Taylorpolynom

Taylorpolynome han ganz wichtiche Hülfsmittl in da Analysis, am Teilgebiet vo da Mathematik, waal ma damid a Funktion um an Punkt rundum näherungsweis ausrechnen kann. Se wean voa allen Dingen in de Natuawissnschaftn hergnumma. Eng damid vowandt han Taylorreihen.

Taylor-Formel
Wemma a Funktion  hod, de wej -mol stetig differenzierbar is, wobei  a Intervall is, nachernd gült fia alle :

Do dabaa is da easde Summand as "Taylorpolynom vom Grad n um an Entwicklungspunkt a". Ma kann do dafia aa schreim:

 is as Restglied, des wej ma ausrechnan kann als:

Waal eam des Restglied owa oft ned indressiert, z. B. wemma ind da Physik a komplizierte Formel nähern mog, schreibt ma stattdessen einfach mid Hülfe vo de Landau-Symbole:

Beweisskizze
Ma beweist den Satz vo Taylor mid vollständiger Induktion iwa n. Da Induktionsofang () is einfach sched da Hauptsatz vo da Differential- und Integralrechnung:

Im Induktionsschritt () integriert ma partiell über  und stüllt fest, dass dann des Integral wos überbleibt genau as n-te Restglied is und dass se alles Andane zum Taylorpolynom vom Grad n zammaddiert.

Restgliedformeln
Ma ko des Restglied  aa no anderster ogem, wej im Satz vo Taylor beschriem, z. B. in da Form vom Lagrange, de wej ohne Integral auskimmt:

Do dabaa is  a bestimmter Wert zwischn a und x. Ma kanns aa in da Cauchyschn Form ogem:

Mehrdimensionale Taylorpolynome
Wemma a Funktion  hod, de wej n-mal stetig differenzierbar is, wobei ejtz  offa und konvex is, nachernd kamma mid hülfe von da Multiindexschriebweise as Taylorpolynom vom Grad n um an Entwicklungspunkt a ogem als:

Fia  giz a recht einfache Schreibweis, nämlich

wobei Df d'Jakobimatrix vo f,  d'Hessematrix vo f und  as Standardskalarprodukt han.

Beispülla
oadimensional

Songma, , wüllma um an Punkt  bis in de 2. Ordnung entwickln. Do dazou mouma ejtz alle Ableitungan bis zu da 2. ausrechnen.

Nacha setztma für x an Entwicklungspunkt  ei und kann damid as Taylorpolynom afstülln.

mehrdimensional
Ejtz songma ma wüll  um an Punkt  bis zur 2. Ordnung entwickln. Do mouma ejtz aa wieda de ensprecehndn Ableitungan ausrechnen:

Des hoisst fürs Taylorpolynom:

Literatua

 Otto Forster: Analysis. Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 8. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0088-0 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
 Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
 Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.

Kategorie:Mathematik
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