Grundlogn vo da Mathematik

Des san de Grundlogn vo da Mathematik (dt.: Grundlagen der Mathematik).

 Mengan, Zoihn, Intervolle 

 Mengan 

miniatur|Vaeinigungsmenge 
miniatur|Schnittmenge 
miniatur|Differenzmenge : „A ohne B“
miniatur|A is a Teimenge vo B
A Menge is a gedaunkliche Zaumenfossung vo vaschiedenan Objektn; de nennt ma Elemente vo da Menge. A Menge kaunst auge'm, waunst de Elemente aufzööst oda charakterisiast. Zwoa Mengan san gleich, wauns de sööm Elemente enthoidn. De Menge, wos kane Elemente enthööt, nennt ma laare Menge.

 Vaeinigungsmenge (A∪B): enthööt olle Elemente, de wos in A und/oda in B enthoidn san.
 Schnittmenge oda Duachschnitt (A∩B): enthööt olle Elemente, de in A UND in B enthoidn san.
 Diﬀerenzmenge oda Restmenge (A\B): enthööt de Elemente, de in A, owa ned in B enthoidn san.
 Täumenge: De Menge A is de Täumenge vo da Menge B, waun jeds Element vo A aa Element vo da Obamenge B is.

Waun a Menge a gressdes oda kloanstes Element enthööt, des is a Maximum bzw. Minimum. Olle Zoihn, de wos kloana gleich oda gressa gleich ois wia de Elemente in da Menge san, san Schraunkn. Vo de untan Schraunkn gibd's a gressde, des is es Infimum. Vo de oban Schraunkn gibd's a kloanste, des is es Supremum. A Haifungspunkt vo ana Menge is, waun in da ε-Umgebung vo dem Punkt unendli vü Elemente vo dera Menge liagn.

 Zoihn 

 Natialiche Zoihn: N = {1,2,3,...}, täuweis wead a 0 dazuazööt
 Gaunze Zoihn: Z = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...} 
 Rationäule Zoihn (Brüche): Q = {p/q | p, q ∈ Z, q ≠ 0}
 Reelle Zoihn: R = Q + I (I san de Irrationäun Zoihn, des hassd, Zoihn, de ned ois Vahötnis vo gaunzn Zoihn auge'm wean kennan. Des san entweda aa algebraische (z. B. ) oda transzendente Zoihn (z. B. π, e).
 Komplexe Zoihn: C = {z = a + bi | a, b ∈ R}, a is da Realtäu und b da Imaginärtäu vo z; da Imaginärtäu söwa is aa reell. Ois de zu z = a + ib konjugiat komplexe Zoih bezeichnd ma z = a − ib.

 Intavoi 

A Intavoi is a zaumhängende Täumenge vo ana g'uadnadn Trägamenge. Es bstähd aas oin Elementn, de zwischn de Grenzn liagn. Ob de Grenzn söwa no dazuaghean, hängd dovo oh, ob ma a offans oda a gschlossans Intavoi haum.
 ohgschlossans Intavoi: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} 
 offans Intavoi: ]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b} 
 links hoiboffans Intavoi: ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, gnauso gibd's aa a rechts hoiboffans Intavoi.

 Arithmetik 

De Arithmetik bschäftigd se mid Rechnoparationan und Termen und wia ma's vaoafochn oda lösn duad.

 Grundrechnoatn 

 Addition: a + b = c (Summand + Summand = Summe)
 Subtraktion: a − b = c (Minuend − Subtrahend = Differenz)
 Muitiplikation: a · b = c (Faktor · Faktor = Produkt)
 Division: a/b = c (Dividend : Divisor = Quotient), de Division duach Nui is ned definiad.

Es göötn de Operatorraungfuign (Punkt vua Srich), de Klaumaregl (Klauman ois easchts) und es Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgsetz.

Assoziativgsetz:




Kommutativgsetz:




Distributivgsetz:




Neutralität vo 0 und 1:

 Gaunzzohliga Exponent 

A Potenzfunktiaun hod de Form an, a wiad ois Basis (Radikand) bezeichnd und n ois Exponent.


a0 eagibd imma 1.


Es güüt:

 Rationala Exponent 

De Umkeahfunktiaun zan Potenzian is des Wuazlziagn. Bei da n-ten Wurzl aas a hosd a nednegative Lösung, waun a aa koa negative Zoih is und n a natialiche Zoih gressa 1. De zwoate Wuazl nennd ma Quadrotwuazl, de dritte Kubikwuazl.

 Logarithmus 

Ois Logarithmus vo ana Zoih a zua Basis b bezeichnd ma de Zoih x, de de Gleichung a = bx lösd. Des Logarithmian is a Umkeahoperation vom Potenzian:

   (Logarithmus vo da Zoih a zua Basis b; a, b san positive reelle Zoihn)

Speziäufälle:

   (binära Logarithmus)
   (natialicha Logarithmus)
   (dekadischa Logarithmus)

Logarithmangsetz':

 Obsolutweat 

Da Obsolutweat oda Betrog vo ana reelln oda komplexn Zoih is da Ohstaund vo Nui, des is imma a nednegative reelle Zoih.
 |x| = x, wenn x ≥ 0 
 |x| = −x, wenn x < 0

 Komplexe Zoihn 

mini|Gaußsche Ebane mid ana komplexn Zoih in kartesischn Koordinatn (a,b) und in Polarkoordinatn (r,φ)
mini|De Addition vo zwoa komplexn Zoihn in da komplexn Ebane vaaunschaulichd
mini|De fimf fimftn Wuazln vo: 1 + i√3 = 2 · eπ · i/3
Waunst a quadrotische Gleichung lösn wüsd, hosd des Problem, dassd unta da Wuazl a negative Zoih stehn hosd. Sowos kaunst in de Reelln Zoihn ned lösn, wäu jede Zoih mid si söwa muitipliziad imma wos Positivs is. Drum hod da Carl Friedrich Gauß de Komplexn Zoihn eihgfiahd, de bestehngan aas an Realtäu und an Imaginärtäu. Da Realtäu is des wos ma kennan; da Imaginärtäu is aa a Reelle Zoih, owa mid da imaginärn Eihheit i, de wos in da Gaußschen Zoihnebane noamäu zua realn Achsn stähd. i² is dobei (-1). Beispü: 2 + 3i.

A komplexe Zoih z kau aa in da Polardoastöllung auge'm wean, do wiad stott da x- und y-Koordinatn da Betrog r (= |z|) und da Wingl φ auge'm; de Umrechnung eafuigd aas geometrischn Iwalegungan:

Rechnregln:

Addian und Subtrahian gehd aum oafochsdn in da Real-/Imaginärtäu-Doastöllung (z = x + yi); Muitiplizian, Dividian, Potenzian, Wuazlziahgn und Logarithmian aum gscheidan in da Polardoastöllung (z = r · eiφ).

 (es gibd so vü Lösungan, de wiavüüte Wuazl doss ma haum)
 (es gibd unendli vü Lösungan)

 Summe, Produkt, Fakultet, Binominäukoeffizent 

Fiara meahfoche Summe schreibd ma kuaz:

Dessöwe gehd aa fia Produkte:

Waun n a natialiche Zoih is, nocha is de Fakultet vo n:

Waun a a reelle Zoih und k a natialiche Zoih is, is da Binominäukoeffizent a iwa k fuigndamoßn definiad:

 Analytische Geometrie 

 Koordinatn und Punkte 

mini|Punkt in da Ebane
A jeda Punkt P in da Ebane wiad duach zwoa karthesische Koordinatn bschriebn, des san de Abszissn (x-Koordinatn) und de Ordinatn (y-Koordinatn). De x- und y-Achsn büdn de via Quadrauntn. Bam Polarkoordinatnsystem hosd'n Wingl undn Ohstaund zan Uasprung auge'm. 
Mi'm Pythagoras a² + b² = c² kaunsd da'n Ohstaund zwischn zwoa Punktn aasrechnan, waun de Koordinatn bekaund san.

 Grodn 

miniatur|Lineare Funktiaun 
A Grodn wiad duach an Punkt vo da Grodn und de Steigung bschriam.
k = (y2 − y1)/(x2 − x1)
y − y0 = k (x − x0)

A Grodn y = kx + d ist parallöö zua y0 = k0x + d, waun k = k0 is. Noamäu drauf is', waun k · k0 = −1

 Kroas 

mini|hochkant=1|De Kegelschnitte: Kroas, Ellipse, Parabel, Hyperbl
A Kroas is de Menge vo oin Punktn vo ana Ebane, de wos an konstauntn Ohstaund zua am vuagebanan Punkt auf diesa Ebane (dem Middlpunkt M) haum. Da Ohstaund vo de Kroaspunkte zan Middlpunkt is da Radius r. De Gleichung fiaran Kroas mim Middlpunkt M (a, b) laut': (x − a)2 + (y − b)2 = r2.

 Ellipsn 

A Ellipsn is a Keglschnitt; se wiad definiad ois de Menge vo oin Punktn vo ana Ebane, fia de de Summan vo de Ohständ zua zwoa gebanan Punktn F1 und F2 (Brennpunkte) gleich is. De Variabln a und b wean ois Hoibachsn vo da Ellipsn bezeichnd. Wauns gleich san, nocha is de Ellipsn a Kroas.

De Staundardfuam vo ana Ellipsn laut':

Middlpunkt , Haptachsn parallöö zua x-Achsn

 Hyperbel 

mini|Hyperbel
A Hyperbel is definiad ois de Mengan vo oin Punktn vo ana Ebane, fia de de absolute Diffarenz vo de Ohständ zua zwoa gebanan Punktn auf da Haptachsn, den Brennpunktn F1 und F2, konstant gleich 2a is.

De Gleichung vo ana Hyperbl in da easchtn Haptlagn laut' (x-Achsn ois Haptachsn):

In da zwoatn Haptlagn (y-Achsn ois Haptachsn):

 Parabl 

mini|Parabln
A Parabl is definiad ois de Mengan vo oin Punktn vo ana Ebane, dean Ohstaund zua am speziöön festn Punkt (Brennpunkt) gleich dem zua ana speziöön Grodn (Leitlinian) is.

Oigmoane Fuam vo ana Parabl:

Duach de quadrotische Eagänzung kriagsd:

 midm Scheitl 

 Polynome 

A Polynom is a endliche Summe vo Vüfochn vo Potenzn. Ois Grad vom Polynom wiad da häxde Exponent n bezeichnd, fia den doss da Koeffizient anxn ned nui is. De Nuistöön san de Weate vo x, wo da Funktiaunsweat nui is.

Polynome vom Grod:

 0 ... konstaunte Funktiaun
 1 ... lineare Funktiaun
 2 ... quadratische Funktiaun
 3 ... kubische Funktiaun

Binomische Fuamln:

Quadrotische Eagänzung:

 Gleichungan 

mini|Graphen vo oanign Potenzfunktiaunen
A Gleichung is a Ausdruck, wo jede Seitn vom Gleichheitszeichn gleich groß is.

 Lineare Gleichungan 

A linare Gleichung muassd so laung umfuaman, bis de Unbekonnte aloa af ana Seitn stähd.

 Quadrotische Gleichungan 

Quadrotische Gleichungan kaunsd mid Lösungsfuamln oda mid da quadratischn Eagänzung lösn.

De oigmoane Fuam laut':

   mid 

Da Ausdruck b2 −4ac wiad ois Diskriminante D bezeichnd.

Lösungan:

   fois 
   fois 
koa reelle Lösung fois 

 Kubische und hähare Gleichungan 

Kubische Gleichungan haum drei Lösungan, wo mindestns ane reell is. De beidn aundan san entweda beide reell oda beide komplex. Ma kauns mid da Cardanischen Fuaml lösn. Fia Gleichungan, de häha wia da viate Grod san, gibds koa oigmoane Lösungsfuaml, de wos nua mid de via Grundrechnoaten und'm Wuazlziagn aaskummd.

 Wurzlgleichungan 

Waunst de Variable unta da Wurzl stehn hosd, is des a Wuazlgleichung. Ois easchtas isoliasd oa Wurzl und potenziasd daun mim Wuazlexponentn, so doss wecka foid. Dessöwe mochsd ba de aundan Wuazln. Wäu potenzian koa Äquivalentumfuamung ned is, muassd nocha no a Probm mochn.

 Gleichungan mid Obsolutweatn 

In obsolutn Betrog vo ana reelln Zoih eahöötsd duach Weglossn vo an Vuazeichn. Waun Q a beliebiga Ausdruck und A ≥ 0 is, daun is de Gleichung |Q| = A äquivalent zua Q = ±A. Dassdn Obsolutweat vo ana Gleichung löst, muassd de Gleichung in Q = A und Q = −A auftäun.

 Ungleichungan 

Lösn vo ana Ungleichung hoassd, dossd olle Weate findn muassd, de wos de Ungleichung eafüün. Im Gegnsotz zu Gleichungan kennan des aa unendli vü sei:

 waun x ≤ y, daun güüt x ± z ≤ y ± z 
 waun x ≤ y und z ≥ 0, daun güüt xz ≤ yz 
 waun x ≤ y und z ≤ 0, daun güüt xz ≥ yz
 waun x ≤ y < 0, daun güüt 1/x ≥ 1/y 
 waun 0 < x ≤ y, daun güüt 1/x ≥ 1/y 
 waun x < 0 < y, daun güüt 1/x < 1/y

Fuaman vo Ungleichungan:

 Lineare Ungleichungan: ax + b ≤ 0 oda ax + b ≥ 0; a, b ∈ R; a 0
 Quadrotische Ungleichungan: ax2 + bx + c ≤ 0 oda ax2 + bx + c ≥ 0; a, b ∈ R; a 0 
 Rationäule Ungleichungan: P(x)/Q(x)
 Ungleichungan mid Absolutweatn: |Y| ≤ A ⇔ −A ≤ Y ≤ A oda |Y| ≥ A ⇔ Y ≤ −A

 Funktionan 

A Funktiaun is a Beziehung zwischn zwoa Mengan, de jedm x vo da Definitionsmenge a y aas da Buidmenge zuauadnd. A Funktiaun kau duach de Funktiaunsgleichung, a Zuauadnungsvuaschrift oda a Weatetaböön bschriam wean.

Operationan:

 (f + g)(x) = f(x) + g(x) 
 (f − g)(x) = f(x) − g(x)
 f g(x) = f(x) g(x) 
 (f/g)(x) = f(x)/g(x)
 Vakettung: g ◦ f(x) = g(f (x))
 Umkeahfunktiaun: f(x) = y = f'(x) oda f−1(x)

 Exponentiäufunktiaun 

mini|Graph vo da Exponentiäufunktiaun  (roud) mid da Tangentn (hööblau gstrichlde Linian) duach'n Punkt 0/1
A Exponentiäufunktiaun is a Funktiaun in da Fuam f(x) = a^x; x ∈ R mid da reelln Basis a > 0. De Exponentiäufunktiaun mid da eulerschen Zoih e = 2,718281... ois Basis is de e-Funktiaun.

 Trigonometrische Funktiaun 

300px|rechts|Sinus, Kosinus und Tangens r=1
De wichtigstn Winglfunktiaunan san da Sinus, da Cosinus und da Tangens, sowia de Keahweate dovo - da Cosektans, Sektans und Cotangens.

Waunst da den Wingl aasrechnan wüüst, brauchsd de Umkeahfunktiaun (Arkusfunktiaun).

A poa grundlegande Regln:

 sin(−θ) = −sin(θ)
 sin(π − θ) = sin(θ)
 sin(π + θ) = −sin(θ)
 sin(2π − θ) = sin(θ)
 cos(−θ) = cos(θ)
 cos(π−θ) = −cos(θ)
 cos(π + θ) = −cos(θ)
 cos(2π − θ) = cos(θ)
 tan(−θ) = −tan(θ)
 tan(π − θ) = −tan(θ)
 tan(π + θ) = tan(θ)
 tan(2π − θ) = tan(θ)
 sin(2α) = 2 sinα cosα
 cos(2α) = cos²α − sin²α 
 sin(π/2 + θ) = cosθ
 sin(π/2 − θ) = cosθ 
 cos(π/2 + θ) = −sinθ
 cos(π/2 − θ) = sinθ

A vulla Kroas (360°) entsprechn 2π. Da Wingl θ in Grad is gleichm Wingl (π/180)θ in Radiant. Da Wingl θ in Radiant is gleich'm Wingl (180/π)θ in Grod.

 Sinus- und Cosinusfunktiaun 

f(x) = A cos(B (x − φ)) + D

|A| ... Amplitudn
T = (2π)/B ... Periodn
D ... Middlweat oda Gleichauntäu
φ ... Phasn

 Vektoan und Matritzn 

 Vektoan 

miniatur|A Vektoa van Stoatpunkt A zan Endpunkt B und seine Längan
miniatur|Vaaunschaulichung van Kreizprodukt
A Vektoa is a grichtde Gressn („a Pfäu“), dea wos duach an Betrog und a Richtung auge'm wiad. Beispü san: Gschwindigkeit, Kroft, elektrische Föödstärkn, ... 
As Gegntäu davau is a Skalar, des is a ungrichtde Gressn wia Massn, Temperatua, elektrisches Potenziäu, ...

A Vektor wiad mid an kloan Pfäu driwa gschriam, und es wean de Koordinotn in x-, y- und z-Richtung auge'm:

 .

De Längan vom Vektoa is da Betrog, den kriagsd iwa'n Pythagoras:



Bam Addian vo Vektoan wiad grafisch da Schoft vom oanan Vektoa aun de Spitzn vom aundan vascho'm, bam Subtrahian de Spitzn aun de aundre Spitzn. In Koordinotnschreibweis is aa gaunz oafoch, do wean nämli de entsprechndn Koordinotn zaumzöhd bzw. ohzogn.

Bam Muitiplizian vo an Vektoa mid an Skalar wiad aa oafoch jeda Weat vom Vektoa mim Skalar muitipliziad:


Es Muitiplizian vo zwoa Vektoan is a wengl kompliziada, wäu do gibd's drei Oatn: es Skalarprodukt, es Vektorprodukt unds Spatprodukt.

 Skalarprodukt, des brauchsd, waunsd ihn Wingl zwischn zwoa Vektoan wissn wüsd:

Ihn Wingl Phi, des is da Wingl zwischn de zwoa Vektoan, kriagsd daun ois Arkuscosinus van Skalarprodukt brochn duachs Produkt vo de beidn Resultiarandn:

 Vektoaprodukt (oda aa Kreizprodukt), des brauchsd, waunsd de afgspaunde Flächn vo zwoa Vektoan wissn wüsd, des is a Parallelograum:



 Spatprodukt, des gibd da es afgspaunde Voluman ba drei Vektoan und is a Kombinatiaun aas de aundan beidn:

(a negitiavs Vuazoachn kaunsd dobei ignorian)

 Matritzn 

miniatur|Schema fiara oigmoane m×n-Matrix
A Matrix is a rechteckige taböönfeamige Aunuadnung vo Elementn.

Matritzn kennan addiad wean, wauns gleich groß san, indemst oafoch jeds Element mim entschprechndn vo da aundan Matrix addiasd.

Beispü:

Fia's Muitiplizian vo ana Matrix mid an Skalar wiad jeds Element vo da Matrix mim Skalar muitipliziad, z. B.:

Zwoa Matritzn kaunsd noch da fuigndn Fuaml midaranaund muitiplizian:

Ois Traunsponiate vo ana -Matrix  bezeichnd ma -Matrix , oiso waunsd Spoitn und Zäun vatauschd.

De Inverse Matrix is de Keahmatrix, de wos mid da Ausgaungsmatrix muitipliziad de Eihheitsmatrix eagibd:

Beispü:

De Inverse vo da Matrix

is

,

wäu güüt:

.

De Determinantn is a Matrix ois Zoih ausdrückd, des is des schräg iwa Kreiz Rechnan, z. B. vo da Matrix:



is de Determinantn:

 .

 Schau aa 

 Differenziäurechnung
 Integräurechnung

 Literatua 

 Oskar Becker: Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. Suhrkamp, Frankfurt a. M. 1975
 David Hilbert/Paul Bernays, Grundlagen der Mathematik, I-II, Berlin/Heidelberg/New York 2. A. 1970

 Im Netz 

 William S. Hatcher: Foundations of Mathematics. An Overview at the Close of the Second Millennium
 Geoffrey Hellman und John L. Bell: Pluralism and the Foundations of Mathematics
 David Hilbert: The Foundations of Mathematics (1927)
 A. Sakharov: Foundations of Mathematics Linksammlung

Kategorie:Mathematik
Kategorie:Projekt Grundlagen
Kategorie:Artikel auf Niederösterreichisch