Просты лік

Просты лік — натуральны лік, які мае роўна 2 дзельнікі: самога сябе і 1. Лікі, што маюць больш за 2 дзельнікі, называюцца састаўнымі. Паводле асноўнай тэарэмы арыфметыкі, кожны лік, большы за 1, можна прадставіць у выглядзе здабытку простых лікаў, прытым толькі адным спосабам (не ўлічваючы перастаноўкі множнікаў).

 Паслядоўнасць простых лікаў 
 Пачатак паслядоўнасці простых лікаў: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199…

 Простых лікаў бесканечна многа (даказаў Эўклід: хай колькасць простых лікаў канечная, але тады ніводзін з іх не дзеліць іх здабытак, павялічаны на адзінку, а гэта супярэчнасць).

 Леанард Ойлер паказаў, што сума лікаў, адваротных простым, разбягаецца.

 Для кожнага натуральнага  ёсць просты лік , не меншы за  і не большы за  (пастулат Бертрана).

 У арыфметычнай прагрэсіі , , , ,…, дзе  і  ўзаемна простыя, існуе бесканечна многа простых лікаў (тэарэма Дзірыхле).

 Найбольшым вядомым зараз простым лікам з’яўляецца лік Мерсена , у яго дзесятковым запісе  лічбаў.

 З мноства простых лікаў можна выдзеліць адвольна доўгую канечную паслядоўнасць простых лікаў, якая будзе адрэзкам арыфметычнай прагрэсіі. Гэта сцвярджэнне вядома пад назвай тэарэма Грына — Тао.

 Размеркаванне простых лікаў 

Для функцыі размеркавання простых лікаў  (якую вызначаюць як колькасць простых лікаў, не большых за ) справядліва асімптатычная роўнасць:


Гэта азначае, што колькасць простых лікаў, меншых за , мае парадак .

 Тэсты на простасць 
Самы просты спосаб пабудовы спіса простых лікаў да пэўнага значэння — рэшата Эратасфена. Для праверкі, ці з’яўляецца пэўны лік простым, доўгі час на практыцы ўжываліся толькі імавернасныя алгарытмы (напрыклад, тэст Мілера-Рабіна). У 2002 годзе быў знойдзены дэтэрмінаваны алгарытм полінаміяльнай складанасці. Для больш вузкіх класаў лікаў існуюць адмысловыя тэсты на простасць (напрыклад, тэст Люка-Лемера для лікаў Мерсена).

 Простыя лікі ў тэорыі груп 
 Колца рэштаў  з’яўляецца полем тады і толькі тады, калі  — просты лік.
 Характарыстыка канечнага поля — альбо 0, альбо просты лік.
 Калі  — канечная група з  элементаў, то яна мае элемент парадку .
 Калі  дзеліць парадак групы , то  мае  падгруп парадку .

 Неразвязаныя пытанні пра простыя лікі 
 Гіпотэза Гальдбаха: ці можна кожны лік, большы за 2, раскласці ў суму двух простых?
 Праблема простых лікаў-блізнят: колькі існуе пар простых лікаў, рознасць між якімі роўная 2?
 Ці бесканечна многа простых лікаў Фібаначы? Простых лікаў Ферма? Простых лікаў выгляду ?
 Ці заўсёды знойдзецца просты лік паміж  і ?

 Практычнае выкарыстанне 
На практыцы простыя лікі ўжываюцца ў крыптасістэмах з адкрытым ключом, у генератарах псеўдавыпадковых паслядоўнасцей.

 Простыя лікі Сафі Жэрмен 

Просты лік  называецца , калі лік  таксама з’яўляецца простым. Гэтыя лікі прыцягнулі ўвагу, таму што Сафі Жэрмен (Sophie Germain, французская вучоная-матэматык, 1 красавіка 1776 — 27 чэрвеня 1831) даказала, што апошняя тэарэма Ферма выконваецца для такіх лікаў.

Першыя простыя лікі Сафі Жэрмен:
 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233,…

Паслядоўнасць  простых лікаў Сафі Жэрмен называецца ланцугом Канігана (Cunningham chain) першага парадку. Кожны элемент гэтай паслядоўнасці (акрамя першага і апошняга) з’яўляецца адначасова простым лікам Сафі Жэрмен і бяспечным простым (), гэта просты лік выгляду , дзе  таксама просты).

 Спасылкі 
 The Prime Pages — збор найбольшых вядомых простых лікаў
 PrimeGrid prime lists  — усе простыя лікі, знойдзеныя ў рамках праекта PrimeGrid 
 Геаметрыя простых і дасканалых лікаў
 Geometrical connection between natural numbers and their factors

Катэгорыя:Тэорыя лікаў
Катэгорыя:Цэлалікавыя паслядоўнасці
Катэгорыя:Простыя лікі