Піфагорава тройка

Піфагорава тройка — упарадкаваная тройка натуральных лікаў ,  і , такіх што

Такія тройкі звычайна запісваюць як , напрыклад, .
Калі  — піфагорава тройка, тады  — таксама піфагорава для любога натуральнага .

Нескарачальная піфагорава тройка — піфагорава тройка, у якой ,  і  узаемна простыя.

Трохвугольнік, стораны якога утвараюць піфагораву тройку, называецца піфагоравым трохвугольнікам.

Назва паходзіць ад тэарэмы Піфагора, якая сцвярджае, што ў прамавугольным трохвугольніку даўжыні старон звязаны ўраўненнем

Больш таго, справядліва і адваротнае сцвярджэнне: калі даўжыні старон некаторага трохвугольніка задавальняюць гэта ўраўненне, то ён прамавугольны. Таму піфагоравы тройкі адпавядаюць прамавугольным трохвугольнікам з цэлымі даўжынямі старон (даўжыні ўсіх трох старон адначасова павінны быць цэлымі лікамі). Варта заўважыць, што не любы прамавугольны трохвугольнік з'яўляецца піфагоравым. Напрыклад, трохвугольнік са старанамі (1, 1, √2) не піфагораў, бо лік √2 не цэлы (больш таго, ён ірацыянальны).

 Прыклады 

Тут прыведзены 16 нескарачальных піфагоравых троек з  :
 ( 3, 4, 5 ) ( 5, 12, 13) ( 8, 15, 17) ( 7, 24, 25) (20, 21, 29) (12, 35, 37) ( 9, 40, 41) (28, 45, 53) (11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73) (13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)
Заўважым, што, напрыклад, піфагорава тройка (6, 8, 10) скарачальная, бо яна кратна тройцы (3, 4, 5). Скарачальныя тройка лёгка атрымаць з нескарачальных дамнажэннем на натуральны лік.

А тут пералічаны нескарачальныя піфагоравы тройкі з :
 (20, 99, 101) (60, 91, 109) (15, 112, 113) (44, 117, 125) (88, 105, 137) (17, 144, 145) (24, 143, 145) (51, 140, 149) (85, 132, 157) (119, 120, 169) (52, 165, 173) (19, 180, 181) (57, 176, 185) (104, 153, 185) (95, 168, 193) (28, 195, 197) (84, 187, 205) (133, 156, 205) (21, 220, 221) (140, 171, 221) (60, 221, 229) (105, 208, 233) (120, 209, 241) (32, 255, 257) (23, 264, 265) (96, 247, 265) (69, 260, 269) (115, 252, 277) (160, 231, 281) (161, 240, 289) (68, 285, 293)

Формулы для троек


300px|thumb|Тройкі, атрыманыя па формуле Еўкліда, ляжаць на конусе . Пастаянным значэнням  ці  адпавядаюць часткі парабал на конусе.

Еўклідава формула — асноўная формула для вылічэння піфагоравых троек па двум дадатным цэлым параметрам  і , дзе . 

Тройка, знойдзеная па Еўклідавай формуле, нескарачальная тады і толькі тады, калі  і  узаемна простыя і лік  няцотны. Калі ж і , і  абодва няцотныя, тады ,  і  будуць цотнымі, і ў выніку тройка будзе скарачальная; тым не менш дзяленне ,  і  на 2 ў выпадку ўзаемна простых  і  дае нескарачальную тройку.

Катэгорыя:Тэорыя лікаў