Мера Хаусдорфа

У матэматыцы, меры Хаусдорфа — сямейства вонкавых мер, прапанаваных Феліксам Хаўсдорфам. Меры Хаусдорфа кожнаму падмноству прасторы  (ці больш агульна, любой метрычнай прасторы) ставяць у адпаведнасць некаторы неадмоўны лік або дадатную бесканечнасць. Нуль-мерная Хаусдорфава мера раўняецца колькасці пунктаў у мностве (калі мноства канечнае) ці +∞ (калі мноства бесканечнае). Аднамерная мера Хаусдорфа простай крывой у  раўняецца даўжыні гэтай крывой. Гэтак жа двухмерная Хаусдорфава мера вымернага мноства ў  прапарцыянальная плошчы мноства. Адсюль відаць, што паняцце меры Хаусдорфа абагульняе паняцці колькасці (або магутнасці канечнага мноства), даўжыні, плошчы і аб'ёму. На самай справе існуюць  -мерныя меры Хаусдорфа для любога  (не абавязкова цэлага). Гэтыя меры ляжаць у аснове геаметрычнай тэорыі меры. Яны таксама натуральным чынам узнікаюць у гарманічным аналізе і тэорыі патэнцыялу.

 Азначэнне 
Няхай  — метрычная прастора. Дыяметр мноства  абазначым наступным чынам:

Прымем па азначэнню:


Няхай  — адвольнае падмноства  а  — рэчаісны лік. Вызначым функцыю

Тут дакладная ніжняя мяжа бярэцца па ўсіх злічальных пакрыццях мноства  мноствамі  з дыяметрамі, меншымі за .

Варта заўважыць, што  манатонна спадае пры нарастанні , бо чым большае  — тым больш магчымых пакрыццяў мноства, што, відавочна, можа толькі панізіць дакладную ніжнюю мяжу. Адсюль вынікае, што граніца

існуе, але можа раўняцца дадатнай бесканечнасці.

Няхай

Функцыя  з'яўляецца вонкаваю мерай (а дакладней, метрычнай вонкавай мерай) і называецца -мернаю мерай Хаусдорфа мноства .

Па агульнай тэорыі, яе абмежаванне на σ-алгебру вымерных па Каратэадоры мностваў з'яўляецца мерай. Дзякуючы ўласцівасцям метрычнай вонкавае меры, усе барэлеўскія падмноствы прасторы  вымерныя адносна меры .

У вышэйпрыведзеным азначэнні мноствы ў пакрыццях могуць быць адвольнымі. Нягледзячы на гэта, можна разглядаць пакрыцці ці аднымі толькі адкрытымі мноствамі, ці толькі замкнутымі, у выніку гэта ўсё роўна прывядзе да той жа меры, хоць прыбліжэнні  пры гэтым могуць адрозніваццаFederer. Geometric measure theory, 1969. §2.10.2. Калі  — унармаваная прастора, можна разглядаць пакрыцці толькі выпуклымі мноствамі. Але калі браць пакрыцці толькі шарамі, у выніку атрымаецца іншая мера.

 Уласцівасці Хаусдорфавых мер 
Варта заўважыць, што калі  — дадатны цэлы лік, -мерная Хаусдорфава мера на  ёсць проста змененая ў маштабе -мерная мера Лебега , якая ўнармавана так, што Лебегава мера адзінкавага куба  роўная 1. На самай справе, для любога Барэлеўскага мноства :

дзе  — аб'ём адзінкавага -шара; яго можна вылічыць праз гама-функцыю Эйлера

Заўвага.  Некаторыя аўтары ў якасці азначэння меры Хаусдорфа прымаюць іншае, якое трохі адрозніваецца ад прыведзенага вышэй, розніца заключаецца ў том, што яе нармуюць так, каб Хаусдорфава -мерная мера ў выпадку еўклідавай прасторы дакладна супадала з Лебегавай мерай.

 Сувязь з размернасцю Хаусдорфа 
Існуе шэраг раўназначных азначэнняў размернасці Хаусдорфа. Напрыклад, такое:

дзе прынята па азначэнню

 Абагульненні 
У геаметрычнай тэорыі меры і сумежных раздзелах для вымярэння памеру падмноства метрычнай прасторы з мерай часта выкарыстоўваецца т.зв. аб'ём Мінкоўскага. Для зручных (г.зн. не вельмі складаных і мудрагелістых) абсягаў у еўклідавай прасторы гэтыя два паняцці памеру супадаюць з дакладнасцю да пастаяннага множніка, які залежыць ад дамоўленасцей. А іменна, кажуць, што падмноства прасторы  называецца -выпрастальным (квадравальным, кубавальным), калі яно з'яўляецца вобразам абмежаванага падмноства прасторы  пры Ліпшыцавым адлюстраванні.  Калі , тады -мерны аб'ём Мінкоўскага замкнутага -выпрастальнага падмноства ў  раўняецца -мернай меры Хаусдорфа, дамножанай на Federer. Geometric measure theory, 1969. Theorem 3.2.39. (Праўда, у гэтай кнізе гэты множнік уключаны ў азначэнне меры Хаусдорфа, і таму ў самой фармулёўцы тэарэмы 3.2.39 аб'ём Мінкоўскага роўны меры Хаусдорфа.)

У фрактальнай геаметрыі некаторыя фракталы з Хаусдорфавай размернасцю  маюць нулявую або бесканечную -меру Хаусдорфа. Напрыклад, амаль напэўна траекторыя плоскага броўнаўскага руху мае размернасць Хаусдорфа 2, а яе двухмерная мера Хаусдорфа роўная нулю. Каб "вымераць" "памер" такіх мностваў, была прыдумана наступнае абагульненне паняцця Хаусдорфавай меры:
У азначэнні меры складнікі  замяняюцца на  дзе  — любая манатонна нарастаючая функцыя мноства, якая задавальняе ўмову  

Вызначаная так мера называецца Хаусдорфавай мерай мноства  з функцыяй размернасці , ці -Хаусдорфавай мераю. Можа здарыцца, што -мернае мноства  будзе мець звычайную меру Хаусдорфа  але пры адпаведным выбары функцыі  можна дабіцца выканання няроўнасці

У якасці прыкладаў функцый размернасці можна прывесці такія:

або

Першая функцыя дае амаль напэўна дадатную і σ-канечную меру для броўнаўскай траекторыі ў  пры , а апошняя — пры .Mattila. Geometry of sets and measures in euclidean spaces, 1995. p. 60.

 Гл. таксама 
 Размернасць Хаусдорфа
 Вонкавая мера
 Тэорыя меры
 Геаметрычная тэорыя меры

Літаратура


 Yan Kun (2007),  Fractal Measure.





Спасылкі
 Размернасць Хаусдорфа ў Энцыклапедыі матэматыкі 
 Мера Хаусдорфа ў Энцыклапедыі матэматыкі 

Катэгорыя:Фракталы
Катэгорыя:Тэорыя меры
Катэгорыя:Метрычная геаметрыя
Катэгорыя:Тэорыя размернасці