Матэматычная індукцыя

Матэматычная індукцыя — у матэматыцы — адзін з метадаў доказу.
Звычайна выкарыстоўваецца, каб даказаць нейкае сцвярджэнне для ўсіх натуральных лікаў.
Для гэтага даказваецца «першае сцвярджэнне» — база індукцыі, і затым даказваецца, што калі любое сцвярджэнне ў бясконцай паслядоўнасці сцвярджэнняў дакладна, то дакладна і наступнае — крок індукцыі.

 Дакладнае апісанне 

Хай патрабуецца ўсталяваць справядлівасць бясконцай паслядоўнасці сцвярджэнняў, занумараваных натуральнымі лікамі: 

Прымем, што
 Усталявана, што  дакладна. (Гэтае сцвярджэнне завецца базай індукцыі.)
 Для любога натуральнага  даказана, што калі дакладна , то дакладна . (Гэтае сцвярджэнне завецца індукцыйным пераходам.)
Тады ўсе сцвярджэнні нашай паслядоўнасці дакладныя.

Пэўнасць гэтага метаду доказу выцякае з так званай аксіёмы індукцыі, пятай з аксіём Пеана, якія вызначаюць натуральныя лікі.

Пэўнасць гэтага метаду доказу эквівалентная таму, што ў любым падмностве натуральных лікаў існуе мінімальны элемент.

Існуе таксама варыяцыя, так званы прынцып поўнай матэматычнай індукцыі. Вось яго строгая фармулёўка.

Хай маецца паслядоўнасць сцвярджэнняў .
Прымем, што
 Усталявана, што  дакладна.
 Для любога натуральнага  даказана, што калі дакладныя ўсе , то дакладна і . (Гэтае сцвярджэнне завецца індукцыйным пераходам.)
Тады ўсе сцвярджэнні ў гэтай паслядоўнасці дакладныя.

Прынцып поўнай матэматычнай індукцыі таксама выцякае з аксіёмы індукцыі і яму эквівалентны, гэта значыць, яго можна ўзяць замест аксіёмы індукцыі ў аксіёмах Пеана.

 Прыклады 
Задача. Даказаць, што, якое б ні было натуральнае n і сапраўднае q, адрозненае ад адзінкі, выконваецца роўнасць


Доказ. Індукцыя па n.

База, n = 1:

Пераход: выкажам здагадку, што

тады

 ,
што і патрабавалася даказаць.

Каментар: пэўнасць сцвярджэння  у гэтым доказе — тое ж, што пэўнасць роўнасці


 Гл. таксама доказ аднаколернасці ўсіх коней.

 Варыяцыі і абагульненні 
 Трансфінітная індукцыя
 Структурная індукцыя

 Літаратура 

 Н. Я. Виленкин. Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1976. — 48 с.
 Л. И. Головина, И. М. Яглом. Индукция в геометрии // Популярные лекции по математике, выпуск 21. М.: Физматгиз, 1961. — 100 с.
 Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? Глава I, § 2.
 И. С. Соминский. Метод математической индукции // Популярные лекции по математике, выпуск 3. М.: Наука, 1965. — 58 с.

Катэгорыя:Матэматычная логіка