Basis (Vektorraum)

A Basis is in da Algebra a Teimenge vo am Vektorraum. Andas gsagt is a Basis a Menge/Famüllie vo linear unabhängige Vektoan, de wej an Vektorraum eazaigt.

Definition
A Menge  hoisst Basis vom Vekorraum , wenn güllt:
  san linear unabhängig
  erzeingd ganz V, des hoisst 
Man ko a Basis aa sortian, nachernd kommas owa nimma als Menge schreim, sondan mous als Famüllie  schreim. Des is bsondas wichtich, wemma vo da oan in de ana Basis wechsln mächt. De Vektoan in da Basis hoissnd Basisvektoan

Eignschaftn

Existenz
A nejda endlich erzeigte Vektorraum hod a Basis, und in da Regl sogoa meara wej oane. Wenn da Vektorraum iwa an unendlichn Körper gejd, nachand giz sogoa unendlich vüll Basen. Wejs mid unendliche Vektorräume ausschaut, hengt davo oo, ob ma s'Auswahlaxiom gülltn lousst owa ned. Do damid komma nämlich zoing, dass a nejda Vektorraum a Basis hom mou.

Basisläng
Fir a Basis  vo  güllt im Allgemeina:
Sie is maximal linear unabhängig, des hoisst  is von Haus aus linear abhängig
Sie is minimal erzeignd, des hoisst 
Do draus kamma folgan, dass a nejde Basis vo  gleich lang is, des hoisst de Kardinalität vonana nejdn Basis is gleich. Waal des güllt, komma aa festleng, woas a Dimension von am Vektorraum is, nämlich grod d'Läng vo da Basis.

Beispülla
Kanonische Basen
Wemma an Vektorraum  hod, nachand is de einfachsde Basis de sogenannte kanonische Basis 

De komma owa a einfach schreim als , wobei das hold dann  der Vektor is, der wej an da j. Stell vo oom an Oansa stejerd hod.

Andane Beispülla
 Monombasis vo  : , wobei das  güllt.
allgemein a Monombasis vo : 
 is a Basis vo 
 Is a nicht-Standard-Basis vom 

Wichtiche Sätze

Fiar endliche, n-dimensionale Vektorräume V gitz zwoa ganz wichtiche Sätze im Bezuch aaf lineare Unterräume.
Basisauswahlsatz
Wemma an linearen Unterraum  hod, nachernd gitz a Basis  von , de wej Teilmenge vo  is. Des hoisst im Endeffekt, das ma se aus an nejdn Erzeugendensystem vo an Vektorraum Vektoren drausklam kann, mid dene wej ma a Basis mocha kann (wenns ned eh scho oane san).

Basisergänzungssatz
Wemma an Lineara Unterraum  hod mid ana Basis  nachernd gitz  aso, das  a Basis is vo ganz V. Des hoisst, dasma zun an Häffl linear unabhängige Vektoren awl no oi find, mid dene wej mara Basis mocha konn.

Obacht

Es git oa Sach, wouma umbedingt Obacht gem mou: Iwa wechan Körper gejt da Vektorraum? Je nachdem mouma nämlich schaun, wejfl Basisvektoan dasma braucht. Beispüllsweise wemma de Komplexn Zahln  als reelln Vektorraum oschaut, nachernd is a Basis dazou z. B. , also mid Länge zwoa. Als komplexer Vektorraum glangt owa scho oa Vektor als Basis, z. B. . Als rationaler Vektorraum z. B. waar a Basis unendlich lang.

 Literatua 
 Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8

Kategorie:Mathematik