Артаганальная група

Артаганальная група — група ўсіх лінейных пераўтварэнняў -мернай вектарнай прасторы  над полем , якія захоўваюць фіксаваную невыраджаную квадратычную форму  на  (гэта значыць такіх лінейных пераўтварэнняў , што  для любога ).

 Абазначэнні і звязаныя вызначэнні 

 Элементы артаганальнай групы называюцца артаганальнымі (адносна ) пераўтварэннямі , а таксама аўтамарфізмамі формы  (дакладней, аўтамарфізмамі прасторы  адносна формы ).
 Абазначаецца , </sub>,  і т. п. Калі квадратычная форма не абазначана відавочна, то маецца на ўвазе форма, якая задаецца сумай квадратаў каардынат, г. зн. якая выражаецца адзінкавай матрыцай.
 Над полем рэчаісных лікаў, артаганальная група незнакавызначай формы з сігнатурай ( плюсаў,  мінусаў) дзе , абазначаецца O(,.

 Уласцівасці 

 У выпадку, калі характарыстыка асноўнага поля больш за два, то з  звязана невыраджаная сіметрычная білінейная форма  на , якая выражаецца формулай



 Тады артаганальная група складаецца ў дакладнасці з тых лінейных пераўтварэнняў прасторы , якія захоўваюць , і абазначаецца праз  або (калі ясна аб якім полі  і форме  ідзе гаворка) проста праз .

 Калі  — матрыца формы  ў нейкім базісе прасторы , то артаганальная група можа быць атаясамлена з групай ўсіх такіх матрыц  з каэфіцыентамі ў , што


 У прыватнасці, калі базіс такі, што  з'яўляецца сумай квадратаў каардынат (гэта значыць, матрыца  адзінкавая), то такія матрыцы  называюцца артаганальнымі.

 Над полем рэчаісных лікаў, група  кампактная тады і толькі тады, калі форма  знакавызначана.

 Іншыя групы 

Артаганальная група з'яўляецца падгрупай поўнай лінейнай групы GL(). Элементы артаганальнай групы, вызначнік якіх роўны 1 (гэта ўласцівасць не залежыць ад базісу), утвараюць падгрупу — спецыяльную артаганальную групу , якая абазначае гэтак жа як і артаганальную групу але з даданнем літары «S». , па пабудове, з'яўляецца таксама падгрупай спецыяльнай лінейнай групы .

 Гл. таксама 

 Група Лі
 Тапалагічная група

Катэгорыя:Групы Лі