Satz vom Vitali

Da Satz vom Vitali is a wichtiche Aussage aas da Maßtheorie. Der sagt nämlich, dass's im  Mengen gitt, dej wos niat Lebesgue-messbar han. Dej Mengen aas den Beweis hoissd ma Vitali-Mengen. Ma bracht dazou awa s'Auswahlaxiom.

Beweis
An Satz vom Vitali beweist ma mid an Widerspruch. Da dazou definiert ma se a Relation ~ aaf'n  duach . Ma kon lächt zoing, das des a Äquivalenzrelation is. Wecha'm Auswahlaxiom giz ejtzad a Menge V, wau vo ana jedn Äquivalenzklass vo ~ genau oi Element drin is. Wemma ejtz sachat, dass V -messbar waar, nachernd gawats prinzipiell zwoa Meglichkeitn:

 oimol, dass . Des hoissert awa wecha da σ-Additivität und da Translationsinvarianz vom Lebesgue-Maß, dass

 ansonstn kannt no  sa. Nach'n Satz vom Steinhaus gitz a  aso, dass

Dementsprechend gitz aa a  mit . Des hoissert awa ätz, dass's  gitt, aso, dass . Des gait awa niat, waal siest v und w in da glächn Äquivalenzklass saa mejssadnd, also hejchtns ois davo in V saa ko.

Sechdane V hoisst ma wej gsagt Vitali-Mengen.

Literatua
 Herrlich, Horst: Axiom of Choice. Springer-Verlag, 2006, Seite 120.

Kategorie:Analysis