Абелева група

Абелева група (або камутатыўная група) — група, у якой групавая аперацыя  падпарадкоўваецца яшчэ і перамяшчальнаму закону, г.зн. для любых элементаў  і  гэтай групы справядліва тоеснасць


Часта аперацыю, для якой справядлівы перамяшчальны закон, называюць камутатыўнай.

Абелевы групы названы так у гонар нарвежскага матэматыка Нільса Абеля.

Звычайна групавую аперацыю ў абелевых групах пазначаюць знакам «» (хоць групавая аперацыя можа не мець ніякага дачынення да звычайнага складання). Пры гэтым нейтральны элемент абелевай групы называюць нулём і абазначаюць як 0; адваротны элемент называюць процілеглым і абазначаюць процілегласць з дапамогай знака «» на ўзор «».

 Строгае азначэнне 

 Аксіёмы абелевай групы 
Абелевай групай называецца непустое мноства  разам з бінарнай аперацыяй  якая задавальняе наступныя ўмовы:
 Перамяшчальны закон (камутатыўнасць): для любых  справядліва:

 Спалучальны закон (асацыятыўнасць): для любых  справядліва:

 Існуе нейтральны элемент  г.зн. такі элемент, што для любога  справядліва:

 Для кожнага элемента  існуе адваротны элемент  г.зн. такі элемент, што


 Прыклады 

 Для цэлых лікаў і аперацыі складання "+", абазначаных , аперацыя + камбінуе два цэлых лікі каб стварыць трэці, складанне асацыятыўнае, нейтральным элементам з'яўляецца нуль, кожны цэлы лік n мае адваротны элемент -n, а складанне камутатыўнае, таму што  для давольных цэлых лікаў m і n.
Кожная цыклічная група з'явўляецца абелевай, таму што калі x, y належаць да G, то    . Такім чынам цэлыя лікі Z ствараюць абелеву групу з аперацыяй складання, як і астачы па модулю n , Z/nZ.
Кожнае колца з'яўляецца абелевай групай, адносна аперыцыі складання. Усе элементы колца, да якіх існуе адваротны элемент адносна множання, ствараюць абелеву мультыплікатыўную групу.  У прыватнасці, рэчаісныя лікі з'яўляюцца групай адносна складання. а ўсе ненулявыя рэчаісныя лікі ствараюць абелеву групу адносна множання.

 Літаратура 


Катэгорыя:Тэорыя груп