Бэта-функцыя

У матэматыцы бэта-функцыяй (Β-функцыяй, бэта-функцыяй Эйлера або Эйлеравым інтэгралам I-га роду) называецца наступная спецыяльная функцыя ад двух зменных:



вызначаная пры  

Бэта-функцыя была даследавана Эйлерам і Лежандрам, А назву ёй даў Жак Бінэ.

 Уласцівасці 

Бэта-функцыя сіметрычная адносна перастаноўкі зменных, гэта значыць



Бэта-функцыю можна выразіць праз іншыя функцыі:



дзе  — гама-функцыя;





дзе  — сыходны фактарыял, роўны 

Як гама-функцыя для цэлых лікаў з’яўляецца абагульненнем фактарыяла, так і бэта-функцыя з’яўляецца абагульненнем бінаміяльных каэфіцыентаў з трохі змененымі параметрамі:



 Вытворныя 

Частковыя вытворныя у бэта-функцыі наступныя:



дзе  — дыгама-функцыя.

 Няпоўная бэта-функцыя 

Няпоўная бэта-функцыя — гэта абагульненне бэта-функцыі, якое замяняе інтэграл па адрэзку  на інтэграл з пераменнай верхняй мяжой:



Пры  няпоўная бэта-функцыя супадае з поўнай.

 Рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя 

Рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя вызначаецца праз поўную і няпоўную бэта-функцыі:



Уласцівасці рэгулярызаванай няпоўнай бэта-функцыі:





 Гл. таксама 
 Гама-функцыя

 Літаратура 


 Спасылкі 


Катэгорыя:Спецыяльныя функцыі