Поле (алгебра)

Поле — мноства, для элементаў якога вызначаны дзве аперацыі, т.зв. складанне і множанне, якія падпарадкоўваюцца пэўным законам. Паняцце «поле» можна разглядаць як абагульненне мноства рэчаісных лікаў разам са звычайнымі складаннем і множаннем.

Паняцце «поле» было ўпершыню ўведзена ў 19 стагоддзі Рыхардам Дэдэкіндам.

Найважнейшымі прыкладамі палёў, якія выкарыстоўваюцца ледзь не ва ўсіх галінах матэматыкі, з'яўляюцца поле  рэчаісных лікаў, поле  рацыянальных лікаў і поле  камплексных лікаў.

 Строгае азначэнне 

 Агульнае азначэнне 
Поле − гэта мноства , на якім вызначаны дзве бінарныя аперацыі «» і "  " (як правіла, называюцца адпаведна складанне і множанне), якія задавальняюць наступныя ўмовы:
  ёсць абелева група (з нейтральным элементам 0)
  ёсць абелева група (з нейтральным элементам 1)
 Выконваецца размеркавальны закон: для любых  справядліва:
  (левы размеркавальны закон)
  (правы размеркавальны закон)

 Пералік неабходных аксіём 
Любое поле павінна задавальняць наступную сістэму аксіём, якія называюцца аксіёмамі поля:
 Уласцівасці складання:
  (спалучальны закон)
  (перамяшчальны закон)
 Існуе элемент  такі, што  (нейтральны элемент)
 Для кожнага  існуе адваротны адносна складання (процілеглы) элемент , такі што 
 Уласцівасці множання:
  (спалучальны закон)
  (перамяшчальны закон)
 Існуе элемент , такі што  (нейтральны элемент).
 Для кожнага  існуе адваротны адносна множання элемент , такі што 
 Узгодненасць (або дапасаванасць) складання і множання:
  (левы размеркавальны закон)
  (інакш нулявое колца было б полем)

Заўвага 1: правы размеркавальны закон

вынікае з астатніх уласцівасцей:


Заўвага 2: часам ад перамяшчальнага закона для множання адмаўляюцца, у выніку замест поля атрымліваецца так
званае цела. Прыкладам цела з'яўляецца мноства кватэрніёнаў з вызначанымі на ім складаннем і множаннем.

 Літаратура 


Катэгорыя:Тэорыя палёў
Катэгорыя:Абстрактная алгебра