Ліміт (матэматыка)

Лімі́т, у старых і агульных слоўніках названы таксама грані́ца  — адно з асноўных паняццяў матэматыкі. Сутнасць паняцця ліміту заключаецца ў тым, што некаторая велічыня, залежная ад зменнай, пры пэўным змяненні апошняй адвольна блізка набліжаецца да пэўнай сталай велічыні. Паняцце блізкасці асноўнае пры азначэнні ліміту. Залежна ад таго, у якіх прасторах яго ўводзяць, паняцце ліміту набывае пэўны сэнс.

На паняцці ліміту грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял, інтэграл.

 Ліміт у матэматычным аналізе 

 Ліміт паслядоўнасці 

Ліміт паслядоўнасці азначаецца для паслядоўнасці  элементаў  тапалагічнай прасторы  пры імкненні  да бесканечнасці. Кажуць, што паслядоўнасць  збягаецца да свайго ліміту , калі для любога наваколля  элемента  існуе нумар  , такі што для ўсіх  выконваецца .
Таксама існуе сінанімічнае азначэнне: кажуць, што паслядоўнасць  збягаецца да свайго ліміту , калі для любога , якое больш за нуль, існуе , якое залежыць ад , пры якім для любога n большага за N выконваецца няроўнасць: .
Збежнасць паслядоўнасці  да ліміту  запісваюць як


 Ліміт функцыі 

Няхай  і  — тапалагічныя прасторы. Няхай функцыя  вызначана на мностве , якое з’яўляецца падмноствам прасторы . Будзем лічыць, што ў любым наваколлі пункта  ёсць хаця б адзін пункт мноства .

Пункт  называюць лімітам функцыі  пры імкненні  да  , калі для ўсякага наваколля  пункта  ў прасторы  існуе такое наваколле  пункта  у прасторы , што для адвольнага пункта  яго вобраз  належыць , г.зн. 

Пры гэтым пішуць

або  пры .

 Ліміт інтэгральных сум 

Няхай на адрэзку  вызначана функцыя . Падзелім гэты адрэзак пунктамі  на  частак і на кожным з атрыманых меншых адрэзкаў возьмем адвольны лік . Інтэгральная сума вызначаецца як

Калі існуе канечны ліміт інтэгральных сум пры імкненні да нуля найбольшай з рознасцей , то яна называецца вызначаным інтэгралам Рымана ад функцыі  на адрэзку .

Інтэграл Лебега таксама вызначаецца як ліміт інтэгральных сум, толькі гэтыя сумы будуюцца інакш.

Катэгорыя:Матэматычны аналіз
Катэгорыя:Ліміты