Гильберт проблемалары

Ги́льберт проблемалары — Давид Гильберт тарафынан 1900 йылда Парижда математиктарҙың II Халыҡ-ара Конгрессында тәҡдим иткән математиканың 23 кардиналь проблемалары исемлеге. Ул ваҡытта был (математиканың нигеҙен тәшкил итеүсе, алгебраны, һандар теорияһын, геометрияны, топологияны, алгебраик геометрияны, Ли төркөмдәрен, ысын һәм комплекслы анализды, дифференциаль тигеҙләмәләрҙе, математик физиканы һәм ихтималлыҡ теорияһын, шулай уҡ вариацион иҫәпләмәне үҙ эсенә алған) проблемалар хәл ителмәгән була.

Әлеге ваҡытта 23 проблеманың 16-һы хәл ителгән. Тағы ла 2-һе корректлы математик проблема түгел (береһе бик аңлайышһыҙ итеп әйтеп бирелгән, хәл ителгәнме әллә юҡмы икәне аңлашылмай, икенсеһе, хәл итеүҙән йыраҡ торғаны, — физик проблема, ә математик түгел). Ҡалған 5 проблеманың икәүһе  бер нисек тә хәл ителмәгән, ә өсәүһе айырым осраҡтар өсөн генә хәл ителгән. Гильберт исемлеген иғлан иткәндән һуң теүәл йөҙ йыл үткәс, Америка математигы Стивен Смейл хәҙерге хәл ителмәгән проблемаларҙың яңы исемлеген тәҡдим итте (уларҙың ҡайһы берҙәре хәҙер хәл ителгән инде). Үҙенең исемлеген Клэйҙың математика институты халыҡҡа иғлан итте.

 Проблемалар исемлеге 
 № Статусы Ҡыҫҡаса әйтелеше Һөҙөмтәһе Хәл ителеү йылы1хәл ителгәнРезультаты Гёделя и Коэна (Cohen) показывают, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречат системе аксиом Цермело — Френкеля (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть (при условии, что эта система аксиом непротиворечива).Континуум ҡеүәте тураһында Кантор проблемаһы (Континуум-гипотеза) ZFC-та хәл итеү мөмкин түгел 19632консенсусы юҡКурт Гёдель доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики. В 1936 году Герхард Генцен доказал непротиворечивость арифметики, используя примитивно рекурсивную арифметику с дополнительной аксиомой для трансфинитной индукции до ординала ε0.Арифметика аксиомаларының ҡаршылыҡлы булмауы.Фекерҙе асыҡлау талап ителә3хәл ителгәнТигеҙ ҙурлыҡтағы күпҡырҙарҙың тигеҙ төҙөлгәнлегеКире ҡағылған19004үтә аңлайышһыҙТура һыҙыҡтар геодезик булған метрикаларҙы һанап сығырға Фекерҙе асыҡлау талап ителәСогласно Рову (Rowe) и Грею (Gray) (см. далее), большинство проблем были решены. Некоторые из них не были достаточно точно сформулированы, однако достигнутые результаты позволяют рассматривать их как «решённые». Ров и Грей говорят о четвёртой проблеме как о такой, которая слишком нечётко поставлена, чтобы судить о том, решена она или нет.5хәл ителгәнБөтә өҙлөкһөҙ төркөмдәр ҙә Ли төркөмдәре буламы?Эйе19536өлөшләтә хәл ителгәнL. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141.Физика аксиомаларын математик тикшереүҠуйылған проблеманы интерпретациялауға бәйле 7хәл ителгән һаны трансцендент һан буламы (йәки иррациональ һан булһа ла)Решена Зигелем и Гельфондом (и независимо Шнайдером) в более общем виде: если a ≠ 0, 1 — алгебраическое число, и b — алгебраическое иррациональное, то ab — трансцендентное число</td>Эйе19348өлөшләтә хәл ителгәнПроблема № 8 содержит две известные проблемы, первая из которых не решена, а вторая решена частично. Первая из них, гипотеза Римана, является одной из семи Проблем тысячелетия, которые были обозначены как «Проблемы Гильберта» 21-го века.Ябай һандар проблемаһы (Риман гипотезаһы һәм Гольдбах проблемаһы)Гольдбахтың тернар гипотезаһы иҫбат ителгәнTerence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…Major arcs for Goldbach’s theorem, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913.9өлөшләтә хәл ителгәнПроблема № 9 была решена для абелевого случая; неабелев случай остаётся нерешённым.Дөйөм уртаҡлыҡ законын теләһә ниндәй һандар яланында иҫбатлауАбелев осрағы өсөн иҫбат ителгән10хәл ителгәнЮрий Матиясевич в 1970 году доказал алгоритмическую неразрешимость вопроса о том, имеет ли произвольное диофантово уравнение хотя бы одно решение. Изначально проблема была сформулирована Гильбертом не в качестве дилеммы, а в качестве поиска алгоритма: в то время, видимо, даже не задумывались о том, что может существовать отрицательное решение подобных проблем.Диофант тигеҙләмәләрен сығарыуҙың универсаль алгоритмы бармы?Юҡ197011өлөшләтә хәл ителгәнИрекле алгебраик һан коэффициентлы квадратик формаларҙы тикшереү12хәл ителмәгәнАбелев яландары тураһында Кронекер теоремаһын рационаллектең теләһә ниндәй алгебраик өлкәһенә таратыу13хәл ителгәнЕтенсе дәрәжәләге дөйөм тигеҙләмәне ике генә үҙгәреүсәнле функция ярҙамында сығарып буламы?Эйе195714хәл ителгәнҺыҙыҡлы алгебраик төркөмдәр инварианттары алгебраһының сикле порождённость иҫбатлаүУтверждение о конечной порождённости алгебры инвариантов доказано для произвольных действий редуктивных групп на аффинных алгебраических многообразиях. Нагата в 1958 году построил пример линейного действия унипотентной группы на 32-мерном векторном пространстве, для которого алгебра инвариантов не является конечно порождённой. В. Л. Попов доказал, что если алгебра инвариантов любого действия алгебраической группы G на аффинном алгебраическом многообразии конечно порождена, то группа G редуктивна.Кире ҡағылған195915өлөшләтә хәл ителгәнШуберттың иҫәпләмә геометрияһын ҡәтғи нигеҙләү16өлөшләтә хәл ителгәнПервая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно M=(n-1)(n-2)/2+1, и что такие кривые существуют — их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача сделана до степени n=6 включительно, а для степени n=8 довольно много известно (хотя её ещё не добили). Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены — см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для n=6 есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей — неизвестно даже, сколько их может быть, и что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля имеется конечное число предельных циклов) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем, для чего каждому из них пришлось написать по книге.Алгебраик кәкере һыҙыҡтарҙың һәм йөҙҙәрҙең топологияһыПриведён перевод исходного названия проблемы, данного Гильбертом: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen» . Однако, более точно её содержание (как оно рассматривается сегодня) можно было бы передать следующим названием: «Число и расположение овалов вещественной алгебраической кривой данной степени на плоскости; число и расположение предельных циклов полиномиального векторного поля данной степени на плоскости». Вероятно (как можно увидеть из английского перевода текста анонса), Гильберт считал, что дифференциальная часть (в реальности оказавшаяся значительно труднее алгебраической) будет поддаваться решению теми же методами, что и алгебраическая, и потому не включил её в название.17хәл ителгәнБилдәле бер формалар квадраттар суммаһы рәүешендә күрһәтелә аламыЭйе192718хәл ителгәнBieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.Ров и Грей также называют проблему № 18 «открытой» в своей книге за 2000 год, потому что задача упаковки шаров (известная также как задача Кеплера) не была решена к тому времени, однако на сегодняшний день есть сведения о том, что она уже решена (см. далее). Продвижения в решении проблемы № 16 были сделаны в недавнее время, а также в 1990-х. Кристаллографик төркөмдәр һаны сиклеме? (a)
 Арауыҡты конгруэнт күпҡырҙар менән даими булмаған тултырыу бармы? (a)
 Гексагональ һәм кубик үҙәккә тура килтерелгән ҡырлы шарҙар төргәктәре нығыраҡ тығыҙ буламы? (b) Эйе
 Эйе
 Эйе(a) 1928(b) 199819хәл ителгәнРегуляр вариацион Лагранж мәсьәләләре сығарылышы һәр ваҡытта ла аналитик буламы?Эйе195720хәл ителгәнБөтә билдәле бер сикләүсе шарттары булған вариацион мәсьәләләрҙең дә сығарылышы бармы?Эйе?21хәл ителгәнБирелгән монодромия төркөмө менән һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмәләрҙең барлығын иҫбатлауБармы юҡмы икәне мәсьәләне анығыраҡ итеп әйтеп биреүгә бәйле199222өлөшләтә хәл ителгәнАналитик бәйлелектәрҙе автоморфлы функциялар ярҙамында униформизациялау23үтә ныҡ аңлайышһыҙВариацион иҫәпләмә ысулдарын үҫтереүФекерҙе асыҡлау талап ителә

 24-се проблема 
 Төп статья: 
Башта исемлектә 24 проблема була, ләкин докладҡа әҙерләнеү барышында Гильберт уларҙың береһенән баш тарта. Был проблема ябайлыҡ критерийын һәм дөйөм ысулдарҙы иҫбатлау теорияһы менән бәйле була. Был проблеманы Гильберттың мәҡәләләрендә немец фәндәр тарихсыһы Рюдигер Тиле 2000 йылда табаHilbert’s twenty-fourth problem . Rüdiger Thiele, American Mathematical Monthly, January 2003..

 Шулай уҡ ҡара 
 Проблемы Смейла
 Проблемы тысячелетия
 Открытые математические проблемы

 Иҫкәрмәләр 

 Әҙәбиәт 




 Проблемы Гильберта , Сборник под редакцией П. С. Александрова, М., Наука, 1969 г., 240 с.

 Һылтанмалар 
 Оригинальный текст на немецком доклада Гильберта 
 Русский перевод доклада Гильберта (вводная часть и заключение)

Категория:Гильберттың математик гипотезалары
Категория:Математика тарихы
*
Категория:Асыҡ математик проблемалар