Паверхня

Паверхня — традыцыйная назва для двухмернай мнагастайнасці ў прасторы.

 Спосабы задання 

Паверхні вызначаецца як мноства пунктаў, каардынаты якіх задавальняюць вызначанаму віду ўраўненняў:


Калі функцыя  непарыўная ў некаторым пункце і мае ў ёй непарыўныя частковыя вытворныя, з якіх хоць адна не абарачаецца ў нуль, то ў наваколлі гэтага пункта паверхня, зададзеная ўраўненнем (1), будзе правільнай паверхняй.

Апроч азначанага вышэй няяўнага спосабу задання паверхня можа быць вызначана яўна, калі адну з пераменных, напрыклад z, можна выразіць праз астатнія:


Таксама існуе параметрычны спосаб задання. У гэтым выпадку паверхня вызначаецца сістэмай ураўненняў:


 Паняцце простай паверхні 

Інтуітыўна простую паверхню можна прадставіць як кавалак плоскасці, падвергнуты непарыўным дэфармацыям (расцяжэнням, сцісканням і выгінанням).

Стражэй, простай паверхняй называецца вобраз гамеаморфнага адлюстравання (гэта значыць узаемна адназначнага і ўзаемна непарыўнага адлюстравання) унутранасці адзінкавага квадрата. Гэтае азначэнне можна запісаць у аналітычным выглядзе.

Хай на плоскасці з прамавугольнай сістэмай каардынат u і v зададзены квадрат, каардынаты ўнутраных пунктаў якога задавальняюць няроўнасцям 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гамеаморфная выява квадрата ў прасторы з прамавугольнай сістэмай каардынат х, у, z задаецца пры дапамозе формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрычнае заданне паверхні). Пры гэтым ад функцый x(u, v), y(u, v) і z(u, v) патрабуецца, каб яны былі непарыўнымі і каб для розных пунктаў (u, v) і (u', v') былі рознымі адпаведныя пункты (x, у, z) і (x', у', z').

Прыкладам простай паверхні з'яўляецца паўсфера. Уся ж сфера не з'яўляецца простай паверхняй. Гэта выклікае неабходнасць далейшага абагульнення паняцця паверхні.

Падмноства прасторы, у кожнага пункта якога ёсць наваколле, якое з'яўляецца простай паверхняй, называецца правільнай паверхняй.

 Абагульненне 

Пра мнагамерныя аналагі тэорыі гл.:
 Гіперпаверхня
 Мнагастайнасць
 Падмнагастайнасць
 Тэнзарны аналіз

Катэгорыя:Дыферэнцыяльная геаметрыя паверхняў
Катэгорыя:Аналітычная геаметрыя
Катэгорыя:Тапалогія
*
Катэгорыя:Маламерная тапалогія