Аксіёмы Пеана

Аксіёмы Пеана — сістэма аксіём, якія вызначаюць рад натуральных лікаў.

Аксіёмы Пеана дазволілі фармалізаваць арыфметыку.
Пасля ўвядзення аксіём сталі магчымы доказы асноўных уласцівасцей натуральных і цэлых лікаў, а таксама выкарыстанне цэлых лікаў для пабудовы рацыянальных і рэчаісных лікаў.

 Фармулёўкі 

 Слоўная 

 1 ёсць натуральным лікам;
 Лік, наступны за натуральным, таксама ёсць натуральным;
 1 не йдзе ні за якім натуральным лікам;
 Калі натуральны лік  непасрэдна йдзе як за лікам , так і за лікам , то  і  тоесныя;
 Аксіёма індукцыі:
Калі якое-небудзь сцверджанне
а) даказана для 1 (база індукцыі),
б) і калі з дапушчэння, што яно справядліва для натуральнага ліку , вынікае, што яно праўдзіцца і для наступнага за  натуральнага ліку (індукцыйнае сцверджанне),
то гэта сцверджанне справядліва для ўсіх натуральных лікаў.

 Матэматычная 

Увядзем функцыю , якая супастаўляе ліку  наступны за ім лік.
 ;
 ;
 ;
 ;
 .

 Даслоўны тэкст 
Тэкст Пеанавых аксіём, як ён прыведзен у арыгінальным выданні Пеана:

 «0 ёсць натуральны лік»;
 «наступны за натуральным лікам ёсць натуральны лік»;
 «0 не йдзе ні за якім натуральным лікам»;
 «усякі натуральны лік ідзе толькі за адным натуральным лікам»;
 Аксіёма поўнай індукцыі.

Заўвага: тое, што першы элемент тут 0, а не 1, прынцыповага значэння не мае.

 Гісторыя 

Фармальнае азначэнне натуральных лікаў у XIX стагоддзі сфармуляваў італьянскі матэматык Джузэпэ Пеана.

Аксіёмы Пеана засноўваліся на пабудовах Грасмана, хоць іменна Пеана надаў ім сучасны выгляд.

 Літаратура 
 Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita. Bocca, Torino, 1889.
 Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. — М.:Учпедгиз, 1938 (змест і djvu-файл з поўным тэкстам).

Катэгорыя:Алгебра
Катэгорыя:Арыфметыка
Катэгорыя:Натуральныя лікі
Катэгорыя:Матэматычная логіка