Мера Жардана

Ме́ра Жарда́на (або Ме́ра Пеа́на-Жарда́на) — адзін са спосабаў фармалізацыі паняцця памеру (даўжыні, плошчы і -мернага аб’ёму) у -мернай еўклідавай прасторы.

 Пабудова 
Мера Жардана  паралелепіпеда  у  вызначаецца як здабытак

Для абмежаванага мноства  вызначаюцца:
 вонкавая (знешняя) мера Жардана

 унутраная мера Жардана
  калі 
дзе  — паралелепіпеды апісанага вышэй выгляду.

Мноства  называецца вымерным па Жардану (квадравальным пры , кубавальным пры ), калі  У гэтым выпадку мера Жардана роўная 

 Уласцівасці 
 Мера Жардана застаецца нязменнаю адносна рухаў еўклідавай прасторы.
 Абмежаванае мноства  вымернае па Жардану тады і толькі тады, калі яго мяжа мае нулявую меру Жардана .
 У прыватнасці, усе мноствы, чыя мяжа складаецца з канечнага ліку гладкіх крывых і пунктаў, вымерныя па Жардану. Тым не менш, існуюць мноствы, абмежаваныя простай замкнутай крывой Жардана, не вымерныя па Жардану.
 Вонкавая мера Жардана адна і тая ж для  і  (замыкання мноства ) і раўняецца меры Барэля .
 Вымерныя па Жардану мноствы ўтвараюць колца, на яком мера Жардана канечная адытыўная функцыя.

 Гісторыя 
Такое паняцце меры ўвялі Пеана (1887) і Жардан (1892). Пазней паняцце было абагульнена Лебегам на шырэйшы клас мностваў.

 Прыклад мноства, невымернага па Жардану 
Разглядзім меру Жардана  вызначаную на  і няхай  — мноства пунктаў адзінкавага квадрата. Няхай  — мноства ўсіх пунктаў мноства  з рацыянальнымі каардынатамі, тады  — невымернае па Жардану мноства, бо

г. зн. вонкавая і ўнутраная мера Жардана не супадаюць.

 Гл. таксама 
 Мера мноства
 Мера Лебега
 Мера Хаусдорфа


 Літаратура 

 Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 2;
 Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
 Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;

Катэгорыя:Эўклідава геаметрыя
Катэгорыя:Тэорыя меры