Табліца вытворных

Знайсці вытворную функцыі можна некалькімі шляхамі: па азначэнні, па табліцы (папярэдне вылічаных вытворных) і з дапамогай правіл дыферэнцавання. Звычайна гэтыя спосабы ўжываюцца ў спалучэнні.

Гэты артыкул змяшчае спіс вытворных найпрасцейшых элементарных функцый, а таксама спіс правіл дыферэнцавання функцый.

 Вытворныя найпрасцейшых функцый 

 Вытворныя ступенных функцый і мнагачленаў 

 Ступеневае правіла: няхай , тады для любога рэчаіснага паказніка  праўдзіцца роўнасць 

 Адмысловым выпадкам ступеневага правіла ёсць так званае правіла сталай:
 калі функцыя  ёсць сталаю функцыяй (г. зн. для любых  значэнне функцыі аднолькавае і роўнае , дзе  некаторы нязменны лік), то яе вытворная  ёсць тоесным нулём:

 Дзякуючы лінейнасці дыферэнцавання, карыстаючыся ступеневым правілам і правілам сталай можна знайсці вытворную любога мнагасклада:

 Вытворная модуля

 Вытворныя паказнікавых і лагарыфмічных функцый 

 Вытворная паказнікавай функцыі: 

 Вытворная паказнікавай функцыі з асновай : 

 Вытворная натуральнага лагарыфма:

 Вытворная лагарыфма з асноваю :


 Табліца вытворных 
 Вытворныя трыганаметрычных функцый 

 Вытворныя гіпербалічных функцый 

 Правілы дыферэнцавання 

 Вытворная сумы і рознасці (лінейнасць дыферэнцавання) 

Для любых дыферэнцавальных функцый  і  і любых сталых  і   вытворная функцыі  па зменнай  раўняецца

У Ляйбніцавых абазначэннях гэта можна запісаць як:

Адмысловыя выпадкі:
 Вытворная здабытку функцыі і сталай велічыні:

 Вытворная суммы:

 Вытворная рознасці:

 Вытворная здабытку (правіла Ляйбніца)

Вытворную здабытку дыферэнцавальных функцый  і  можна вылічыць па формуле

У Ляйбніцавых абазначэннях гэта правіла выглядае як:

 Вытворная дзелі 

 Вытворная функцыі  для любой (ненулявой) дыферэнцавальнай функцыі  раўняецца

Пры дапамозе Ляйбніцавых абазначэнняў гэта запісваюць у выглядзе:

 Вытворная дзелі дзвюх функцый. Калі  і  ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго , тады:

 Вытворная складанай функцыі (ланцуговае правіла) 

Вытворная складанай функцыі  па зменнай  раўняецца

У Ляйбніцавых абазначэннях ланцуговае правіла запісваюць як:

Аднак, часта пішуць прасцей, разглядаючы  як функцыю ад фармальнага аргумента :

 Вытворная адваротнай функцыі 

Калі дыферэнцавальная функцыя  мае адваротную функцыю  (г.зн. праўдзяцца тоеснасці  і ), тады

У Ляйбніцавых абазначэннях гэтае правіла мае выгляд

Заўвага: нельга блытаць паняцці функцыйна адваротнай функцыі і лікава адваротнай функцыі. Правіла з гэтага раздзела прыдатнае да функцыйна адваротнай функцыі. Для дыферэнцавання лікава адваротнай функцыі трэба карыстацца першым правілам з раздзела #Вытворная дзелі.

 Вытворная складана-ступеневай функцыі 

Няхай  і  ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго , тады

Адмысловыя выпадкі:
 Калі , атрымліваем  для любых рэчаісных паказнікаў  і любога дадатнага значэння зменнай .
 Калі , формула для вытворнай складана-ступеневай функцыі ператвараецца ў формулу для вытворнай лікава адваротнай функцыі.

 Гл. таксама 
 Вытворная функцыі

 Літаратура 

Катэгорыя:Дыферэнцыяльнае злічэнне