Яҫылыҡ

Яҫылыҡ — геометрияның төп төшөнсәләренең береһе. Геометрияның логик төҙөлөшөндә яҫылыҡ төшөнсәһе тәүге төшөнсәләрҙең береһе итеп ҡабул ителә, ул геометрияның аксиомалары аша ситләтеп кенә билдәләнә.

Яҫылыҡ — тура һыҙыҡтан ғибәрәт булған төҙөүсене йүнәлтеүсе тура һыҙыҡ буйлап кинематик хәрәкәт иттергәндә барлыҡҡа килгән йөҙ йәки фигура (һыҙма геометрия).

 Яҫылыҡтың ҡайһы бер характерлы үҙсәнлектәре 
 Яҫылыҡ — уның теләһә ниндәй нөктәләрен тоташтырыусы һәр тура һыҙыҡ тулыһынса унда ятҡан йөҙ;
 Ике Яҫылыҡ йә параллель, йәки тура һыҙыҡ буйлап киҫешә.
 Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо находится на плоскости.
 Бер үк яҫылыҡҡа перпендикуляр булған ике тура һыҙыҡ бер-береһенә параллель.
 Бер үк тура һыҙыҡҡа перпендикуляр булған ике яҫылыҡ бер-береһенә параллель.

 Яҫылыҡ тигеҙләмәһе 
Беренсе булып А. К. Клеро хеҙмәттәрендә осрай (1731).

Яҫылыҡтың киҫектәрҙә тигеҙләмәһе, күренеүенсә, беренсе булып Г. Ламе хеҙмәттәрендә осрай (1816—1818).

Нормаль тигеҙләмәне Л. О. Гессе индергән (1861).

Яҫылыҡ — беренсе тәртиптәге алгебраик йөҙ: координаталарҙың декарт системаһында яҫылыҡ беренсе дәрәжә тигеҙләмә менән бирелә.

 Яҫылыҡтың дөйөм (тулы) тигеҙләмәһе



бында  һәм  — һандар, шуның менән бергә  һәм  бер үк ваҡытта нулгә тигеҙ түгел; Векторлы формала:



бында  —  нөктәһенең радиус-векторы,  векторы яҫылыҡҡа перпендикуляр (нормаль вектор).  векторының йүнәлтеүсе косинустары:




Әгәр яҫылыҡ тигеҙләмәһендә коэффициенттарҙың береһе нулгә тигеҙ булһа, тигеҙләмә тулы булмаған тигеҙләмә тип атала.  булғанда яҫылыҡ координаталар башы аша үтә,  (йәки , ) булһа яҫылыҡ  (ярашлы рәүештә  йәки ) күсәренә  параллель була. Әгәр  (, йәки ) булһа, яҫылыҡ  (ярашлы рәүештә  йәки ) яҫылығына  параллель була.

 Яҫылыҡтың киҫектәрҙә тигеҙләмәһе:



бында , ,  — яҫылыҡ тарафынан  һәм  күсәрҙәренән киҫеп алынған киҫектәр.

   нормаль  векторға перпендикуляр булған,  нөктәһе аша үткән яҫылыҡтың тигеҙләмәһе:



векторлы формала:



 Бер тура һыҙыҡта ятмаған бирелгән өс  нөктә аша үткән яҫылыҡ тигеҙләмәһе:



(векторҙарҙың ҡатнаш ҡабатландығы), башҡаса



 Яҫылыҡтың нормаль (нормалаштырылған) тигеҙләмәһе



векторлы формала:



бында - берәмек вектор,  — яҫылыҡтың координаталар башынан алыҫлығы. (2) тигеҙләмә (1) тигеҙләмәнән нормалаштырыусы ҡабатлашыусыға ҡабатлап килеп сыға



( һәм  тамғалары ҡапма-ҡаршы).

 Нөктә һәм нормаль вектор буйынса билдәләмә 
Өс үлсәмле арауыҡта яҫылыҡты билдәләүҙең мөһим ысулдарының береһе булып яҫылыҡта ятҡан нөктәне һәм уға нормаль векторҙы күрһәтеү тора.

 — яҫылыҡта бирелгән  нөктәһенең радиус-векторы булһын, ти, һәм n — яҫылыҡҡа  перпендикуляр булған (нормаль) нулдән айырмалы вектор булһын. Идея шунан тора, r радиус-векторлы  нөктәһе яҫылыҡта ята шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр  нөктәһенән  нөктәһенә үткәрелгән вектор n векторына перпендикуляр булһа.

Ике вектор бер-береһенә перпендикуляр шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр уларҙың скаляр ҡабатландығы нулгә тигеҙ булһа. Ошонан сығып, беҙгә кәрәкле яҫылыҡ шундай r нөктәләре күмәклеге булып тора, бында:
  (Бында нөктә скаляр ҡабатландыҡты аңлата, ә ҡабатлауҙы түгел.)
Аңлатманы үҙгәртеп табабыҙ:

был беҙгә таныш яҫылыҡ тигеҙләмәһе булып тора.

Мәҫәлән:
Бирелә: яҫылыҡта ятҡан  нөктәһе һәм нормаль вектор .

Яҫылыҡтың тигеҙләмәһе ошолай яҙыла:

 Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ 
Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ — был нөктә менән яҫылыҡтың нөктәләре араһындағы иң ҡыҫҡа алыҫлыҡ ул. Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем  алыҫлыҡ был нөктәнән яҫылыҡҡа төшөрөлгән перпендикуляр оҙонлоғона тигеҙ булыуы билдәле.
  нормалаштырылған тигеҙләмә:
 менән бирелгән яҫылыҡтан   нөктәһенең тайпылышы
 ,әгәр  һәм координаталар башы яҫылыҡтың төрлө яғында ятһа, ҡапма-ҡаршы осраҡта . Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ  тигеҙ.
  нөктәһенән  тигеҙләмәһе менән бирелгән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ  түбәндәге формула буйынса иҫәпләнә:

 Параллель яҫылыҡтар араһында алыҫлыҡ 
  һәм  тигеҙләмәләре менән бирелгән яҫылыҡтар араһындағы алыҫлыҡ:

  һәм  тигеҙләмәләре менән бирелгән яҫылыҡтар араһындағы алыҫлыҡ:


 Бәйле төшөнсәләр 
 Яҫылыҡтар араһындағы мөйөш. Әгәр яҫылыҡтарҙың тигеҙләмәһе (1) күренештә бирелһә, ул саҡта



Әгәр векторлы формала бирелһә, ул саҡта



 Яҫылыҡтар параллель, әгәр

  йәки  булһа. (Векторлы ҡабатландыҡ)

 Яҫылыҡтар перпендикуляр, әгәр

  йәки  булһа. (Скаляр ҡабатландыҡ)

 Яҫылыҡтар шәлкеме — ике яҫылыҡтың киҫешеү һыҙығы аша үткән бөтә яҫылыҡтар. Яҫылыҡтар шәлкеме тигеҙләмәһе, йәғни ике яҫылыҡтың киҫешеү һыҙығы аша үткән теләһә ниндәй яҫылыҡ тигеҙләмәһе, түбәндәге күренештә:



 бында  һәм  — бер юлы нулгә тигеҙ булмаған теләһә ниндәй һандар. Ә һыҙыҡтың үҙенең тигеҙләмәһен шәлкем тигеҙләмәһенә α=1, β=0 һәм α=0, β=1 ҡиммәттәрен ҡуйып табып була.

 Яҫылыҡтар бәйләме — өс яҫылыҡтың киҫешеү нөктәһе аша үткән бөтө яҫылыҡтар. Яҫылыҡтар бәйләме  тигеҙләмәһе, йәғни өс яҫылыҡтың киҫешеү нөктәһе аша үткән теләһә ниндәй яҫылыҡ тигеҙләмәһе, түбәндәге күренештә:



 бында ,  һәм  — бер юлы нулгә тигеҙ булмаған теләһә ниндәй һандар. Нөктәнең үҙен яҫылыҡтар бәйләме  тигеҙләмәһенә α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 һәм α=0, β=0, γ=1 ҡиммәттәрен ҡуйып һәм килеп сыҡҡан тигеҙләмәләр системаһын сығарып табып була.

  арауығында m-яҫылыҡ 
Ысын һандар яланында n-үлсәмле аффинно-сикле үлсәмле арауыҡ  бирелһен, ти. Унда тура мөйөшлө координаталар системаһы  алынған. m-яҫылыҡ тип радиус векторҙары түбәндәге нисбәтте ҡәнәғәтләндергән  нөктәләр күмәклеге атала:   — матрица, бағаналары яҫылыҡтың йүнәлтеүсе аҫарауығын төҙөй,  — үҙгәреүсәндәр векторы,  — яҫылыҡ нөктәләренең береһенең радиус-векторы.
Килтерелгән нисбәтте матрица-векторлы күренештән векторлы күренешкә үҙгәртергә мөмкин:
 — m-яҫылыҡтың векторлы тигеҙләмәһе.
 векторҙары  йүнәлтеүсе аҫарауыҡ төҙөйҙәр. Ике m-яҫылыҡ  параллель тип атала, әгәр уларҙың йүнәлтеүсе аҫарауыҡтары тап килһә һәм .
 (n-1)-яҫылыҡ n-үлсәмле арауыҡта гиперяҫылыҡ йәки ябай яҫылыҡ тип атала. Гиперяҫылыҡ өсөн яҫылыҡтың дөйөм тигеҙләмәһе бар.  — яҫылыҡтың нормаль векторы булһын, ти.  — үҙгәреүсәндәр векторы,  — яҫылыҡта ятҡан нөктәнең радиус векторы, ул саҡта:
 — яҫылыҡтың дөйөм тигеҙләмәһе. 
Йүнәлтеүсе векторҙарҙың  матрицаһы булғанда, яҫылыҡ тигеҙләмәһен ошолай яҙырға мөмкин: , йәки:
.
Яҫылыҡтар араһындағы мөйөш тип уларҙың нормаль векторҙары араһындағы иң бәләкәй мөйөш атала. 

 m-яҫылыҡтарға миҫалдар 
 Өс үлсәмле арауыҡта (n=3) 1-яҫылыҡтың миҫалы булып тура һыҙыҡ хеҙмәт итә. Уның векторлы тигеҙләмәһе түбәндәге күренештә: . n = 2 булған осраҡта тура һыҙыҡ гиперяҫылыҡ була.
 Өс үлсәмле арауыҡта гиперяҫылыҡ ғәҙәти яҫылыҡ төшөнсәһе менән тап килә.

 Шулай уҡ ҡарағыҙ 
 Тура һыҙыҡ
 Сагитталь яҫылыҡ
 Ярымяҫылыҡ
 Арауыҡ

 Иҫкәрмәләр 

 Әҙәбиәт 

 Һылтанмалар 

Категория:Евклид геометрияһы
Категория:Аксиоматик терминдар
Категория:Стереометрия