G2 (матэматыка)

У матэматыцы G2 — назва некалькіх груп Лі і звязанай з імі алгебры Лі . Гэта найменшая з пяці асаблівых простых груп Лі. G2 мае ранг 2 і размернасць 14. Усе яе нетрывіяльныя канечнамерныя лінейныя прадстаўленні з’яўляюцца дакладнымі. Найбольш простае прадстаўленне 7-мернае і з’яўляецца фундаментальным прадстаўленнем, якое адпавядае кароткаму кораню сістэмы каранёў G2.

Кампактная форма G2 з’яўляецца групай аўтамарфізмаў алгебры актаніёнаў (актаў). Яе можна таксама разглядаць як падгрупу групы SO(7), якая пакідае на месцы фіксаваны 8-мерны спінар (у яе спінарным прадстаўленні).

 Рэалізацыі 

Існуюць 3 простыя рэчаісныя алгебры Лі, асацыяваныя з дадзенай сістэмай каранёў:

 Рэчаісная алгебра Лі, якая ляжыць у аснове комплекснай алгебры Лі G2, 28-мерная і адназвязная. Комплекснае спалучэнне з’яўляецца яе вонкавым аўтамарфізмам. Максімальная кампактная падгрупа асацыяванай з гэтай алгебрай групы і ёсць кампактная форма G2.
 Алгебра Лі ў кампактнай форме мае размернасць 14. Асацыяваная група Лі не мае знешніх аўтамарфізмаў, цэнтра і з’яўляецца адназвязнай і кампактнай.
 Алгебра Лі ў некампактнай (падзеленай) форме змяшчае 14 вымярэнняў. Асацыяваная простая група Лі мае фундаментальную групу 2 парадку, а яе група знешніх аўтамарфізмаў — трывіяльная група. Яе максімальная кампактная падгрупа — SU(2)×SU(2)/(−1×−1). Для дадзенай групы існуе неалгебраічная падвойная універсальная накрывальная група (адназвязная).

 Алгебраічныя ўласцівасці 

 Схема Дынкіна G_2

 Сістэма каранёў G2 
Нягледзячы на тое, што каранёвыя вектары можна размясціць у 2-мернай прасторы, больш сіметрычным выглядае іх выраз трыма каардынатамі, сума якіх роўная нулю:
(1,−1,0), (−1,1,0)

(1,0,−1), (−1,0,1),

(0,1,−1), (0,−1,1),

(2,−1,−1), (−2,1,1),

(1,−2,1), (−1,2,−1),

(1,1,−2), (−1,−1,2),

і простыя дадатныя каранёвыя вектары
(0,1,−1), (1,−2,1).

 Група Вейля/Кокстэра 
Для алгебры G2 гэта — група дыэдра D12 12 парадка.

 Матрыца Картана 

 Спецыяльныя галаноміі 

G2 — адна з тых спецыяльных груп, якія могуць быць групамі галаноміі рыманавай метрыкі. Разнастайнасці, якія валодаюць G2-галаноміяй, называюцца G2-разнастайнасцямі.

 Спасылкі 

 :en:John Baez, The Octonions, Section 4.1: G2, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145—205 . Анлайн HTML версія.

Катэгорыя:Групы Лі