Тэарэма Ферма — Эйлера

Тэарэма Ферма-Эйлера або тэарэма аб прадстаўленні простых лікаў сумай двух квадратаў сцвярджаеСендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа. Источник  — «Квант», № 3 (1999), стр. 14-22.:

Інакш кажучы, для простага ліку  існаванне цэлых лікаў  і , такіх што

раўназначна таму, што лік  пры дзяленні на 4 дае ў астачы 1:

У замежнай літаратуры гэта сцверджанне часта называюць Каляднай тэарэмай Ферма, бо яно стала вядома з пісьма П'ера Ферма, дасланага ім 25 снежня 1640 года.

Прыклады:


 Гісторыя 
Упершыню гэта сцвярджэнне сустракаецца ў Альбера Жырара ў 1632 годзе. П'ер Ферма заявіў у сваім пісьме Мерсену (1640), што ён даказаў гэту тэарэму, але доказу не прывёў. Праз 20 год у пісьме да Каркаві (жнівень 1659 года) Ферма намякае, што доказ заснаваны на метадзе бесканечнага спуску.

Першы абнародаваны доказ метадам бесканечнага спуску быў знойдзен Леанардам Эйлерам паміж 1742 і 1747 гадамі. Пазней доказы, заснаваныя на іншых ідэях, далі Жазэф Лагранж, Карл Гаус, Герман Мінкоўскі, Якобшталь і Дон Цагір. Апошні прывёў доказ у адзін сказ.A One-Sentence Proof That Every Prime 4k+1 Is a Sum of Two Squares

 Доказ 
Адзін з самых кароткіх доказаў прыдумаў нямецкі матэматык Дон Цагір.

 Абагульненне 
З гэтага сцверджання пры дапамозе тоеснасці Брахмагупты:

выводзіцца агульнае сцверджанне:

Часам іменна гэта сцверджанне разумеюць пад тэарэмай Ферма — Эйлера.

 Літаратура 
 Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960.- 375 с.
 Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа. Квант, № 3 (1999), стр. 14-22.

Ферма-Эйлера
Катэгорыя:Тэорыя лікаў