Абстрактная алгебра

Абстра́ктная а́лгебра (таксама вышэйшая алгебра, агульная алгебра) — раздзел матэматыкі, які вывучае колькасныя і якасныя адносіны ў рознага роду , вызначаных аксіяматычна.

Пад алгебраічнай сістэмай (структурай) тут разумеецца мноства некаторых аб’ектаў, для якіх вызначаны нейкі набор т. зв. алгебраічных аперацый, якія па сваіх уласцівасцях падобныя на складанне і множанне лікаў.

Алгебраічныя сістэмы ўключаюць групы, кольцы, палі, , вектарныя прасторы,  і .

Для вывучэння структур выкарыстоўваюцца агульныя метады і падобныя паняцці: для адлюстравання (адвображання) паміж структурамі ўводзяцца паняцці , ізамарфізмаў, , для вывучэння ўнутранай будовы ўводзяцца падсістэмы (падгрупы,  і іншыя) і  (фактаргрупы,  і іншыя).

Найбольш агульныя для ўсіх гэтых алгебраічных сістэм уласцівасці фармалізуюцца і вывучаюцца спецыяльным раздзелам агульнай алгебры — . , якая лічыцца таксама раздзелам агульнай алгебры, вывучае ўласцівасці алгебраічных структур і суадносін паміж імі з выкарыстаннем такіх абстракцый, як аб’екты, марфізмы, функтары, якія абагульняюць адпаведныя паняцці не толькі ў алгебраічных структурах, але і ў тапалогіі, логіцы, тэорыі мностваў.

Сам тэрмін «абстрактная алгебра» быў уведзены ў пачатку 20 ст., каб адрозніваць гэту вобласць даследаванняў ад іншых частак алгебры.

 Раздзелы 
У абстрактнай алгебры ўмоўна выдзяляюцца наступныя раздзелы:

 Тэорыя груп
 Тэорыя прадстаўленняў



 Тэорыя Галуа

 Лінейная алгебра






Да абстрактнай алгебры цесна прымыкаюць алгебраічная геаметрыя,  і .

 Гісторыя 

Вялікі ўплыў на развіццё алгебраічных ідэй і сімволікі зрабіла «Арыфметыка» Дыяфанта (III стагоддзе). Тэрмін «алгебра» паходзіць ад назвы твора Мухамеда аль-Харэзмі «Альджэбр аль-мукабала» (9 ст.), які мае агульныя метады рашэння алгебраічных ураўненняў 1-й і 2-й ступеней.

У канцы XV стагоддзя замест грувасткіх слоўных апісанняў алгебраічных дзеянняў у матэматычных творах з’яўляюцца знакі «+» і «-», потым знакі ступеней, каранёў, дужкі.
У канцы XVI стагоддзяФ. Віет першы выкарыстаў літарныя абазначэнні. К сярэдзіне XVII стагоддзя ў асноўным склалася сучасная алгебраічная сімволіка і тым самым завяршылася «перадгісторыя» алгебры.

У далейшым погляд на алгебру мяняўся. Алгебра XVII—XVIII стагоддзяў займалася літарнымі вылічэннямі (рашэнне алгебраічных ураўненняў, тоеснае пераўтварэнне формул і іншае) у адрозненне ад арыфметыкі, у якой разглядаліся вылічэнні з канкрэтнымі лікамі. К сярэдзіне XVIII стагоддзя алгебра склалася прыблізна ў аб’ёме цяперашняй т.зв. элементарнай алгебры.

Алгебра XVIII—XIX стагоддзяў з’яўляецца ў асноўным алгебрай мнагачленаў.

Першай гістарычнай задачай алгебры было рашэнне алгебраічных ураўненняў з адным невядомым, г.зн. ураўненняў віду:

У XVI стагоддзі італьянскімі матэматыкамі была знойдзена формула для рашэння ўраўненняў 3-й ступені (), а потым і метад рашэння ўраўненняў 4-й ступені ().

Амаль 3 стагоддзі вёўся пошук аналагічных формул для рашэння ўраўненняў вышэйшай ступені.

У XVII стагоддзі упершыню была выказана , а ў канцы XVIII стагоддзя К. Гаусам была даказана асноўная тэарэма алгебры аб існаванні камплекснага кораня для адвольных алгебраічных ураўненняў з камплекснымі каэфіцыентамі.

У 1824 годзе Н. Абель даказаў, што ўраўненне вышэй 4-й ступені ў агульным выпадку ў радыкалах невырашальнае, а ў 1830 годзе Э. Галуа знайшоў крытэрый вырашальнасці алгебраічнага ўраўнення ў радыкалах.
Іншыя задачы адыходзяць у гэты час на другі план, і пад алгебраю разумеецца «аналіз ураўненняў», як адзначае  у сваім курсе вышэйшай алгебры (1849).
Разам з тэорыяй алгебраічных ураўненняў з адным невядомым разглядаліся сістэмы алгебраічных ураўненняў з многімі невядомымі, у тым ліку сістэмы лінейных ураўненняў, у сувязі з чым узніклі паняцці матрыцы і дэтэрмінанта.
У далейшым матрыцы становяцца прадметам самастойнай тэорыі — алгебры матрыц, роля якой не вычэрпваецца прымяненнем у даследаванні сістэм лінейных ураўненняў.

З сярэдзіны XIX стагоддзя даследаванні ў алгебры паступова пераносяцца з тэорыі алгебраічных ураўненняў на вывучэнне адвольных алгебраічных аперацый. Абстрактнае паняцце алгебраічнай аперацыі ўзнікла ў сярэдзіне XIX стагоддзя ў сувязі з даследаваннем прыроды камплексных лікаў, а таксама ў выніку з’яўлення прыкладаў алгебраічных аперацый над элементамі зусім іншай прыроды, чым лікі.
Так, узнікаюць алгебра логікі Дж. Буля,  , кватэрніёны У. Гамільтана.  стварае матрычнае злічэнне, К. Жардан публікуе вялікі трактат пра .
Гэтыя працы падрыхтавалі ўступленне алгебры ў канцы XIX — пачатку XX стагоддзя ў сучасны этап яе развіцця, які характарызуецца аб’яднаннем раней разрозненых алгебраічных ідэй на агульнай аксіяматычнай аснове і істотным пашырэннем вобласці прыкладанняў алгебры.

У пачатку XX стагоддзя алгебра стала разглядацца як агульная тэорыя алгебраічных аперацый на аснове аксіяматычнага метаду. Такі погляд на алгебру сфарміраваўся пад уплывам прац Д. Гільберта, , , Э. Нётэр і канчаткова зацвердзіўся з выхадам у 1930 годзе манаграфіі   ().

Першыя працы па агульнай тэорыі адвольных універсальных алгебр належаць  (1930-я г.). У тыя ж гады  і А. Тарскі заклалі асновы  — мностваў з зададзенымі на іх адносінамі.

Да сярэдзіны 1950-х гадоў сфарміравалася , карані якой ляжаць у алгебры і тапалогіі.

Сістэматычныя даследаванні па алгебры на Беларусі пачалі Дз. А. Супруненка (1945) і С. А. Чуніхін (1953). Вядуцца пераважна ў Інстытуце матэматыкі НАН Беларусі, БДУ, Гомельскім універсітэце.

 Агляд 
Сучасная алгебра вывучае мноствы адвольнай прыроды з зададзенымі на іх алгебраічнымі аперацыямі (г.зн. алгебры ці ўніверсальныя алгебры).

Доўгі час вывучаліся толькі некалькі тыпаў універсальных алгебр — групы, кольцы, лінейныя прасторы.

Адзін з найбольш важных і найбольш вывучаных тыпаў алгебр — групы, г. зн. алгебры з адной асацыятыўнай бінарнай аперацыяй, якія змяшчаюць адзінку і для кожнага элемента — . Паняцце групы з’явілася гістарычна першым прыкладам універсальнай алгебры і паслужыла ў многіх адносінах узорам пры перабудове алгебры і, наогул, матэматыкі на рубяжы 19 — 20 стст. Значна пазней пачалося самастойнае вывучэнне абагульненняў паняцця групы — ,  і .

Найважнейшыя тыпы алгебр з дзвюма бінарнымі аперацыямі — кольцы і палі. Аперацыі ў іх звычайна называюцца складаннем і множаннем. Кальцо вызначаецца аксіёмамі абелевай групы для складання і законамі дыстрыбутыўнасці для множання адносна складання.

Першапачаткова вывучаліся толькі кольцы з асацыятыўным множаннем, і гэта патрабаванне асацыятыўнасці часам нават ўключаюць у азначэнне кальца. У цяперашні час цалкам складзеным з’яўляецца агульны напрамак, прысвечаны вывучэнню .

 называецца асацыятыўнае кальцо, усе не роўныя нулю элементы якога ўтвараюць групу па множанню.

Поле — цела з камутатыўным множаннем. Лікавыя палі, г. зн. сукупнасці лікаў, замкнёныя адносна складання, множання, аднімання і дзялення на лік, не роўны нулю, няяўна фігуравалі ўжо ў пачатковых даследаваннях па алгебраічных ураўненнях.

Асацыятыўна-камутатыўныя кольцы і палі з’яўляюцца асноўным аб’ектам вывучэння , з якой цесна звязана алгебраічная геаметрыя.

Іншы важны тып алгебры з дзвюма бінарнымі аперацыямі — . Тыповыя прыклады рашотак: сістэма падмностваў дадзенага мноства з аперацыямі аб’яднання і перасячэння, мноства дадатных цэлых лікаў з аперацыямі ўзяцця найменшага агульнага кратнага і найбольшага агульнага дзельніка.

Лінейныя (ці вектарныя) прасторы над полем можна трактаваць як універсальныя алгебры з адной бінарнай аперацыяй — складаннем і наборам унарных аперацый множання на скаляры з асноўнага поля.
Разглядаюцца таксама лінейныя прасторы над целамі.

Калі за мноства скаляраў узяць кальцо, то атрымліваецца больш шырокае паняцце .

Лінейныя прасторы, модулі, а таксама іх  і сумежныя пытанні вывучае лінейная алгебра, часткай якой з’яўляюцца тэорыі лінейных ураўненняў і матрыц.

Да лінейнай алгебры прымыкае .

З 1930-х гадоў развіваецца агульная тэорыя адвольных універсальных алгебр і тэорыя мадэлей (мностваў з зададзенымі на іх адносінамі).
На стыку тэорыі універсальных алгебр з тэорыяй мадэлей узнік новы раздзел алгебры, сумежны з алгебрай і матэматычнай логікай, — тэорыя алгебраічных сістэм, якая вывучае мноствы з зададзенымі на іх алгебраічнымі аперацыямі і адносінамі (гл. алгебра логікі).

Дысцыпліны, сумежныя з алгебрай і іншымі раздзеламі матэматыкі, вызначаюцца ўнясеннем ва ўніверсальныя алгебры дадатковых структур, узгодненых з алгебраічнымі аперацыямі і адносінамі: тапалагічная алгебра, у т.л. тапалагічныя групы і групы Лі, тэорыя , , тэорыі розных упарадкаваных алгебр.

К сярэдзіне 1950-х гадоў сфарміравалася , карані якой ляжаць у алгебры і тапалогіі.

 Прыкладанні 
У сучаснай матэматыцы алгебра адыгрывае вялікую ролю, і існуе аб’ектыўная тэндэнцыя да далейшай «алгебраізацыі» матэматыкі. Тыповы спосаб вывучэння многіх матэматычных аб’ектаў, часам вельмі далёкіх ад алгебры, заключаецца ў пабудове алгебраічных сістэм, якія дастаткова добра адлюстроўваюць паводзіны вывучаемых аб’ектаў.
Так, вывучэнне груп Лі шмат у чым зводзіцца да вывучэння іх алгебраічных адлюстраванняў — .
Аналагічны метад выкарыстоўваецца ў тапалогіі — кожнай тапалагічнай прасторы супастаўляецца некаторым стандартным спосабам бесканечная серыя груп гамалогіі, і гэтыя серыі алгебраічных адлюстраванняў дазваляюць вельмі дакладна судзіць пра ўласцівасці саміх прастор.
Іменна з дапамогай алгебры зроблены апошнія значныя адкрыцця ў тапалогіі (гл. ).
Поспех алгебраічных метадаў тлумачыцца тым, што алгебраізацыя дазваляе прымяніць для рашэння задачы не толькі чыста славесныя разважанні, але і магутны апарат фармальных алгебраічных вылічэнняў, што часам дазваляе абходзіць самыя складаныя перашкоды.

Алгебраічныя паняцці і метады шырока выкарыстоўваюцца ў тэорыі лікаў (), геаметрыі (, , ), функцыянальным аналізе, тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў, метадах вылічэнняў і іншых раздзелах матэматыкі.

Алгебра мае вялікае дачыненне да фізікі ( у квантавай фізіцы), крышталяграфіі (), кібернетыкі ( і ) і іншых навук.

 Літаратура 
  С. 233—234.

 Математика, ее содержание, методы и значение. Сб. статей, т. 1—3, М., 1956.
 Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.
 Курош А. Г., Лекции по общей алгебре. 2-е изд. — М.: Физматлит, 1973.
 Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962.
 Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976.
 Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968.
 Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970.

 Гісторыя алгебры
 История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 1—3, М., 1970 — 72.
 Мальцев А. И., К истории алгебры в СССР за первые 25 лет, «Алгебра и логика», 1971. т. 10, № 1, с. 103—18.

 Спасылкі 


Катэгорыя:Алгебра