Ліміт паслядоўнасці

Лімі́т паслядоўнасці  — пэўная сталая велічыня, да якой прыбліжаецца значэнне элемента паслядоўнасці пры неабмежаваным нарастанні яго нумара.

Калі паслядоўнасць мае ліміт, кажуць, што яна збягаецца да свайго ліміту. У процілеглым выпадку (калі ліміту няма) кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца.

Паняцце ліміту няяўна ўсведамлялі яшчэ ў старажытнай Грэцыі. Яскравым прыкладу можна прывесці апорыю Зянона пра Ахіла і чарапаху. Сучаснае азначэнне паняцця ліміту даў Агюстэн Луі Кашы.

 Азначэнне і абазначэнні 

Няхай элементы паслядоўнасці  належаць тапалагічнай прасторы .

Кажуць, што паслядоўнасць  збягаецца да свайго ліміту  і пішуць

калі для любога наваколля  элемента  існуе такі нумар  , што для ўсіх  выконваецца 

Паслядоўнасць, якая мае канечны ліміт, называюць збе́жнай.

Калі ж паслядоўнасць не мае ліміту, кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца, і называюць яе разбе́жнай.

Сам запіс

можна прачытаць, як «ліміт  пры імкненні  да бесканечнасці».

 Ліміт лікавай паслядоўнасці 

 Азначэнне 
Няхай  — лікавая паслядоўнасць.

Кажуць, што лікавая паслядоўнасць  збягаецца да свайго ліміту  і пішуць

калі для любога  існуе такі нумар  , што для ўсіх  справядліва няроўнасць 

Заўвага: члены лікавай паслядоўнасці могуць быць рэчаіснымі, рацыянальнымі або камплекснымі лікамі (ці нават p-адычнымі лікамі). Ад таго, якому з гэтых бесканечных палёў належаць члены паслядоўнасці, уласцівасці ліміту такіх паслядоўнасцей значна не зменяцца.

 Уласцівасці 

 Тэарэма Бальцана — Ваерштраса. З кожнай абмежаванай паслядоўнасці можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць.

Няхай існуюць ліміты  і , тады існуюць наступныя ліміты:
 ліміт сумы роўны суме лімітаў

 ліміт рознасці роўны рознасці лімітаў

 ліміт здабытку роўны здабытку лімітаў

 Калі , то ліміт дзелі роўны дзелі лімітаў
 .
 Калі , то ліміт ступені існуе і
 .

 Важныя прыклады 



  для рэчаісных або камплексных лікаў .
  для рэчаісных .
  (Сталая Ойлера — Маскероні)
 Геаметрычны рад  збягаецца да  пры  і разбягаецца пры 
 Гарманічны рад  разбягаецца.
 Знакачаргавальны гарманічны рад збягаецца 

 Абагульненні 

Ліміт лікавай паслядоўнасці з’яўляецца найпрасцейшым прыкладам ліміту паслядоўнасці ў метрычнай прасторы.

Няхай  − метрычная прастора, г.зн.  — мноствам, для элементаў якога вызначана функцыя адлегласці (або метрыка) , якая адпавядае умовам:
 , калі і толькі калі ;
 ;

для адвольных элементаў  мноства .

Няхай  — паслядоўнасцю, члены якой належаць метрычнай прасторы .

Пункт  называюць лімітам паслядоўнасці  пры імкненні  да бесканечнасці, калі для любога  існуе такі нумар  , што для ўсіх  спраўджваецца няроўнасць 

 Гл. таксама 
 Ліміт (матэматыка)
 Ліміт функцыі

 Зноскі 

Катэгорыя:Матэматычны аналіз
Катэгорыя:Ліміты