Выпадковая велічыня

Выпадковая велічыня — матэматычная фармалізацыя лікавай велічыні, якая залежыць ад выпадковай падзеі. Тэрмін «выпадковая велічыня» можа ўводзіць у зман, бо строга кажучы гэта не велічыня, а функцыя ад магчымых падзей з прасторы элементарных падзей на некаторую , часта рэчаісных лікаў.

 Азначэнне 

Вызначым спачатку - функцыю. Функцыя  называецца -вымернай для некаторай σ-алгебры , калі для кожнага  выконваецца

Выпадковай велічынёй называецца -вымерная функцыя , абсяг вызначэння якой супадае з прасторай элементарных падзей  імавернаснай прасторы Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5..

З гэтага азначэння вынікае таксама, што для кожнага   праўдзіцца . Аналагічным чынам замест  у азначэнні можна браць , , ,  і г.д.

Розніца ў азначэнні выпадковай велічыні і вымернай функцыі палягае ў тым, што ў азначэнні выпадковай велічыні фігуруе імавернасная мера. Пры вывучэнні выпадковых велічынь у тэорыі імавернасцей найчасцей разглядаецца пытанне таго, з якімі канкрэтна імавернасцямі выпадковыя велічыні прымаюць тыя ці іншыя значэнні, у той час як для вымерных функцый у тэорыі меры такога пытання як правіла не ставіцца.

Для абазначэння выпадковай велічыні выкарыстоўваюць малыя грэчаскія літары (,  і г.д.) або вялікія лацінскія (,  і г.д.)

 Размеркаванне выпадковай велічыні 

Размеркаваннем выпадковай велічыні  называецца імавернасная мера , зададзеная на σ-алгебры ўсіх барэлеўскіх мностваў  з дапамогай роўнасці

Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя , якая вызначаецца праз роўнасць


З гэтага азначэння вынікае, што імавернасць пападання значэння выпадковай велічыні ў прамежак  роўная 

Кожная функцыя размеркавання адпавядае толькі аднаму размеркаванню і наадварот, кожнае размеркаванне адназначна задае функцыю размеркавання.

 Класіфікацыя 

Выпадковыя велічыні класіфікуюцца паводле іх размеркаванняў і падзяляюцца, як і размеркаванні, на дыскрэтныя, абсалютна непарыўныя, сінгулярныя і змешаныя.

Дыскрэтныя выпадковыя велічыні прымаюць канечную або злічоную колькасць значэнняў і іх размеркаванне можна апісаць з дапамогай функцыі імавернасці . Размеркаванне абсалютна непарыўных велічынь можна апісаць з дапамогай функцыі шчыльнасці, якая  роўная вытворнай ад функцыі размеркавання .

З дапамогай функцыі размеркавання можна апісаць размеркаванні ўсіх тыпаў незалежных велічынь.

 Прыклады 

 Няхай выпадковая велічыня мае дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне, то бок

 Тады яе матэматычнае спадзяванне

 роўнае сярэдняму арыфметычнаму ўсіх прымаемых значэнняў.
 Няхай выпадковая велічыня мае непарыўнае раўнамернае размеркаванне на прамежку , дзе . Тады яе шчыльнасць мае выгляд

 а матэматычнае спадзяванне роўнае


Заўвага: матэматычнае спадзяванне вызначана не для ўсякай выпадковай велічыні.

 Функцыі ад выпадковых велічынь 
Калі  — выпадковая велічыня, а функцыя   (то бок  кожнага барэлеўскага мноства барэлеўскі), то кампазіцыя  ёсць выпадковай велічынёй на той жа імавернаснай прасторы з размеркаваннем

дзе  — барэлеўскае мноства.

На практыцы гэтая ўласцівасць часта выконваецца, бо, напрыклад, усе непарыўныя функцыі — барэлеўскія.

Фукнцыю размеркавання  можна запісаць як

дзе  — функцыя размеркавання 

Калі  — абсалютна непарыўная выпадковая велічыня са шчыльнасцю  а  — строга манатонная і , то  будзе мець шчыльнасць


 Прыклад 
Няхай выпадковая велічыня  мае паказнікавае размеркаванне () са шчыльнасцю
  для 
а функцыя  Тады  а  — выпадковая велічыня са шчыльнасцю


то бок 

Інтуітыўна формулу можна растлумачыць так, што памнажаючы велічыню на два, мы рассоўваем пункты на восі абсцыс адзін ад аднаго такім чынам, што дыстанцыя паміж пунктамі становіцца ў два разы большай, што робіць шчыльнасць у два разы меншай, бо плошча пад графікам шчыльнасці мусіць заставацца роўнай 1. У выпадку нелінейнай манатоннай функцыі , напрыклад  інтуіцыя захоўваецца, але дыстанцыі паміж пунктамі будуць змяняцца па-рознаму ў розных пунктах восі абсцыс, адпаведна і значэнне вытворнай у формуле будзе залежаць ад .

 Абагульненні 
Выпадковая велічыня, увогуле кажучы, можа прымаць значэнні ў любой вымернай прасторы. Тады яе часцей называюць выпадковым вектарам ці выпадковым элементам. Напрыклад,
 Вымерная функцыя  называецца -мерным выпадковым вектарам (адносна барэлеўскай -алгебры на ) або многавымернай выпадковай велічынёй.
 Вымерная функцыя  называецца -мерным камплексным выпадковым вектарам (таксама адносна адпаведнай барэлеўскай -алгебры).
 Вымерная функцыя, якая адлюстроўвае імавернасную прастору ў прастору падмностваў некаторага (канечнага) мноства, называецца (канечным) выпадковым мноствам.

 Гл. таксама 
 Выпадковы працэс
 Функцыя размеркавання
 Матэматычнае спадзяванне

 Літаратура 
 Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. 206 с.

 Спасылкі 
 Многомерные случайные величины

Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей