Е (һан)

I төр Эйлер һандары менән бутамаҫҡа
Эйлер — Маскерони константаһы менән бутамаҫҡа
 Иррациональ һанЫсын константа|inline=1}} Иҫәпләү системаһы   һанына баһа Икеле иҫәпләү системаһы  10,101101111110000101010001011001… Унарлы иҫәпләү системаһы  2,7182818284590452353602874713527… Ун алтылы иҫәпләү системаһы  2,B7E151628AED2A6A… Алтмышлы иҫәпләү системаһы  2; 43 05 48 52 29 48 35 … Рациональ яҡынлауҙар 8/3; 11/4; 19/7; 87/32; 106/39; 193/71; 1264/465; 2721/1001; 23225/8544
(теүәллеге арта барыу тәртибендә теҙеп яҙылған) Өҙлөкһөҙ кәсер  [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …]
(Был өҙлөкһөҙ кәсер периодлы түгел. Һыҙыҡлы нотацияла яҙылған)


e — Натураль логарифмдың нигеҙе, математик константа, иррациональ һәм трансцендент һан. Яҡынса 2,71828 тигеҙ. Ҡайһы берҙә  һанын Эйлер һаны йәки Непер һаны тип атайҙар. Бәләкәй латин хәрефе менән тамғалана «e».

e һаны дифференциаль һәм интеграль иҫәпләмәлә, шулай уҡ математиканың башҡа күп бүлектәрендә мөһим роль уйнай.
 функцияһы (экспонента) «үҙ-үҙенә» интеграциялана һәм дифференцияланғанлыҡтан,  нигеҙе буйынса логарифмдар натураль логарифм итеп ҡабул ителәләр.

 Билдәләмә биреү ысулдары 
e һанына бер нисә ысул менән билдәләмә бирергә мөмкин.
 Сикләмә аша:
  (икенсе бик яҡшы сикләмә).
  (Муавр — Стирлинг формулаһы).
 Рәт суммаһы булараҡ:
  йәки .
  шарты үтәлгән берҙән-бер  һаны булараҡ.
  тигеҙлеге дөрөҫ булған берҙән-бер ыңғай  һаны булараҡ.

 Үҙсәнлектәре 
 Экспонентаның сығарылмаһы экспонентаның үҙенә тигеҙ:Был үҙсәнлеге дифференциаль тигеҙләмәләрҙе эшләгәндә мөһим роль уйнай. Шулай, мәҫәлән,  дифференциаль тигеҙләмәһенең берҙән-бер сығарылышы булып  функцияһы тора, бында  — теләһә ниндәй константа.
  һаны иррациональ һәм хатта трансцендент һан. Уның трансцендентлығы тик 1873 йылда Шарль Эрмит тарафынан иҫбат ителә .  — һаны нормаль һан тип фараз ителә, йәғни уның яҙылышында төрлө цифрҙарҙың осрау ихтималлағы тигеҙ.
 Иррационаллеген иҫбатлау һаны рациональ тип уйлайыҡ. Ул саҡта , бында  — бөтөн, ә  — натураль һан.
Тимәк

Тигеҙлектең ике яғын да -ға ҡабатлап, табабыҙ

-ты һул яҡҡа сығарабыҙ:

Уң яҡтағы бөтә ҡушылыусылар ҙа бөтөн, шулай булғас, һул яҡтағы сумма ла бөтөн. Ләкин был сумма ыңғай ҙа, тимәк, ул 1-ҙән бәләкәй түгел.
Икенсе яҡтан,

Уң яҡтағы геометрик прогрессияның суммаһын иҫәпләп, табабыҙ:

 булғанлыҡтан,

Ҡапма-ҡаршылыҡҡа киләбеҙ.
 e һаны иҫәпләп була торған һан (тимәк, арифметик һан да) булып тора.
 , Эйлер формулаһын ҡара, айырым осраҡта


  һәм  һандарын бәйләүсе тағы ла формулалар:
 «Пуассон интегралы» йәки «Гаусс интегралы» тип йөрөтөлгән формулалар

 сикләмә

 Теләһә ниндәй z комплекслы һаны өсөн түбәндәге тигеҙлектәр дөрөҫ:

 e һаны түбәндәгесә сикһеҙ сылбырлы кәсергә тарҡала:
 , йәғни

 Йәки уға эквивалентлы:

 Күп һандағы тамғаларҙы тиҙ иҫәпләү өсөн икенсе тарҡатманы ҡулланыу уңайлыраҡ:


 Евгений-Шарль Каталан тәҡдим иткәнсә:

 Ҡабатлау аша күрһәтеү:

 Белл һаны аша

  һанының иррационаллек үлсәме -гә тигеҙ (иррациональ һандар өсөн мөмкин булған иң бәләкәй ҡиммәт).

 Тарихы 
Был һанды ҡайһы берҙә «Ғәжәйеп логарифмдар таблицаһын тасуирлау» (1614 йыл) эше авторы шотланд ғалимы Джон Непер хөрмәтенә непер һаны тип тә атайҙар. Ләкин был исем бик үк бармай, сөнки унда  һанының логарифмы -гә тигеҙ.
Беренсе тапҡыр константа, Неперҙың юғарыла телгә алынған эшенең 1618 йылда баҫтырылып сыҡҡан инглиз теленә тәржемәһендә йәшерен рәүештә бар. Йәшерен, сөнки унда тик натураль логарифдарҙың кинематик фекерләүҙән сығып билдәләнгән таблицаһы ғына бар, ә константа үҙе юҡ. Таблицаның авторы инглиз математигы Уильям Отред тип фараз ителә.
Константаның үҙен беренсе тапҡыр швейцар математигы Якоб Бернулли процентлы килемдең сикләмә дәүмәле тураһында мәсьәләне эшләү барышында иҫәпләп сығарған.
Әгәр баштағы сумма  һәм йыл аҙағында бер тапҡыр йыллыҡ  өҫтәлһә, һөҙөмтәлә сумма   булыуын асыҡлаған. Ләкин шул уҡ процентты йылына ике тапҡыр өҫтәһәң, ул саҡта  ике тапҡыр -кә ҡабатлана, һөҙөмтәлә  килеп сыға. Процентты кварталға бер тапҡыр өҫтәү  һөҙөмтәһенә килтерә һ.б. артабан шулай.
Бернулли, әгәр процент өҫтәү йышлығын сикһеҙ арттырһаң, ҡатмарлы процент осрағында процентлы килемдең сикләмәһе бар:
 һәм был сикләмә  һанына тигеҙ икәнен күрһәткән.

Шулай итеп,  константаһы максималь йышлыҡтағы йыллыҡ  капиталлаштырыу осрағында мөмкин булған максималь йыллыҡ килемде аңлата.
Беренсе билдәле булған, унда  хәрефе менән тамғаланған, был константаны ҡулланыу Готфрид Лейбництың 1690—1691 йылдарҙа Гюйгенс Христианға яҙған хатында осрай.
 хәрефен 1727 йылда Эйлер ҡуллана башлай, беренсе тапҡыр ул Эйлерҙың  немец математигы Кристиан Гольдбахҡа 1731 йылдың 25 ноябрендә яҙған хатында осрайLettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P. H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle, vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56—60 ; см. page 58., ә был хәреф менән беренсе баҫмаһы уның «Механика, йәки аналитик тасуирләнгән хәрәкәт тураһындағы фән» хеҙмәте була, 1736 йыл. Шуға ярашлы,  һанын ғәҙәттә Эйлер һаны тип атайҙар. Һуңғараҡ ҡайһы бер ғалимдар  хәрефен ҡулланыуға ҡарамаҫтан,  хәрефе йышыраҡ ҡулланыла һәм хәҙерге көндә стандарт тамғаланышы булып тора.
Ни өсөн тап  хәрефе һайланған икәне аныҡ билдәле түгел. Бәлки, exponential («күрһәткесле», «экспоненциаль») һүҙе ошо хәрефтән башланыуы менән бәйлелер. Икенсе фараз буйынса,  һәм  хәрефтәре башҡа маҡсаттарҙа етерлек йыш ҡулланылалар, һәм  беренсе «буш» хәреф була. Шулай уҡ  хәрефе Эйлер (Euler) фамилияһында беренсе хәреф булыуы ла иғтибарға лайыҡ.

 Яҡынлауҙар 
  һанын 2,7 һәм ҡабатланып килеүсе 18, 28, 18, 28 булараҡ иҫтә ҡалдырырға мөмкин.
 Мнемоник ҡағиҙә: ике һәм ете, артабан ике тапҡыр Лев Толстойҙың тыуған йылы (1828), артабан тура мөйөшлө тигеҙ эргәле өсмөйөштөң мөйөштәре (45, 90 һәм 45 градус). Был ҡағиҙәнең бер өлөшөн иллюстрациялаусы шиғри мнемофраза: «Экспонентаны хәтерләүҙең ысулы ябай: ике һәм ундан ете, икеләтә Лев Толстой»
 Өтөрҙән һуң тәүге 12 тамғаны хәтерҙә ҡалдырырға булышлыҡ иткән мнемоник шиғыр (һүҙҙәрҙең оҙонлоғо e һаны цифрҙарын кодлай): Мы порхали и блистали, / Но застряли в перевале: / Не признали наши крали / Авторалли.
 e ҡағиҙәләре АҠШ президенты Эндрю Джексон менән дә бәйле: 2 — шул тапҡыр һайланған, 7 — ул АҠШ-тың етенсе президенты булған, 1828 — уның һайланған йылы, ике тапҡыр ҡабатлана, сөнки Джексон ике тапҡыр һайлана. Артабан — тура мөйөшлө тигеҙ эргәле өсмөйөш.
 Өтөрҙән һуң өс тамғаға тиклем аныҡлыҡ менән «иблис һаны» аша: 666-ны, 6−4, 6−2, 6−1 (өс алты, уларҙан кире тәртиптә икенең тәүге өс дәрәжәһе алып ташлана) цифрҙарынан торған һанға бүлергә кәрәк: .
 e һанын  итеп хәтерҙә ҡалдырыу (0,001-ҙән кәмерәк аныҡлыҡ менән).
 Тупаҫ (0,001-гә тиклем аныҡлыҡ менән) яҡынайыу e һанын  тигеҙ тип ҡарай. Бөтөнләй тупаҫ (0,01-гә тиклем аныҡлыҡ менән) яҡынайыу  аңлатмаһы менән бирелә.
 «Боинг-747 ҡағиҙәһе»:   0,0005 аныҡлығын бирә.
 -гә тиклем аныҡлыҡ менән:   ,  
 ,  0,000001-гә тиклем аныҡлыҡ менән ;
 19/7 һаны e һанынан 0,004-тән әҙерәккә артыҡ;
 87/32 һаны e һанынан 0,0005-тән әҙерәккә артыҡ;
 193/71 һаны e һанынан 0,00003-тән әҙерәккә артыҡ;
 1264/465 һаны e һанынан 0,000003-тән әҙерәккә артыҡ;
 2721/1001 һаны e һанынан 0,0000002-нән әҙерәккә артыҡ;
 23225/8544 һаны e һанынан 0,00000001-ҙән әҙерәккә артыҡ.
 Эргә ҡырҙары төҙөк өсмөйөш, ҡабырғаһының оҙонлоғо  1-гә тигеҙ булған (0,005-кә тиклем аныҡлыҡ менән) квадрат пирамиданың өҫкө йөҙөнөң майҙаны.

 Асыҡ ҡалған проблемалар 
  һаны периодтар дүңгәләге элементы буламы икәне билдәһеҙ.
  һәм  һандары алгебраик бәйләнешһеҙме икәне билдәле түгел]].
 Түбәндәге һандарҙың береһе өсөн дә иррационаллек үлсәме билдәле түгел:  Уларҙың береһе өсөн дә, хатта ул һан рациональ һан, алгебраик иррациональ йәки трансцендент һан буламы икәнлеге лә билдәле түгел.:en:Irrational number#Open questionsSome unsolved problems in number theoryAn introduction to irrationality and transcendence methods 
 Беренсе Скьюз һаны   бөтөн һан буламы икәнлеге билдәһеҙ.

 Ҡыҙыҡлы факттар 
2004 йылда IPO Googl компанияһында компания үҙенең килемен 2 718 281 828 долларға арттырырға ниәт итеүе тураһында иғлан ителә. Иғлан ителгән һан билдәле математик константаның тәүге 10 цифры булып тора. 
 Теоретик яҡтан иң етештереүсән компьютерҙарҙың  разрядлығы -гә тигеҙ булырға тейеш тип иҫәпләнә. Өсәрле ЭВМ был ҡиммәткә яҡын, ләкин техник ҡатмарлылыҡ арҡаһында 1 һәм 0 ҡулланылған тик икеле компьютерҙар ғына таралыу алған.
 Программалау телдәрендә  символына һандарҙың экспоненциаль яҙылышында 10 һаны тура килә, ә Эйлер һаны түгел. Был математик иҫәпләүҙәр өсөн FORTRAN телен төҙөү тарихы һәм ҡулланыу менән бәйле.

 Шулай уҡ ҡарағыҙ 
 Леонард Эйлер хөрмәтенә аталған объекттар исемлеге

 Иҫкәрмәләр 

 Һылтанмалар 

  (статья с примерами физического смысла констант  и )

 e for 2.71828…  (история и правило Джексона)
 «Экспонента и число е: просто и понятно » — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & Number e | BetterExplained

Категория:Яңғыҙлыҡ исемле һандар
Категория:Трансцендент һандар
Категория:Логарифмдар
Категория:Ыңғай һандар
Категория:Математик константалар