Нармальная падгрупа

Нармальная падгрупа (таксама інварыянтная падгрупа) — падгрупа адмысловага тыпу, левы і правы сумежныя класы па якой супадаюць. Такія групы важныя, паколькі дазваляюць будаваць фактаргрупу.

 Азначэнні 

Падгрупа  групы  называецца нармальнай, калі яна інварыянтная адносна спалучэнняў, гэта значыць для любога элемента  з  і любога  з , элемент  ляжыць у :



Наступныя ўмовы нармальнасці падгрупы эквівалентныя:

 Для любога  з , .
 Для любога  з , .
 Мноствы левых і правых сумежных класаў  у  супадаюць.
 Для любога  из , .
  ізаморфныя аб'яднанню класаў спалучаных элементаў.

Умова (1) лагічна слабей, чым (2), а ўмова (3) лагічна слабей, чым (4). Таму ўмовы (1) і (3) часта выкарыстоўваюцца пры доказе нармальнасці падгрупы, а ўмовы (2) і (4) выкарыстоўваюцца для доказу следстваў нармальнасці.

 Прыклады 

  і  — заўсёды нармальныя падгрупы . Яны называюцца трывіяльнымі. Калі іншых нармальных падгруп няма, то група  называецца простай.
 Цэнтр групы — нармальная падгрупа.
 Камутант групы — нармальная падгрупа .
 Любая характарыстычная падгрупа нармальная, так як спалучэнне — гэта заўсёды аўтамарфізм.
 Усе падгрупы  абелевай групы G нармальныя, так як . Неабелева група, у якой любая падгрупа нармальная, называецца гамільтанавай.
 Група паралельных пераносаў ў прасторы любой размернасці — нармальная падгрупа эўклідавай групы; напрыклад, у трохмернай прасторы паварот, зрух і паварот у адваротны бок прыводзіць да простага зруху.
 У групе кубіка Рубіка падгрупа, якая складаецца з аперацый, якія дзейнічаюць толькі на вуглавыя элементы, нармальная, так як ніякае спалучанае пераўтварэнне не прымусіць такую аперацыю дзейнічаць на краёвы, а не вуглавы элемент. Наадварот, падгрупа, якая складаецца толькі з паваротаў верхняй грані, не нармальная, так як спалучэнні дазваляюць перамясціць частцы верхняй грані ўніз.

 Уласцівасці 

 Нармальнасць захоўваецца пры сюр'ектыўных гомамарфізмах і узяцці зваротных вобразаў.
 Ядро гомамарфізму — нармальная падгрупа.
 Нармальнасць захоўваецца пры пабудове прамога здабытку.
 Нармальная падгрупа нармальнай падгрупы не абавязаная быць нармальнай у групе, г. зн. нармальнасць не транзітыўная. Аднак характарыстычная падгрупа нармальнай падгрупы нармальная.
 Кожная падгрупа індэкса 2 нармальная. Калі  — найменшы просты дзельнік парадку , то любая падгрупа індэкса  нармальная.
 Калі  — нармальная падгрупа ў , то на мностве левых (правых) сумежных класаў  можна ўвесці групавую структуру па правілу

 Атрыманае мноства называецца фактаргрупай  па .

 N нармальная тады і толькі тады, калі яна трывіяльна дзейнічае на левых сумежных класах .

 Гістарычныя факты 

Эварыст Галуа першым зразумеў важнасць нармальных падгруп.

 Гл. таксама 

 Група
 Падгрупа
 Прамы здабытак

 Спасылкі 
 Винберг Э. Б. Курс алгебры — :Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7


Катэгорыя:Тэорыя груп