць акружнасць, прытым толькі адну.
 Цэнтр I упісанай акружнасці называецца інцэнтрам, ён роўнааддалены ад усіх старон і з'яўляецца пунктам перасячэння бісектрыс трохвугольніка.
 Радыус умежанай у трохвугольнік акружнасці роўны


 Калі AB — аснова роўнастаронняга , то акружнасць, якая датыкаецца да старон  ў пунктах A і B, праходзіць праз інцэнтр трохвугольніка ABC.
 Формула Эйлера: , дзе  — радыус апісанай вакол трохвугольніка акружнасці,  — радыус умежанай у яго акружнасці, O — цэнтр апісанай акружнасці, I — цэнтр упісанай акружнасці.
 Калі прамая, якая праходзіць праз пункт I паралельная старане AB, перасякае стораны BC і CA у пунктах A1 і B1, то .
 Пункты дотыку ўмежанай у трохвугольнік T акружнасці, злучаныя адрэзкамі, утвараюць трохвугольнік T1.
 Бісектрысы T з'яўляюцца сярэдзіннымі перпендыкулярамі T1.
 Хай  T2 — ортатрохвугольнік  T1. Тады яго стораны паралельныя сторанам зыходнага трохвугольніка T.
 Хай  T3 — пасярэдні трохвугольнік  T1. Тады бісектрысы T з'яўляюцца вышынямі  T3.
 Хай T4 — ортатрохвугольнік  T3, тады бісектрысы T з'яўляюцца бісектрысамі  T4.
 Радыус умежанай ў прамавугольны трохвугольнік з катэтамі a, b і гіпатэнузай c акружнасці роўны .
 Адлегласць ад вяршыні С трохвугольніка да пункта, у якім умежаная акружнасць датыкаецца да стараны, роўная .
 Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра ўмежанай акружнасці роўная , дзе r — радыус упісанай акружнасці, а γ — вугал вяршыні C.
 Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра ўмежанай акружнасці можна таксама знайсці па формулах  і 
 Тэарэма аб трызубцы ці пра канюшыну: Калі  — пункт перасячэння бісектрысы вугла A з апісанаю акружнасцю, а I — цэнтр упісанай акружнасці, то .
 Лема Вер'ера: хай акружнасць  датыкаецца да старон ,  і дугі  апісанай акружнасці трохвугольніка . Тады пункты дотыку акружнасці  са старонамі і цэнтр умежанай акружнасці трохвугольніка  ляжаць на адной прамой.

 У чатырохвугольніку 

Апісаны чатырохвугольнік, калі ў яго няма самаперасячэнняў («просты»), павінен быць выпуклым.

У выпуклы чатырохвугольнік ABCD можна ўпісаць акружнасць тады і толькі тады, калі сумы яго процілеглых старон роўныя: .

Калі ў чатырохвугольнік ўпісана акружнасць, то плошча такога чатырохвугольніка можна вылічыць па формуле:

Ва ўсякім апісаным чатырохвугольніку сярэдзіны дыяганалей і цэнтр упісанай акружнасці ляжаць на адной прамой (тэарэма Ньютана). На ёй жа ляжыць сярэдзіна адрэзка з канцамі ў пунктах перасячэння процілеглых бакоў чатырохвугольніка. Гэтая прамая называецца прамою Гауса. Цэнтр умежанай у чатырохвугольнік акружнасці — пункт перасячэння вышынь трохвугольніка з вяршынямі ў пункце перасячэння дыяганалей і пунктах скрыжавання процілеглых старон (тэарэма Брокараў).

 У сферычным трохвугольніку 

Упісаная акружнасць для сферычнага трохвугольніка — гэта акружнасць, якая датыкаецца да ўсіх яго старон.

 Тангенс радыуса ўпісанай у сферычны трохвугольнік акружнасці роўны


 Упісаная ў сферычны трохвугольнік акружнасць належыць сферы. Радыус, праведзены з цэнтра сферы праз цэнтр упісанай акружнасці перасячэ сферу ў пункце перасячэння бісектрыс вуглоў (дуг вялікіх колаў сферы, якія дзеляць вуглы напалову) сферычнага трохвугольніка.

 Гл. таксама 
 Выдатныя пункты трохвугольніка
 Апісаная акружнасць
 Пазаўпісаная акружнасць

 Заўвагі 

 Крыніцы 

 Літаратура 
 Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 89. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
 Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0

Катэгорыя:Геаметрыя трохвугольніка
Катэгорыя:Крывыя