Төркөмдәр теорияһы

Төркөмдәр теорияһы — дөйөм алгебраның төркөмдәр тип аталған алгебраик структураларҙы һәм уларҙың үҙсәнлектәрен өйрәнеүсе бүлеге. Дөйөм алгебрала төркөм үҙәк төшөнсә булып тора, сөнки ҡулсалар, яландар, векторлы арауыҡтар кеүек күп мөһим алгебраик структуралар киңәйтелгән операциялар һәм аксиомалар йыйылмаһы булған төркөмдәр булып торалар. Төркөмдәр математиканың бөтә өлкәләрендә барлыҡҡа киләләр, һәм төркөмдәр теорияһының ысулдары алгебраның күп бүлектәренә ҙур тәьҫир яһайҙар. Төркөмдәр теорияһының үҫеше процессында, күп йәһәттән дөйөм алгебраның дөйөм алғанда спецификаһын билдәләүсе ҡеүәтле инструментарий төҙөлә, элементтары математиканың күрше бүлектәре һәм ҡушымталары менән әүҙем үҙләштерелеүсе үҙенең глоссарийы барлыҡҡа килә. Төркөмдәр теорияһының иң үҫешкән тармаҡтары — һыҙыҡлы алгебраик төркөмдәр һәм Ли төркөмдәре — математиканың үҙ аллы өлкәләре булып китәләр.

Кристаллдар йәки водород атомдары кеүек төрлө физик системалар симметриялы, уларҙы симметрия төркөмдәре менән моделләштереп була, шулай итеп төркөмдәр теорияһының һәм уның менән тығыҙ бәйләнгән һүрәтләүҙәр теорияһының физикала һәм химияла мөһим ҡулланылышы табыла.

XX быуатта математикала иң һиҙелерлек алға китеш булыпElwes, Richard, «An enormous theorem: the classification of finite simple groups,» Plus Magazine, Issue 41, December 2006., күп математиктарҙың бергә тырышлыҡтарының һөҙөмтәһе булған, 10 меңдән артыҡ баҫма бит биләгән, төп массивы 1960 йылдан 1980 йылдарға тиклем баҫылып сыҡҡан — тулы ябай сикле төркөмдәрҙе классификациялау тора.

 Тарихы 
Төркөмдәр теорияһының өс тарихи тамыры бар: алгебраик тигеҙләмәләр теорияһы, һандар теорияһы һәм геометрия. Төркөмдәр теорияһының башында торған математиктар, — Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель һәм Эварист Галуа. Галуа, хәҙер Галуа теорияһы тип аталған теория эшләп, төркөмдәр теорияһын абстракт алгебраның икенсе тармағы — яландар теорияһы менән бәйләүсе беренсе математик була.

Төркөмдәр теорияһы барлыҡҡа килеүенә булышлыҡ иткән беренсе мәсьәләләрҙең береһе, бирелгән n-сы дәрәжәләге тигеҙләмәнең m тамыры тамырҙары булып торған m-сы дәрәжәләге тигеҙләмә төҙөү мәсьәләһе торған  (m < n). Был мәсьәләне ябайыраҡ осраҡтар өсөн Худде (1659 йыл) ҡарай. 1740 йылда Сондерсон биквадрат аңлатмаларҙың квадрат ҡабатлашыусыларын табыу  6 дәрәжә тигеҙләмәне сығарыуға ҡайтып ҡала икәнен күрә, ә Ле Сёр (1748 йыл) һәм Вейринг (1762 йылдан 1782 йылдарға тиклем) был идеяны үҫтерә.

Алмаштырмалар теорияһында төҙөлгән тигеҙләмәләр теорияһының дөйөм нигеҙен 1770—1771 йылдарҙа Лагранж таба,һәм ошо нигеҙҙә артабан алмаштырмалар теорияһы үҫеп сыға. Ул, үҙе юлыҡҡан бөтә резольвенталарҙың тамырҙары ярашлы тигеҙләмәләрҙең тамырҙарынан рациональ функциялар булып торалар икәнен асыҡлаған. Был функцияларҙың үҙсәнлектәрен өйрәнеү өсөн, ул «ойоштормалар иҫәпләмәһен» эшләй(Calcul des Combinaisons). Вандермондтың (1770 йыл) уға замандаш хеҙмәте шулай уҡ төркөмдәр теорияһының үҫешен алдан белгертә.

Паоло Руффини 1799 йылда бишенсе һәм юғарыраҡ дәрәжәләге тигеҙләмәләрҙең радикалдарҙа хәл итерлек булмауын иҫбатлауҙы тәҡдим итә. Иҫбатлау өсөн ул, уларҙы икенсе исем менән атаһа ла, төркөмдәр теорияһы төшөнсәләрен ҡуллана. Руффини шулай уҡ уға Аббати яҙған, төп фекере төркөмдәр теорияһы булған, хатты баҫтырып сығара.

Галуа шуны асыҡлай, әгәр алгебраик тигеҙләмәнең бер нисә тамыры булһа, ул саҡта һәр саҡ был тамырҙарҙың шундай  алмаштырмалар төркөмө бар, был ваҡытта
 алмаштырмалар төркөмөнә ҡарата инвариантлы һәр функция рациональ һәм, киреһенсә,
 һәр тамырҙарҙан рациональ функция алмаштырмалар төркөмөнә ҡарата инвариантлы. Үҙенең төркөмдәр теорияһы буйынса беренсе хеҙмәттәрен ул 1829 йылда, 18 йәшендә баҫтырып сығара, ләкин улар ысынбарлыҡта, 1846 йылда уның китаптары йыйынтығы баҫылып сыҡҡанға тиклем, иғтибарһыҙ ҡалалар.

Артур Кэли һәм Огюстен Луи Коши төркөмдәр теорияһының мөһимлеген баһалаған беренсе математиктарҙың береһе булалар. Был ғалимдар шулай уҡ төркөмдәр теорияһының мөһим теоремаларын иҫбат итәләр.Например, теорему Кэли и теорему Коши Үҙенең алгебра буйынса китабының бер бүлеген төркөмдәр теорияһына арнаған Серрет, «Действия над подстановками» (Traité des Substitutions) хеҙмәте классика булып киткән Жордан һәм Ойген Нетто (1882 йыл) арҡаһында улар өйрәнгән фән популярлаша.  Төркөмдәр теорияһының үҫешенә XIX быуаттың башҡа күп математиктары: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер һәм Матьё ҙур өлөш индерәләр.

«Төркөм» төшөнсәһенә хәҙерге билдәләмә тик 1882 йылда Вальтер фон Дюк тарафынан бирелә.Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и её приложения, т.1, 2, М., 1980.

1884 йылда Софус Ли, хәҙер Ли төркөмдәре һәм уларҙың дискретлы аҫтөркөмдәре тип аталған үҙгәртеүҙәр төркөмөн өйрәнеүгә баш һала; уның хеҙмәттәре артынса Киллингтың, Штудиҙың, Шурҙың, Маурерҙың һәм Эли Картандың хеҙмәттәре баҫылып сыға. Дискретлы төркөм теорияһы, Клейн, Ли, Пуанкаре һәм Пикар кеүек математиктар тарафынан, модуляр формаларҙы һәм башҡа объекттарҙы өйрәнеү менән бәйле эшләнә.

XX быуат уртаһында (нигеҙҙә, 1955 һәм 1983 йылдар араһында) бөтә сикле ябай төркөмдәрҙе классификациялау буйынса ҙур эш, тиҫтәләгән мең битлек мәҡәләләрҙе лә ҡушып, башҡарыла.

Төркөмдәр теорияһына Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов кеүек күп башҡа математиктар ҙа һиҙелерлек өлөш индәрәләр .

 Теорияны ҡыҫҡаса тасуирлау 
Төркөм төшөнсәһе симметрияның һәм геометрик объекттарҙың эквивалентлылығын формаль тасуирлау һөҙөмтәһендә барлыҡҡа килә. Феликс Клейндың Эрланген программаһында геометрияны өйрәнеү ярашлы үҙгәртеүҙәр төркөмөн өйрәнеү менән бәйләнелә. Мәҫәлән, әгәр яҫылыҡта фигуралар бирелһә, ул саҡта хәрәкәттәр төркөмө ярҙамында уларҙың тигеҙлеге асыҡлана.

Билдәләмә. Төркөм тип, түбәндәге дүрт аксиоманы ҡәнәғәтләндергән ҡабатлау ғәмәле бирелгән элементтар күмәклеге (сикле йәки сикһеҙ) аталаОперация обычно называется «умножение», реже используется название «сложения»:

 Төркөмдөң ҡабатлау ғәмәленә ҡарата йомоҡ булыуы. Төркөмдөң теләһә ниндәй ике элементы өсөн, уларҙың ҡабатландығы булған өсөнсө элементы бар:


 Ҡабатлау операцияһының ассоциативлығы. Ҡабатлау ғәмәлен башҡарыу тәртибенең әһәмиәте юҡ:


 Берәмек элементының булыуы. Төркөмдә шундай E элементы бар, уның төркөмдөң теләһә ниндәй A элементы менән ҡабатландығы шул уҡ A элементын бирә:


 Кире элементтың булыуы. Төркөмдөң теләһә ниндәй A элементы өсөн шундай A−1 элементы бар, уларҙың ҡабатландығы E берәмек элементын бирә:


Төркөм аксиомалары ҡабатлау ғәмәленең ҡабатлашыусылар тәртибенә бәйлелеген бер нисек тә регламентламай. Шуға күрә, дөйөм әйткәндә,  ҡабатлашыусыларҙың урынын алмаштырыу ҡабатландыҡҡа тәьҫир итә. Ҡабатландыҡ  ҡабатлашыусылар тәртибенә бәйле булмаған төркөмдәрҙе коммутатив йәки Абель төркөмдәре тип атайҙар. Абель төркөмө өсөн


Абель төркөмдәре физик ҡушымталарҙа һирәк осрайҙар. Йышыраҡ физик мәғәнәгә эйә булған төркөмдәр Абель булмаған төркөмдәр булалар:


Ҙур булмаған үлсәмле сикле төркөмдәрҙе «ҡабатлау таблицаһы» тип аталған таблицалар ярҙамында тасуирлау уңайлы. Был таблицала һәр юл һәм һәр бағана төркөмдөң бер элементына ярашлы, ә бағана менән юл киҫелешендәге күҙәүгә ярашлы элементтарҙы ҡабатлау ғәмәле һөҙөмтәһе урынлаштырыла. 

Түбәндә дүрт элементтан — (1, −1, i, −i) — торған төркөм өсөн ҡабатлау таблицаһына миҫал (Кэли таблицаһы) килтерелә, унда операция булып ғәҙәттәге арифметик ҡабатлау ғәмәле тора:

    1  −1  i  −i 1  1 −1  i −i−1 −1  1 −i  i i  i −i −1  1−i −i  i  1  −1
Берәмек элементы булып бында 1 һаны тора, 1 һәм −1 өсөн кире элементтар булып улар үҙҙәре тора, ә i һәм −i элементтары бер-береһе өсөн кире элемент булалар.

Әгәр төркөмдөң сикһеҙ күп һанда элементтары булһа, ул саҡта ул сикһеҙ төркөм тип атала.

Төркөмдөң элементтары өҙлөкһөҙ рәүештә ниндәйҙер параметрҙарға бәйле булған осраҡта, төркөм өҙлөкһөҙ йәки Ли төркөмө тип атала. Шулай уҡ, Ли төркөмө — элементтары күмәклеге шыма төрлөлөк барлыҡҡа килтергән төркөм тип әйтәләр. Ли төркөмө ярҙамында, симметриялар төркөмө булараҡ, дифференциаль тигеҙләмәләрҙең сығарылыштары табыла.

Төркөмдәр математикала һәм тәбиғәт фәндәрендә бөтә ерҙә, йыш ҡына объекттарҙың (автоморфизмдар төркөмөнөң) эске симметрияһын асыҡлау өсөн ҡулланылалар. Эске симметрия ғәҙәттә инвариантлы үҙсәнлектәр менән бәйле; был үҙсәнлекте һаҡлаусы үҙгәртеүҙәр күмәклеге,  композиция операцияһы менән бергә, симметрия төркөмө тип аталған төркөм төҙөйҙәр.

Төркөм төшөнсәһенә башланғыс биргән Галуа теорияһында, төркөмдәр, тамырҙары булып ниндәйҙер полиномиаль тигеҙләмәнең тамырҙары торған тигеҙләмәләр симметрияһын тасуирлау өсөн ҡулланылалар. Был теорияла уйнаған мөһим ролдәре айҡанлы, үҙҙәренең хәл итерлек төркөмдәр исемен алғандар.

Алгебраик топологияла төркөмдәр топологик арауыҡтар инварианттарын тасуирлау өсөн ҡулланылаларотсюда, например, пошло название «подгруппа кручения» . Инварианттар тип бында арауыҡтарҙың, уны ниндәй ҙә булһа формаһын үҙгәрткәндә үҙгәрмәүсе үҙсәнлектәрен күҙ уңында тоталар. Төркөмдәрҙе шундай ҡулланыу миҫалдары — фундаменталь төркөмдәр, гомология төркөмдәре һәм когомологиялар.

Ли төркөмдәрен дифференциаль тигеҙләмәләрҙе һәм төрлөлөктәрҙе өйрәнгәндә ҡулланылалар; улар үҙҙәрендә төркөмдәр теорияһын һәм математик анализды берләштерәләр. Анализдың был төркөмдәр менән бәйләнгән өлкәһе,  гармоник анализ тип атала.

Комбинаторикала алмаштырып ҡуйыуҙар төркөмдәре һәм төркөм ғәмәлдәре күмәклектә элементтар һанын иҫәпләүҙе ябайлаштырыу өсөн ҡулланыла; атап әйткәндә, Бёрнсайд леммаһы йыш ҡулланыла.

Төркөмдәр теорияһын аңлау шулай уҡ физика һәм башҡа тәбиғәт фәндәре өсөн бик мөһим. Химияла төркөм кристаллик рәшәткәләрҙе классификациялау һәм молекулалар симметриялары өсөн ҡулланыла. Физикала төркөмдәр физик закондар буйһонған симметрияларҙы тасуирлау өсөн ҡулланыла. Физикала бигерәк тә , атап әйткәндә, Ли төркөмө бик мөһим, сөнки улар йыш ҡына «мөмкин булған» физик теорияларға юл күрһәтәләр.

 төркөмө циклик тип атала, әгәр ул бер a элементы менән барлыҡҡа килтерелһә, йәғни уның бөтә элементтары a-ның дәрәжәләре булып торһалар (йәки, әгәр аддитив терминологияны ҡулланһаң, na күренешендә күрһәтеп була, бында n — бөтөн һан). Математик тамғаланышы: .

Әгәр  төркөмөнән  төркөмөнә  күмәклегенең бөтә алмаштырмаларының   гомоморфизмы бирелһә,  төркөмө  күмәклегендә ғәмәлдә тип әйтәләр.
Ҡыҫҡалыҡ өсөн  йыш ҡына  йәки  тип яҙалар.

 Төркөмдәргә миҫалдар 
 Иң ябай төркөм булып ғәҙәттәге арифметик ҡабатлау ғәмәле менән 1 элементынан торған төркөм тора. 1 элементы төркөмдөң берәмек элементы һәм үҙ үҙенә кире элемент булып тора:

    1 1  1

 Артабанғы ябай миҫал — ғәҙәттәге арифметик ҡабатлау ғәмәле менән (1, −1) элементтарынан торған төркөм. 1 элементы төркөмдөң берәмек элементы, ике элемент та үҙ үҙҙәренә кире:

    1  −1 1  1 -1-1 -1  1

 Дүрт (1, −1, i, -i) элементтарынан торған күмәклек ғәҙәттәге арифметик ҡабатлау ғәмәленә ҡарата төркөм булып тора. Бында 1 төркөмдөң берәмек элементы, 1 һәм −1 үҙ үҙҙәренә кире элемент булып торалар, ә i һәм -i элементтары бер-береһенә кире элемент булып торалар.

    1  −1  i  -i 1  1 -1  i -i-1 -1  1 -i  i i  i -i -1  1-i -i  i  1  -1

 Арауыҡтың бер күсәр тирәләй 0° һәм 180°-ҡа боролошо, әгәр ике боролоштоң ҡабатландығы тип уларҙың эҙмә-эҙ башҡарылыуын иҫәпләһәң, төркөм булып тора. Был төркөм ғәҙәттә C2 тип тамғалана. Ул юғарыла килтерелгән 1 һәм −1 элементтарынан торған төркөмгә изоморфлы (йәғни тождестволы). 0°-ҡа боролош, ул тождестволы булғанлыҡтан, таблицала E хәрефе менән тамғаланған.

 C2  E  R180 E  E  R180 R180  R180  E

 Тождестволы үҙгәртеү E менән бергә һәр векторҙың йүнәлешен ҡапма-ҡаршыға үҙгәртеүсе I инверсия операцияһы төркөм төҙөй. Ике инверсияның эҙмә-эҙ башҡарылыуы төркөм операцияһы булып тора. Был төркөм S2 тип тамғалана. Ул юғарыла килтерелгән C2 төркөмөнә изоморфлы.

 S2  E  I E  E  I I  I  E

 C2 төркөмөнә оҡшаш рәүештә, яҫылыҡтың 0°, 120° һәм 240°-лы мөйөштәргә боролоштарынан торған C3 төркөмөн төҙөргә мөмкин. Әйтергә кәрәк, C3 төркөмө төҙөк өсмөйөштө үҙ-үҙенә сағылдырыусы боролоштар төркөмө булып тора.


 C3  E  R120  R240 E  E  R120  R240 R120  R120  R240  E R240  R240  E  R120

 Әгәр C3 төркөмөнә өсмөйөштө уның өс симметрия күсәренә ҡарата сағылышын (R1, R2, R3) өҫтәһәң, ул саҡта өсмөйөштө үҙ-үҙенә сағылдырыусы операцияларҙың тулы төркөмөн алабыҙ. Был төркөм D3 тип атала.


 D3  E  R120  R240 R1  R2  R3 E  E  R120  R240 R1  R2  R3 R120  R120  R240  E R2  R3  R1 R240  R240  E  R120 R3  R1  R2 R1  R1  R3  R2 E  R240  R120 R2  R2  R1  R3 R120  E  R240 R3  R3  R2  R1 R240  R120  E

 Бер күсәргә ҡарата бөтә боролоштар йыйылмаһы R2 тип аталған өҙлөкһөҙ төркөм төҙөйҙәр. Уның элементтарын R(a) символдары менән тамғалайҙар, бында a — 0 ≤ a < 360° сиктәрендә ятҡан боролош мөйөшө. Был төркөм өсөн ҡабатлау таблицаһы сикһеҙ, шуға күрә төркөм дөйөм формула менән һүрәтләнә

Бер күсәр тирәләй ике эҙмә-эҙ башҡарылған боролоштарҙың һөҙөмтәһе боролоштарҙы башҡарыу тәртибенә бәйле булмағанлыҡтан, R2 төркөм коммутатив була. Төркөмдә кире элемент
  формулаһы менән бирелә.

 R3 төркөмө өс үлсәмле арауыҡтың бер нөктә аша үткән күсәрҙәргә ҡарата бөтә мөмкин булған өйрөлөүҙәр төркөмөнән ғибәрәт. Был төркөм сфераның симметрия төркөмө булып тора. R(α,β,a) төркөмөнөң һәр элементы өс параметр менән бирелә: α һәм β — күсәрҙең торошон биреүсе Эйлер мөйөштәре, a — боролош мөйөшө.

 Sn төркөмө йәки n тәртибендәге симметрик төркөм — n элементтың бөтә мөмкин булған n!  алмаштырмалары йыйылмаһы. Алмаштырманы, n элементы алмаштырмала pn элементы менән алмаштырыла икәнен күрһәтеүсе,   
   символы менән тамғалау уңайлы.
P элементы өсөн кире элемент булып
  элементы тора.

Шуныһы ҡыҙыҡ, S3 төркөмө D3 төркөмөнә изоморфлы, сөнки һуңғыһы  өсмөйөштө үҙ-үҙенә сағылдырыусы бөтә мөмкин булған үҙгәртеүҙәрҙе үҙ эсенә ала, ә өсмөйөштө үҙгәртеүҙе уның өс түбәһенең төрлө алмаштырмалары менән бирергә мөмкин:





 Абель төркөмдәре 
Абель төркөмө, төркөм операцияһы коммутатив булған төркөм ул; йәғни, әгәр теләһә ниндәй ике  элементтары өсөн  булһа,  төркөмө Абель төркөмө була.

Абель төркөмдәрендә төркөм операцияһы ғәҙәттә «ҡушыу» тип атала һәм  тамғаһы менән тамғалана.
Абель төркөмдәре абстрактлы алгебраның ҡулса, ялан һәм модулдәр кеүек ҡатмарлыраҡ объекттарын төҙөү өсөн нигеҙ булып торалар.
Исеме, алмаштырмалар төркөмдәрен өйрәнеүгә индергән өлөшө өсөн, норвег математигы Абель хөрмәтенә ҡушылған.

 Миҫалдар 
 Һыҙыҡлы арауыҡта параллель күсерелештәр төркөмө.
 Теләһә ниндәй циклик төркөм . Ысынлып та, теләһә ниндәй  һәм  өсөн,
  дөрөҫ.
 Айырып әйткәндә, бөтөн һандар  ҡушыу буйынса коммутатив төркөм төҙөйҙәр, шулай уҡ вычеттар кластары .
 Теләһә ниндәй ҡулса үҙенең ҡушыу ғәмәле буйынса коммутатив (Абель) төркөмө. Шул иҫәптән ҡушыу ғәмәле менән ысын һандар.
 Коммутатив ҡулсаның әйләндерелмәле элементтары, атап әйткәндә, теләһә ниндәй яландың нулдән айырмалы элементтары ҡабатлау буйынса Абель төркөмөн төҙөй. Мәҫәлән, нулдән айырмалы ысын һандар ҡабатлау ғәмәле менән.

 Бәйләнешле билдәләмәләр 
 Векторрлы арауыҡтың үлсәнешенә оҡшаш рәүештә, һәр Абель төркөмөнөң рангы бар. Ул, уның сиралыуы буйынса төркөм факторы бирелгән арауыҡтың рациональ һандар яланы өҫтөндә иң бәләкәй үлсәнеше кеүек билдәләнә.

 Үҙсәнлектәре 
 Сикле барлыҡҡа килтерелгән Абель төркөмдәре циклик төркөмдәрҙең тура суммаларына изоморфлы.
 Сикле Абель төркөмдәре сикле циклик төркөмдәрҙең тура суммаларына изоморфлы.
 Теләһә ниндәй Абель төркөмөнөң тәбиғи структураһы бөтөн һандарҙың ҡулса өҫтөндә модуле бар. Ысынлап та,  — натураль һан булһын, ти, ә  — + тип тамғаланған операция менән  коммутатив төркөмөнөң элементы, ул саҡта -ты  тип билдәләргә була ( тарҡыр) һәм .
 Абель төркөмдәре (йәғни төп идеалдар өлкәһе өҫтөндә модулдәр ) өсөн дөрөҫ булған раҫлауҙар һәм теоремалар, йыш ҡына төп идеалдарҙың ирекле өлкәләре өҫтөндә модулдәргә дөйөмләштерелергә мөмкиндәр. Сикле барлыҡҡа килтерелгән Абель төркөмдәренең классификацияһы ғәҙәттәге миҫал булып тора.
 -нан -ҡа бөтә төркөм гомоморфизмдарының гомоморфизмдары күмәклеге  үҙе Абель төркөмө булып тора. Ысынлап та,  — Абель төркөмдәре араһында ике төркөмдәр гомоморфизмы булһын, ул саҡта уларҙың  булараҡ бирелгән суммаһы , шулай уҡ гомоморфизм була (әгәр  коммутатив төркөм булмаһа, был дөрөҫ түгел).

 Сикле Абель төркөмдәре 
Сикле Абель төркөмдәренең структураһы тураһында нигеҙ һалыусы теорема, теләһә ниндәй сикле Абель төркөмө, тәртиптәре ябай һандарҙың дәрәжәләре булған үҙенең циклик аҫтөркөмдәренең тура суммаһына тарҡатылырға мөмкин, тип раҫлай. Был дөйөм сикле барлыҡҡа килтерелгән Абель төркөмдәренең структураһы тураһында теореманың, төркөмдөң сикһеҙ тәртиптәге элементтары булмаған осраҡ өсөн эҙемтәһе.
  һәм -дың тура суммаһына изоморфлы шул саҡта һәм бары тик шул саҡта ғына, әгәр  һәм  үҙ-ара ябай һандар булһалар.

Ошонан сығып,  Абель төркөмөн тура сумма формаһында яҙырға мөмкин

төрлө ике ысул менән:
 Бында  һандары ябай һандарҙың дәрәжәләре
 Бында  -не бүлә, ул -тө бүлә, һәм шулай артабан -ға тиклкм.

Мәҫәлән,  төркөмө 3 һәм 5 тәртибендәге ике циклик аҫтөркөмдәренең тура суммаһына тарҡатылырға мөмкин: . Шуны уҡ теләһә ниндәй ун биш тәртибендәге Абель төркөмдәре тураһында әйтергә мөмкин; һөҙөмтәлә ун биш тәртибендәгео бөтә Абель төркөмөдәре лә изоморфлы тигән һығымтаға киләбеҙ.

 Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр 
 Дифференциаль төркөм тип шундай  эндоморфизмы бирелгән, бында ,  Абель төркөмө атала. Был эндоморфизм дифференциал тип атала. Дифференциаль төркөмдәрҙең элементтары сынйырҙар, ядроның элементтары  — циклдар, образдың элементтары  — сиктәр тип аталалар.

 Гиперболалы төркөмдәр 
Сикле-барлыҡҡа килтерелгән төркөм, әгәр ул метрик арауыҡ булараҡ гиперболалы булһа, гиперболалы төркөм тип атала.

Ентекләберәк, һайлап алынған барлыҡҡа килтереүсе менән сикле-барлыҡҡа килтерелгән төркөмдә тәбиғи метрика — һүҙлекле метрика бар. Был метрика менән тәьмин ителгән төркөм, әгәр ул метрик арауыҡ булараҡ гиперболалы булһа, гиперболалы төркөм тип атала. Һайлап алынған барлыҡҡа килтереүселәр системаһын алмаштырғанда метрика квазиизометрик үҙгәрә, ә метрик арауыҡтың гиперболалығы был осраҡта һаҡланғанлыҡтан — төшөнсә барлыҡҡа килтереүселәр системаһын һайлауға бәйле түгел килеп сыға.

 Гиперболалыҡ ул, билдәле мәғәнәлә, метрик арауыҡ үҙсәнлектәренең ағас менән «оҡшашлығы» булғанлыҡтан — теләһә ниндәй сикле һандағы барлыҡҡа килтереүселәр ирекле төркөмө (Кэли графы ағас булып торған) гиперболалы.
 PSL(2,Z) төркөмө гиперболалы.
 Сикле төркөм гиперболалы.

 Сикле индекслы аҫтөркөмгә күскәндә гиперболалыҡ һаҡлана.
 Теләһә ниндәй гиперболалы төркөм сикле-күрһәтмәләнгән була: сикле һандағы барлыҡҡа килтереүселәр һәм сикле һандағы ярашлылыҡтар менән бирелә. (Эҙемтә булараҡ, гиперболалы төркөмдәр — бөтә төркөмдәрҙән айырмалы рәүештә — бары тик иҫәпле һанда.)
 Гиперболалыҡ үҙ артынан (ә, ысынбарлыҡта, тиң көслө) һыҙыҡлы изопериметрик тигеҙһеҙлеккә килтерә: N барлыҡҡа килтереүсенең ҡабатландығы итеп яҙылған тривиаль һүҙ, базислы бәйләнештәргә эйәртеүле CN ҡабатландығы һымаҡ күҙаллана (эйәреүсе ҡабатландыҡ оҙонлоғона билдәле бер контроль менән).

 П. де ля Арп, Э. Гис, Гиперболические группы по Михаилу Громову 
(P. de la Harpe, E. Ghys, Sur les groupes hyperboliques d’après Mikhael Gromov)

 Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75—263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.

 Күрһәтмәләр теорияһы 

 Төркөмдәр теорияһына ҡушымталар  
Төркөмдәр теорияһының күп һандағы ҡушымталары бар. Дөйөм алгебраның күп структуралары төркөмдәрҙең айырым осраҡтары итеп ҡаралырға мөмкин, мәҫәлән, ҡулсалар, унда индерелгән икенсе ғәмәл — ҡабатлау менән (ҡушыуға ҡарата) Абель төркөмө итеп ҡаралырға мөмкин. Шуға күрә лә төркөмдәр был объекттар теорияһының күп өлөшөнөң нигеҙендә яталар.  
Галуа теорияһы төркөмдәрҙе күпбыуын тамырҙарының симметрияһын һүрәтләү өсөн ҡуллана.  Галуа теорияһының төп теоремаһы алгебраик киңәйтеүҙәр һәм төркөмдәр теорияһы араһында бәйләнеш урынлаштыра. Был алгебраик тигеҙләмәләрҙең ярашлы Галуа төркөмдәре шарттарында хәл итерлек булыуының файҙалы критерийын бирә.

 Ҡайһы бер теоремалар 
 Төркөмдәрҙең иң ябай үҙсәнлектәре — Төркөм мәҡәләһендә
 Гомоморфизм тураһында төп теорема — фактор төркөм мәҡәләһендә
 Жордан — Гёльдер теоремаһы
 Крулл — Шмидт теоремаһы
 Лагранж теоремаһы (төркөмдәр теорияһы)
 Силов теоремалары
 Төркөмдө һүрәтләү

 Төркөмдәр теорияһының хәл ителмәгән проблемалары 
Төркөмдәр теорияһының бер нисә мең хәл ителмәгән проблемаларының иң билдәле йыйынтығы булып Коуровская дәфтәре тора .

 Иҫкәрмәләр 

 Әҙәбиәт 
 Ляховский В. Д., Болохов А. А. Группы симметрии и элементарные частицы, Изд-во ЛГУ, 1983.
 Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и её приложения, т.1, 2, М., 1980.
 Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления, М., 1970.
 Желобенко Д. П., Штерн А. И. Представления групп Ли, М., 1980.
 Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп, Изд-во «Наука», 1972.

 Һылтанмалар 

 History of the abstract group concept
 Higher dimensional group theory
 Plus teacher and student package: Group Theory
 GAP Groups, Algorithms, Programming a System for Computational Discrete Algebra

*