Лагарыфм

Лагары́фм ліку  па аснове  (ад  — «слова», «дачыненне» і  — «лік»Краткий словарь иностранных слов. М.: Русский язык, 1984.) — такое значэнне ступені, у якую трэба ўзвесці лік , т. зв. асно́ву, каб атрымаць значэнне .
Запіс  чытаецца як «лагарыфм  па аснове ».

З азначэння вынікае, што знаходжанне  раўназначнае рашэнню ўраўнення

Напрыклад, лагарыфм 1000 па аснове 10 роўны 3, бо 1000 ёсць 10 у ступені 3: 1000 = 10·10·10 = 10³.

Вылічэнне лагарыфма называецца лагарыфмава́ннем.

Лагарыфмы маюць цікавыя ўласцівасці, якія дазваляюць спрашчаць працаёмкія вылічэнні. Пры пераходзе «ў свет лагарыфмаў» множанне замяняецца на значна прасцейшае складанне, дзяленне — на адыманне, а ўзвядзенне ў ступень і здабыванне кораня ператвараюцца адпаведна ў множанне і дзяленне на паказчык ступені. Лаплас казаў, што вынаходніцтва лагарыфмаў, «скараціўшы працу астранома, падвоіла яго жыццё»Швецов К. И., Бевз Г. П. Справочник по элементарной математике. Арифметика, алгебра. Киев: Наукова Думка, 1966. § 40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке..
У прыкладаннях аснова  лагарыфма і лагарыфмуемы лік (аргумент лагарыфма) звычайна рэчаісныя. Тым не менш, існуе шэраг праблем (у тым ліку і прыкладных), дзе карысным аказваецца так званы камплексны лагарыфм.

Азначэнне лагарыфмаў і табліцу іх значэнняў (для трыганаметрычных функцый) упершыню надрукаваў у 1614 годзе шатландскі матэматык Джон Непер. Лагарыфмічныя табліцы, пашыраныя і ўдакладненыя іншымі матэматыкамі, паўсюдна выкарыстоўваліся ў навуковых і інжынерных разліках больш за тры стагоддзі, пакуль не з’явіліся электронныя вылічальныя машыны.

З цягам часу высветлілася, што лагарыфмічная функцыя  незаменная і ў шмат якіх іншых галінах чалавечай дзейнасці: развязанні дыферэнцыяльных ураўненняў, вымярэнні фізічных велічынь (напрыклад, частаты і магутнасці гуку), прыбліжэнні розных залежнасцей, тэорыі інфармацыі, тэорыі імавернасцей і г. д. Гэта функцыя ўваходзіць у лік элементарных, лагарыфм адваротны да паказчыкавай функцыі. Часцей за ўсё выкарыстоўваюцца рэчаісныя лагарыфмы па аснове e (натуральны), 10 (дзесятковы) і 2 (двайковы).

 Рэчаісны лагарыфм 
Лагарыфм  па азначэнню ёсць рашэнне ўраўнення

Выпадак  не вельмі цікавы, бо пры  гэта ўраўненне не мае рашэння, а пры  любы лік з’яўляецца рашэннем; у абодвух выпадках лагарыфм не вызначаны. Гэтак жа прыходзім да высновы, што лагарыфм не існуе пры нулявым і адмоўным ; акрамя таго, значэнне паказчыкавай функцыі  заўсёды дадатнае, таму варта выключыць і выпадак адмоўнага . Канчаткова атрымліваем:

Як вядома, паказчыкавая функцыя  (пры выкананні вышэйзгаданых умоў на ) вызначана, манатонная і кожнае значэнне прымае толькі адзін раз, прычым абсяг яе значэнняў утрымлівае ўсе дадатныя рэчаісныя лікіАлгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 229.. Адсюль вынікае, што значэнне рэчаіснага лагарыфма дадатнага ліку заўсёды вызначана і адзінае.

Найбольш шырокі ўжытак і шматлікія дастасаванні маюць наступныя віды лагарыфмаў:
 Натуральны: , аснова: лік Ойлера .
 Дзесятковы: , аснова: лік 10.
 Двайковы:  або , аснова: 2. Яны ўжываюцца, напрыклад, у тэорыі інфармацыі, інфарматыцы, у многіх раздзелах дыскрэтнай матэматыкі.

 Уласцівасці 

 Асноўная лагарыфмічная тоеснасць 
З азначэння лагарыфма вынікае асноўная лагарыфмічная тоеснасцьАлгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.:




Вывад: з роўнасці двух рэчаісных лагарыфмаў вынікае роўнасць лагарыфмаваных выразаў. Сапраўды, калі , то , адкуль, адпаведна асноўнай тоеснасці: 

 Лагарыфмы адзінкі і ліку, роўнага аснове 




 Арыфметычныя ўласцівасці лагарыфма 

 Лагарыфм здабытку:


 Лагарыфм дзелі:


 Лагарыфм ступені:


 Лагарыфм кораня:


 Калі аснова лагарыфма ёсць ступень некаторага выразу:

Доказ: Гэта тоеснасць атрымліваецца адразу, калі ад лагарыфма па аснове  перайсці да лагарыфма па аснове .

Вынікі:



 Яшчэ адна карысная тоеснасць:

Доказ: Каб даказаць яе, заўважым, што лагарыфмы ў левай і правай частках супадаюць па аснове , а тады, згодна з вынікам з асноўнай лагарыфмічнай тоеснасці, левая і правая часткі тоесна роўныя.

Існуе відавочнае абагульненне прыведзеных формул:


Формула для лагарыфма здабытку без цяжкасцей абагульняецца на адвольную колькасць сумножнікаў:


Апісанымі ўласцівасцямі і тлумачыцца, чаму выкарыстанне лагарыфмаў (да вынаходніцтва калькулятараў) істотна палягчала вылічэнні. Напрыклад, множанне шматзначных лікаў  з дапамогай лагарыфмічных табліц адбывалася па наступнаму алгарытму:
 Знайсці ў табліцах лагарыфмы лікаў .
 Скласці гэтыя лагарыфмы, атрымаўшы такім чынам (згодна з первай уласцівасцю) лагарыфм здабытку .
 Па лагарыфму здабытку знайсці ў табліцах сам здабытак.
Дзяленне, якое без дапамогі лагарыфмаў істотна больш працаёмкае чым множанне, выконвалася па таму ж алгарытму, толькі з заменай складання лагарыфмаў на адыманне. Гэтак жа спрашчаліся ўзвядзенне ў ступень і здабыванне кораня.

 Замена асновы лагарыфма 
 Ад лагарыфма  па аснове  можна перайсці да лагарыфма па другой аснове :

 Вынік: перастаноўка асновы і лагарыфмуемага выразу:


 Лагарыфмічная функцыя 

 Асноўныя уласцівасці 

Калі разглядаць лагарыфмаваны лік як зменную, мы атрымаем лагарыфмічную функцыю . Яна вызначана пры .
 Абсяг вызначэння: .
 Абсяг значэнняў: .
Гэта крывая часта называецца лагарыфмікай.

 З формулы замены асновы лагарыфма відаць, што графікі лагарыфмічных функцый з рознымі асновамі, большымі за адзінку, адрозніваюцца адзін ад аднаго толькі расцяжэннем уздоўж восі :

 Графікі для асноў  і  сіметрычныя адносна восі x.
 З азначэння вынікае, што лагарыфмічная функцыя  адваротная да паказнікавай функцыі , таму іх графікі сіметрычныя адносна бісектрысы першага і трэцяга квадрантаў (гл. рысунак). Як і паказнікавая, лагарыфмічная функцыя трансцэндэнтная.
 Лагарыфмічная функцыя строга нарастае пры  (гл. графікі) і строга спадае пры . Графік любой лагарыфмічнай функцыі праходзіць праз кропку . Функцыя непарыўная і бесканечна дыферэнцавальная ўсюды на сваім абсягу вызначэння.
 Вось ардынат  з’яўляецца вертыкальнаю асімптотай для лагарыфмічнай функцыі, бо:
  пры 
  пры 

 Вытворная лагарыфмічнай функцыі:


 Першаісная лагарыфмічнай функцыі:

дзе  — адвольная сталая.

 З пункту гледжання алгебры, лагарыфмічная функцыя ажыццяўляе (адзіны магчымы) ізамарфізм групы адносна множання дадатных рэчаісных лікаў і групы адносна складання ўсіх рэчаісных лікаў. Іншымі словамі, лагарыфмічная функцыя з’яўляецца адзіным (вызначаным для ўсіх дадатных значэнняў аргумента) непарыўным рашэннем функцыянальнага ўраўнення:


 Натуральны лагарыфм 

Прыведзеная вышэй агульная формула вытворнай выглядае найпрасцей у выпадку натуральнага лагарыфма:

З гэтай прычыны ў матэматычных даследаваннях пераважна выкарыстоўваюць іменна натуральныя лагарыфмы. Яны нярэдка з’яўляюцца пры развязанні дыферэнцыяльных ураўненняў, даследаванні статыстычных залежнасцей (напрыклад, размеркавання простых лікаў) і пад.


Праінтэграваўшы формулу для вытворнай у прамежку ад  да , атрымліваем:

Інакш кажучы, натуральны лагарыфм роўны плошчы пад гіпербалай  на названым прамежку x.

Нявызначаны інтэграл ад натуральнага лагарыфма лёгка знайсці інтэграваннем па частках:


У матэматычным аналізе і тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў вялікую ролю адыгрывае паняцце лагарыфмічнай вытворнай функцыі :


 Раскладанне ў рад і вылічэнне натуральнага лагарыфма 
Раскладзём натуральны лагарыфм у рад Тэйлара каля адзінкі:

Гэты рад збягаецца пры 
У прыватнасці:

Формула непрыдатная для практычнага вылічэння лагарыфмаў з-за таго, што рад збягаецца вельмі павольна і толькі на вузкім прамежку. Аднак нескладана атрымаць з яе зручнейшую формулу:

Гэты рад збягаецца хутчэй, і акрамя таго, цяпер левая частка формулы можа прадставіць лагарыфм любога дадатнага ліку.

Карыстацца апошняй формулай трэба так.
Няхай  — лік, лагарыфм якога трэба вылічыць.

1) З ураўнення

знаходзім :

2) Вылічанае значэнне  падстаўляем у рад і атрымліваем значэнне .

Дадзены алгарытм ужо прыдатны да выкарыстання на практыцы пры вылічэнні значэнняў лагарыфмаў, аднак ён не найлепшы з пункту гледжання працаёмкасці. Існуюць больш дзейсныя алгарытмы.

 Лімітавыя суадносіны 
Прывядзём некалькі карысных лімітаў, якія ўтрымліваюць лагарыфмы.






 Іншыя ўласцівасці 
 З тэарэмы Гельфонда вынікае, што калі  — алгебраічныя лікі (), то  або рацыянальны, або трансцэндэнтны. Пры гэтым лагарыфм рацыянальны і роўны  толькі ў тым выпадку, калі лікі  суадносяцца як .

 Сума  (частковая сума гарманічнага рада) пры вялікіх  паводзіць сябе як , дзе  — сталая Ойлера — Маскероні.

 Камплексны лагарыфм 

Вызначэнне і ўласцівасці

Для камплексных лікаў лагарыфм вызначаецца гэтак жа, як рэчаісны. На практыцы выкарыстоўваецца амаль выключна натуральны камплексны лагарыфм, які пазначаецца  і вызначаецца як рашэнне  ураўнення  (іншыя, эквівалентныя дадзеным, варыянты вызначэння прыведзены ніжэй).

У полі камплексных лікаў рашэнне гэтага ўраўнення, у адрозненне ад рэчаіснага выпадку, не вызначана адназначна. Напрыклад, згодна з тоеснасцю Эйлера, ; аднак таксама . Гэта звязана з тым, што паказальная функцыя ўздоўж ўяўнай восі з’яўляецца перыядычнай (з перыядам ), і адно і тое ж значэнне функцыя прымае бясконца шмат разоў. Такім чынам, комплексная лагарыфмічная функцыя  з’яўляецца шматзначнай.

Камплексны нуль не мае лагарыфма, паколькі камплексная экспанента не прыймае нулявога значэння. Ненулявое  можна прадставіць у паказальнай форме:



Тады  знаходзіцца па формуле:


Тут  — рэчаісны лагарыфм,  — адвольны цэлы лік. Адсюль выцякае:

Камплексны лагарыфм  існуе для любога , і яго рэчаісная частка вызначаецца адназначна, у той час як уяўная частка мае бясконцае мноства значэнняў, якія адрозніваюцца на цэлае кратнае .


З формулы відаць, што ў аднаго і толькі аднаго са значэнняў уяўная частка знаходзіцца ў інтэрвале . Гэта значэнне называецца галоўным значэннем комплекснага натуральнага лагарыфма. Адпаведная (ужо адназначная) функцыя называецца галоўнай галіной лагарыфма і пазначаецца . Часам праз  таксама пазначаюць значэнне лагарыфма, якое ляжыць не на галоўнай галіне. Калі  — рэчаісны лік, то галоўнае значэнне яго лагарыфма супадае з звычайным рэчаісным лагарыфмам.

З прыведзенай формулы таксама вынікае, што рэчаісная частка лагарыфма вызначаецца наступным чынам праз кампаненты аргумента:



На малюнку паказана, што рэчаісная частка як функцыя кампанентаў цэнтральна-сіметрычна і залежыць толькі ад адлегласці да пачатку каардынатаў. Яна атрымліваецца кручэннем графіка рэчаіснага лагарыфма вакол вертыкальнай восі. З набліжэннем да нуля функцыя імкнецца да 

 Прыклады значэнняў комплекснага лагарыфма 

Прывядзем галоўнае значэнне лагарыфма () і агульны яго выраз () для некаторых аргументаў:





Варта быць асцярожным пры пераўтварэннях комплексных лагарыфмаў, прымаючы пад увагу, што яны шматзначныя, і таму з роўнасці лагарыфмаў якіх-небудзь выразаў не варта роўнасць гэтых выразаў. Прыклад памылковай развагі:

  — відавочная памылка.

Адзначым, што злева варта галоўнае значэнне лагарыфма, а справа — значэнне з ніжэйшай галіны (). Прычына памылкі — неасцярожнае выкарыстанне ўласцівасці , якая, наогул кажучы, мае на ўвазе ў комплексным выпадку ўвесь бясконцы набор значэнняў лагарыфма, а не толькі галоўнае значэнне.

 Камплексная лагарыфмічная функцыя і рыманавая паверхня 


У камплексным аналізе замест разгляду мнагазначных функцый на камплекснай плоскасці прынята іншае рашэнне: разглядаць функцыю як адназначную, але вызначаную не на плоскасці, а на больш складанай разнастайнасці, якоая называецца рыманавай паверхняй. Камплексная лагарыфмічная функцыя таксама адносіцца да гэтай катэгорыі: яе вобраз складаецца з бясконцага ліку галін, закручаных ў выглядзе спіралі. Гэтая паверхню бесперапынная і аднасувязная. Адзіны нуль у функцыі (першага парадку) атрымліваецца пры . Асаблівыя пункты:  і  (пункты разгалінавання бясконцага парадку).

У сілу аднасувязнасці рыманавая паверхня лагарыфма з’яўляецца універсальнай накрываючай для камплекснай плоскасці без пункту .

 Аналітычны працяг 

Лагарыфм камплекснага ліку таксама можа быць вызначаны як аналітычны працяг рэчаіснага лагарыфма на ўсю камплексную плоскасць. Хай крывая  пачынаецца ў адзінцы, не праходзіць праз нуль і не перасякае адмоўную частку рэчаіснай восі. Тады галоўнае значэнне лагарыфма ў канчатковым пункце  крывой  можна вызначыць па формуле:



Калі  — простая крывая (без самаперасячэнняў), то для лікаў, якія ляжаць на ёй, лагарыфмічныя тоеснасці можна ўжываць без боязі, напрыклад:



Галоўная галіна лагарыфмічнай функцыі бесперапынная і дыферэнцыруема на ўсёй камплекснай плоскасці, акрамя адмоўнай часткі рэчаіснай восі, на якой уяўная частка скокам мяняецца на . Але гэты факт ёсць следства штучнага абмежавання ўяўнай часткі галоўнага значэння інтэрвалам . Калі разгледзець усе галіны функцыі, то бесперапыннасць мае месца ва ўсіх пунктах, акрамя нуля, дзе функцыя не вызначана. Калі дазволіць крывой  перасякаць адмоўную частка рэчаіснай восі, то першае такое скрыжаванне пераносіць вынік з галіны галоўнага значэння на суседнюю галіну, а кожнае наступнае скрыжаванне выклікае аналагічнае зрушэнне па галінах лагарыфмічнай функцыі.

З формулы аналітычнага працягу вынікае, што на любой галіне лагарыфма:

Для любой акружнасці , якая ахоплівае пункт :


Інтэграл бярэцца ў станоўчым напрамку (супраць гадзіннікавай стрэлкі). Гэта тоеснасць ляжыць у аснове тэорыі вылікаў.

Можна таксама вызначыць аналітычнае працяг комплекснага лагарыфма з дапамогай вышэйпрыведзеных радоў: раду 1 або раду 2, — абагульненых на выпадак камплекснага аргументу. Аднак з выгляду гэтых радоў вынікае, што ў адзінцы сума раду роўная нулю, шэта значыць рад адносіцца толькі да галоўнай галіны шматзначнай функцыі камплекснага лагарыфма. Радыус збежнасці абодвух радоў роўны 1.

 Сувязь са зваротнымі трыганаметрычнымі і гіпербалічнымі функцыямі 

Паколькі камплексныя трыганаметрычныя функцыі звязаныя з экспанентай (формула Эйлера), то камплексны лагарыфм як зваротная да экспаненты функцыя звязаны са зваротнымі трыганаметрычнымі функцыямі:





Гіпербалічныя функцыі на камплекснай плоскасці можна разглядаць як трыганаметрычныя функцыі ўяўнага аргументу, таму і тут мае месца сувязь з лагарыфмам:
  — зваротны гіпербалічны сінус
  — зваротны гіпербалічны косінус
  — зваротны гіпербалічны тангенс
  — зваротны гіпербалічны катангенс

 Ужыванне на практыцы 

 Табліцы лагарыфмаў 

З уласцівасцей лагарыфма вынікае, што замест працаёмкага множання шматзначных лікаў дастаткова адшукаць (па табліцах) і скласці іхнія лагарыфмы, а потым па тых жа табліцах («Антылагарыфмы») выканаць ступеняванне, г.зн. знайсці значэнне па яго лагарыфму. Выкананне дзялення адрозніваецца толькі тым, што лагарыфмы адымаюцца.

Першыя табліцы лагарыфмаў выдаў Джон Непер (1614), і яны ўтрымівалі толькі лагарыфмы трыганаметрычных функцый, прычым з памылкамі. Незалежна ад яго свае табліцы надрукаваў Ёст Бюргі, друг Кеплера (1620). У 1617 годзе оксфардскі прафесар матэматыкі Генры Брыгс выдаў табліцы, якія ўжо ўключалі дзесятковыя лагарыфмы лікаў ад 1 да 1000, з 8 (пазней — з 14) знакамі. Але і ў табліцах Брыгса выявіліся памылкі. Першае безпамылковае выданне на аснове табліц Георга Вегі (1783) з’явілася толькі ў 1857 годзе ў Берліне (табліцы Брэмікера, Carl Bremiker).

У Расіі першыя табліцы лагарыфмаў былі выдадзены ў 1703 годзе пры ўдзеле Л. П. Магніцкага. У СССР было выдадзена некалькі зборнікаў табліц лагарыфмаў:
 Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Табліцы Брадзіса, выдаваныя з 1921 года, выкарыстоўваліся ў навучальных установах і ў інжынерных разліках, якія не патрабавалі вялікай дакладнасці. Яны ўтрымлівалі мантысы дзесятковых лагарыфмаў і трыганаметрычных функцый, натуральныя лагарыфмы і некаторыя іншыя карысныя разліковыя прылады.
 Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Адмысловы зборнік для дакладных вылічэнняў.
 Бремикер К. Логарифмо-тригонометрические таблицы. М.: Наука, 1962. 664 с. Класічныя шасцізначныя табліцы, зручныя для разлікаў з трыганаметрычнымі функцыямі.
 Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6-е издание, М.: Наука, 1972.
 Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.
 Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. М., 1952.

 Лагарыфмічная лінейка 

У 1620-я гады Эдмунд Уінгейт і Уільям Оўтрэд вынайшлі першую лагарыфмічную лінейку, якая да з’яўлення кішэнных калькулятараў была незаменнай вылічальнай прыладай інжынера. З дапамогай гэтай невялічкай прылады можна было хутка выконваць усе алгебраічныя аперацыі, у тым ліку з трыганаметрычнымі функцыямі. Дакладнасць разлікаў — каля 3 значных лічб.

 Гл. таксама 
 Камплексны лік
 Паказнікавая функцыя
 Камплексны лагарыфм
 Ступеняванне
 Лагарыфмічная лінейка
 Сістэмы злічэння
 Спіс інтэгралаў ад лагарыфмічных функцый

 Крыніцы 

 Літаратура 






 Спасылкі 

 Colin Byfleet, Educational video on logarithms.
 Edward Wright, Translation of Napier’s work on logarithms .

Катэгорыя:Элементарныя функцыі
Катэгорыя:Вікіпедыя:Істотныя артыкулы