Падгрупа

Падгрупа ― падмноства  групы , якое само з'яўляецца групай адносна аперацыі, якая вызначаецца .

Падмноства  групы  з'яўляецца яе падгрупай тады і толькі тады, калі:

  змяшчае адзінкавы элемент з 
 змяшчае здабытак любых двух элементаў з ,
 змяшчае разам з усякім сваім элементам  адваротны да яго элемент .

У выпадку канечных і, наогул, перыядычных груп праверка другой ўмовы з'яўляецца залішняй.

 Прыклады 

 Падмноства групы , якое складаецца з аднаго элемента 1, будзе, відавочна, падгрупай, і гэтая падгрупа называецца адзінкавай падгрупай групы .
 Сама  таксама з'яўляецца сваёй падгрупай.

 Звязаныя азначэнні 

 Усякая падгрупа, якая адрозніваецца ад усёй групы, называецца сапраўднай падгрупай гэтай групы. Сапраўдная падгрупа некаторай бясконцай групы можа быць ізаморфнай самой групе.
 Сама група  і адзінкавая падгрупа называюцца няўласнымі падгрупамі групы , усе астатнія ― уласнымі.
 Перасячэнне ўсіх падгруп групы , якія змяшчаюць усе элементы некаторага непустога мноства , называецца падгрупай, спароджанай мноствам , і абазначаецца .
 Калі  складаецца з аднаго элемента , то  называецца цыклічнай падгрупай элемента .
 Група, якая супадае з адной з сваіх цыклічных падгруп, называецца цыклічнай групай.
 Калі група  ізаморфная некаторай падгрупе  групы , то кажуць, што група  можа быць ўкладзена ў групу .

 Уласцівасці 

 Непустое мноства  з'яўляецца падгрупай групы  тады і толькі тады, калі для любых  выконваецца 
 Тэарэтыка-множнае перасячэнне любых двух (і любога мноства) падгруп групы  з'яўляецца падгрупай групы .
 Тэарэтыка-множнае аб'яднанне падгруп, наогул кажучы, не абавязана з'яўляцца падгрупай. Аб'яднаннем падгруп  і  называецца падгрупа, спароджаная аб'яднаннем мностваў .
 Гамаморфны вобраз падгруп ― падгрупа.
 Калі дадзеныя дзве групы і кожная з іх ізаморфная некаторай сапраўднай падгрупе іншай, то адсюль яшчэ не вынікае ізамарфізм саміх гэтых груп.

 Гл. таксама 

 Нармальная падгрупа
 Фактаргрупа

 Літаратура 



Катэгорыя:Тэорыя груп