Спіс лімітаў

Старонка змяшчае спіс лімітаў для асноўных функцый, а таксама правілы вылічэння лімітаў.

 Агульныя правілы 

 Ліміт непарыўнай функцыі 

Калі функцыя  непарыўная ў пункце , то яе ліміт пры імкненні  да  роўны значэнню функцыі ў гэтым пункце:


 Арыфметычныя правілы для лімітаў 

Няхай існуюць ліміты  і . Тады

 ліміт сумы роўны суме лімітаў


 ліміт рознасці роўны рознасці лімітаў


 ліміт здабытку роўны здабытку лімітаў


Няхай  Тады
 ліміт дзелі роўны дзелі лімітаў


Няхай  Тады
 ліміт ступені існуе і роўны


Заўвага. Усе гэтыя правілы праўдзяцца і для лімітаў паслядоўнасцей. Паслядоўнасць можна разглядаць як адмысловы выпадак функцыі, якая вызначана толькі для натуральных значэнняў сваёй зменнай. У гэтым выпадку граніцу паслядоўнасці можна вытлумачыць як граніцу такой функцыі пры імкненні зменнай (натуральнага ліку) да бясконцасці.

 Правіла Лапіталя 

Калі  і  і існуе ліміт дзелі іх вытворных

то


 Ліміты рацыянальных выразаў 



 «Грунтоўныя» ліміты 

Словазлучэнне грунтоўныя лімітыКурс вышэйшай матэматыкі : Алгебра і геаметрыя. Аналіз функцый адной зменнай: Падручнік/ В.М.Русак, Л.І.Шлома, В.К.Ахраменка, А.П.Крачкоўскі. - Мінск, 1994. С. 304.Віктар Ахраменка. Курс лекцый па матэматычным аналізе для студэнтаў радыёфізічнага факультэта. () замацавалася ў савецкіх і цяперашніх расійскіх і беларускіх падручніках па матэматычным аналізе як назва двух важных лімітаў, якія маюць шматлікія дастасаванні ў матэматычным аналізе.

 Першы грунтоўны ліміт ()


 Другі грунтоўны ліміт ()


Заўвага 1. Ліміты многіх выразаў з трыганаметрычнымі функцыямі вынікаюць з першага грунтоўнага ліміту.

Заўвага 2. Ліміты выразаў з лагарыфмамі і ступенна-паказнікавых выразаў часта можна атрымаць як вынік другога грунтоўнага ліміту.

 Трыганаметрычныя выразы 

















 Ступенна-паказнікавыя і лагарыфмічныя выразы 













 Ліміты і вядомыя матэматычныя сталыя 



  (формула Уоліса)



 Ліміты-параўнанні функцый 

У гэтым падраздзеле прыведзены ліміты выразаў, якія ўяўляюць сабою дзелі дзвюх функцый або выразы ўзору «функцыя ў ступені функцыя». Гэтыя ліміты адметныя тым, што яны паказваюць, якая з функцый хутчэй набліжаецца да нуля (ці бясконцасці).

















 Азначэнні функцый праз ліміты 

 Паказнікавая функцыя 

Для любога камплекснага  паказнікавую функцыю можна вызначыць як




 Гама-функцыя Ойлера 

 Для любых камплексных  праўдзіцца формула Ойлера-Гауса


 Дзэта-функцыя Рымана 

 Дзэта-функцыя Рымана на камплекснай плоскасці пры  вызначаецца як ліміт


Катэгорыя:Ліміты