Першаісная

Першаісная функцыі  − такая функцыя , вытворная якой для ўсіх  з пэўнага прамежку роўная дадзенай функцыі , гэта значыць, што на ўсім прамежку праўдзіцца роўнасць


Сукупнасць усіх першаісных функцыі  на прамежку  называецца нявызначаным інтэгралам і пазначаецца сімвалам


Працэс знаходжання першаіснай называецца інтэграваннем.

 Уласцівасці нявызначанага інтэграла 

 Калі  − першаісная функцыі  на прамежку , то ўсякая першаісная функцыі  на гэтым прамежку мае выгляд , дзе  — адвольная сталая.

 Сувязь з дыферэнцыялам і вытворнай 
 Сувязь першаіснай з вытворнаю


 Сувязь першаіснай з дыферэнцыялам



 Лінейнасць нявызначанага інтэграла 
 Няхай  ёсць ненулявою сталаю, тады

 Нявызначаны інтэграл сумы роўны суме нявызначаных інтэгралаў:


 Сувязь з інтэгралам Рымана 

 Выраз першаіснай праз інтэграл Рымана. Няхай  непарыўная на прамежку . Тады інтэграл Рымана са зменнаю верхняю мяжой

ёсць першаіснаю функцыі  на прамежку  .

 Формула Ньютана-Лейбніца. Няхай  ёсць першаіснаю функцыі  на прамежку , тады праўдзіцца роўнасць

называная формулай Ньютана-Лейбніца.

 Асноўныя метады інтэгравання 

 Лінейныя пераўтварэнні 

 Метад раскладання. Калі

 то


 Метад падстаноўкі 

 Увядзенне новага аргумента. Калі

 то

 дзе  — непарыўна дыферэнцавальная функцыя.

 Метад падстаноўкі. Калі  — непарыўная, то, прымаючы

 дзе  — непарыўна дыферэнцавальная функцыя, атрымаем


 Інтэграванне па частках 

 Метад інтэгравання па частках. Калі  і  — нейкія дыферэнцавальныя функцыі ад , то


 Першаісная ў камплексным аналізе 

 Функцыя  мае першаісную, калі і толькі калі яна аналітычная.

 Першаісная адназначнай функцыі, ўвогуле кажучы, мнагазначная функцыя.

Прыклад:


 Першаісныя найпрасцейшых элементарных функцый 

У агульным выпадку першаісная элементарнай функцыі не ёсць элементарнай функцыяй
(тады як вытворная элементарнай функцыі сама заўсёды элементарная).
Напрыклад, немагчыма выразіць праз элементарныя функцыі такія нявызначаныя інтэгралы:


У гэтым раздзеле прыведзены спіс нявызначаных інтэгралаў некаторых найпрасцейшых элементарных функцый:















 Гл. таксама 
 Вытворная функцыі
 Інтэграл Рымана
 Спіс інтэгралаў

Катэгорыя:Матэматычны аналіз
Катэгорыя:Інтэгральнае злічэнне