Задача двух цел

У класічнай механіцы, задача двух цел заключаецца ў тым, каб вызначыць рух двух кропкавых часціц, якія ўзаемадзейнічаюць толькі адна з адною. Распаўсюджанымі прыкладамі задачы з’яўляюцца спадарожнік, які рухаецца вакол планеты, а таксама планета, якая рухаецца вакол зоркі, дзве зоркі, якія абарачаюцца вакол агульнага цэнтра мас (падвойная зорка), і класічная мадэль электрона, які рухаецца вакол атамнага ядра.

Задачу двух цел можна прадставіць як дзве незалежныя задачы аднаго цела, дзе разглядаецца рух адной часціцы ў вонкавым патэнцыяльным полі. Многія задачы з адным целам можна развязаць дакладна, таму адпаведную задачу з двума целамі таксама можна развязаць. Але задачу з трыма целамі (а тым больш задачу N цел пры N > 3) за выключэннем асобных выпадкаў дакладна развязаць немагчыма.

300px|міні|справа|Два цела з аднолькавай масай, якія рухаюцца вакол агульнага цэнтра мас па эліптычных арбітах.

300px|міні|Два цела з невялікай розніцай у масах рухаюцца па кругавых арбітах вакол агульнага цэнтра мас. Гэты асобы тып арбіты падобны да сістэмы Плутон — Харон.

 Пастаноўка задачы 

Няхай  і  радыус-вектары двух цел, а  і  іх масы. Наша мэта: вызначыць траекторыю  і  для любога часу , пры зададзеных пачатковых каардынатах

і хуткасцях
  .

Другі закон Ньютана ў дачыненні да дадзенай сістэмы сцвярджае, што



дзе
  — сіла, якая дзейнічае на першае цела з-за ўзаемадзеяннем з другім целам,
  — сіла, якая дзейнічае на другое цела з боку першага.

Складаючы і адымаючы гэтыя два ўраўненні, можна раздзяліць адну задачу на дзве задачы з адным целам, якія можна рашыць незалежна. «Складанне» раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да раўнання, якое апісвае рух цэнтра мас. У адрозненне ад гэтага, «адыманне» раўнання (2) ад раўнання (1) прыводзіць да раўнання, якое апісвае, як вектар  паміж масамі змяняецца з часам. Рашэнне гэтых незалежных задач можа дапамагчы ў знаходжанні траекторый  и .

 Рух цэнтра мас (першая задача) 

Складанне раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да роўнасці

дзе мы выкарысталі трэці закон Ньютана , і дзе

становішча цэнтра мас сістэмы. У выніку раўнанне прыме выгляд

Яно паказвае, што хуткасць  цэнтра мас нязменная. Адсюль вынікае, што поўны імпульс  таксама захоўваецца. Становішча і хуткасць цэнтра мас можна атрымаць для любога моманту часу.

 Адносны рух (другая задача) 

Адымаючы раўнанне (2) ад раўнання (1) і пераўтвараючы яго, прыходзім да раўнання

дзе мы зноў выкарысталі трэці закон Ньютана  і  (азначаны вышэй) — вектар адноснага зрушэння, накіраваны ад другога цела да першага.

Сіла паміж двума целамі павінна быць функцыяй толькі , а не абсалютных радыус-вектараў  і ; у адваротным выпадку задача не была б сіметрычнай адносна пераносу ў прасторы і часе, а гэта раўназначна таму, што законы фізікі мяняліся б ад кропкі да кропкі. Такім чынам можна запісаць:

дзе  -прыведзеная маса


Як толькі мы знойдзем рашэнне для  і  першапачатковыя траекторыі можна запісаць у выглядзе



як можа быць паказана падстаноўкай ў ўраўненні для  і .

 Рашэнне задачы двух цел 

Згодна з трэцім законам Ньютана сілы, з якімі целы дзейнічаюць адно на адно, роўныя па велічыні і процілеглыя па напрамку. Такім чынам, для задачы двух цел можна запісаць


Праінтэграваўшы гэта раўнанне два разы, атрымаем


дзе a і b — некаторыя вектары.

Абазначыўшы праз r становішча (радыус-вектар) цэнтра цяжару двух цел і M — іх агульную масу:


атрымаем

гэта значыць наступнае: цэнтр мас сістэмы рухаецца з пастаяннай хуткасцю.

Запішам сілы, якія дзейнічаюць на кожнае з цел, наступным чынам
      где     

Адымаючы другое раўнанне ад першага, атрымаем
      где     

Вектарна памнажаючы апошняе раўнанне на r і інтэгруючы, атрымаем



Пастаянны вектар h, які з’яўляецца пастаяннай інтэгравання, называецца кінэтычным момантам сістэмы. Узаемны рух цел адбываецца ў плоскасці, перпендыкулярнай гэтаму вектару. Увядзём сістэму цыліндрычных каардынат r,?, z. Адзінкавыя вектары ўздоўж радыяльнай, трансверсальнай і вертыкальнай восі абазначым як i, j і k. Праекцыі хуткасці на радыяльную і трансверсальную восі складуць

Тады






У левай частцы апошняга выразу стаіць падвоеная плошча трохвугольніка, які апісваецца радыус-вектарам r за адзінку часу. Такім чынам, гэтыя суадносіны з’яўляюцца матэматычным запісам другога закона Кеплера.

Раўнанне (1) памнажаем скалярна на хуткасць і інтэгруем. Атрымаем



Апошні стасунак з’яўляецца выражэннем закону захавання механічнай энергіі ў сістэме.

 Рух двух цел у плоскасці 

Цікава, што рух двух цел заўсёды адбываецца ў плоскасці. Вызначым імпульс  і момант імпульсу


Хуткасць змянення моманту імпульсу роўная моманту сілы 

але законы руху Ньютана выконваюцца для ўсіх фізічных сіл, і кажуць, што сіла, якая дзейнічае паміж двума часціцамі (матэрыяльнымі кропкамі), накіравана па лініі, якая злучае іх, гэта значыць  Адсюль  і момант імпульсу захоўваецца. Тады вектар зрушэння  і хуткасць яго змянення  ляжаць у плоскасці, перпендыкулярнай да пастаяннага вектара .

 Агульнае рашэнне для сілы, якая залежыць ад адлегласці 

Часта бывае зручна перайсці ў палярныя каардынаты, бо рух адбываецца ў плоскасці і для многіх фізічных задач сіла  ёсць функцыяй радыуса  А раз r-кампанента паскарэння раўняецца  ураўненне для r-кампаненты вектара зрушэння  можна перапісаць у выглядзе

дзе  і момант імпульсу  захоўваецца. Захаванне вуглавога моманту дазваляе знайсці рашэнне для траекторыі , выкарыстоўваючы замену зменных. Пераходзячы ад  да 



атрымаем ўраўненне руху



Гэтае ураўненне становіцца квазілінейным пры замене зменных  і дамнажэнне абедзвюх частак ўраўнення на 



 Прымяненне 

Для сіл , адваротна прапарцыйных квадрату адлегласці, такіх як гравітацыя або электрастатыка ў класічнай фізіцы, атрымаем


для некаторых канстант , ўраўненне для траекторый становіцца лінейным



Рашэнне гэтага ўраўнення


дзе  і  — пастаянныя. Гэтае рашэнне паказвае, што арбіта ўяўляе сабой канічнае сячэнне, г.зн. эліпс, гіпербалу або парабалу, у залежнасці ад таго  меншая за выраз , большая ці роўная яму.

 Задача двух цел у АТА 

Нармальная арбіта любога цела, захопленага прыцягненнем іншага цела, уяўляе сабой эліпс або акружнасць — іменна такія арбіты мы назіраем у Сонечнай сістэме. Аднак агульная тэорыя адноснасці сцвярджае, што ў наваколлі вельмі масіўных цел — там, дзе прастора аказваецца моцна скрыўленая дзякуючы наяўнасці каласальнага гравітацыйнага поля спектр магчымых стабільных арбіт значна пашыраецца. У падобных умовах фізічныя аб’екты пачынаюць паводзіць сябе вельмі дзіўна. Напрыклад, цела можа падляцець да чорнай дзіркі па крутой парабале, зрабіць вакол яе некалькі імклівых кароткіх віткоў, а затым зноў закласці выцягнутую пятлю — і гэтак далей.

 Прыклад 

Любая класічная сістэма, якая складаецца з двух часціц, па азначэнню задача двух цел. У многіх выпадках, аднак, адно цела шмат цяжэйшае за другое, як напрыклад у сістэме Зямлі і Сонца. У такіх выпадках больш цяжкая часціца выконвае ролю цэнтра мас і задача зводзіцца да задачы аб руху аднаго цела ў патэнцыяле другога.. Пры гэтым варта не губляць з ўвазе, што з’яўляецца рызыка страты патрэбнай дакладнасці разлікаў пры злоўжыванні гэтым спрашчэннем. У прыватнасці, знаходжанне месца цэнтра кручэння ў больш масіўным целе расплывісте, у рэаліях яшчэ патрэбен ўлік іншых целаў і палёў. Патрэбен папярэдні аналіз, асабліва пры разліку устояных і стацыянарных арбіт: шматразовае кручэнне непазбежна назапасіць недакладнасці да непрымальнай велічыні памылкі.

 Гл. таксама 

 Законы Кеплера
 Задача Бертрана
 Задача трох цел
 Гравітацыйная задача N цел

 Літаратура 
 Курс тэарэтычнай фізікі Ландау і Ліфшыца
 H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

Катэгорыя:Нябесная механіка
Катэгорыя:Класічная механіка