Тэарэма Баеса

Тэарэ́ма Ба́еса — адна з асноўных тэарэм тэорыі імавернасцей, якая дазваляе падлічыць умоўную імавернасць падзеі пры выкананні іншай, статыстычна звязанай з ёй падзеі. Названа ў гонар Томаса Баеса.

 Фармулёўка 
Калі  — поўная група падзей і ўсе , а  — падзея, якая таксама адбываецца з дадатнай імавернасцю, тоЗвяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

 Доказ 
Згодна з тэарэмай множання імавернасцей

Адсюль праз формулу поўнай імавернасці вынікае, што

 Інтэрпрэтацыя 

Падзеі  можна інтэрпрэтаваць як гіпотэзы,  — вынік нейкага выпрабавання. Імавернасці  —  (вядомыя або меркаваныя яшчэ перад выпрабаваннем) імавернасці гіпотэз . Імавернасці  —  (вылічаныя пасля выпрабавання) імавернасці. Такім чынам, тэарэма Баеса дазваляе вылічыць апастэрыёрныя імавернасці гіпотэз праз іхнія апрыёрныя імавернасці і ўмоўныя імавернасці .

 Прыклад 
Няхай маецца дзве скрыні з шарамі. У першай скрыні 9 белых шароў і 1 чорны, а ў другой скрыні 9 чорных шароў і 1 белы. Спачатку выпадкова выбіраецца адна са скрынь, пасля з яе дастаецца шар (у кожнага шара, як і ў кожнай скрыні, імавернасці выбару роўныя паміж сабой). Вядома, што ў канцы працэдуры быў выбраны чорны шар. Патрабуецца знайсці імавернасць таго, што шар даставаўся з першай скрыні.

 Развязанне 
Увядзём наступныя абазначэнні:
  — падзея (гіпотэза) «шар даставаўся з першай скрыні».
  — падзея (гіпотэза) «шар даставаўся з другой скрыні».
  — падзея (вынік выпрабавання) «быў выбраны чорны шар».

З умовы задачы вядомыя апрыёрныя імавернасці . З колькасці белых і чорных шароў у кожнай скрыні можна падлічыць умоўныя імавернасці , . Патрабуецца знайсці апастэрыёрную імавернасць  — імавернасць выбару першай скрыні, калі вядома, што выняты шар быў чорным.

Скарыстаем тэарэму Баеса:

Можна падлічыць і апастэрыёрную імавернасць другой гіпотэзы:

Такім чынам, перад эксперыментам абедзве гіпотэзы мелі роўную імавернасць (апрыёрныя імавернасці роўныя , няма падстаў аддаваць перавагу той ці іншай гіпотэзе). Карыстаючыся вынікамі эксперыменту (выманне чорнага шара), мы абнавілі нашую ўпэўненасць у тым, якая з гіпотэз насамрэч адбылася (у другой гіпотэзы апастэрыёрная імавернасць вышэй, чым у першай). Такая працэдура ляжыць у аснове статыстычнага метаду .

Баеса
Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей