Тэарэма Ліувіля аб захаванні фазавага аб’ёму

Тэарэма Ліўвіля, названая ад імя французскага матэматыка Жазэфа Ліувіля, з'яўляецца адной з ключавых тэарэм у матэматычнай фізіцы, статыстычнай фізіцы і гамільтанавай механіцы. Тэарэма Ліувіля абвяшчае

  гамільтанавай сістэмы пастаянная ўздоўж любой траекторыі ў фазавай прасторы.

Тэарэма сцвярджае захаванне ў часе фазавага аб'ёму, або шчыльнасці імавернасці ў фазавай прасторы.

 Ураўненне Ліувіля 

Ураўненне Ліувіля апісвае эвалюцыю ў часе функцыі размеркавання (шчыльнасці імавернасці) гамільтанавай сістэмы ў -мернай фазавай прасторы ( — колькасць часціц у сістэме). Разгледзім гамільтанаву сістэму з каардынатамі  і спалучанымі імпульсамі , дзе , . Тады размеркаванне ў фазавай прасторы  вызначае імавернасць  таго, што сістэма будзе знаходзіцца ў элеменце аб'ёму  сваёй фазавай прасторы.

Ураўненне Ліувіля апісвае эвалюцыю  ў часе  паводле правіла знаходжання поўнай вытворнай функцыі з улікам несціскаемасці патоку ў фазавай прасторы:



Вытворныя фазавых каардынат па часе для гамільтанавых сістэм апісваюцца згодна з ураўненнямі Гамільтана:




Просты доказ тэарэмы заключаецца ў назіранні, што эвалюцыя  вызначаецца ўраўненнем неразрыўнасці:



дзе  — скорасць перамяшчэння разглядаемага аб'ёму фазавай прасторы:



і заўвагай, што рознасць паміж гэтым выразам і ўраўненнем Ліувіля вызначаецца толькі складнікам, які апісвае дывергенцыю, а менавіта яе адсутнасць, што азначае адсутнасць крыніц або сцёкаў шчыльнасці імавернасці:



дзе  — гамільтаніян, і былі выкарыстаны ўраўненні Гамільтана. Гэта можна прадставіць як рух праз фазавую прастору «патоку вадкасці» кропак сістэмы. Тэарэма азначае, што вытворная Лагранжа або субстанцыянальная вытворная шчыльнасці  роўная нулю. Гэта вынікае з ураўнення неразрыўнасці, бо поле скарасцей  у фазавай прасторы бездывергентнае, што ў сваю чаргу вынікае з гамільтанавых ураўненняў для кансерватыўных сістэм.

 Геаметрычная інтэрпрэтацыя 

Разгледзім траекторыю малой плямы (мноства кропак) у фазавай прасторы. Перамяшчаючыся ўздоўж мноства траекторый, пляма расцягваецца ў адной каардынаце, скажам —  — але сціскаецца па іншай каардынаце  так, што здабытак  застаецца канстантай. Плошча плямы (фазавы аб'ём) не змяняецца.

Больш дакладна, фазавы аб'ём  захоўваецца пры зрухах часу. Калі



і  мноства кропак фазавай прасторы, у якое можа эвалюцыянаваць мноства  у момант часу , тады



для ўсіх часоў . Аб'ём фазавай прасторы гамільтанавай сістэмы захоўваецца, паколькі эвалюцыя ў часе ў гамільтанавай механіцы — гэта кананічнае пераўтварэнне, а ўсе кананічныя пераўтварэнні маюць адзінкавы якабіян.

 Фізічная інтэрпрэтацыя 

Чаканы поўны лік часціц — інтэграл па ўсёй фазавай прасторы ад функцыі размеркавання:



(нарміровачны множнік апушчаны). У найпрасцейшым выпадку, калі часціца рухаецца ў эўклідавай прасторы ў полі патэнцыяльных сіл  з каардынатамі  і імпульсамі , тэарэму Ліувіля можна запісаць у выглядзе



дзе  — скорасць. У фізіцы плазмы гэты выраз называецца  і выкарыстоўваецца, каб апісаць вялікую колькасць бессутыкальных часціц, якія рухаюцца ў  сіл .

У класічнай статыстычнай механіцы лік часціц  вялікі, парадку ліку Авагадра. У стацыянарным выпадку  можна знайсці шчыльнасць мікрастанаў, даступных у дадзеным статыстычным ансамблі. Для стацыянарных станаў функцыі размеркавання  роўная любой функцыі гамільтаніяна , напрыклад, у размеркаванні Максвела — Больцмана , дзе  — тэмпература,  — пастаянная Больцмана.

 Запіс праз дужку Пуасона 

Выкарыстоўваючы дужку Пуасона, якая мае ў кананічных каардынатах  выгляд



ураўненне Ліувіля для гамільтанавых сістэм набывае выгляд



 Запіс з выкарыстаннем аператара Ліувіля 

Пры дапамозе аператара Ліувіля 



для гамільтанавых сістэм ураўненне набывае выгляд



Катэгорыя:Статыстычная фізіка
Катэгорыя:Квантавая механіка
Катэгорыя:Тэарэтычная механіка
Катэгорыя:Фізічныя тэарэмы