Функциональ анализ

Функциона́ль ана́лиз — анализдың сикһеҙ үлсәмле топологик векторлы арауыҡтар һәм уларҙың сағылыштары өйрәнелгән бүлеге.
Бындай арауыҡтарҙың иң мөһим миҫалдары булып функциялар арауығы тораНа самом деле, любое линейное пространство, в том числе и конечномерное, может быть реализовано как пространство функций. Сделать это можно несколькими способами. Например, линейное пространство линейно изоморфно множеству функций на базисе Гамеля этого пространства (или любого равномощного ему множества), отличных от нуля лишь на конечном числе точек. Другой вариант: вложим линейное пространство V в его второе алгебраически сопряженное, то есть в пространство всех линейных функционалов над пространством всех линейных функционалов над V. («функциональ анализ» атамаһы ошонан килеп сыҡҡан да инде).

Төрлө сығанаҡтарҙа функциональ анализдың бүлектәре сифатында үлсәм теорияһы һәм интеграл, функциялар теорияһы, операторҙар теорияһы, сикһеҙ үлсәмле арауыҡтарҙа дифференциаль иҫәпләмә ҡарала. XX быуаттың икенсе яртыһында функциональ анализ классик бүлектәр базаһында төҙөлгән күп кенә махсус бүлектәр менән тулылана.

Функциональ анализ бик күп теүәл фәндәрҙә ҡулланыла; бик күп теоретик конструкциялар функциональ анализ теле менән тасуирлана. Атап әйткәндә, XXI быуат башында функциональ анализ дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһында, математик физикала, теоретик физикала (шул иҫәптән, квант механикаһында, ҡылдар теорияһында, идара итеү теорияһында һәм оптимизацияла, ихтималлыҡ теорияһында, математик статистикала, осраҡлы процестар теорияһында һәм башҡа өлкәләрҙә киң ҡулланыла. Фән һәм техниканың күп өлкәләрендә (мәҫәлән, һүрәттәрҙе эшкәртеү теорияһында) ҡулланылған Фурье үҙгәртеүе теорияһын шулай уҡ функциональ анализдың өлөшө итеп ҡарарға мөмкин.

 Функциональ анализдың ҡайһы бер төшөнсәләре 
Мәҫәлән — Өҙлөкһөҙ функциялар арауығы, интегралланыусы функциялар арауығы.
Үлсәм, метрика, норма, скаляр ҡабатландыҡ кеүек төшөнсәләр мөһим роль уйнайҙар.
Арауыҡтар сағылышын ҡарау өсөн «оператор» һәм «функционал» кеүек төшөнсәләр индереләләр.

 Тарихы 
Функциональ анализдың үҫеше Фурье үҙгәртеүен, дифференциаль һәм интеграль тигеҙләмәләрҙе өйрәнеү менән бәйле. Функциональ анализдың үҫешенә һәм нығыныуына поляк математигы Стефан Банах ҙур өлөш индерә.

Фурье үҙгәртеүен ҡулланып функцияларҙы күрһәтеүҙе өйрәнеү, мәҫәлән, функцияларҙың айырым кластары өсөн нөктәләрҙең континуаль йыйылмаһын (функцияның ҡиммәттәрен) иҫәпләп сығарылған ҡиммәттәр йыйылмаһы (коэффициенттар йыйылмаһы) менән ҡылыҡһырларға мөмкин булыуы менән бик мауыҡтырғыс.

Функциональ анализ ысулдары математикның һәм физиканың төрлө өлкәләрендә ҡеүәтле инструмент сифатында тиҙ танылыу яулай. Бында һыҙыҡлы операторҙар теорияһы ҙур роль уйнай:

XX быуаттың 90-сы йылдары аҙағында функциональ анализдың копилкаһына вейвлет- үҙгәртеүҙәренә арналған тема өҫтәлә. Был тема практиканан өҫтәмә үҙенсәлектәргә, мәҫәлән, йыйылыусанлыҡтың ҙур яҡынлашыу тиҙлегенә эйә булған функциональ арауыҡтарҙың яңы базаларын төҙөргә маташыуҙар практикаһынан килә. Үҫешенә Добеши Ингрид ҙур өлөш индерә.

 Төп һөҙөмтәләр 
 Теүәл сикле операторҙар йыйылмаһына ҡулланылған тигеҙ сикләнгәнлек принцибы.
 Сағылыштарҙың асыҡ булыу принцибы. Уның эҙемтәһе булараҡ — биектив һыҙыҡлы сикләнгән операторға кире һыҙыҡлы операторҙың сикләнгәнлеге тураһында Банах теоремаһы, йомоҡ график тураһында теорема.
 функционалдың аҫарауыҡтан нормаһын һаҡлап киңәйтелгән тулы арауыҡҡа киңәйеүе тураһында Хан — Банах теоремаһы].
 Гильберт арауығында нормаль оператор өсөн интеграль формула биргән спектраль теоремаларҙың береһе (ысынында улар берәүҙән күберәк). Был теорема квант механикаһын математик нигеҙләү өсөн үҙәк әһәмиәткә эйә.
 Гельфанд — Наймарк теоремаһы.
 Рисс — Фреше теоремаһы.

 Тикшеренеүҙәр йүнәлештәре 
Функциональ анализ хәҙерге торошонда түбәндәге тармаҡтарҙы үҙ эсенә ала:
 Йомшаҡ анализ Топологик төркөмдәргә, топологик ҡулсаларға һәм топологик векторлы арауыҡтарға нигеҙләнгән анализ өсөн аппроксимация.
 Банах арауыҡтары геометрияһы.
 Коммутатив булмаған геометрия. Ален Конн тарафынан эшләнгән, өлөшләтә эргодик теорияла Джордж Маки (George Mackey) аппроксимацияһында төҙөлгән.
 Һүрәтләүҙәр теорияһы . Квант механикаһы менән бәйле.
 Квант функциональ анализ. Функциялар арауыҡтары урынына операторҙар арауыҡтарын тикшереү.
 Һыҙыҡлы булмаған функциональ анализ. Функциональ анализ сиктәрендә һыҙыҡлы булмаған мәсьәләләрҙе, бифуркацияларҙы, шыма сағылыштарҙың тотороҡлолоғон, үҙенсәлектәр деформацияларын өйрәнеү.

 Иҫкәрмәләр 

 Әҙәбиәт 
 Банах С. Теория линейных операций. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. ISBN 5-93972-031-5.
 Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. Курс лекций. Киев. Высшая школа. 1990. 600 с.
 Богачев В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ. Университетский курс. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. — 724 с. ISBN 978-5-93972-742-6.
 Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. I: Общая теория. — М.: ИЛ,1962.
 Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. II: Спектральная теория. — М.: Мир, 1966.
 Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. III: Спектральные операторы. — М.: Мир, 1974.
 Иосида К. Функциональный анализ. Пер. с англ. — М.: Мир, 1967. — 624 с.
 Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

 Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2-ое изд. М.: Наука, 1965. 520 c.
 Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу = Topics in nonlinear functional analysis. — М.: Мир, 1977. — 232 с.

 Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. — 744с.
 Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
 Рудин У. Функциональный анализ = Functional analysis. — М.: Мир, 1975. — 443 с.


 Хелемский A. Я. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2009. — 304с.
 Хелемский A. Я. Квантовый функциональный анализ в бескоординатном изложении. М.: МЦНМО, 2004. — 552с.
 Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 830 с.
 Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с.
 Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.
 Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. — М.: Наука, 1967. — 510 с.

*