Мнагачлен

Мнагачле́н, або мнагаскла́д, паліном — алгебраічная сума канечнай колькасці адначленаўБЭ ў 18 т. Т. 10. Мн., 2000., г.зн. складнікаў выгляду

дзе  — пэўны лік (каэфіцыент),  — зменныя,  — цэлыя неадмоўныя лікі.

Мнагачлен ступені  ад адной зменнай  мае выгляд:

дзе  — сталыя (пастаянныя) лікі, якія называюцца каэфіцыентамі мнагачлена.

Інакш кажучы, мнагачлен — гэта матэматычны выраз канечнай даўжыні, збудаваны са зменных і каэфіцыентаў толькі шляхам складання, адымання, множання і ўзвядзення ў неадмоўную цэлую ступень (г.зн. могуць прысутнічаць натуральныя ступені зменных і нулявая ступень).
Аднак дзяленне сталых адна на адну можа прысутнічаць, бо па сутнасці дзяленне можна прадставіць праз множанне. Напрыклад,  − мнагачлен, а  − не, таму што ягоны другі складнік () утрымлівае дзяленне на зменную , і да таго ж, ягоны трэці складнік утрымлівае няцэлую ступень зменнай.

Часцей за ўсё, у выпадках, калі нейкая велічыня можа быць запісана ў выглядзе мнагачлена ад нейкага параметра, у якасці прыметніка ўжываецца слова «полінаміяльны», вытворнае ад запазычанага з лацінскай мовы слова «паліном» (); напрыклад, паняцце полінаміяльны час, што ўжываецца ў тэорыі складанасці вылічэнняў.

Слова «паліном» () было ўтворана ад грэчаскага «poly», «многа» і сярэдневяковага лацінскага «binomium», «двухчлен». Само гэта слова ўвёў у латынь Франсуа Віет |.

Мнагачлены сустракаюцца ў шматлікіх галінах матэматыкі і навукі. Напрыклад, яны выкарыстоўваюцца для пабудовы сістэм алгебраічных ураўненняў, якія апісваюць самыя разнастайныя працэсы і з'явы, ад найпрасцейшых да найскладанейшых. Імі карыстаюцца пры вызначэнні полінаміяльных функцый, якія шырока ўжываюцца ў навуцы, пачынаючы з прыродазнаўчых навук аж да эканомікі і сацыяльных навук. Мнагачлены выкарыстоўваюцца ў матэматычным і лікавым аналізе для прыбліжэння іншых функцый. У вышэйшай матэматыцы мнагачлены выкарыстоўваюцца пры пабудове полінаміяльных колцаў, якія з'яўляюцца адным з найважнейшых паняццяў у абстрактнай алгебры і алгебраічнай геаметрыі.

 Віды 

Мнагачлен (мнагасклад) ад адной зменнай − гэта выраз выгляду

дзе  − сталыя каэфіцыенты, а  − зменная.

Прыклад: 

Мнагачлен ад  зменных − канечная сумма, пабудаваная са складнікаў выгляду

дзе  − сталыя каэфіцыенты,  − зменныя,
 − сталыя неадмоўныя лікі.

Прыклад:  − мнагачлен ад двух зменных.

Адначлен − найпрасцейшы мнагачлен, які ўтрымлівае толькі адзін складнік 

 Характарыстыкі 

Ступенню адначлена , дзе , называецца велічыня
.

У выпадку  (г.зн. ) зручна лічыць, што ступень роўная адмоўнай бесканечнасці: 

Прыклад: 

Ступенню мнагачлена называецца найбольшая са ступеней яго складнікаў.

Прыклад: 

 Простыя ўласцівасці 

 Сума мнагачленаў ёсць мнагачлен.
 Здабытак мнагачленаў ёсць мнагачлен.
 Вытворная мнагачлена  роўная мнагачлену .

Каб вылічыць значэнне мнагачлена ў пункце, трэба прысвоіць зменным значэнні адпаведных каардынат гэтага пункта і выканаць патрэбныя множанні і складанні. Звычайна, у выпадку мнагачленаў ад адной зменнай вылічэнні выконваюцца па найбольш дзейснай схеме Горнера:


 Прыклады графікаў 
Для мнагачленаў ад адной рэчаіснай зменнай можна нарысаваць графік на плоскасці.
 Графік нулявога мнагачлена

 вось .

 Графік мнагачлена 0-й ступені (сталай)
 , дзе ,
 лінія, паралельная восі , якая перасякае вось  у пункце .

 Графік мнагачлена 1-й ступені (або лінейнай функцыі)
  , дзе ,
 нахіленая прамая, што перасякае вось  у пункце  і мае вуглавы каэфіцыент .

 Графік мнагачлена 2-й ступені (квадратнага трохчлена)
 , дзе 
 парабала.

 Графік мнагачлена 3-й ступені (кубічнага мнагачлена)
 , дзе 
 кубічная крывая.

 Графікі мнагачленаў 2-й ці большай ступені
  , дзе  і 
 з'яўляюцца непарыўнымі нелінейнымі крывымі.

 Гл. таксама 
 Дыскрымінант

 Зноскі 

 Літаратура