Арыфметычная прагрэсія

Арыфметычная прагрэсія — паслядоўнасць лікаў , кожны наступны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дадаваннем пастаяннага ліку , які называецца рознасцю або крокам арыфметычнай прагрэсііБЭ ў 18 т. Т. 2..

Ведаючы першы член арыфметычнай прагрэсіі  і яе рознасць , можна паслядоўна знаходзіць астатнія элементы з дапамогай зваротнай формулы

якая вынікае з азначэння. Такім чынам, любую арыфметычную прагрэсію можна падаць у выглядзе

Арыфметычная прагрэсія ёсць манатоннай паслядоўнасцю. Пры  яна нарастае, а пры  спадае. Калі , паслядоўнасць будзе сталай (г.зн. будзе складацца з аднолькавых членаў). Гэтыя сцверджанні вынікаюць са стасунку , справядлівага для членаў арыфметычнай прагрэсіі.

 Уласцівасці 

 Агульны член арыфметычнай прагрэсіі 
Член арыфметычнай прагрэсіі з нумарам  можа быть вылічаны па формуле


дзе  — першы член прагрэсіі,  — яе рознасць.

 Адметная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсіі 
Паслядоўнасць  ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, калі і толькі калі для яе членаў праўдзіцца тоеснасць 

 Сума першых  членаў арыфметычнай прагрэсіі 

Суму першых  элементаў арыфметычнай прагрэсіі  можна вылічыць па формулах

або

дзе  — першы член прагрэсіі,  — член з нумарам ,  — рознасць прагрэсіі.

 Сувязь паміж арыфметычнай і геаметрычнай прагрэсіямі 

Няхай  — арыфметычная прагрэсія з рознасцю  і лік . Тады паслядоўнасць выгляду   ёсць геаметрычнай прагрэсіяй з назоўнікам .

 Збежнасць арыфметычнай прагрэсіі 
Арыфметычная прагрэсія  разбягаецца пры  і збягаецца пры . Прычым


 Арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў 

Арыфметычную прагрэсію яшчэ называюць арыфметычнай паслядоўнасцю 1-га парадку.

Арыфметычнай паслядоўнасцю 2-га парадку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей сама ўтварае арыфметычную паслядоўнасць 1-га парадку (г. зн. простую арыфметычную прагрэсію). У якасці прыклада можна прывесці паслядоўнасць квадратаў натуральных лікаў:
 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...,

рознасці якіх утвараюць арыфметычную прагрэсію з рознасцю 2:
 1, 3, 5, 7, 9, 11, ....

Падобным чынам вызначаюцца і арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў. А іменна, арыфметычнай паслядоўнасцю -га парадку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей утварае арыфметычную паслядоўнасць -га парадку. У прыватнасці, паслядоўнасць -ных ступеняў утварае арыфметычную паслядоўнасць -га парадку.

 Прыклады 
 Натуральны рад  — гэта арыфметычная прагрэсія, у якой першы элемент , а рознасць .
  — першыя 5 членаў арыфметычнай прагрэсіі, дзе  і .
 Суму першых  натуральных лікаў можна вылічыць па формуле

 Гл. таксама 
 Геаметрычная прагрэсія

 Спасылкі 
 Развязанне задач на арыфметычныя прагрэсіі

Катэгорыя:Арыфметыка
Катэгорыя:Элементарная матэматыка
Катэгорыя:Рады і паслядоўнасці