Матэматычная фармулёўка агульнай тэорыі адноснасці

У гэтым артыкуле разглядаецца матэматычны базіс агульнай тэорыі адноснасці.

 Зыходныя палажэнні 

Нашае інтуітыўнае ўспрыманне паказвае нам, што прастора-час з'яўляецца рэгулярнай і неперарыўнай, гэта значыць не мае «дзірак». Матэматычна гэтыя ўласцівасці азначаюць, што прастора-час будзе мадэлявацца гладкай дыферэнцавальнай мнагастайнасцю 4 вымярэнняў , г. зн. прасторай размернасці 4, для якой наваколле кожнай кропкі лакальна падобнае на чатырохмерную эўклідавую прастору. Гладкасць тут азначае дастатковую дыферэнцавальнасць, пакуль без удакладнення яе ступені.

Паколькі, акрамя таго, з добрай дакладнасцю выконваюцца законы спецыяльнай тэорыі адноснасці, то такую мнагастайнасць можна надзяліць лорэнцавай метрыкай, г. зн. нявыраджаным метрычным тэнзарам з сігнатурай  (ці, што эквівалентна, ). Значэнне гэтага раскрываецца ў наступным раздзеле.

 Геаметрыя прасторы-часу 

 Метрычны тэнзар 

Дыферэнцавальная мнагастайнасцьДалей мы ўсюды не пішам індэкс 4, які ўдакладняе размернасць мнагастайнасці «M». M, забяспечанае лорэнцавым метрычным тэнзарам g , і прадстаўляе сабой такім чынам лорэнцаву мнагастайнасць, якая з'яўляецца асобным выпадак псеўдарыманавай мнагастайнасці (азначэнне «лорэнцаў» будзе ўдакладнена далей у тэксце; гл. ніжэй раздзел Лорэнцава метрыка) .

Возьмем якую-небудзь сістэму каардынат  ў наваколлі кропкі , і хай  — лакальны базіс ў датычнай прасторы  да мнагастайнасці  ў кропцы . Датычны вектар  запішацца тады як лінейная камбінацыя базісных вектараў:



Пры гэтым велічыні  называюцца контраварыянтнымі кампанентамі вектара w. Метрычны тэнзар  тады — сіметрычная білінейная форма:




дзе праз  пазначаны дуальны ў адносінах да  базіс ў кадатычный прасторы , гэта значыць такія лінейныя формы на , што:




Далей будзем меркаваць, што кампаненты  метрычнага тэнзара змяняюцца ў прасторы-часе неперарыўнаБольш дакладна, яны павінны быць прынамсі класа C²..

Метрычны тэнзар, такім чынам, можа быць прадстаўлены сапраўднай сіметрычнай матрыцай 4x4 :




Наогул любая сапраўдная матрыца 4x4 мае апрыёры 4 x 4 = 16 незалежных элементаў. Умова сіметрыі памяншае гэты лік да 10: на самай справе, застаецца 4 дыяганальныя элементы, да якіх трэба дадаць (16 - 4)/2 = 6 недыяганальных элементаў. Тэнзар  валодае, такім чынам, толькі 10 незалежнымі кампанентамі.

 Скалярны здабытак 

Метрычны тэнзар вызначае для кожнай кропкі разнастайнасці псеўда-скалярны здабытак («псеўда-» у тым сэнсе, што адсутнічае дадатная пэўнасць асацыяванай квадратычнай формы (квадрата вектара); см. Лорэнцава метрыка) у датычнай да разнастайнасці  ў кропцы  псеўдаэўклідавай прасторы . Калі  і  — два вектары , іх скалярны здабытак запішацца як:




У прыватнасці, узяўшы два базісных вектара, атрымліваем кампаненты:




Заўвага: калі велічыні w ^ {\ mu} абазначаюць контраварыянтныя кампаненты вектара w, то можна вызначыць таксама яго каварыянтныя кампаненты як:



 Элементарная адлегласць — інтэрвал 

Разгледзім вектар элементарнага перамяшчэння  паміж кропкай  і бясконца блізкай кропкай: . Інварыянтнай інфінітэзімальнай нормай гэтага вэктару будзе сапраўдны лік, які пазначаецца , званы квадратам інтэрвалу, і роўны:

    .


Калі пазначыць кампаненты вектара элементарнага перамяшчэння «па-фізічна» , інфінітэзімальны квадрат даўжыні (інтэрвалу) запішацца фармальна як:



Увага: у гэтай формуле, а таксама і далей,  прадстаўляе сабой сапраўдны лік, які інтэрпрэтуецца фізічна як «інфінітэзімальная змена» каардынаты , а не як дыферэнцыяльная форма!

 Лорэнцава метрыка 

Удакладнім цяпер выраз «лорэнцава» (дакладней лакальна лорэнцава), які азначае, што метрычны тэнзар мае сігнатуру (1,3) і лакальна супадае ў першым парадку з лорэнцавай метрыкай спецыяльнай тэорыі адноснасці. Прынцып эквівалентнасці сцвярджае, што можна «сцерці» лакальна поле гравітацыі, выбіраючы лакальна інерцыйных сістэму каардынатаў. З матэматычнага пункту гледжання такі выбар з'яўляецца перафармулёўку вядомай тэарэмы аб магчымасці прывядзення квадратычнай формы да галоўных восях .

У такой лакальна інерцыяльны сістэме каардынатаў  інварыянт  у кропцы  запішацца як:



дзе  з'яўляецца метрыкай прасторы-часу Мінкоўскага, а ў малому наваколлі гэтага пункту



дзе  мае мінімум другі парадак драбніцы па адхіленнях каардынатаў ад кропкі , г. зн. . Прымаючы пагадненне знакаў Мізнэра, Торна і Уілера, маем:



Далей выкарыстоўваюцца наступныя звычайныя пагадненні:

 грэчаскія індэксы змяняюцца ад 0 да 3. Яны адпавядаюць велічыням ў прасторы-часу.
 лацінскія індэксы змяняюцца ад 1 да 3. Яны адпавядаюць прасторавым складнікам велічынь у прасторы-часу.

Напрыклад, 4 -вектар становішча запішацца ў лакальна інерцыяльнай сістэме каардынат як:


Увага: на самой справе вядомыя, а не інфінітэзімальныя прырашчэння каардынат не ўтвараюць вектара. Вектар з іх узнікае толькі ў аднастайным прасторы нулявой крывізны і трывіяльнай тапалогіі .

Ларэнца характар разнастайнасці  забяспечвае, такім чынам, тое, што датычныя да  ў кожнай кропцы псеўдаэўклідавай прасторы будуць валодаць псеўдаскалярнымі здабыткамі («псеўда-» у тым сэнсе, што адсутнічае дадатная пэўнасць асацыяванай квадратычнай формы (квадрата вектара)) з трыма строга дадатнымі уласнымі значэннямі (адпаведнымі прасторы) і адным строга адмоўным уласным значэннем (адпаведным часе). У прыватнасці, элементарны інтэрвал «ўласнага часу», які аддзяляе дзве паслядоўных падзеі, заўсёды :




 Агульныя паняцці афіннай звязнасці і каварыянтнай вытворнай 

Абагульнена, афіннай звязнасцю называецца аператар , які прыводзіць у адпаведнасць вектарнаму полю  з датычнага пучка  поле эндамарфізмаў  этого пучка. гэтага пучка. Калі  — датычны вектар у пункце , звычайна пазначаюць



Кажуць , што  з'яўляецца «каварыянтнай вытворнай» вектара  ў напрамку . Выкажам здагадку да таго ж , што  задавальняе дадатковым умовам: для любой функцыі f справядліва



Каварыянтная вытворная задавальняе наступным двум уласцівасцям лінейнасці:

 лінейнасць па w, гэта значыць, якімі б ні былі палі вектараў w і u і сапраўдныя лікі a і b, мы маем:



 лінейнасць па V, гэта значыць, якімі б ні былі палі вектараў X і сапраўдныя лікі a і b, мы маем:



Як толькі каварыянтная вытворная вызначана для палёў вектараў, яна можа быць распаўсюджана на тэнзарныя палі з выкарыстаннем правілы Лейбніца: калі  і  — два любых тэнзар, то па азначэнні :



Каварыантная вытворная поля тэнзара ўздоўж вектара w значыць ізноў поле тэнзара таго ж тыпу.

 Звязнасць, асацыяваная з метрыкай 

Можна даказаць , што звязнасць, асацыяваная з метрыкай — складнасць Леві-Чывіты [ 1 ], з'яўляецца адзінай звязнасцю, якая акрамя папярэдніх умоў дадаткова забяспечвае тое, што для любых палёў вектараў X, Y, Z з TM

  (метрычнасць — тэнзар неметрычнасці роўны нулю) .

 , где  — камутатар Лі ад X і Y (адсутнасць скрута — тэнзар скрута роўны нулю) .

 Ураўненні Эйнштэйна 

Ураўненні гравітацыйнага поля, якія называюцца ўраўненнямі Эйнштэйна, запісваюцца так



або так



дзе  — касмалагічная канстанта,  — скорасць святла ў вакууме,  — гравітацыйная пастаянная, якая з’яўляецца таксама ў законе сусветнага прыцягнення Ньютана,  — тэнзар Эйнштэйна, а  — тэнзар энергіі-імпульсу.

Сіметрычны тэнзар  мае толькі 10 незалежных складнікаў, тэнзарнае ўраўненне Эйнштэйна ў зададзенай сістэме каардынат эквівалентна сістэме 10 скалярных ураўненняў. Гэтая сістэма 10 звязаных нелінейных ураўненняў ў частковых вытворных ў большасці выпадкаў вельмі цяжкая для вывучэння.

 Тэнзар энергіі-імпульсу 

Тэнзар энергіі-імпульсу можа быць запісаны ў выглядзе сапраўднай сіметрычнай матрыцы 4x4:


У ім выяўляюцца наступныя фізічныя велічыні:

 T00 — аб'ёмная шчыльнасць энергіі. Яна павінна быць дадатнай.
 T10, T20, T30 — шчыльнасці кампанент імпульсу.
 T01, T02, T03 — кампаненты патоку энергіі.
 Пад-матрыца 3 x 3 з чыста прасторавых кампанент:




— матрыца патокаў імпульсаў. У механіцы вадкасці дыяганальныя кампаненты адпавядаюць ціску, а іншыя складнікі — тангенцыяльным намаганням (высілкам або ў старой тэрміналогіі — нацяжэннем), выкліканым вязкасцю.

Для вадкасці ў спакоі тэнзар энергіі-імпульсу зводзіцца да дыяганальнай матрыцы , дзе  ёсць шчыльнасць масы, а  — гідрастатычны ціск.

Катэгорыя:Тэорыі гравітацыі
Катэгорыя:Агульная тэорыя адноснасці