Геаметрычная прагрэсія

Геаметры́чная прагрэ́сія — паслядоўнасць лікаў  (членаў прагрэсіі), кожны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дамнажэннем на пастаянны лік  (назоўнік прагрэсіі)БЭ ў 18 т. Т. 5..

Сума ўсіх членаў геаметрычнай прагрэсіі (су́ма бяско́нцай геаметры́чнай прагрэ́сіі) называецца геаметры́чным ра́дам. Часта геаметрычным радам называюць і канечную суму некалькіх першых членаў геаметрычнай прагрэсіі.

Такім чынам, любая геаметрычная паслядоўнасць выглядае на ўзор

дзе  — першы член геаметрычнай прагрэсіі,  - назоўнік геаметрычнай прагрэсіі.

У такіх абазначэннях геаметрычны рад мае выгляд:

 Апісанне 
n-ы член геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле:

Калі  і , прагрэсія з'яўляецца нарастаючай паслядоўнасцю, калі , — спадаючай паслядоўнасцю, а пры  — знакачаргавальнай.

Сваю назву прагрэсія атрымала дзякуючы сваёй адме́тнай уласці́васці:

гэта значыць, кожны член роўны сярэдняму геаметрычнаму сваіх суседзяў.

 Уласцівасці 
 Лагарыфмы членаў геаметрычнай прагрэсіі (калі яны вызначаны) утвараюць арыфметычную прагрэсію

 Пашыраная адметная ўласцівасць геаметрычнай прагрэсіі:

 Здабытак першых n элементаў геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле:


 Здабытак членаў геаметрычнай прагрэсіі з нумарамі ад  да  можна вылічыць па формуле:


 Сума  першых членаў геаметрычнай прагрэсіі:


 Геаметрычны рад 


Геаметры́чны ра́д — такі бясконцы рад, дзель паслядоўных членаў якога ёсць сталая велічыня. Часам геаметрычны рад яшчэ называюць сумай бясконцай геаметрычнай прагрэсіі.
У агульным выпадку, геаметрычны рад можна прадставіць у выглядзе:

або

Геаметрычны рад збягаецца, калі і толькі калі .
Суму рада азначаюць як граніцу паслядоўнасці яго частковых сум :

А раз , то велічыня  імкнецца да нуля пры неабмежаваным нарастанні . Адсюль атрымліваем, што сума геаметрычнага рада раўняецца:

Калі ж , геаметрычны рад разбягаецца.


 Перыядычныя дзесятковыя дробы 

Геаметрычныя рады маюць адно цікавае дастасаванне.
Так, любы перыядычны дзесятковы дроб, па сутнасці, ёсць запіс пэўнага геаметрычнага рада.
Справядліва наступная тэарэма:

Такім чынам, узнікае задача пераводу перыядычнага дзесятковага дробу ў звычайны.

Прыклады:

 Прыклады геаметрычных прагрэсій 
 Паслядоўнасць плошчаў квадратаў, дзе кожны наступны квадрат атрымліваецца злучэннем сярэдзін старон папярэдняга — бясконцая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1/2. Плошчы трохвугольнікаў, якія атрыліваюцца на кожным кроку, таксама ўтвараюць бясконцую геаметрычную прагрэсію з назоўнікам 1/2, сума якой роўная плошчы пачатковага квадрата.
 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — трынаццаць паслядоўных элементаў геаметрычнай прагрэсіі з назоўнікам 2.
 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бясконцая спадаючая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам -½.
  — геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1.

 Гл. таксама 
 Арыфметычная прагрэсія
 Паказнікавая функцыя

Катэгорыя:Арыфметыка
Катэгорыя:Элементарная матэматыка
Катэгорыя:Рады і паслядоўнасці