Цялесны вугал

Цялесны вугал — частка прасторы, якая з’яўляецца аб’яднаннем усіх прамянёў, якія выходзяць з дадзенай кропкі (вяршыні вугла) і перасякаюць некаторую паверхню (якая называецца паверхняй, якая сцягвае дадзены цялесны вугал). Асобнымі выпадкамі цялеснага вугла з’яўляюцца трохгранныя і шматгранныя вуглы. Мяжой цялеснага вугла з’яўляецца некаторая канічная паверхня.

Цялесны вугал вымяраецца адносінай плошчы той часткі сферы з цэнтрам у вяршыні вугла, якая выражаецца гэтым цялесным вуглом, да квадрата радыуса сферы:


Відавочна, цялесныя вуглы вымяраюцца адцягненымі (безразмернымі) велічынямі. Адзінкай вымярэння цялеснага вугла ў сістэме СІ з’яўляецца стэрадыян, роўны цялеснаму вуглу, выразаючаму са сферы радыуса  паверхню з плошчай .
Поўная сфера ўтварае цялесны вугал, роўны  стэрадыян (поўны цялесны вугал), для вяршыні, размешчанай унутры сферы, у прыватнасці, для цэнтра сферы; такім жа з’яўляецца цялесны вугал, пад якім бачна любая замкнёная паверхня з кропкі, якая цалкам ахопліваецца гэтай паверхняй, але не належыць ёй.
Акрамя стэрадыянаў, цялесны вугал можа вымярацца ў квадратных градусах, квадратных хвілінах і квадратных секундах, а таксама ў долях поўнага цялеснага вугла.

Цялесны вугал мае нулявую фізічную размернасць.

Пазначаецца цялесны вугал звычайна літарай .

Дваісты цялесны вугал да дадзенага цялеснага вугла  вызначаецца як вугал, які складаецца з прамянёў, якія ўтвараюць з любым прамянём вугла  нявостры вугал.

Каэфіцыенты пераліку адзінак цялеснага вугла.
  Стэрадыян
 Кв. градус
 Кв. хвіліна
 Кв. секунда
 Поўны вугал
  1 стэрадыян =
 1
 (180/π)² ≈≈ 3282,806 кв. градусаў
 (180×60/π)² ≈≈ 1,1818103 кв. хвілін
 (180×60×60/π)² ≈≈ 4,254517 кв. секунд
 1/4π ≈≈ 0,07957747 поўнага вугла
  1 кв. градус =
 (π/180)² ≈≈ 3,0461742 стэрадыян
 1
 60² == 3600 кв. хвілін
 (60×60)² == 12 960 000 кв. секунд
 π/(2×180)² ≈≈ 2,424068 поўнага вугла
  1 кв. хвіліна =
 (π/(180×60))² ≈≈ 8,461595 стэрадыян
 1/60² ≈≈ 2,7777778 кв. градусаў
 1
 60² == 3600 кв. секунд
 π/(2×180×60)² ≈≈ 6,73352335 поўнага вугла
  1 кв. секунда =
 (π/(180×60×60))² ≈≈ 2,35044305 стэрадыян
 1/(60×60)² ≈≈ 7,71604938 кв. градусаў
 1/60² ≈≈ 2,7777778 кв. хвілін
 1
 π/(2×180×60×60)² ≈≈ 1,87042315 поўнага вугла
  Поўны вугал =
 4π ≈≈ 12,5663706 стэрадыян
 (2×180)²/π ≈≈ 41252,96125 кв. градусаў
 (2×180×60)²/π ≈≈ 1,48511066 кв. хвілін
 (2×180×60×60)²/π ≈≈ 5,34638378 кв. секунд
 1

 Вылічэнне цялесных вуглоў 
Для адвольнай сцягвальнай паверхні  цялесны вугал , пад якім яна бачная з пачатку каардынат, роўны

дзе  — сферычныя каардынаты элемента паверхні   — яго радыус-вектар,  — адзінкавы вектар, нармальны да

 Уласцівасці цялесных вуглоў 
 Поўны цялесны вугал (поўная сфера) роўны  стэрадыян.
 Сума ўсіх цялесных вуглоў, дваістых да ўнутраных цялесных вуглоў выпуклага шматгранніка, роўная поўнаму вуглу.

 Велічыні некаторых цялесных вуглоў 
 Трохвугольнік з каардынатамі вяршынь , ,  бачны з пачатку каардынат пад цялесным вуглом

дзе  — змешаны здабытак дадзеных вектараў,  — скалярны здабытак адпаведных вектараў, паўтлустым шрыфтам пазначаныя вектары, нармальным шрыфтам — іх даўжыні. Па гэтай формуле можна вылічаць цялесныя вуглы, сцягнутыя адвольнымі шматвугольнікамі з вядомымі каардынатамі вяршынь (для гэтага дастаткова разбіць многавугольнік на неперасякальныя трохвугольнікі).

 Цялесны вугал пры вяршыні прамога кругавога конуса з вуглом раствора α роўны . Калі вядомы радыус асновы  і вышыня  конуса, то .
Калі вугал раствора конуса малы, ( выражана ў радыянах), ці  ( выражана ў градусах). Так, цялесны вугал, пад якім з Зямлі бачныя Месяц і Сонца (іх вуглавы дыяметр прыкладна роўны 0,5°), складае каля 6.10−5 стэрадыян, або ≈ 0,0005 % плошчы нябеснай сферы (гэта значыць поўнага цялеснага вугла).

 Цялесны вугал двухграннага вугла ў стэрадыянах роўны падвоенаму значэнню двухграннага вугла ў радыянах:

 Цялесны вугал трохграннага вугла выражаецца па тэарэме Люілье праз яго плоскія вуглы  пры вяршыні як:
 , где  — паўперыметр.
 Праз двухгранныя вуглы  цялесны вугал выражаецца як:


 Цялесны вугал пры вяршыні куба (або любога іншага прамавугольнага паралелепіпеда) роўны  поўнага цялеснага вугла, або  стэрадыян.

 Цялесны вугал, пад якім бачная грань правільнага N-гранніка з яго цэнтра, роўны  поўнага цялеснага вугла, або  стэрадыян.

 Гл. таксама 
 Вугал
 Двухгранны вугал
 Трохгранны вугал
 Шматгранны вугал

 Спасылкі 

Катэгорыя:Геаметрычныя фігуры
Катэгорыя:Фізічныя велічыні
Катэгорыя:Стэрэаметрычныя вуглы