Рад (матэматыка)

Простымі словамі, рад або шэраг — упарадкаваная сума ўсіх элементаў некаторай бесканечнай паслядоўнасці. Упарадкаванасць сумы тут азначае, што складнікі ў суме ідуць у тым жа парадку, што і ў паслядоўнасці.

Няхай  — лікавая паслядоўнасць. Фармальна злучыўшы ўсе яе паслядоўныя элементы знакам плюс (+), атрымаем выраз:

які і называецца лікавым радам са складнікамі Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006. — с. 124.

Будзем казаць, што рад

мае суму, калі існуе ліміт паслядоўнасці  яго частковых сум

Гэты ліміт

і называецца сумай радаЗверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006. — с. 125..

Калі сума рада ёсць лік, то такі рад называецца збежным, а ва ўсіх астатніх выпадках — разбежным.

Варта адзначыць, што ў гэтых азначэннях замест лікаў можна ўзяць элементы адвольнай прасторы, у якой вызначаны аперацыі сумы і лімітавага пераходу.

У матэматычным аналізе часцей за ўсё разглядаюцца:
 лікавыя рады, элементамі (складнікамі) ў якіх з’яўляюцца лікі (рэчаісныя і камплексныя);
 функцыянальныя рады, складнікамі ў якіх з’яўляюцца розныя функцыі;

Найважнейшае пытанне даследавання радоў — гэта іх збежнасць.

Адно з галоўных дастасаванняў лікавых радоў — набліжэнне пэўных лікаў з адвольнай дакладнасцю. Так, напрыклад, набліжаныя значэнні такіх ірацыянальных лікаў, як  і , можна вылічыць з дапамогай адмысловых лікавых радоў.

 Азначэнне 

Няхай  — лікавая паслядоўнасць; разгледзім нароўні з дадзенай паслядоўнасцю паслядоўнасць



кожны элемент якой прадстаўляе сабой суму некаторых элементаў зыходнай паслядоўнасці. У найбольш простым выпадку выкарыстоўваюцца звычайныя частковыя сумы выгляду



Наогул, для пазначэння рада выкарыстоўваецца знак



бо тут паказана зыходная паслядоўнасць элементаў рада, а таксама правіла сумавання.

У адпаведнасці з гэтым кажуць аб збежнасці лікавага рада:

 лікавы рад збягаецца, калі збягаецца паслядоўнасць яго частковых сум;
 лікавы рад разбягаецца, калі разбягаецца паслядоўнасць яго частковых сум:
 лікавы рад збягаецца абсалютна, калі збягаецца рад з модуляў яго складнікаў.

Калі лікавы рад збягаецца, то ліміт  паслядоўнасці яго частковых сум носіць назву сумы рада:



 Аперацыі над радамі 

Няхай зададзены збежныя рады  і . Тады:
 іх сумай называецца рад 
 іх здабыткам па Кашы называецца рад , дзе 

Калі абодва рады збягаюцца, то іх сума збягаецца, калі абодва рады збягаюцца абсалютна, то іх сума збягаецца абсалютна. Калі хоць адзін з радоў збягаецца абсалютна, то здабытак радоў збягаецца.

 Крытэр абсалютнай збежнасці 

Лікавы (рэчаісны ці камплексны) рад  называецца абсалютна збежным, калі збягаецца рад .

Рад  збягаецца абсалютна тады і толькі тады, калі збягаюцца абодва дадатныя рады  і , дзе 

Доказ.
Калі збягаецца  то па прыкмеце параўнання тым больш збягаюцца  і 
Наадварот, калі збягаюцца  і  то збягаецца і іх сума 

 Гл. таксама 
 Функцыянальны рад
 Ступенны рад
 Рад Фур’е

 Літаратура 
 Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006.

 Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
 Математическая энциклопедия. Т. 4 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — стлб. 1063—1070.

 Спасылкі 



Катэгорыя:Рады і паслядоўнасці