Трыганаметрыя

Трыганаметрыя (ад  «трохвугольнік» і  «вымяраць», г. зн. «вымярэнне трохвугольнікаў») — раздзел матэматыкі пра суадносіны старон і вуглоў у трохвугольніку. Асноўная задача трыганаметрыі — «рашэнне трохвугольніка», г.зн. вылічэнне невядомых велічынь па вядомых.

 Гісторыя 

Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце, Вавілоне і даліне Інда больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматыкаў, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж'етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»). Большая частка яго прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі.

Грэчаскі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.

 Трыганаметрычныя функцыі 

338px|thumb|Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла  на трыганаметрычнай акружнасці з адзінкавым радыусам

Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзём прамень  з пачатку адліку і будзем адлічваць велічыню вугла  ад дадатнага праменя восі  супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню вугла можна выражаць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядаць у градусах. Няхай пунктам перасячэння  з адзінкавай акружнасцю будзе . Тады па азначэнню:
 функцыя косінус  будзе абсцысай ,
 функцыя сінус  будзе ардынатай 
 функцыя тангенс  будзе дзеллю ардынаты  і яе абсцысы: 
 функцыя катангенс  будзе дзеллю абсцысы  і яе ардынаты: 
 функцыя секанс  будзе дзеллю 
 функцыя касеканс  будзе дзеллю 


Функцыі  і  вызначаныя на ўсём , вобласць значэнняў [-1,1] і перыяд . Функцыя  не вызначана ў пунктах , , а функцыя  не вызначана ў пунктах , , і абедзве маюць вобласць значэнняў  і перыяд .

 Адваротныя трыганаметрычныя функцыі 
Функцыя, адваротная да

  называецца арксінус 
  называецца арккосінус 
  называецца арктангенс 
  называецца арккатангенс 

 Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці 

Асноўная трыганаметрычная тоеснасць .

Формула косінуса сумы: 

Формула косінуса рознасці: 

Формула сінуса сумы: 

Формула сінуса рознасці: 

 Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай 

Раскладзём функцыі  і  ў рад Тэйлара:

і вызначым трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай :

Большасць уласцівасцей гэтых функцый для рэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на камплексную зменную. Але на камплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў — усё .

 Значэнні трыганаметрычных функцый для некаторых вуглоў 

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы.
(«∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана і ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).

   0°(0 рад) 30° (/6) 45° (/4) 60° (/3) 90° (/2) 180° () 270° (3/2) 360° (2)                  
300px|thumb|right|Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.

 Ужыванне 
Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях геаметрыі, фізікі і інжынерыі.

 Гл. таксама 
 Сферычная трыганаметрыя
 Эліптычная трыганаметрыя
 Гіпербалічная трыганаметрыя

 Літаратура 
 Я. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»
 Ю. Ю. Громов, Н. А. Земской, О. Г. Иванова и др. «Тригонометрия»
 И. И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»



Катэгорыя:Вікіпедыя:Істотныя артыкулы