Кальцо (алгебра)

Кальцо́, ці ко́лца — мноства  з дзвюма аперацыямі, якія ўмоўна называюцца «складаннем» ("  ") і «множаннем» ("  "), прычым адносна складання  ёсць абелева група, а «множанне» ўзгоднена са «складаннем» паводле размеркавальнага закона.

Прыкладам кальца з'яўляецца мноства  цэлых лікаў разам са звычайнымі складаннем і множаннем.

Адмысловым выпадкам кальца з'яўляецца поле, якое адметна найперш тым, што для любога ненулявога элемента існуе адваротны (адносна множання), у выніку чаго становіцца магчымым вызначыць аперацыю дзялення. А вось у кальцы, у агульным выпадку, гэта не так.

 Строгае азначэнне 

 Азначэнне кальца 

Кальцо́м называецца мноства  з аперацыямі складання ("  ") і множання ("  "), якія задавальняюць наступныя ўмовы:
  ёсць абелеваю групай (з нейтральным элементам 0)
 Складанне і множанне падпарадкоўваюцца размеркавальнаму закону: для любых  справядліва:
  (левы размеркавальны закон)
  (правы размеркавальны закон)

Заўвага 1: у азначэнні кальца на аперацыю «множання» накладваецца толькі адна ўмова — размеркавальны закон (правы і левы). І таму, ўвогуле кажучы, у кальцы можа не існаваць адзінкі (адносна «множання»), «множанне» можа быць неперамяшчальным (некамутатыўным), могуць існаваць дзельнікі нуля і г.д.

Заўвага 2: наяўнасць двух размеркавальных законаў неабходна, таму што «множанне» можа быць неперамяшчальным (г.зн. значэнне «здабытку» залежыць ад парадку множнікаў).

 Аксіёмы кальца 

Мноства  з аперацыямі складання ("  ") і множання ("  ") з'яўляецца кальцом, калі і толькі калі яно разам з аперацыямі задавальняе сістэму аксіём, якія называюцца аксіёмамі кальца:
 Уласцівасці складання:
  (спалучальны закон)
  (перамяшчальны закон)
 Існуе элемент  такі, што  (нейтральны элемент)
 Для кожнага  існуе адваротны адносна складання элемент , такі што  (процілеглы элемент)
 Узгодненасць (або дапасаванасць) складання і множання:
  (левы размеркавальны закон)
  (правы размеркавальны закон)

Заўвага: дзеля зручнасці, у фармулёўках аксіём прапушчаны словы ўзору "для любых  ".

 Літаратура 


Катэгорыя:Тэорыя колцаў
Катэгорыя:Абстрактная алгебра