Ураўненне Гамільтана — Якобі

У фізіцы і матэматыцы, ураўненнем Гамільтана — Якобі называецца ўраўненне наступнага выгляду



Тут S абазначае класічнае дзеянне,  — гамільтаніян,  — абагульненыя каардынаты.

Непасрэдна адносіцца да класічнай (не квантавай) механікі, аднак добра прыстасавана для ўстанаўлення сувязі паміж класічнай механікай і квантавай, бо яго можна, напрыклад, атрымаць практычна прама з ураўнення Шродзінгера ў прыбліжэнні хуткаасцыліруючай хвалевай функцыі (вялікіх частот і хвалевых лікаў).

У класічнай механіцы ўзнікае звычайна са спецыяльнага кананічнага пераўтварэнні класічнага гамільтаніяна, якое прыводзіць да гэтага нелінейнага дыферэнцыйнага ўраўнення першага парадку, рашэнне якога апісвае паводзіны дынамічнай сістэмы.

Варта адрозніваць ураўненне Гамільтана — Якобі ад ураўненняў руху Гамільтана і Эйлера — Лагранжа. Хоць гэтае ўраўненне і выводзіцца з іх, але ўяўляе сабой адно ўраўненне, якое апісвае дынаміку механічнай сістэмы з любой колькасцю ступеней свабоды s, у адрозненне ад 2s ураўненняў Гамільтана і s ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Ураўненне Гамільтана — Якобі дапамагае элегантна вырашыць задачу Кеплера.

 Кананічнае пераўтварэнне 
Ураўненне Гамільтана — Якобі неадкладна вынікае з таго факта, што для любой функцыі  (не звяртаючы ўвагі на індэксы), ураўненні руху не змяняюцца для  і {{math|H'''(q', p', t)}}



Новыя ўраўненні руху становяцца



Ураўненне Гамільтана — Якобі паяўляецца са спецыфічнай функцыі , якая робіць {{math|H'}} роўным нулю. У гэтым выпадку ўсе яго вытворныя роўныя нулю і



Такім чынам, у штрыхаванай сістэме каардынат сістэма цалкам стацыянарна ў фазавай прасторы. Аднак, мы яшчэ не вызначылі, пры дапамозе якой функцыі  дасягаецца пераўтварэнне ў штрыхаваную сістэму каардынат. Мы выкарыстоўваем той факт, што



Паколькі ўраўненне (1) дае  можна запісаць



што з’яўляецца ўраўненнем Гамільтана — Якобі.

 Рашэнне 
Ураўненне Гамільтана — Якобі часта рашаюць . Няхай некаторая каардыната (для пэўнасці будзем казаць пра ) і адпаведны ёй імпульс  ўваходзяць ва ўраўненне ў форме


Тады можна ўзяць




дзе  — адвольная пастаянная,  — адваротная функцыя, і рашаць ураўненне Гамільтана — Якобі ўжо з меншай колькасцю зменных. Калі працэс можна працягнуць па ўсіх зменных, то рашэнне ўраўнення прыме выгляд



дзе  — адвольныя пастаянныя,  — канстанта інтэгравання. Нагадаем, што пры гэтым  з’яўляецца функцыяй канчатковай кропкі . Так як дзеянне задае кананічнае пераўтварэнне гамільтанавай сістэмы, то яго вытворныя па каардынатах — гэта імпульсы ў новай сістэме каардынат, таму яны павінны захоўвацца:



Сумесна з ураўненнямі на імпульсы гэта вызначае рух сістэмы.

 Гл. таксама 
 Гамільтанава механіка
 Ураўненні Гамільтана

 Літаратура 
 Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1965.
 Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
 Павленко Ю. Г.'' Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
 Парс Л. А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971.

 Спасылкі 


Катэгорыя:Тэарэтычная механіка