Дыскрымінант

Дыскрыміна́нт ( — падзяляць, адрозніваць) або адро́знік мнагачлена — лікавая велічыня, якая дазваляе рабіць высновы пра від каранёў мнагачлена і іх узаемнае становішча.
Так, для мнагачлена

дыскрымінант (адрознік) вызначаюць як

дзе  − карані мнагачлена  (г.зн. рашэнні ўраўнення ) з улікам іх кратнасцей.

Дыскрымінант мнагачлена роўны нулю, калі і толькі калі мнагачлен мае кратны корань.

Дыскрымінант (адрознік) алгебраічнага ураўнення  вызначаюць як адрознік мнагачлена .

Найбольш вядомы дыскрымінант (адрознік) квадратнага ўраўнення.

 Дыскрымінант квадратнага ўраўнення 

Карані квадратнага ўраўнення

з рэчаіснымі каэфіцыентамі ,  і  можна вылічыць па формуле

Колькасць рэчаісных рашэнняў залежыць ад знака выразу пад коранем (так званага падкарэннага выразу).

Гэты выраз

называюць дыскрымінантам квадратнага ўраўнення

і абазначаюць праз .

 Калі , падкарэнны выраз дадатны, і таму формула дае два розныя рэчаісныя рашэнні  і .
 Калі , значэнне квадратнага кораня роўнае нулю, таму формула дае адно рэчаіснае значэнне (яно будзе двухкратным коранем ураўнення, або коранем кратнасці 2).
 Калі , квадратны корань з адмоўнага выразу не вызначан у полі рэчаісных лікаў . Таму рэчаісных каранёў няма. Аднак становішча змяняецца, калі разглядаць рашэнні над полем камплексных лікаў; у гэтым выпадку маем два (не рэчаісныя) рашэнні, якія з'яўляюцца камплексна спалучанымі адзін да аднаго.

Заўвага. Як выразна відаць з вышэйсказанага, значэнне дыскрымінанта (адрозніка) дазваляе адрозніваць выпадкі становішча каранёў ураўнення, адсюль і назва.

 Азначэнне ў агульным выпадку 

Няхай  − мнагачлен -ай ступені ад адной зменнай над абсягам цэласнасці  (перастаўляльным колцам з адзінкай і без дзельнікаў нуля).
Няхай  ёсць поле раскладання мнагачлена  (г.зн. у гэтым полі мнагачлен  раскладваецца на лінейныя множнікі).

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагачлена вызначаюць як

дзе  − карані мнагачлена , якія ляжаць у полі .

Заўвага. Можна паказаць, што для любога мнагачлена над нейкім абсягам цэласнасці  існуе поле раскладання. Так, поле дзелей  колца  з'яўляецца найменшым полем, якое змяшчае колца . І ў якасці поля раскладання  можна ўзяць алгебраічнае замыканне поля .

 Уласцівасці дыскрымінанта 

 Сувязь з рэзультантам 

Няхай поле  мае нулявую характарыстыку.

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагачлена  над полем  можна вылічыць як рэзультант мнагачлена  і яго вытворнай , падзелены на старшы каэфіцыент :


Адсюль вынікае тоеснасць


 Адрознік як функцыя ад каэфіцыентаў мнагачлена 

Рэзультант мнагачлена  і яго вытворнай  роўны вызначніку пэўнай -матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра).
Таму, калі поле  мае нулявую характарыстыку, з выразу адрозніка праз рэзультант вынікае формула:

Пры вылічэнні вызначніка з першага слупка можна вынесці множнік , які скароціцца.

 Прыклады 
 Адрознік квадратнага мнагачлена  роўны


 Адрознік кубічнага мнагачлена  раўняецца


 Адрознік мнагачлена чацвёртай ступені  роўны


 Гл. таксама 
 Рэзультант
 Дыскрымінант поля

 Зноскі 

 Літаратура 
 Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
 Матэматычная энцыклапедыя. Гал. рэд. В. І. Бернік. Мн.: Тэхналогія, 2001.

 Спасылкі 


Катэгорыя:Алгебра
Катэгорыя:Мнагачлены
Катэгорыя:Ураўненні