Вызначнік (алгебра)

Вызначнік (або дэтэрмінант) матрыцы − адмысловая функцыя ад каэфіцыентаў квадратнай матрыцы (мнагачлен ад  зменных), якая раўняецца нулю, калі і толькі калі матрыца выраджаная. Вызначнік як функцыя ад слупкоў (радкоў) матрыцы валодае шэрагам адметных уласцівасцей, сярод якіх
лінейнасць па кожным з аргументаў і косасіметрычнасць (перастаноўка суседніх аргументаў мяняе знак функцыі).

Вызначнік выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм лінейных алгебраічных ураўненняў, пры вылічэнні аб'ёмаў (плошчаў, мер), пры замене каардынат і г.д.

 Строгае азначэнне 
 Напрамую праз каэфіцыенты матрыцы 
Няхай

Вызначнік -матрыцы  − гэта мнагачлен ад яе каэфіцыентаў, роўны:

дзе складанне адбываецца па ўсіх перастаноўках  мноства ,  − знак перастаноўкі , роўны +1, калі  цотная, і роўны -1, калі  няцотная.

 Праз адметныя ўласцівасці 
Няхай

− матрыца, каэфіцыенты  якой належаць колцу , у якім аперацыя множання перастаўляльная і спалучальная, і, акрамя таго, існуе адзінка.

Абазначым праз  -ты слупок матрыцы :

Вызначнікам называецца функцыя ад матрыцы , якая прымае значэнні з колца  і задавальняе наступныя ўмовы:
 Вызначнік адзінкавай матрыцы (на дыяганалі якой стаяць адзінкі, на астатніх месцах − нулі) роўны адзінцы:

 Вызначнік як функцыя ад  слупкоў матрыцы лінейны па кожным сваім асобным аргуменце (слупку):

 Вызначнік як функцыя ад  слупкоў матрыцы косасіметрычны (г.зн. мяняе знак на процілеглы пры перастаноўцы двух суседніх слупкоў):

 Уласцівасці 
 Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы:

 Вызначнік здабытку матрыц раўняецца здабытку вызначнікаў гэтых матрыц:

 Няхай  ёсць скалярнай велічынёю,  з'яўляецца квадратнай матрыцай парадку . Тады

 Транспанаванне не змяняе велічыні вызначніка:

 Няхай колца  ёсць полем. Тады

 Калі матрыца  трохвугольная (г.зн. для верхняй трохвугольнай матрыцы:  пры ; для ніжняй трохвугольнай матрыцы:  пры ), то яе вызначнік роўны здабытку яе дыяганальных элементаў:

 Вызначнікі малых парадкаў 
Для матрыцы першага парадку вызначнік роўны адзінаму элементу гэтай матрыцы:


Для матрыцы  вызначнік роўны


Для матрыцы  вызначнік можна вылічыць праз вызначнікі меншых парадкаў з дапамогай зваротнага стасунку (вядомага як раскаданне па першым радку):

дзе  — дадатковы мінор элемента 

Заўвага: каб атрымаць дадатковы мінор  элемента , трэба закрэсліць -ты радок і -ты слупок (на перасячэнні якіх знаходзіцца гэты элемент); тое, што застанецца, і будзе дадатковым мінорам.

Адсюль вынікае, што вызначнік матрыцы  раўняецца:



 Літаратура 


Катэгорыя:Лінейная алгебра
Катэгорыя:Алгебра
Катэгорыя:Вызначнікі