Матэматычная логіка

Матэматычная логіка, тэарэтычная логіка, сімвалічная логіка — раздзел матэматыкі, які вывучае матэматычныя доказы і пытанні асноў матэматыкі; адзін з напрамкаў сучаснай фармальнай логікі, заснаваны на выкарыстанні матэматычных метадаў даследавання. У матэматычнай логіцы аперацыі мыслення і пераважна вывадных ведаў вывучаюцца шляхам іх адлюстравання ў спецыяльных фармалізаваных мовах, або лагічных злічэннях.

Адным з асноўных метадаў матэматычнай логікі з'яўляецца метад фармалізацыі, або вывучэння аб'ектаў з дапамогай адносна жорсткіх фіксаваных элементаў іх формы (пры адцягненні ад унутранага зместу).
Сістэма фармалізаваных аксіём і фармальных правіл вываду афармляецца ў выглядзе некаторага злічэння. Прасцейшыя з іх — злічэнні выказванняў, калі аперацыі з простымі выказваннямі аб'ядноўваюцца ў складаныя выказванні з дапамогай аператараў кан'юнкцыі, дыз'юнкцыі, імплікацыі, эквіваленцыі і адмаўлення (гл. логіка выказванняў).

У агульных злічэннях выказванняў — класічным і інтуіцыянісцкім (гл. інтуіцыянізм) — ужываюцца адны і тыя ж правілы вываду (падстаноўкі і вываду заключэння).
Формула лічыцца класічна агульназначнай, калі правільнае ўсякае выказванне, якое выводзіцца з яе ў выніку падстановак любых выказванняў замест пераменных (А, В, С…); да ўсякага злічэння прад'яўляюцца патрабаванні несупярэчлівасці і паўнаты.

Другая форма — злічэнне прэдыкатаў, якое ўключае ў свой склад злічэнне выказванняў, але дадае да яго апарату аперацыі агульнасці і існавання (гл. логіка прэдыкатаў, квантары). Самастойным раздзелам у матэматычную логіку ўваходзіць злічэнне класаў, якое адпавядае вузкаму злічэнню аднамесных прэдыкатаў, або сілагістыцы Арыстоцеля (гл. логіка класаў).

 Гісторыя 
Зыходныя паняцці матэматычнай логікі былі ўжо ў вучэнні прадстаўнікоў мегарскай школы і стоікаў. На рубяжы 13—14 ст. іспанскі філосаф Р.Лулій сканструяваў спецыяльную «лагічную машыну», якая складалася з сямі канцэнтрычных кругоў са знакамі, літарамі і тэрмінамі і дазваляла атрымаць разнастайныя камбінацыі слоў і паняццяў.

Спроба стварэння «злічэння розуму», падобнага да матэматычнага злічэння і заснаванага на ўніверсальнай лагічнай мове, належала Г.Лейбніцу. Як самастойная дысцыпліна матэматычная логіка аформілася ў сярэдзіне 19 ст. ў працах англійскага матэматыка і логіка Д.Буля і ў распрацаванай ім алгебры логікі. Далей матэматычная логіка развівалася ў сувязі з распрацоўкай аксіяматычнага метаду, тэорыі мностваў, вызначэння несупярэчлівасці матэматычных злічэнняў і інш.
Расійскі вучоны  распрацаваў тэорыю лагічных роўнасцей і прапанаваў найбольш агульны метад знаходжання ўсіх эквівалентных форм пасылак і вынікаў з іх («Аб спосабах рашэння лагічных роўнасцей…», 1884).
Ч.Пірс (ЗША) праводзіў даследаванні ў строгай і раздзяляльнай дыз'юнкцыі, матэрыяльнай імплікацыі, індукцыі і гіпотэзы, логікі адносін і іншых галінах матэматычнай логікі. Нямецкі логік Г.Фрэге прапанаваў аксіяматычную пабудову логікі выказванняў, сфармуляваў правіла падстаноўкі, увёў паняцце квантара, распрацаваў асноўныя прынцыпы лагічнай семантыкі.

Сучасную форму матэматычнай логіцы надаў італьянскі вучоны Д.Пеана, які распрацаваў сістэму аксіём для арыфметыкі натуральных лікаў і паказаў, як з дапамогай сімвалічнага злічэння можна практычна пабудаваць матэматычныя дысцыпліны («Фармуляр матэматыкі», т. 1—2, 1895—97).

Развіццю матэматычнай логікі садзейнічалі працы Б.Расела і А. Н. Уайтхеда («Прынцыпы матэматыкі», т. 1—3, 1910—13). У далейшым атрымалі развіццё даследаванні ў розных галінах матэматычнай логікі, была распрацавана тэорыя матэматычных доказаў на аснове выкарыстання лагічных злічэнняў да пытанняў асноў матэматыкі (Я.Лукасевіч, А.Гейцінг, А. М. Калмагораў, В. І. Шастакоў, С. К. Кліні, А. А. Маркаў і інш.).

 Сучасная матэматычная логіка 
Сучасная матэматычная логіка — гэта мноства спецыяльных логік (імавернасная логіка, індукцыйная логіка, інтуіцыянісцкая, камбінаторная, канструктыўная, мнагазначная, мадальная і г.д.), кожная з якіх уяўляе сабой больш або менш адпаведнае апісанне працэсаў лагічнага паходжання.

Далейшая фармалізацыя лагічных аперацый матэматычнай логікі і адкрытыя ёю новыя заканамернасці даюць магчымасць вырашэння рада складаных задач у матэматыцы, кібернетыцы, тэорыі рэлейна-кантактных схем, пры праектаванні і ў функцыянаванні ЭВМ, розных аўтаматычных апаратаў, а таксама ў матэматычнай лінгвістыцы, у тэорыі праграмавання, пры даследаваннях у квантавай фізіцы, тэорыі эвалюцыі, нейрафізіялогіі, праблем кіравання вытворчасцю і грамадствам.
Сродкі матэматычнай логікі выкарыстоўваюцца ў даследаваннях уласцівасцей дэдуктыўных тэорый (гл. металогіка, метаматэматыка).

Праблематыка і навуковы метад матэматычнай логікі непасрэдна звязаны з іншымі навукамі пра мысленне і пазнанне, у тым ліку з дыялектычнай логікай.

 Гл. таксама 
 Тэорыя алгарытмаў

 Канструкцыйная матэматыка
 Логіка выказванняў
 Імавернасная логіка
 Інтуіцыянісцкая логіка
 Мадальная логіка
 Сітуацыйная семантыка

 Літаратура 


 Клини С. К.  Математическая логика: Пер. с англ. — М., 1973.
 Шенфилд Дж. Р. Математическая логика: Пер. с англ. — М., 1975.
 Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г.  Введение в математическую логику. — М., 1982.
 Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: Теория доказательств: Пер. с нем. — М., 1982.
 Брюшинкин В. Н.  Логика, мышление, информация. — Л., 1988.
 Логика и компьютер. — Л., 1990.