E (лік)

Лік  — адзіная аснова, пры якой вытворная функцыі  у пункце  раўняецца 1. Дзеля параўнання паказаны графікі для асноў 2 і 4.
Сіняя крывая: ;
пункцірная крывая: ;
штрыхавая крывая: .
На рысунку відаць, што чырвоная прамая, праведзеная праз пункт  з нахілам 1, не з'яўляецца датычнай да графікаў апошніх дзвюх функцый.

Лік  (таксама лік Эйлера або пастаянная Непера) — важная матэматычная пастаянная, якая акрамя іншага з'яўляецца асновай натуральнага лагарыфма. Звычайна ў курсах матэматычнага аналізу пастаянную азначаюць як граніцу паслядоўнасці

пры імкненні  да бесканечнасці. Такі выраз ўзнікае пры вывучэнні складанага працэнта.

Эйлераў лік можна вылічыць і як суму бесканечнага радаEncyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D

Пастаянную можна вызначыць мноствам спосабаў. Напрыклад, іншы раз за азначэнне бяруць наступны факт:  — адзіны рэчаісны лік, такі што вытворная (нахіл датычнай прамой) функцыі  у пункце  роўная 1. Функцыя , вызначаная такім чынам, называецца экспаненцыяльнай функцыяй (або натуральнай паказчыкавай функцыяй), адваротнай да яе функцыяй з'яўляецца лагарыфм па аснове  — т.зв. натуральны лагарыфм. Натуральны лагарыфм дадатнага ліку  можна таксама вызначыць напрамую, як плошчу пад крывой , якая заключана паміж значэннямі аргумента  і . Лік  — такі лік, натуральны лагарыфм якога роўны 1. Ёсць і іншыя іншыя азначэнні.

Пастаянную  часам называюць Эйлеравым лікам у гонар швейцарскага матэматыка Леанарда Эйлера (не блытаць з  — пастаяннай Эйлера-Маскероні, якую іншы раз называюць проста пастаяннай Эйлера). Лік  таксама вядомы як пастаянная Непера, бо першыя вядомыя ўпамінанні гэтага ліку былі знойдзены ў працах Джона Непера, які выкарыстоўваў гэты лік у якасці асновы лагарыфмаДакладней кажучы, Непер у сваіх табліцах лагарыфмаў у якасці асновы няяўна карыстаўся лікам, прыблізна роўным . Падрабязней гл. кнігу Eli Maor. e: The Story of a Number. pp. 8-10.. Абазначаць лік літарай  пачаў Эйлер. Лік  мае вялікае значэнне ў матэматыцы і па важнасці стаіць побач с такімі лікамі як 0, 1,  і ўяўная адзінка . Усе пяць лікаў сустракаюцца, мабыць, ва ўсіх галінах матэматыкі. Цікава, што ўсе яны ўваходзяць у тоеснасць Эйлера:

Як і пастаянная ,  — ірацыянальны лік: г.зн. яго нельга запісаць у выглядзе дзелі двух цэлых лікаў. Больш таго, ён трансцэндэнтны: г.зн. не існуе ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі, для якога лік  быў бы коранем.

Лікавае значэнне  з дакладнасцю 50 дзесятковых знакаў пасля коскі:
 ().

 Гісторыя 
Першыя ўскосныя ўпамінанні Эйлерава ліку сустракаюцца ў табліцах ў дадатку Неперавай працы па лагарыфмах, апублікаванай у 1618 годзе. Праца ўтрымлівала не саму пастаянную, а проста спіс лагарыфмаў, вылічаных па аснове, прыблізна роўнай . Мяркуюць, што табліцу напісаў Уільям Оўтрэд. Адкрыццё самой пастаяннай прыпісваецца Якабу Бернуллі, які спрабаваў знайсці значэнне граніцы (якая раўняецца ):

Першыя вядомыя прамыя ўпамінанні пастаяннай Непера былі знойдзены ў пісьмах Лейбніца да Гюйгенса ў 1690 і 1691 гг. Там Лейбніц карыстаецца пастаяннай і абазначае яе літарай . Леанард Эйлер ужыў літару  для абазначэння асновы натуральных лагарыфмаў у пісьме да Хрысціяна Гольдбаха 25 лістапада 1731 года. Эйлер пачаў абазначаць пастаянную літарай  недзе ў 1727 ці 1728 годзе, у неапублікаванай працы па выбуховых сілах у гарматах,Euler, Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta., а першым з'яўленнем  ў публікацыі была Эйлерава Mechanica (1736). І хоць у наступныя гады некаторыя даследчыкі абазначалі лік літарай , абазначэнне  было больш распаўсюджаным і ў выніку стала агульнапрынятым.

 Прымяненні 
 Складаны працэнт 

Якаб Бернулі адкрыў пастаянную, рашаючы задачу аб складаным працэнце:

Пачатковая сума на рахунку $1.00, працэнтная стаўка па ўкладу складае 100% гадавых. Калі працэнты налічваюцца адзін раз у канцы года, сума на рахунку ў канцы года стане $2.00. Што адбудзецца, калі на працягу года працэнты налічваюцца на рахунак больш часта? (Пры гэтым налічаны на рахунак даход таксама пускаецца ў абарот пад тыя ж працэнты).

Калі працэнты пераводзяцца на рахунак двойчы ў год, сума будзе прырастаць на 50% кожныя 6 месяцаў, і такім чынам пачатковы $1 дамнажаецца на 1.5 двойчы, даючы $1.00×1.52 = $2.25 у канцы года. Паквартальнае накапленне дае $1.00×1.254 = $2.4414..., а штомесячнае накапленне дае $1.00×(1+1/12)12 = $2.613035... Калі ёсць  прамежкаў накаплення, працэнт на кожным прамежку будзе  і сума ў канцы года складзе $1.00×.

Бернулі заўважыў, што гэта паслядоўнасць прыбліжаецца да граніцы з ростам  і, адпаведна, са здрабненнем прамежкаў налічэння. Штотыднёвае налічэнне () дае $2.692597..., тады як штодзённае налічэнне () дае $2.714567..., толькі на два цэнты больш. Граніца пры неабмежаваным нарастанні  і ёсць лік, вядомы цяпер як ; пры непарыўным налічэнні, сума на рахунку дасягне $2.7182818.... У агульным выпадку, пачатковая сума на рахунку $1 і гадавы прырост даходу  долей пасля  гадоў дадуць у выніку  долараў пры непарыўным налічэнні. (Тут  — доля, а не працэнт. Так што, для 5% гадавых, .)

 Выпрабаванні Бернуллі 
Лік  ўзнікае і ў тэорыі імавернасцей. Няхай гулец робіць стаўкі ў гульнявым аўтамаце. Імавернасць выйгрышу пры адном запуску аўтамата роўная 1 на . Ігрок робіць стаўку  разоў. Тады для вялікіх  (напрыклад, мільёна) імавернасць, што гуляка прайграе ўсе стаўкі прыблізна раўняецца . Так, для  гэта ўжэ 1/2.72.

Гэта прыклад выпрабаванняў Бернуллі. Кожны раз, калі ігрок кідае манетку ў аўтамат (робіць стаўку), шанц выйграць — адзін на мільён. Запуск аўтамата мільён разоў мадэліруецца біномным размеркаваннем, якое цесна звязана з біномам Ньютана. Імавернасць  разоў выйграць пры мільёне спроб роўная:

У прыватнасці, імавернасць ні разу не выйграць () роўная:

Гэта значэнне вельмі блізкае да наступнай граніцы:


 Беспарадкі 
Пастаянная  ўзнікае і ў камбінаторыцы. Прыкладам можа служыць т.зв. задача аб беспарадках, таксама вядомая як задача разбору шапак<ref>Grinstead, C.M. and Snell, J.L.Introduction to probability theory  (published online under the GFDL), p. 85.</ref>, якою займаліся Якаб Бернуллі і П'ер Раймонд дэ Мантмор (). Вось як гучыць гэта задача:
На вечарынку запрошана  гасцей. У дзвярах кожны госць аддае сваю шапку дварэцкаму, які затым ложыць яе ў адну з  скрынь, кожная з якіх пазначана іменем аднаго з гасцей. Але дварэцкі не знае гасцей па імёнах (а мо проста чытаць не ўмее) і таму кідае шапкі ў скрыні як папала. Задача дэ Мантмора — знайсці імавернасць таго, што ні адна'' шапка не трапіла ў патрэбную скрыню. Адказ такі:

Калі лік гасцей  імкнецца да бесканечнасці,  прыбліжаецца к . Больш таго, колькасць спосабаў раскідаць шапкі па каробках так, каб ні адна не папала куды трэба, для любога  раўняецца ліку , акругленаму да найбліжэйшага цэлага.Knuth (1997) The Art of Computer Programming Volume I, Addison-Wesley, p. 183 ISBN 0-201-03801-3.

Асімптотыкі
Лік  натуральным чынам узнікае ў сувязі з мноствам задач, якія закранаюць асімтотыку. Выдатным прыкладам з'яўляецца формула Сцірлінга для асімптотыкі фактарыяла, куды ўваходзяць і , і :

Адсюль можна атрымаць:

Лік  ў аналізе

Важнасць ліку  ў аналізе тлумачыцца найперш патрэбай ажыццяўляць дыферэнцаванне і інтэграванне паказчыкавых функцый і лагарыфмаў.Kline, M. (1998) Calculus: An intuitive and physical approach, section 12.3 "The Derived Functions of Logarithmic Functions.", pp. 337 ff, Courier Dover Publications, 1998, ISBN 0-486-40453-6 Паказчыкавая функцыя агульнага выгляду  мае вытворную, якая задаецца як граніца:

Самая правая граніца ў выразе не залежыць ад зменнай : яна залежыць толькі ад асновы . Калі аснова роўная , граніца раўняецца адзінцы, і такім чынам  вызначаецца з ураўнення:

Адсюль відаць, што паказчыкавая функцыя з асновай  асабліва зручная пры ажыццяўленні розных аперацый у аналізе. Выбар ліку  ў якасці асновы паказчыкавай функцыі значна спрашчае разлікі, у якіх неабходна знаходзіць вытворную.

Выкарыстанне ліку  ў якасці асновы таксама спрашчае інтэграванне і дыферэнцаванне лагарыфмічных функцый.Kline, M. (1998) Calculus: An intuitive and physical approach. Вылічым вытворную функцыі  па азначэнню, г.зн. як граніцу:

дзе на апошнім кроку зроблена падстаноўка . Апошняя граніца ў гэтым ланцужку роўнасцей ізноў залежыць толькі ад асновы , і калі аснова — , граніца раўняецца адзінцы. Такім чынам,

У гэтым выпадку лагарыфм называецца натуральным і абазначаецца як . Ён зручнейшы за лагарыфмы па іншых асновах, бо пры аперацыях дыферэнцавання і інтэгравання не прыходзіцца ўсюды цягаць нязручныя множнікі выгляду .

Такім чынам, лік  з дапамогай паняцця вытворнай можна вызначыць двума спосабамі. Першы з іх — прыняць, што вытворная паказчыкавай функцыі  роўная , і адсюль знайсці . Другі — сказаць, што вытворная лагарыфма з асновай  раўняецца  і адтуль знайсці . Абодва спосабы раўназначныя і даюць аднолькавы вынік.

 Іншыя азначэнні 


Лік  можна вызначыць і іначай: як граніцу паслядоўнасці, ці як суму  бесканечнага рада, ці праз нейкія інтэгралы. Вышэй было прыведзена толькі два раўназначныя азначэнні (уласцівасці) ліку , а іменна:

1. Лік  — гэта адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што

2. Лік  — гэта адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што

Можна паказаць, што наступныя тры азначэнні раўназначныя дадзеным раней:

3. Лік  — гэта граніца паслядоўнасці:

Ці граніца функцыі:

4. Лік  — гэта сума бесканечнага рада

дзе  — фактарыял ліку .

5. Лік  — адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што

 Уласцівасці 
Аналіз
Паказчыкавая функцыя  мае важнае значэнне яшчэ і таму, што гэта адзіная не роўная тоесна нулю функцыя (з дакладнасцю да пастаяннага множніка), якая супадае са сваёй вытворнай

і такім чынам, яе першаісная таксама роўная:

Ступенна-паказчыкавыя функцыі

Глабальны максімум функцыі

дасягаецца ў . Гэтак жа,  — пункт, дзе дасягаецца глабальны мінімум функцыі

вызначанай для дадатных .

Больш агульна,  будзе пунктам глабальнага мінімума функцыі

для любога .

Па тэарэме Леанарда Эйлера, бесканечная ступенная вежа

 або ∞

збягаецца, калі і толькі калі  (або прыблізна паміж 0.0660 і 1.4447).

Тэорыя лікаў
Лік  ірацыянальны. Эйлер даказаў гэта, паказаўшы, што яго раскладанне ў просты непарыўны дроб бесканечнае. (Гл. таксама доказ ірацыянальнасці ліку , які даў Жан Фур'е.)

Больш таго, па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса  — трансцэндэнтны лік, г.зн. ён не з'яўляецца коранем ніякага ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі. Гэта быў першы лік, чыя трансцэндэнтнасць была даказана, і які пры гэтым не быў адмыслова пабудаваны для гэтае мэты (як напрыклад лікі Ліувіля). Трансцэндэнтнасць ліку  даказаў Шарль Эрміт у 1873 годзе.

Была выказана здагадка, што лік  нармальны, г.зн. калі запісаць лік  ў сістэме злічэння для адвольнай асновы, магчымыя лічбы будуць раўнамерна размеркаваны (сустракаюцца з аднолькавай імавернасцю ў любой паслядоўнасці дадзенай даўжыні).

Камплексныя лікі
Паказчыкавую функцыю  можна запісаць у выглядзе рада Тэйлара:

Гэты рад дазваляе выявіць мноства важных уласцівасцей функцыі , нават калі   прымае камплексныя значэнні, яго звычайна выкарыстоўваюць, каб пашырыць азначэнне  на ўсе камплексныя лікі. Рад для паказчыкавай функцыі разам з радамі Тэйлара для сінуса і косінуса, дазваляе вывесці формулу Эйлера:

справядлівую для ўсіх . Асобны выпадак пры  — тоеснасць Эйлера:

з якой вынікае, што на галоўнай галіне лагарыфма,

Больш таго, карыстаючыся правіламі ступенявання, атрымліваем тоеснасць

якая называецца формулай Муаўра.

Дыферэнцыяльныя ўраўненні
Функцыя агульнага выгляду

ёсць рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:

Прадстаўленні

Лік  можна задаць рознымі спосабамі: як бесканечны рад, бесканечны здабытак, непарыўны дроб, ці граніцу паслядоўнасці. Як правіла, асабліва ў курсах матэматычнага аналізу, пастаянную азначаюць як граніцу

ці як суму рада

якая атрымліваецца з вышэйзгаданага ступеннага рада для  у .

Менш вядома прадстаўленне ліку  непарыўным дробам (), якое атрымаў Леанард Эйлер:
Hofstadter, D. R., "Fluid Concepts and Creative Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thought" Basic Books (1995) ISBN 0-7139-9155-0

што ў звычайным запісе выглядае як:

А гэты ланцуговы дроб  збягаецца ў тры разы хутчэй:

або ў разгорнутым запісе:

Вядома таксама многа іншых прадстаўленняў ліку  ў выглядзе непарыўных дробаў, радоў, граніц паслядоўнасцей, бесканечных здабыткаў.

Стахастычныя прадстаўленні
Акрамя дакладных аналітычных выразаў для ліку , ёсць і імавернасныя метады ацэнкі ліку . Вось адзін з іх: няхай ёсць бесканечная паслядоўнасць незалежных выпадковых велічынь , ..., кожная з якіх раўнамерна размеркавана на адрэзку [0, 1]. Няхай  — найменшы лік , для якога сума першых  членаў паслядоўнасці большая за 1:

Тады матэматычнае спадзяванне велічыні  раўняецца :Russell, K. G. (1991) Estimating the Value of e by Simulation The American Statistician, Vol. 45, No. 1. (Feb., 1991), pp. 66–68.Dinov, ID (2007) Estimating e using SOCR simulation , SOCR Hands-on Activities (retrieved December 26, 2007).

Колькасць вядомых дзесятковых разрадаў
За апошнія дзесяцігоддзі колькасць вядомых лічбаў ліку  рэзка ўзрасла. Гэта стала магчыма як дзякуючы росту вылічальных магутнасцей, так і дзякуючы ўдасканаленню алгарытмаў.Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computationGourdon, X.; Reported large computations with PiFast

+ Колькасць вядомых дзесятковых разрадаў ліку   Дата  Колькасць лічбаў  Аўтар разлікаў 1748  23  Леанард ЭйлерIntroductio in analysin infinitorum p. 90 1853  137  Уільям Шэнкс() 1871  205  Уільям Шэнкс 1884  346  Дж. Маркус Бурмэн() 1949  2,010  Джон фон Нейман (на ЭНІАКу) 1961  100,265  Daniel Shanks & John Wrench  1978  116,000  Стыў Возняк (на Apple IIByte Magazine Vol 6, Issue 6 (June 1981) p.392) "The Impossible Dream: Computing e to 116,000 places with a Personal Computer") 1994 (1 красавіка)  1,000,000  Robert Nemiroff & Jerry Bonnell Email from Robert Nemiroff and Jerry Bonnell – The Number e to 1 Million Digits. None. Retrieved on 2012-02-24. 1999 (21 лістапада)  1,250,000,000  Xavier Gourdon Email from Xavier Gourdon to Simon Plouffe – I have made a new e computation (with verification): 1,250,000,000 digits. None. Retrieved on 2012-02-24. 2000 (16 ліпеня)  3,221,225,472  Colin Martin & Xavier Gourdon PiHacks message 177 – E to 3,221,225,472 D. Groups.yahoo.com. Retrieved on 2012-02-24. 2003 (18 верасня)  50,100,000,000  Shigeru Kondo & Xavier Gourdon PiHacks message 1071 – Two new records: 50 billions for E and 25 billions for pi. Groups.yahoo.com. Retrieved on 2012-02-24. 2007 (27 красавіка)  100,000,000,000  Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo English Version of PI WORLD. Ja0hxv.calico.jp. Retrieved on 2012-02-24. 2009 (6 траўня)  200,000,000,000  Rajesh Bohara & Steve Pagliarulo  2010 (5 ліпеня)  1,000,000,000,000  Shigeru Kondo & Alexander J. Yee A list of notable large computations of e. Numberworld.org. Last updated: March 7, 2011. Retrieved on 2012-02-24.

У камп'ютарнай культуры
У сучаснай інтэрнэт-культуры як асобы, так і арганізацыі часта аддаюць даніну павагі ліку .

У IPO кампаніі Google у 2004 годзе было аб'яўлена, што кампанія мае намер павялічыць свой прыбытак на $2,718,281,828, што ўяўляе сабой першыя 10 лічбаў ліку . Google таксама прафінансавала рэкламныя шчытыFirst 10-digit prime found in consecutive digits of }. Brain Tags. Retrieved on 2012-02-24., якія з'явіліся ў цэнтры Крэмніевай даліны, а пазней у Кембрыджы (штат Масачусетс); Сіэтле (штат Вашынгтон) і Осціне (штат Тэхас). На шчытах было напісана
{first 10-digit prime found in consecutive digits of }.com
Па-беларуску гэта гучала б як:
{першы 10-разрадны просты лік, знойдзены ў паслядоўных лічбах ліку }.com
Рашэнне гэтай задачы і наведванне рэкламуемага сайта (цяпер не існуе) вяло да яшчэ больш складанай задачы, рашыўшы якую можна было трапіць на сайт Google Labs, дзе наведвальніку прапаноўвалася пакінуць сваё рэзюме. Першы 10-разрадны просты лік у дзесятковым запісе  — 7427466391, і пачынаецца ён на 99-й лічбе.

Яшчэ цікавы прыклад, Дональд Кнут прысвойвае сваёй праграме Metafont нумары версій, якія прыбліжаюцца к ліку . Паслядоўныя версіі пры гэтым выглядаюць так: 2, 2.7, 2.71, 2.718 і гэтак далей. Падобным жа чынам назначаюцца і нумары версій яго TeXа, якія пачынаючы з версіі 3.0 прыбліжаюцца к ліку : 3.0, 3.1, 3.14, 3.141 і г.д.

 Зноскі 

 Літаратура 



 Спасылкі 

 Простыя ўводзіны ў паказчыкавыя функцыі і лік  для нематэматыкаў 
 Лік  з дакладнасцю 1, 2 і 5 мільёнаў знакаў пасля коскі 
 Найранейшыя ўжыванні сімвалаў для пастаянных, 13 студзеня 2008 
 «Гісторыя ліку » 
 Пошукавая прылада для ліку  (2 мільярдаў даступных для пошуку лічбаў лікаў ,  і √2) 



Катэгорыя:Матэматычныя канстанты
Катэгорыя:Лікі з уласнымі імёнамі