Тэарэма Менелая

Тэарэма Менелая — гэта класічная тэарэма афіннай геаметрыі.

Калі пункты  і  ляжаць адпаведна на прамых  і  трохвугольніка , то яны калінеарныя, тады і толькі тады калі


Тут ,  і  азначаюць адносіны накіраваных адрэзкаў. У прыватнасці, з тэарэмы вынікаюць суадносіны для даўжынь:


 Гісторыя 

Падобны вынік у сферычнай геаметрыі сустракаецца ў трактаце «Sphaerica» Менелая Александрыйскага (прыблізна 100-ы год нашай эры) і хутчэй за ўсё, аналагічны вынік на плоскасці быў ужо вядомы. Гэтая тэарэма носіць імя Менелая, бо ранейшых пісьмовых успамінаў аб гэтым выніку не захавалася.

 Доказ 

Правядзем праз пункт С прамую, паралельную прамой AB, і абазначым цераз K пункт перасячэння гэтай прамой з прамой A'C' . Трохвугольнікі  і  падобныя (па двум вуглам), таму

і, значыць —
 .

З другога боку, падобнымі з’яўляюцца таксама і тровугольнікі  і , таму

і, такім чынам —
 .
Але ў такім выпадку

або
 .
Магчымыя два размяшчэнні пунктаў  і , альбо два з іх ляжаць на адпаведных баках трохвугольніка і адзін на падаўжэнні, альбо ўсе тры ляжаць на падаўжэннях адпаведных бакоў, адсюль для адносін накіраваных адрэзкаў маем


Менелая
Катэгорыя:Планіметрыя