Тэарэма Гюйгенса-Штэйнера

Тэарэма Гюйгенса — Штэйнера, ці проста тэарэма Штэйнера (названа па імі швейцарскага матэматыка Якаба Штэйнера і галандскага матэматыка, фізіка і астранома Хрысціяна Гюйгенса): момант інерцыі  цела  адносна адвольнай восі роўны суме моманту інерцыі гэтага цела  адносна паралельнай ёй восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела, і здабытку масы цела  на квадрат адлегласці  паміж восямі:

дзе
  — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела,
  — шуканы момант інерцыі адносна паралельнай восі,
  — маса цела,
  — адлегласць паміж указанымі восямі.

 Выснова 
Момант інерцыі, паводле азначэння:

Радыус-вектар  можна распісаць як суму двух вектараў:
 ,
дзе  — радыус-вектар адлегласці паміж старой і новай воссю вярчэння.
Тады выраз для моманту інерцыі прыме від:

Выносячы за суму , атрымаем:

Паколькі старая вось праходзіць праз цэнтр мас, то сумарны імпульс цела будзе роўны нулю:

Тады:

Адкуль і вынікае шуканая формула:
 ,
дзе  — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела.

 Прыклад 
Момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго цэнтр і  перпендыкулярна стрыжню, (назавём яе воссю ) роўны

Тады паводле тэарэмы Штэйнера яго момант адносна адвольнай паралельнай восі будзе роўны

дзе  — адлегласць паміж шуканай воссю і воссю . У прыватнасці, момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго канец і перпендыкулярна стрыжню, можна знайсці паклаўшы ў апошняй формуле :


 Пералік тэнзара інерцыі 
Тэарэма Гюйнеса — Штэйнера дапушчае абагульненне на тэнзар моманту інерцыі, што дазваляе атрымліваць тэнзар  адносна адвольнага пункта з тэнзара  адносна цэнтра мас. Няхай  — зрушэнне ад цэнтра мас, тады

дзе
  — вектар зрушэння ад цэнтра мас, а  — сімвал Кронекера.
Як бачна, для дыяганальных элементаў тэнзара (пры ) формула мае від тэарэмы Гюйгенса — Штэйнера для моманту адносна новай восі.

 Гл. таксама 
 Момант інерцыі
 Спіс момантаў інерцыі

Катэгорыя:Фізічныя тэарэмы
Катэгорыя:Тэарэтычная механіка
Катэгорыя:Законы класічнай механікі