Ліміт функцыі

Лімі́т фу́нкцыі — значэнне, да якога прыбліжаецца (імкнецца) значэнне функцыі, калі яе аргумент імкнецца да некаторага пункта (магчыма, бесканечна аддаленага). Гэта адно з першасных паняццяў матэматычнага аналізу, на якім грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял.

Аперацыя знаходжання ліміту функцыі называецца лімітавым пераходам.

Калі функцыя  мае ліміт  ў пункце , гэта абазначаецца наступным чынам:


 Азначэнне ліміту 

 (ε, δ)-азначэнне (паводле Кашы) 


Лік  называецца лімітам функцыі  пры імкненні  да , калі для любога ліку  існуе такі лік , што для ўсіх , якія задавальняюць умову

справядлівая няроўнасць


Або, кажучы словамі, функцыя мае ліміт  ў некаторым пункце, калі і толькі калі для любога  можна знайсці такое наваколле гэтага пункта, у межах якога функцыя не адхіляецца ад  больш чым на .

 Азначэнне праз ліміт паслядоўнасці (паводле Гейнэ) 

Функцыя  мае ў пункце  канечны ліміт , калі і толькі калі для любой паслядоўнасці , якая збягаецца да пункта :


адпаведная паслядоўнасць  значэнняў функцыі збягаецца да :


 Крытэрыі і прыкметы існавання канечнага ліміту 

 Крытэрый Кашы існавання канечнага ліміту 

Функцыя  мае ў пункце  канечны ліміт, калі і толькі калі для адвольнага  існуе такое , што для любых  і , узятых з δ-наваколля пункта , спраўджваецца няроўнасць


Заўвага: Крытэрый Кашы адрозніваецца ад азначэння паводле Кашы тым, што ў крытэрыі ніяк не ўдзельнічае значэнне ліміту. Крытэрый толькі сцвярджае існаванне ліміту, але нічога не кажа пра само лімітнае значэнне.

 Уласцівасці 

Калі існуюць канечныя ліміты  і , тады справядлівыя сцвярджэнні:

1) Лімітавы пераход з’яўляецца лінейнай аперацыяй. Гэта значыць для адвольных лікаў  і  існуе ліміт лінейнай камбінацыі


Заўвага: з гэтай уласцівасці непасрэдна вынікаюць наступныя роўнасці:


2) Існуе ліміт здабытку гэтых функцый, прычым:


3) Калі , то існуе ліміт дзелі, прычым:


4) Калі  і , то існуе ліміт ступені, прычым:


 Гл. таксама 
 Аднабаковы ліміт функцыі
 Ліміт у матэматыцы
 Ліміт паслядоўнасці

 Зноскі 

Катэгорыя:Матэматычны аналіз
Катэгорыя:Ліміты