Трыганаметрычныя функцыі

Трыганаметры́чныя фу́нкцыі — элементарныя функцыі, якія гістарычна ўзніклі пры разгляданні прамавугольных трохвугольнікаў і выражалі залежнасці старон такіх трохвугольнікаў ад вострых вуглоў пры гіпатэнузе (ці, што раўназначна, залежнасць хорд і вышынь ад цэнтральнага вугла ў крузе). Гэтыя функцыі шырока прымяняюцца ў самых розных галінах навукі. У далейшым азначэнне трыганаметрычных функцый было пашырана спачатку на ўсе рэчаісныя лікі, а пасля і на ўсе камплексныя. Раздзел матэматыкі, які займаецца вывучэннем уласцівасцей трыганаметрычных функцый, называецца трыганаметрыяй.

Да трыганаметрычных функцый адносяцца:
 прамыя трыганаметрычныя функцыі
 сінус ()
 косінус  ()
 вытворныя трыганаметрычныя функцыі
 тангенс ()
 катангенс ()
 іншыя трыганаметрычныя функцыі
 секанс () 
 касеканс ()

У заходняй літаратуры тангенс, катангенс і касеканс часта абазначаюцца . 

Акрамя гэтых шасці, існуюць таксама некаторыя малаўжывальныя трыганаметрычныя функцыі (версінус і г.д.), а таксама адваротныя трыганаметрычныя функцыі (арксінус, арккосінус і г. д.).

Сінус і косінус рэчаіснага аргумента з'яўляюцца перыядычнымі непарыўнымі і неабмежавана дыферэнцавальнымі рэчаісназначнымі функцыямі. Астатнія чатыры функцыі на рэчаіснай восі таксама рэчаісназначныя, перыядычныя і неабмежавана дыферэнцавальныя на вобласці вызначэння, але маюць разрывы. Тангенс і секанс маюць разрывы другога роду ў пунктах , а катангенс і касеканс — у пунктах .

 Спосабы вызначэння 

 Геаметрычнае азначэнне 

 Праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка 
150px|thumb|Прамавугольны трохвугольнік

Звычайна трыганаметрычныя функцыі вызначаюцца геаметрычна. У многіх падручніках па элементарнай геаметрыі да цяперашняга часу трыганаметрычныя функцыі вострага вугла вызначаюцца як адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка. Няхай  — трохвугольнік з вуглом . Тады:

 Сінусам вугла  называецца дзель  (адносіна процілеглага катэта да гіпатэнузы).
 Косінусам вугла  называецца дзель  (адносіна прылеглага катэта да гіпатэнузы).
 Тангенсам вугла  называецца дзель  (адносіна процілеглага катэта к прылегламу).
 Катангенсам вугла  называецца дзель  (адносіна прылеглага катэта да процілеглага).
 Секансам вугла  называецца дзель  (адносіна гіпатэнузы да прылеглага катэта).
 Касекансам вугла  называецца дзель  (адносіна гіпатэнузы да процілеглага катэта).

Пабудаваўшы сістэму каардынат з пачаткам у пункце , напрамкам восі абсцыс уздоўж  і ў выпадку неабходнасці памяняўшы арыентацыю (перавярнуўшы) трохвугольнік так, каб ён знаходзіўся ў першай чвэрці сістэмы каардынат, і затым, пабудаваўшы акружнасць з радыусам, роўным гіпатэнузе, адразу знаходзім, што такое азначэнне функцый дае такі ж вынік, як і прыведзенае ніжэй вызначэнне праз каардынаты пункта на акружнасці.

Азначэнне праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка пры выкладанні мае пэўныя перавагі, бо не патрабуе ўвядзення паняцця сістэмы каардынат. Але такое азначэнне мае і істотны недахоп: не дае магчымасці вызначыць трыганаметрычныя функцыі для тупых вуглоў, якія неабходна ведаць для рашэння элементарных задач пра тупавугольныя трохвугольнікі (гл.: Тэарэма сінусаў, Тэарэма косінусаў).

 Як каардынаты пункта на адзінкавай акружнасці 
338px|thumb|Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла  ў адзінкавай акружнасці з цэнтрам у пачатку каардынат

Няхай зададзена дэкартава сістэма каардынат на плоскасці, і пабудавана акружнасць радыуса  з цэнтрам у пачатку каардынат . Вымераем вуглы як павароты ад дадатнага напрамку восі абсцыс да прамяня . Напрамак супраць гадзіннікавай стрэлкі лічыцца дадатным, па гадзіннікавай стрэлцы — адмоўным. Абсцысу пункта  абазначым , ардынату — .

 Сінусам называецца дзель 
 Косінусам называецца дзель 
 Тангенс вызначаецца як 
 Катангенс вызначаецца як 
 Секанс вызначаецца як 
 Касеканс вызначаецца як 

Ясна, што значэнні трыганаметрычных функцый не залежаць ад велічыні радыуса акружнасці  дзякуючы ўласцівасцям падобных фігур. Часта гэты радыус прымаюць роўным адзінцы, тады сінус роўны проста ардынаце , а косінус — абсцысе . На рысунку 3 паказаны велічыні трыганаметрычных функцый для адзінкавай акружнасці.

Калі  — рэчаісны лік, то сінусам  ў матэматычным аналізе называецца сінус вугла, радыянная мера якога роўная , гэтак жа і для іншых трыганаметрычных функцый.

 Як рашэнні дыферэнцыяльных ураўненняў 

Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як цотнае (косінус) і няцотнае (сінус) рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення

з пачатковымі ўмовамі

Гэта значыць як функцыі адной зменнай, другая вытворная якіх раўняецца ім самім, узятым з процілеглым знакам:



 Як рашэнні функцыянальных ураўненняў 
Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як непарыўныя рашэнні ( і  адпаведна) сістэмы функцыянальных ураўненняў:

 Праз рады 
Скарыстаўшы геаметрыю і ўласцівасці граніц, можна даказаць, што вытворная сінуса раўняецца косінусу, а вытворная косінуса раўняецца мінус сінусу. Тады можна скарыстаць тэорыю радоў Тэйлара і прадставіць сінус і косінус у выглядзе ступенных радоў:



Карыстаючыся гэтымі формуламі, а таксама тоеснасцямі

можна знайсці раскладанні ў рад Тэйлара і іншых трыганаметрычных функцый:




дзе
  — лікі Бернулі,
  — лікі Эйлера.

 Значэнні трыганаметрычных фунцый для некаторых вуглоў 

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы.
Сімвал «∞» значыць, што функцыя ў таком пункце не вызначана, і ў яго наваколлі імкнецца к бесканечнасці.

   0°(0 рад) 30° (/6) 45° (/4) 60° (/3) 90° (/2) 180° () 270° (3/2) 360° (2)                  
300px|thumb|right|Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.

 Уласцівасці трыганаметрычных функцый 

 Найпрасцейшыя тоеснасці 

Раз сінус і косінус — гэта ардыната і абсцыса пункта, які на адзінкавай акружнасці адпавядае вуглу , то, згодна з ураўненнем адзінкавай акружнасці ці тэарэмаю Піфагора, маем:

Гэта роўнасць называецца асноўнай трыганаметрычнай тоеснасцю.

Дзелячы гэту тоеснасць на квадрат косінуса і сінуса соответственно имеем далее:

Акрамя таго, непасрэдна з азначэння тангенса і катангенса вынікае тоеснасць:

 Непарыўнасць 
Сінус і косінус — непарыўныя функцыі. Тангенс і секанс маюць пункты разрыву  катангенс і касеканс — 

 Цотнасць 

Косінус і секанс — цотныя. Астатнія чатыры функцыі — няцотныя, гэта значыць:








 Перыядычнасць 

Функцыі     — перыядычныя з перыядам , функцыі  і  — з перыядам .

 Формулы прывядзення 
Формуламі прывядзення называюцца формулы наступнага выгляду:





Тут  — любая трыганаметрычная функцыя,  — адпаведная ёй кафункцыя (г. зн. косінус для сінуса, сінус для косінуса, тангенс для катангенса, катангенс для тангенса, секанс для касеканса і касеканс для секанса),  — цэлы лік. Перад атрыманаю функцыяй ставіцца той знак, які мае зыходная функцыя ў зададзенай каардынатнай чвэрці пры ўмове, што вугал  востры, напрыклад:


Некаторыя формулы прывядзення:

 Формулы складання 
Значэнні трыганаметрычных функцый сумы і рознасці двух вуглоў:





Падобныя формулы для сумы трох вуглоў:



 Формулы для кратных вуглоў 
Формулы двайнога вугла:





Формулы трайнога вугла:





Іншыя формулы для кратных вуглоў:










Апошняя роўнасць вынікае з формулы дапаўнення і формулы Гауса для Гама-функцыі.

З формулы Муаўра можна атрымаць наступныя агульныя выразы для кратных вуглоў:




дзе  — цэлая частка ліку ,  — біномны каэфіцыент.

Формулы палавіннага вугла:







 Здабыткі 
Формулы для здабыткаў функцый двух вуглоў:







Аналагічныя формулы для здабыткаў сінусаў і косінусаў трох вуглоў:




Формулы для здабыткаў тангенсаў і катангенсаў трох вуглоў можна атрымаць, падзяліўшы правыя і левыя часткі адпаведных роўнасцей, прадстаўленых вышэй.

 Ступені 

 Сумы 







Для функцый ад аргумента  існуе прадстаўленне:

дзе вугал  вызначаецца з суадносін:

 Аднапараметрычнае прадстаўленне 

Усе трыганаметрычныя функцыі можна выразіць праз тангенс палавіннага вугла.

 Вытворныя і першаісныя 

Усе трыганаметрычныя функцыі непарыўна і неабмежавана дыферэнцавальныя на ўсёй вобласці вызначэння:

Нявызначаныя інтэгралы трыганаметрычных функцый на вобласці вызначэння выражаюцца праз элементарныя функцыі наступным чынам:

 Трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай 

 Азначэнне 
Формула Эйлера:

дазваляе вызначыць трыганаметрычныя функцыі ад камплексных аргументаў праз паказчыкавую функцыю ці (з дапамогай радоў) як аналітычны працяг іх рэчаісных адпаведнікаў:











дзе 

Адпаведна, для рэчаіснага ,




Камплексныя сінус і косінус цесна звязаны з гіпербалічнымі функцыямі:



Большасць пералічаных вышэй уласцівасцей трыганаметрычных функцый захоўваюцца і ў камплексным выпадку. Некаторыя дадатковыя ўласцівасці:
 камплексныя сінус і косінус, у адрозненне ад рэчаісных, могуць прымаць неабмежавана вялікія па модулю значэнні;
 усе нулі камплексных сінуса і косінуса ляжаць на рэчаіснай восі.

 Камплексныя графікі 
На наступных графіках адлюстрована камплексная плоскасць, а значэнні функцый выдзелены колерам. Яркасць адпавядае абсалютнаму значэнню (чорны — нуль). Колер змяняецца ад аргумента і вугла згодна з картаю.

+ Трыганаметрычныя функцыі ў камплекснай плоскасці1000x140px|none1000x140px|none1000x140px|none1000x140px|none1000x140px|none1000x140px|none

 Гісторыя назваў 

Лінія сінуса ў індыйскіх матэматыкаў першапачаткова называлася «арха-джыва» («паўцеціва», г. зн. палавіна хорды), затым слова «арха» было адкінута і лінію сінуса сталі называць проста «джыва». Арабскія перакладчыкі не пераклалі слова «джыва» арабскім словам «ватар», якое абазначае цеціву і хорду, а проста запісалі арабскімі буквамі і сталі называть лінію сінуса «джыба». У арабскай мове кароткія галосныя не абазначаюцца, акрамя таго, доўгае «і» ў слове «джыба» абазначаецца гэтак жа, як і паўгалоснае «й». У выніку, арабы сталі вымаўляць назву лініі сінуса як «джайб», што літаральна значыць «упадзіна», «пазуха». Пры перакладзе арабскіх твораў на латынь еўрапейскія перакладчыкі пераклалі слова «джайб» лацінскім словам sinus, якое мае тое ж значэнне.

Сучасныя кароткія абазначэнні  і  уведзены Уільямам Оўтрэдам і замацаваны ў працах Эйлера.

Тэрміны «тангенс» (ад  — датычны) і «секанс» ( — сякучы) былі ўведзены дацкім матэматыкам Томасам Фінке (1561—1656) у яго кнізе «Геаметрыя круглага» (Geometria rotundi, 1583).

Сам тэрмін трыганаметрычныя функцыі ўведзен Клюгелем у 1770 годзе.

 Гл. таксама 

 Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
 Гіпербалічныя функцыі
 Эліптычныя функцыі
 Інтэгральны сінус
 Інтэгральны косінус
 Рашэнне трохвугольнікаў
 Сінус-верзус
 Сферычная трыганаметрыя
 Функцыя Гудэрмана
 Чатырохзначныя матэматычныя табліцы (Табліцы Брадзіса)

 Літаратура 


 Maor, Eli, Trigonometric Delights, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.



 Спасылкі 

 Анлайн калькулятар: вылічэнне значэнняў трыганаметрычных функцый
 Інтэрактыўная карта значэнняў трыганаметрычных функцый 

Катэгорыя:Трыганаметрыя
Катэгорыя:Элементарныя функцыі