Тэарэма Нётэр

Тэарэма Эмі Нётэр сцвярджае, што кожнай неперарыўнай сіметрыі фізічнай сістэмы адпавядае некаторы закон захавання.

Так, закон захавання энергіі адпавядае аднароднасці часу,

закон захавання імпульсу — аднароднасці прасторы,

закон захавання моманту імпульсу — ізатрапіі прасторы,

закон захавання электрычнага зараду — калібровачнай сіметрыі і г. д.

Тэарэма звычайна фармулюецца для сістэм, якія валодаюць функцыяналам дзеяння, і выражае сабой інварыянтнасць лагранжыяна адносна некаторай неперарыўнай групы пераўтварэнняў.

Тэарэма ўстаноўлена ў працах навукоўцаў Гётынгенскай школы Д. Гільберта, Ф. Клейна і Э. Нётэр. У найбольш распаўсюджанай фармулёўцы была даказана Эмі Нётэр ў 1918 годзе.

 Фармулёўка 

 Класічная механіка 

Кожнай аднапараметрычнай групе дыфеамарфізмаў , якія захоўваюць функцыю Лагранжа, адпавядае першы інтэграл сістэмы, роўны


У тэрмінах інфінітэзімальных пераўтварэнняў, хай інфінітэзімальнае пераўтварэнне каардынат мае выгляд

і функцыя Лагранжа  інварыянтная адносна гэтых пераўтварэнняў, гэта значыць

Тады ў сістэмы існуе першы інтэграл, роўны

Тэарэму можна абагульніць на выпадак пераўтварэнняў, якія закранаюць таксама і час, калі прадставіць яе рух як працэс, што залежыць ад некаторага параметра , прычым у працэсе руху . Тады з пераўтварэнняў


вынікае першы інтэграл


 Тэорыя поля 

Тэарэма Нётэр дапускае прамое абагульненне на выпадкі сістэм з бесканечным лікам ступеней свабоды, прыкладам якіх з’яўляюцца гравітацыйнае і электрамагнітнае поле. А менавіта, няхай функцыя Лагранжа сістэмы залежыць ад  патэнцыялаў, якія залежаць, у сваю чаргу, ад  каардынат. Функцыянал дзеяння будзе мець выгляд



Няхай аднапараметрычная група  дыфеамарфізмаў прасторы патэнцыялаў захоўвае функцыю Лагранжа, тады захоўваецца вектар



званы вектарам патоку Нётэр. Па індэксах, якія паўтараюцца, падразумяваецца падсумоўванне, . Сэнс захавання вектара патоку Нётэр ў тым, што



таму паток  праз любую замкнёную паверхню ў прасторы каардынат роўны 0. У прыватнасці, калі вылучыць сярод каардынат адну, званую часам, і разгледзець гіперплоскасці пастаяннага часу, то паток  праз такую гіперплоскасць пастаянны ў часе, пры ўмове досыць хуткага змяншэння поля на бесканечнасці і некампактнай гіперпаверхні, каб паток вектара праз бакавую мяжу вобласці прасторы паміж дзвюма гіперпаверхнямі быў роўны 0. У класічнай тэорыі поля такой уласцівасцю валодае, напрыклад, тэнзар энергіі-імпульсу для электрамагнітнага поля. У вакууме лагранжыян поля не залежыць яўна ад каардынат, таму паяўляецца велічыня, якая захоўваецца і звязваецца з патокам энергіі-імпульсу.

 Дыферэнцыяльныя ўраўненні 

Хай маецца варыяцыйная задача з функцыяналам дзеяння . Тут  — лагранжыян,  — незалежныя зменныя,  — залежныя зменныя, гэта значыць функцыі ад .  можа залежаць таксама і ад вытворных  па , не абавязкова толькі першага парадку.

Варыяцыйная задача для такога функцыянала прыводзіць да дыферэнцыяльных ураўненняў Эйлера — Лагранжа, якія можна запісаць у выглядзе



дзе  — аператары Эйлера-Лагранжа:



 — вытворная функцыі  па зменнай . Шматкроп’е азначае, што калі  залежыць ад вытворных парадку вышэй першага, то трэба дадаць адпаведныя складнікі ў . У кампактным запісе , дзе  — мультыіндэкс. Сумаванне вядзецца па ўсіх складніках такіх, што вытворная  ўваходзіць у .

Тэарэма Нётэр звязвае так званыя варыяцыйныя сіметрыі функцыянала  з законамі захавання, якія будуць выконвацца на рашэннях ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

 Законы захавання 

Закон захавання для сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў — гэта выраз выгляду

які справядліў на рашэннях гэтай сістэмы, г. зн. такі, што калі падставіць у яго гэтыя дыферэнцыяльныя ўраўненні, атрымаецца тоеснасць. У дадзеным выпадку разглядаюцца дыферэнцыяльныя ўраўненні Эйлера — Лагранжа. Тут  — поўная дывергенцыя (дывергенцыя з поўнымі вытворнымі) па .  — гладкія функцыі ,  і вытворных  па .

Трывіяльнымі законамі захавання называюцца законы захавання,

 для якіх  само па сабе з’яўляецца тоеснасцю без уліку якіх-небудзь дыферэнцыяльных ураўненняў;
 або для якіх  ператвараецца ў 0 адразу пры падстаноўцы дыферэнцыяльных ураўненняў, без вылічэння дывергенцыі (захоўваецца тоесны нуль на рашэннях);
 або для якіх  ёсць лінейная камбінацыя папярэдніх тыпаў.

Калі для двух законаў захавання з функцыямі  і  рознасць  дае трывіяльны закон захавання, такія два закона захавання называюцца эквівалентнымі.

Кожны закон захавання эквівалентны закону захавання ў характарыстычнай форме — гэта значыць такому, для якога



дзе  — выразы, якія ўваходзяць у вызначэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў: . Для апісанага выпадку  і



 залежаць ад ,  і вытворных  па  і называюцца характарыстыкамі закона захавання.

 Варыяцыйныя сіметрыі 

Хай маецца абагульненае вектарная поле



«Абагульненае» разумеецца ў тым сэнсе, што  і  могуць залежаць не толькі ад  і , але і ад вытворных  па .

Азначэнне:  называецца варыяцыйнай сіметрыяй функцыянала , калі існуе набор функцый  такі, што



 — працяг . Працяг ўлічвае, што дзеянне  на  і  выклікае таксама інфінітэзімальную змену вытворных, і задаецца формуламі



У формуле для працягу неабходна браць, акрамя , складнікі з такімі , для якіх  ўваходзяць у  або, у агульным выпадку, у той выраз, на які працяг дзейнічае.

Сэнс вызначэння варыяцыйнай сіметрыі заключаецца ў тым, што  — гэта інфінітэзімальныя пераўтварэнні, якія ў першым парадку мяняюць функцыянал  такім чынам, што ўраўненні Эйлера — Лагранжа пераўтвараюцца ў эквівалентныя. Справядлівая

тэарэма: калі  з’яўляецца варыяцыйнай сіметрыяй, то  з’яўляецца (абагульненай) сіметрыяй ураўненняў Эйлера — Лагранжа:



Гэта формула азначае, што інфінітэзімальныя змены выразаў , запісаныя тут у выглядзе , ператвараюцца ў 0 на рашэннях.

 Характарыстыкі вектарных палёў 

Набор функцый  (у абазначэннях, дадзеных вышэй) завецца характарыстыкай вектарнага поля . Замест  можна браць вектарнае поле



якое называецца эвалюцыйным прадстаўніком .

 і  вызначаюць па сутнасці адну і тую ж сіметрыю, таму, калі вядомыя характарыстыкі , можна лічыць, што тым самым зададзена і сіметрыя. Працяг  вызначаецца аналагічна працягу , але фармальна прасцей, бо не трэба асобна ўлічваць ўклад ад .

Тэарэма Нётэр ўстанаўлівае сувязь паміж характарыстыкамі законаў захавання і характарыстыкамі вектарных палёў.

 Тэарэма Нётэр 

Абагульненае вектарнае поле  вызначае групу сіметрыі функцыянала  у тым і толькі ў тым выпадку, калі яго характарыстыка  з’яўляецца характарыстыкай закона захавання  для адпаведных ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

 Законы захавання 

У класічнай механіцы законы захавання энергіі, імпульсу і моманту імпульсу выводзяцца з аднароднасці/ізатропнасці лагранжыяна сістэмы — лагранжыян (функцыя Лагранжа) не мяняецца з часам сам па сабе і не змяняецца пераносам або паваротам сістэмы ў прасторы. Па сутнасці, гэта азначае тое, што пры разглядзе нейкай замкнёнай у лабараторыі сістэмы будуць атрыманы адны і тыя ж вынікі незалежна ад размяшчэння лабараторыі і часу правядзення эксперыменту. Іншыя сіметрыі лагранжыяна сістэмы, калі яны ёсць, ці адпавядаюць іншым велічыням, што захоўваюцца ў дадзенай сістэме (інтэграле руху); напрыклад, сіметрыя лагранжыяна гравітацыйнай і кулонаўскай задачы двух цел прыводзіць да захавання не толькі энергіі, імпульсу і моманту імпульсу, але і вектара Лапласа — Рунге — Ленца.

 Літаратура 

 Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — : Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
 Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — : Наука, 280 с., 1983 г.

 Спасылкі 

 Пераклад артыкула Нётэр на англійскую
 Артыкул пра Тэарэму Нётэр, by John Baez 
 E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws by Nina Byers
 Тэарэма Нётэр на MathPages. 
 Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem. 
 Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G. On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv 0807.3003.

Катэгорыя:Тэарэтычная механіка
Катэгорыя:Тэорыя поля
Катэгорыя:Квантавая тэорыя поля
Катэгорыя:Фізічныя тэарэмы
Катэгорыя:Законы захавання
Катэгорыя:Дыферэнцыяльныя ўраўненні