Ступенная функцыя

Ступе́нная, або ступе́неваяМатэматычная энцыклапедыя. / Гал. рэд. В. Бернік. — Мн.: Тэхналогія, 2001. — С. 330. функцыя — функцыя выгляду , дзе  (паказчык, або паказчык ступені) — некаторы рэчаісны лік. Да ступенных часта прылічваюць і функцыі выгляду , дзе k — нейкі множнік расцяжэнняВыгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978. — С. 312.. Існуе таксама камплекснае абагульненне ступеневай функцыі. На практыцы паказчык ступені амаль заўсёды з’яўляецца цэлым ці рацыянальным лікам.

 Рэчаісная ступенная функцыя 

 Абсяг вызначэння 
 Калі паказчык ступені — цэлы лік, то ступенную функцыю можна вызначыць на ўсёй лікавай прамой (магчыма, акрамя нуля).
 Калі , дзе  — узаемна простыя лікі,  — няцотны, то ступенная функцыя таксама вызначана пры любых рэчаісных x (магчыма, акрамя нуля).
 У агульным выпадку ступенная функцыя вызначана толькі пры  (у абсяг вызначэння можа ўваходзіць і нуль, гл. ніжэй).
 Калі , то функцыя вызначана таксама і пры .
 Пры  нуль ёсць асаблівым пунктам ступеннай функцыі.

 Рацыянальны паказчык ступені 
 Графікі ступеннай функцыі пры натуральным паказчыку n называюцца парабаламі парадку n. Пры  атрымліваецца лінейная функцыя , называная прамой прапарцыйнай залежнасцю.
 Графікі функцый выгляду , дзе n — натуральны лік, называюцца гіпербаламі парадку n. Пры  атрымліваецца функцыя , называная адваротнай прапарцыйнай залежнасцю.
 Калі , то функцыя ёсць арыфметычным коранем ступені n.

Прыклад: з трэцяга закону Кеплера вынікае, што перыяд T абарачэння планеты вакол Сонца звязаны з вялікай паўвоссю A яе арбіты наступным чынам:
 (паўкубічная парабала).

 Уласцівасці 


 Функцыя непарыўная і бясконца дыферэнцавальная ва ўсіх кропках, у наваколлі якіх яна вызначана. Нуль, увогуле кажучы, ёсць асаблівым пунктам.
Напрыклад, функцыя  вызначана ў нулі і яго правым наваколлі, але яе вытворная  у нулі не вызначана.
 На прамежку  функцыя манатонна нарастае пры  і манатонна спадае пры . Значэнні функцыі на гэтым прамежку дадатныя.
 Вытворная:
.
 Першаісная:
 Калі , то 
 Калі , маем 

 Камплексная ступенная функцыя 

У агульным выпадку ступенная функцыя камплекснай зменнай z азначаецца як:

Тут паказчык ступені c — некаторы камплексны лік. Значэнне функцыі, адпаведнае галоўнаму значэнню лагарыфму, называецца галоўным значэннем ступені. Напрыклад, значэнне  роўнае , дзе k — адвольны цэлы, а яго галоўнае значэнне роўнае .

Камплексная ступенная функцыя істотна адрозніваецца ад свайго рэчаіснага адменніку. З-за мнагазначнасці камплекснага лагарыфму яна, увогуле кажучы, таксама мае бясконца многа значэнняў.
Аднак два выпадкі, важныя ў прыкладаннях, разглядаюцца асобна:
 Пры натуральным паказчыку ступені функцыя  адназначная і n-лістная.
 Калі паказчык ступені — дадатны рацыянальны лік, г.зн. (нескарачальны) дроб , то функцыя будзе мець q розных значэнняў.

 Гл. таксама 
 Узвядзенне ў ступень
 Лагарыфм
 Мнагасклад

 Крыніцы 

 Літаратура 

 Алгебра: вучэб. дапам. для 11-га кл. устаноў агул. сярэд. адукацыі з беларус. мовай навучання  / А. П. Кузняцова[і інш.]; пад рэд. праф. Л. Б. Шнэпермана; пер. з рус. мовы Н. М. Алганавай. — 2-е выд., выпр. і дап. — Мінск: Нар. асвета, 2013. — 287 с.: іл. — 16 100 экз. — ISBN 978-985-03-1983-8.




 Спасылкі 


Катэгорыя:Элементарныя функцыі