Фактаргрупа

Фактаргрупа — канструкцыя, якая дае новую групу (фактаргрупу) па групе і яе нармальнай падгрупе.

Фактаргрупа групы  па нармальнай падгрупе  звычайна абазначаецца .

 Вызначэнне 

Няхай  — група, і  — яе нармальная падгрупа. Тады на класах сумежнасці  у 


можна ўвесці множанне:



Лёгка праверыць, што гэтае памнажэнне не залежыць ад выбару элементаў у класах сумежнасці, гэта значыць калі  і , то . Гэтае множанне вызначае структуру групы на мностве класаў сумежнасці, а атрыманая група  называецца фактаргрупай  па .

 Уласцівасці 

 Тэарэма аб гомамарфізме: Для любога гомамарфізма 
 ,
 г. зн. фактаргрупа  па ядру  ізаморфна яе вобразу  у .
 Адлюстраванне  задае натуральны гомамарфізм .
 Парадак  роўны індэксу падгрупы . У выпадку канечнай групы  ён роўны .
 Калі  абелева, нільпатэнтная, вырашальная, цыклічная або канечнаспароджаная, то і  будзе мець тыя жа ўласцівасці.
  ізаморфная трывіяльнай групе (),  ізаморфная .

 Прыклады 

 Няхай , , тады  ізаморфная .
 Няхай  (група нявыраджаных верхнетрохвугольных матрыц),  (група верхніх унітрохвугольных матрыц), тады  ізоморфна групе дыяганальных матрыц.

 Літаратура 

 Винберг Э. Б. Курс алгебры. — : «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.

Катэгорыя:Тэорыя груп