Анализ (математика бүлеге)

Анализ математиканың хәҙерге заман бүлеге булараҡ — тарихи классик математик анализдан үҫеп сыҡҡан , һәм, классик өлөшкә ингән дифференциаль һәм интеграль иҫәпләмәләрҙән тыш, ысын һәм комплекслы үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы, дифференциаль һәм интеграль тигеҙләмәләр, вариацион иҫәпләмә, гармоник анализ, функциональ анализ, динамик системалар теорияһы һәм эргодическая теория, глобаль анализ, стандарт булмаған анализ кеүек бүлектәрҙе солғап алған математиканың мөһим өлөшө — иң тәүҙә классик бүлектәрҙең альтернатив формализацияһы өсөн Моделдәр теорияһын ҡулланыусы, математик логика һәм анализ тоташҡан урындағы бүлек.

Алгебра һәм геометрия менән бер рәттән, математиканың өс төп йүнәлештәренең береһе тип иҫәпләнә. Анализдың башҡа йүнәлештәр менән сағыштырғанда  айырып торған төп билдәһе — өйрәнеү предметы булып билдәһеҙ дәүмәлдәрҙең функцияһы тороуы. Шуның менән бергә, әгәр анализдың элементар бүлектәрен уҡыу программаларында һәм материалдарҙа йыш ҡына элементар алгебра менән берләштерһәләр (мәҫәлән, «Алгебра һәм анализ башланғыстары» тип аталған күп һандағы дәреслектәр һәм курстар бар), хәҙерге анализ һиҙелерлек дәрәжәлә хәҙерге геометрик бүлектәрҙең, иң беренсе, дифференциаль геометрия һәм топологияның ысулдарын ҡуллана.

 Тарихы 

"Сикһеҙ бәләкәйҙәр анализы"ның ябай дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһы (Эйлер, Иоганн Бернулли, Д’Аламбер), вариацион иҫәпләмә (Эйлер, Лагранж), аналитик функциялар теорияһы (Лагранж, Коши, аҙағыраҡ — Риман) кеүек айырым тармаҡтары, XVIII—XIX быуаттың беренсе яртыһында уҡ айырымлана башлайҙар. Әммә анализдың хәҙерге заманса үҙ аллы бүлек булараҡ төҙөлөүенең башы булып, XIX быуат урталарындағы анализдың төп төшөнсәләрен — ысын һан, функция, сикләнмә, интеграл — рәсмиләштереү буйынса, иң беренсе, Коши һәм Больцано хеҙмәттәре һанала, һәм 1870-се — 1880-се йылдарҙа Вейерштрасс, Дедекинд һәм Кантор хеҙмәттәрендә тамамланған форма ала. Бының менән бәйле ысын үҙгәреүсәнле  функциялар теорияһы, һәм аналитик функциялар менән эшләү ысулдары үҫешендә, — комплекслы үҙгәреүсәнле  функциялар теорияһы барлыҡҡа килә. Кантор XIX быуат аҙағында төҙөгән күмәклектәрҙең хәйләһеҙ теорияһы метрик һәм топологик арауыҡ төшөнсәләренең барлыҡҡа килеүенә этәргес була, был, өйрәнелеүсе объекттарҙың абстракцияһын арттырып һәм иғтибарҙы ысын һандарҙан һанлы булмаған төшөнсәләргә күсереп, анализ инструментарийын һиҙелерлек дәрәжәлә үҙгәртә.

XX быуат башында башлыса француз математика мәктәбенең көсө менән (Жордан, Борель, Лебег, Бэр) үлсәм теорияһы барлыҡҡа килә, шуның арҡаһында интеграл төшөнсәһе дөйөмләштерелә, шулай уҡ ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы төҙөлә. Шулай уҡ XX быуат башында, топологик векторлы арауыҡтарҙы һәм уларҙың сағылыштарын өйрәнеүсе функциональ анализ хәҙерге анализдың үҙаллы аҫбүлеге булараҡ төҙөлә башлай. XIX XX быуаттар сигендә итальян һәм француз математиктары төркөмө тарафынан (улар араһында — Вольтерра, Арцела) төҙөлгән вариацион иҫәпләмәнең тармағын билдәләп, Адамар «функциональ анализ» терминын индерә. 1900 йылда Фредгольм, интеграль тигеҙләмәләр теорияһы һәм интеграллауҙың дөйөм теорияһы үҫешенә (Лебег), шулай уҡ функциональ анализ формалашыуына этәргес биреүсе интеграль тигеҙләмәләр тураһында мәҡәлә баҫтырып сығара. 1906 йылда Гильберттың хеҙмәтендә спектраль теория тасуирлана, шул уҡ йылда Фрешеның хеҙмәте баҫылып сыға, унда беренсе тапҡыр анализға абстрактлы метрик арауыҡ индерелә. 1910-сы — 1920-се йылдарҙа айырылыусанлыҡ төшөнсәһе аныҡлана һәм анализға беренсе тапҡыр дөйөм топологик ысулдар ҡулланыла (Хаусдорф), функциональ арауыҡтар үҙләштерелә һәм дөйөм нормалаштырылған арауыҡтар теорияһын төҙөү башлана (Гильберт, Рис, Банах, Хан). 1929—1932 йылдар араһында Гильберт арауыҡтарының аксиоматик теорияһы төҙөлә (Джон фон Нейман, Маршалл Стоун, Рис). 1936 йылда Соболев, анализдың күп бүлектәрендә киң таралыу алған һәм ҡушымталарҙа киң ҡулланыу тапҡан дөйөмләштерелгән функция төшөнсәһен әйтеп бирә (һуңғараҡ 1940-сы йылдарҙа уға бәйһеҙ рәүештә шундай уҡ төшөнсәгә Лоран Шварц килә) (мәҫәлән, Дирактың -функцияһы дөйөмләштерелгән функция була). 1930-сы — 1950-се йылдарҙа функциональ анализда дөйөм алгебраик инструменттар ҡулланыу иҫәбенә ҙур нәтижәләргә өлгәшелә (векторлы рәшәткәләр, операторлы алгебралар, Банах алгебралары).

XX быуат уртаһында динамик системалар теорияһы һәм эргодическая теория (Джордж Биркгоф, Колмогоров, фон Нейман) кеүек йүнәлештәр үҙаллы үҫеш алалар, дөйөм алгебраик саралар — топологик төркөмдәр һәм күрһәтмәләр (Вейль, , Понтрягин) ҡулланыу иҫәбенә гармоник анализ һөҙөмтәләре дөйөмләштерелә. 1940-сы — 1950-се йылдарҙан башлап функциональ анализ ысулдары ҡулланма өлкәлә ҡулланыу табалар, айырып әйткәндә, Канторовичтың 1930-сы — 1940-сы йылдарҙағы хеҙмәттәрендә иҫәпләү математикаһында һәм иҡтисадта (һыҙыҡлы программалау) функциональ анализ инструменттары ҡулланыла. 1950-се йылдарҙа Понтрягиндың һәм уның уҡыусыларының хеҙмәттәрендә вариацион иҫәпләмә ысулдары үҫешенә оптималь идара итеү теорияһы төҙөлә.

XX быуаттың икенсе яртыһынан башлап дифференциаль топология үҫешеү менән анализға яңы йүнәлеш — «глобаль анализ» исеме алған төрлөлөктәрҙә анализ ҡушыла, ул ысынында алдараҡ, 1920-се йылдарҙа Морс теорияһы сиктәрендә вариацион иҫәпләмәнең дөйөмләштерелеүе кеүек (Морс тарафынан «бөтөндә вариацион иҫәпләмә» тип аталған, ) барлыҡҡа килә. Был йүнәлешкә динамик системаларҙың бифуркациялар теорияһы үҫешенә (Андронов) төҙөлгән, 1970-се йылдарҙа Зиман һәм Арнольдтың хеҙмәттәрендә үҫеш алған үҙенсәлеклектәр теорияһы (Уитни, 1955 йыл) һәм катастрофалар теорияһы (Том, 1959 йыл һәм , 1965 йыл) кеүек йүнәлештәрҙе индерәләр.

1960-сы йылдар башында Робинсон стандарт булмаған анализ — анализдың классик, шулай уҡ оҡшаш өлкәләренең моделдәр теорияһы инструментарийын ҡулланып альтернатив формализацияһын төҙөй. Әгәр башта стандарт булмаған анализ классик бүлектәрҙә насар формализацияланған төшөнсәләрҙе (иң беренсе, сикһеҙ бәләкәй һәм сикһеҙ ҙул дәүмәлдәр) нигеҙләүҙең логик техникаһы итеп кенә ҡаралһа, 1970-се йылдар аҙағында  тарафынан  төҙөлөү һәм артабанғы дөйөмләштереүҙәрҙән һуң, стандарт булмаған анализдың конструкциялары, бөтә математик объекттарға тәбиғи хас булғанса, математиканың бөтә өлкәләрендә лә ҡулланыла ала икәне асыҡлана. Бынан тыш, стандарт булмаған анализ теленең аңлайышлығы арҡаһында, уның ысулдары ярҙамында классик анализда беленмәгән, ләкин шул уҡ ваҡытта стандарт, классик ысулдар менән дә асыҡланырға мөмкин булған, нәтижәләр асыҡлана С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа. Шулай уҡ 1970-се — 1980-се йылдарҙа форсинг ысулы үҫешендә (Коэн тарафынан ZFC-та континуум-гипотезаның хәл иткеһеҙ булыуын иҫбатлау өсөн булдырылған) Соловейҙың, Скотт һәм  хеҙмәттәрендә  теорияһы эшләнә, уның нигеҙендә стандарт булмаған анализдың үҙаллы тармағы — Буль ҡиммәтле анализ барлыҡҡа килә.

 Классик математик анализ 

Классик математик анализ — тулыһынса тарихи «сикһеҙ бәләкәйҙәр анализына» тап килгән бүлек, ике төп компоненттан тора: дифференциаль һәм интеграль иҫәпләмәнән. Төп төшөнсәләре — функцияның сикләнмәһе, дифференциал, сығарылма, интеграл, төп нәтижәһе — аныҡ интегралды, алынманы, һәм Тейлор рәтен — нөктәнең эргә-яғында сикһеҙ дифференциалланыусы функцияларҙы рәткә тарҡатыуҙы бәйләүсе Ньютон — Лейбниц формулаһы.

«Математик анализ» термины аҫтында ғәҙәттә тап ошо классик бүлекте аңлайҙар, шуның менән бергә ул башлыса уҡыу программаларында һәм материалдарында ҡулланыла. Шул уҡ ваҡытта анализ нигеҙҙәрен өйрәнеү күпселек урта белем биреү программаларына инә, ә фәнде әҙме-күпме тулы өйрәнеү күп, шул иҫәптән гуманитар һөнәрҙәр өсөн юғары белем биреү программаһының тәүге йылына индерелгән. Инглиз-америка белем биреү традицияһында классик математик анализды билдәләү өсөн «иҫәпләмә» термины ҡулланыла ().

 Ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы 

Ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы (ҡайһы берҙә ҡыҫҡаса — функциялар теорияһы тип атала) ысын һандарҙы һәм функцияларҙы формализациялау һөҙөмтәһендә барлыҡҡа килә: әгәр анализдың классик бүлектәрендә конкрет мәсьәләләрҙә, тәбиғи рәүештә барлыҡҡа килгән функциялар ғына ҡаралһа, функциялар теорияһында функциялар үҙҙәре өйрәнеү предметы булып китәләр, уларҙың үҙ-үҙен тотошо, үҙсәнлектәре нисбәте өйрәнелә. Ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы үҙенсәлеген иллюстрациялаусы нәтижәләрҙең береһе  — өҙлөкһөҙ функцияның бер нөктәлә лә сығарылмаһы була алмауы факты (шуның менән бергә классик математик анализдың алдағы күҙаллауҙары буйынса бөтә өҙлөкһөҙ функцияларҙың дифференциалланыусанлығы шик аҫтына алынмай).

Ысын үҙгәреүсәнле функциялар теорияһының төп йүнәлештәре:
 үлсәм теорияһы, төп инструмент сифатында күмәклек үлсәме һәм  үлсәнмәле функция төшөнсәләре ҡулланыла, уларҙың нигеҙендә, классик анализдағынан дөйөмөрәк ысулдар менән, интеграллау һәм дифференциаллау индерелә һәм өйрәнелә, үҙенсәлекле рәүештә йыйылыусанлыҡ төшөнсәһе индерелә,  өҙөклө функцияларҙың киң класы өйрәнелә;
 ысын үҙгәреүсәнле функцияларҙың дескриптив теорияһы, функцияларҙы күмәклектәрҙең дескриптив теорияһы саралары менән классификациялауҙы өйрәнә (төп нәтижәһе — Бэр кластары);
 функцияларҙың конструктив теорияһы, ысын үҙгәреүсәнле функцияларҙың яҡынлашыу һәм интерполяция мәсьәләләрен тикшерә (Чебышёвтың һәм Бернштейндың хеҙмәттәрендә үҫеш алған).

 Комплекслы үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы 

Комплекслы үҙгәреүсәнле функциялар теорияһының өйрәнеү предметы — комплекслы яҫылыҡта  йәки комплекслы  Евклид арауығында бирелгән һанлы функциялар, шуның менән бергә математик анализдың ысынбарлыҡта бөтә тармаҡтары өсөн мөһим бәйләүсе роль уйнаған аналитик функциялар ентекләп өйрәнелә. Атап әйткәндә, аналитик функция төшөнсәһе ирекле Банах арауыҡтары өсөн дөйөмләштерелә, шуның менән комплекслы үҙгәреүсәнле функциялар теорияһының күп нәтижәләре функциональ анализда дөйөмләштереү таба.

 Функциональ анализ 

Функциональ анализ бүлек булараҡ, уларҙың өйрәнеү предметы булып топологик векторлы арауыҡтар һәм уларға һалынған төрлө алгебраик һәм топологик шарттар менән уларҙың сағылышы тороуы менән характерлана. . Функциональ анализда функциональ арауыҡтар үҙәк роль уйнайҙар, классик миҫал — -сы дәрәжәһе интегралланыусы бөтә үлсәнмәле функцияларҙың  арауыҡтары; был ваҡытта  — сикһеҙ үлсәмле арауыҡ (Гильберт арауығы), һәм сикһеҙ үлсәнешле арауыҡтар функциональ анализға шул тиклем хас, хатта ҡайһы берҙә бөтә бүлек математиканың сикһеҙ үлсәмле арауыҡтарҙы һәм уларҙың сағылыштарын өйрәнеүсе өлөшө һымаҡ билдәләнә. Функциональ анализдың классик бүлектәрендә арауыҡтарҙың мөһим формаһы булып Банах арауыҡтары — метрика буйынса тулы, норма менән барлыҡҡа килтерелгән, нормалаштырылған векторлы арауыҡтар торалар: практикала әһәмиәтле арауыҡтарҙың күпселек өлөшө шундай, улар араһында — бөтә Гильберт арауыҡтары,  арауыҡтар, Харди арауыҡтары, Соболев арауыҡтары. Функциональ анализда Банах арауыҡтары булған алгебраик структуралар мөһим роль уйнайҙар — Банах рәшәткәләре һәм Банах алгебралары (шул иҫәптән — , фон Нейман алгебралары).

Сикләнгән һыҙыҡлы операторҙарҙы өйрәнеүсе операторҙар теорияһы — функциональ анализдың эре аҫбүлеге, ул спектраль теорияны, төрлө операторҙар кластары теорияһын (айырып әйткәндә, компактлы, Фредгольм, йомоҡ операторҙар), махсус нормалаштырылған арауыҡтарҙа операторҙар теорияларын (Гильберт арауыҡтарында — үҙ эйәртеүле, нормаль, унитар, ыңғай операторҙар, функциональ арауыҡтарҙа — дифференциаль, псевдодифференциаль, интеграль һәм псевдоинтеграль операторҙар һәм башҡалар), инвариантлы аҫарауыҡтар теорияһын , операторҙар кластары теорияһын — операторлы алгебралар, операторлы ярым төркөмдәр һәм башҡаларҙы үҙ эсенә ала.

 Вариацион иҫәпләмә 

Вариацион иҫәпләмәнең төп өйрәнең объекты — функционалдар вариациялары, улар ярҙамында бер йәки бер нисә үҙгәреүсән функцияларҙы һайлауға бәйле экстремаль мәсьәләләр сығарыла. Типик вариацион мәсьәлә — ниндәйҙер бирелгән функционалдың стационарлыҡ шартын ҡәнәғәтләндереүсе функцияны эҙләп табыу, йәғни шундай функцияны, уның сикһеҙ бәләкәй ҡуҙғыуы функционалдың һис юғы бәләкәйлектең беренсе тәртибендә үҙгәрешен тыуҙырмай. Классик вариацион иҫәпләмә физиканың күп бүлектәренә ҙур инструменталь йоғонто яһай (механиканың вариацион принциптарында, шулай уҡ электродинамикала, квант механикаһында киң ҡулланыу таба). Оптималь идара итеү теорияһы — вариацион иҫәпләмә ысулдарын мәсьәләләрҙең әһәмиәтле киң класына ҡулланыу: идара итеүсе параметрҙар сикке ҡиммәттәрҙе лә ҡабул итә алған шарттарҙа, системаларҙың иң яҡшы параметрҙарын билдәләү.

 Гармоник анализ 

Гармоник анализдың төп  принцибы — анализ мәсьәләләрен гармоник функциялар һәм уларҙың дөйөмләштереүҙәре өсөн инструменттар менән тикшереүгә ҡайтарып ҡалдырыу. Классик гармоник анализ төп саралары сифатында тригонометрик рәттәр, Фурье үҙгәртеүҙәре, , Дирихле рәттәре теорияларын үҙ эсенә ала.

Абстрактлы гармоник анализда абстрактлы структуралар өсөн классик ысулдар Хаар үлсәме һәм төркөм күрһәтмәләре кеүек төшөнсәләр ҡулланып дөйөмләштерелгән. Коммутатив гармоник анализдың иң мөһим нәтижәһе — Понтрягиндың ҡапма-ҡаршылыҡлығы тураһында теорема, уның арҡаһында гармоник анализдың бөтә классик һөҙөмтәләре сағыштырмаса ябай дөйөм алгебраик ысулдар менән тасуирланалар. Теорияның артабанғы үҫеше — квант механикаһына мөһим ҡушымталары булған коммутатив булмаған гармоник анализ.

 Дифференциаль һәм интеграль тигеҙләмәләр 
Дифференциаль тигеҙләмәләр менән бәйле анализда ике төп йүнәлеш айырылып сыға — ябай дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһы һәм айырым сығарылмаларҙа дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһы (уҡыу материалдарында һәм ҡайһы бер классификацияларҙа «математик физика тигеҙләмәләре» тип йөрөтөлә, сөнки бындай класс тигеҙләмәләрен тикшереү  математик физиканың төп  тултырыуын тәшкил итә).

 Интеграль тигеҙләмәләр теорияһында, сығарыуҙың классик ысулдарынан тыш, Фредгольм теорияһы кеүек, функциональ анализдың үҙ аллы бүлек булараҡ формалашыуына һиҙелерлек йоғонто яһаусы, айырып әйткәндә, Гильберт арауығы төшөнсәһе барлыҡҡа килеүгә булышлыҡ итеүсе йүнәлештәр айырылып тора.

 Динамик системалар теорияһы һәм эргодическая теория 
Дифференциаль тигеҙләмәләрҙе өйрәнеүҙең төп йүнәлештәренән үҙ аллы бүлектәр сифатында, механик системаларҙың ваҡыт эсендә үҙгәрешен өйрәнеүсе динамик системалар теорияһы, һәм, статистик физиканы нигеҙләүгә йүнәлтелгән эргодическая теория айырыла. Мәсьәләләрҙең ҡулланма характерҙа булыуына ҡарамаҫтан, был бүлектәргә дөйөм матемик әһәмиәтле төшөнсәләрҙең һәм ысулдарҙың киң ҡатламы ҡарай, атап әйткәндә, тотороҡлолоҡ һәм эргодичность төшөнсәләре шундайҙар.

 Глобаль анализ 

Глобаль анализ — анализдың, функцияларҙы һәм дифференциаль тигеҙләмәләрҙе төрлөлөктәрҙә һәм векторлы ҡатламланыуҙарҙа өйрәнеүсе бүлеге; ҡайһы берҙә был йүнәлеш «төрлөлөктәрҙә анализ» тип билдәләнә.

Глобаль анализдың тәүге йүнәлештәренең береһе — Морс теорияһы һәм уның Риман төрлөлөктәрендә геодезик тураһында мәсьәләләргә ҡулланылыуы; йүнәлеш «дөйөм вариацион иҫәпләмә» исеме ала. Төп һөҙөмтәләре — шыма функцияларҙың шыма төрлөлөктәрҙә үҙгәрмәгән үҙенсәлекле нөктәләрҙә үҙен тотошон тасуирлаусы Морс леммаһы, һәм Люстерник — Шнирельман категорияһы кеүек шундай гомотопик инвариант. Конструкцияларҙың һәм раҫлауҙарҙың күбеһе сикһеҙ үлсәүле төрлөлөктәр осрағына дөйөмләштерелгән (, ). Айырым нөктәләрҙе глобаль анализлау сиктәрендә алынған нәтижәләр саф топологик мәсьәләләрҙе сисеү өсөн киң ҡулланыу таптылар, шулай, мәҫәлән, математиканың үҙ аллы бүлеге — -теория өсөн нигеҙ булып хеҙмәт итеүсе , шулай уҡ -кобордизм тураһында теорема, уның эҙемтәһе булып Пуанкаре гипотезаһының 4-тән ҙурыраҡ үлсәнеш өсөн үтәлеүе тора.

Глобаль анализ йүнәлештәренең, физикала һәм иҡтисадта киң ҡулланыу алған тағын бер эре блогы — үҙенсәлектәр теорияһы, бифуркациялар теорияһы һәм катастрофалар теорияһы; был блок тикшеренеүҙәренең төп йүнәлеше — һынылыш нөктәләре эргә-яғында дифференциаль тигеҙләмәләрҙең йәки функцияларҙың үҙ-үҙен тотошон классификациялау һәм ярашлы кластарҙың характерлы үҙенсәлектәрен асыҡлау.

 Стандарт булмаған анализ 

Стандарт булмаған анализ — анализдың төп төшөнсәләрен математик логика саралары менән формализациялау, төп идея — сикһеҙ ҙур һәм сикһеҙ бәләкәй дәүмәлдәрҙе формаль актуалләштереү,һәм улар менән манипуляцияларҙы логик формалләштереү. Был ваҡыттаа стандарт булмаған анализдың саралары бик уңайлы булып сыға: улар ярҙамында, элек күрһәтмәлелектең етешмәүе арҡаһында классик саралар менән табылмаған һөҙөмтәләр алынған.

Стандарт булмаған анализ ике йүнәлешкә бүленә: теоретик-моделле инструменттар ҡулланыусы семантик һәм  күмәклектәр теорияһының төрлө төрҙәге киңәйтеүҙәрен ҡулланыусы синтаксик йүнәлештәр. Семантик  йүнәлеш үҙсәнлектәрҙе моделдәрҙең урындағы өлөштәренән бөтә моделгә күсерергә мөмкинлек биреүсе Мальцевтың локаль теоремаһына нигеҙләнә. Стандарт булмаған анализдың семантик йүнәлешенең эре үҙ аллы тармағы бар —  төшөнсәһе тирәләй барлыҡҡа килтерелгән Буль ҡиммәтле анализ. Синтаксик йүнәлеш  нигеҙләнә, уның төп идеяһы стандарт булмаған элементтарҙы һәм стандартлылыҡ  предикатын индереү, һәм уларға  хас сифаттарҙы аксиомалаштырыу. Синтаксик формализацияның икенсе варианты — .

 Ҡушымталар 

 Иҫкәрмәләр 

 Әҙәбиәт 





*