Алгебра

А́лгебра («аль-джабр» ғәрәп һүҙенән, «тулыландырыу», «бәйләнеш», «йомғаҡлау» аңлатаАлександрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 6.) — математиканың бүлеге, уны арифметиканы дөйөмләштереү һәм киңәйтеү тип атап була.

«Алгебра» һүҙе шулай уҡ төрлө алгебраик системалар атамаларында ҡулланыла.
А́лгебра математика фәненең бер бүлеге, һанлы системаларҙың дөйөм үҙсәнлектәрен, хәреф тамғалары ҡулланып төҙөлгән тигеҙләмәләр ярҙамында мәсьәләләр сисеүҙең дөйөм ысулдарын өйрәнә. Баштарак хәрефле аңлатмалар, хәрефтәрҙән торған формулаларҙы үҙгәртеү гилеме булараҡ үҫкән. XVII быуат ахыры — XIX быуат баштарында алгебра, беренсе сиратта, тигеҙләмәләр тураһындағы фән булып формалаша. Хәҙерге заман алгебраһы үҙсәнлектәре рациональ һандарҙы ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәренә аҙмы-күпме дәрәжәлә оҡшаған төрлө тәбиғәтле объекттар системаһын өйрәнә. Ундай ғәмәлдәр — алгебраик ғәмәлдәр тип, улар буйһына торған закондар аксиомалар тип атала. Ҡағиҙә булараҡ, аксиомалар геометрия, математик анализ, физика, алгебраның уҙ мәсьәләләрен сискәндә барлыҡҡа килә. Ул алгебраик ғәмәлдәре билдәләнгән системаларҙы үҙсәнлектәренә ҡарап классификациялай һәм шул системаларҙа тәбиғи рәүештә барлыҡҡа килгән төрлө мәсьәләләрҙе өйрәнә.

 Алгебра бүлектәре 
Алгебраны түбәндәге бүлектәргә бүлеп була:
 элементар алгебра — алгебраның иң боронғо бүлеге, алгебраик аңлатмаларҙы, матди һәм комплекслы һандар өҫтөндә тигеҙләмәләрҙе өйрәнә. Унда даими дәүмәл һәм үҙгәреүсәндәр хәреф символдар менән тамғаланалар. Элементар алгебрала ошо символдарҙы ҡулланып математик аңлатмаларҙы һәм тигеҙләмәләрҙе үҙгәртеү ҡағиҙәләре бар. Мәктәптә ғәҙәттә алгебра исеме аҫтында уҡытыла.
 абстракт алгебра, йәғни юғары алгебра — ул яландар, төркөмдәр һәм ҡулсалар кеүек дөйөм алгебраик системаларҙы аксиомалаштырып өйрәнеүсе математик фән.
 Универсаль алгебра, бөтә алгебраик структурала өсөн дөйөм үҙсәнлектәрҙе өйрәнә (дөйөм алгебраның аҫбүлеге булып һынала).
 Һыҙыҡлы алгебра векторлы арауыҡтарҙың (матрицаларҙы ла индереп) үҙсәнлектәрен өйрәнә.
 Алгебраик комбинаторика — абстракт алгебра ысулдарын ҡулланып комбинаторика мәсьәләләрен өйрәнә, математик объекттар өҫтөндә символик манипуляциялар өсөн алгоритмдарҙы булдырыу һәм өйрәнеү менән шөғөлләнә.

 Алгебраик системалар 
«Алгебра» һүҙе шулай уҡ төрлө алгебраик системалар атамаларында ҡулланыла:
 ҡулса өҫтөндә алгебра
 булева алгебра
 сигма-алгебра

 Этимология 
Был термин тәүге тапҡыр 825 йылда ғәрәп ғалимы Аль-Хорезми хеҙмәтендә осрай. Унда «аль-джабр» һүҙе алыусыларҙы бер өлөштән икенсе өлөшкә күсереүҙе аңлата, уның тура мәғәнәһе — «тулыландырыу».


 Элементар алгебра 

 Арифметика закондарын (мәҫәлән, теләһә ниндәй  һәм  өсөн ) дөйөм күренештә күрһәтергә мөмкинлек бирә, был ысын һандарҙың үҙсәнлектәрен системалы өйрәнеүгә беренсе аҙым булып тора.
 «Билдәһеҙ дәүмәл» төшөнсәһе индерергә, тигеҙләмәләр төҙөргә һәм уларҙы сығарыу ысулдарын өйрәнергә мөмкинлек бирә. (Миҫал өсөн, «» булырлыҡ x һанын табырға, дөйөм осраҡта, « булырлыҡ x һанын табырға». Был, үҙгәреүсәндең ҡиммәтен табыу һандарҙың тәбиғәтенә түгел, ә улар араһындағы ғәмәлдәргә бәйле тигән һығымтаға килтерә.)
 Функция төшөнсәһен индерергә мөмкинлек бирә. (Миҫал өсөн, «Әгәр һеҙ  билет һатһағыҙ, һеҙҙең килем  һум тәшкил итә, йәки , бында  — функция, һәм  — функция уға бәйле булған һан»)


 Һыҙыҡлы алгебра 

Һыҙыҡлы алгебра — алгебраның векторҙарҙы, векторлы, йәки һыҙыҡлы арауыҡтарҙы, һыҙыҡлы сағылыштарҙы һәм һыҙыҡлы алгебраик тигеҙләмәләр системаларын өйрәнеүсе бүлеге. билдәләүселәр теорияһын, матрицалар теорияһын, формалар теорияһын (мәҫәлән, квадратик формалар), инварианттар теорияһы (өлөшләтә), тензорлы иҫәпләмә (өлөшләтә) шулай уҡ һыҙыҡлы алгебраға индерәләр. Хәҙерге заман һыҙыҡлы алгебраһы векторлы арауыҡтарҙы өйрәнеүгә төп баҫым яһай.

  яланы өҫтөндә һыҙыҡлы, йәки векторлы арауыҡ  — ул тәртипкә килтерелгән дүртәү , бында
  — векторҙар тип аталған, ирекле тәбиғәтле элементтарҙың буш булмаған күмәклеге;
  — элементтары скалярҙар тип аталған (алгебраик) ялан;
  —  күмәклегенең һәр  элементтар парына  күмәклегенең  тип тамғаланған берҙән бер элементын ярашлы ҡуйыусы, векторҙарҙы ҡушыу ғәмәле;
  — векторҙарҙы скалярҙарға ҡабатлау ғәмәле, ул  яланының һәр  элементына һәм  күмәклегенең һәр  элементына  күмәклегең  тип тамғаланған берҙән бер элементын ярашлы ҡуя;
шуның менән бергә бирелгән ғәмәлдәр түбәндәге аксиомаларҙы — һыҙыҡлы (векторлы) арауыҡ аксиомаларын ҡәнәғәтләндерә:
 теләһә ниндәй  өсөн  (ҡушыуҙың коммутативлығы);
 теләһә ниндәй  өсөн (ҡушыуҙың ассоциативлығы);
 теләһә ниндәй  өсөн шундай  элементы бар, бында  (ҡушыуға ҡарата нейтраль элементтың булыуы), шуның менән бергә  буш түгел;
 теләһә ниндәй  өсөн шундай  элементы бар, бында  (ҡушыуға ҡарата ҡапма ҡаршы элементтың булыуы).
  (скалярға ҡабатлауҙың ассоциативлығы);
  (унитарлыҡ: F яланының нейтраль(ҡабатлау буйынса) элементына ҡабатлау векторҙы һаҡлай).
  (векторға ҡабатлауҙың скалярҙарҙы ҡушыуға ҡарата дистрибутивлығы);
 (скалярға ҡабатлауҙың векторҙарҙы ҡушыуға ҡарата дистрибутивлығы).

Геометрияла өйрәнелгән Евклид арауыҡтарына, аффинлы арауыҡтарға, шулай уҡ бик күп башҡа арауыҡтарға билдәләмә векторлы арауыҡтар аша бирелә. Ялан өҫтөндә векторлы арауыҡтың автоморфизмдары ҡабатлауға ҡарата төркөм, үҙенсәлекле булмаған квадрат матрицаларҙың изоморфлы төркөмөн төҙөйҙәр, был һыҙыҡлы алгебраны төркөмдәр теорияһы, атап әйткәндә, төркөмдәрҙең һыҙыҡлы күрһәтмәһе теорияһы менән бәйләй

Һыҙыҡлы алгебрала ҡулланылған n-үлсәмле векторлы арауыҡтарҙан сикһеҙ үлсәмле һыҙыҡлы арауыҡтарға күсеү функциональ анализдың ҡайһы бер бүлектәрендә сағылыш таба. Унан башҡа тәбиғи дөйөмләштереү булып ялан урынына ирекле ҡулсаларҙы ҡулланыу тора. Ирекле ҡулса өҫтөндә модуль өсөн һыҙыҡлы алгебраның төп теоремалары үтәлмәй. Ялан өҫтөндә векторлы арауыҡтарҙың һәм ҡулса өҫтөндә модулдәрҙең дөйөм үҙсәнлектәре алгебраик К-теорияла өйрәнелә.

 Дөйөм алгебра 

Дөйөм алгебра төрлө алгебраик системаларҙы өйрәнеү менән шөғөлләнә. Унда объекттар өҫтөндә ғәмәлдәрҙең үҙсәнлектәре асылда объекттарҙың тәбиғәтенә бәйһеҙ рәүештә өйрәнелә. Ул тәү сиратта төркөмдәр һәм ҡулсалар теорияһын үҙ эсенә ала. Алгебраик системаларҙың икеһе өсөн дә хас булған дөйөм үҙсәнлектәр яңы алгебраик системалар: рәшәткәләр, категориялар, универсаль алгебралар, моделдәр, ярымтөркөмдәр һәм квазитөркөмдәр ҡарауға килтерә. Тәртипкә килтерелгән һәм топологик алгебраларҙы, өлөшләтә тәртипкә килтерелгән һәм топологик төркөмдәр һәм ҡулсаларҙы, шулай уҡ дөйөм алгебраға индерәләр.

Дөйөм алгебраның теүәл генә сиге юҡ. Уға шулай уҡ яландар, сикле төркөмдәр теорияларын, сикле үлсәмле Ли алгебраларын индерергә мөмкин.

 Төркөмдәр теорияһы 

Буш булмаған  күмәклеге унда бирелгән  бинар операцияһы менән, әгәр түбәндәге аксиомалар үтәлһә,  төркөмө тип атала:

 ассоциативлыҡ: ;
 нейтраль элементтың булыуы: ;
 кире элементтың булыуы: 

справа|150px|мини|2 тәртиптәге ирекле төркөм графы
Төркөм төшөнсәһе симметрияны һәм геометрик объекттарҙың эквивалентлығын рәсми тасуирлау һөҙөмтәһендә барлыҡҡа килә. Төркөм төшөнсәһенә башланғыс биргән Галуа теорияһында төркөмдәр, тамырҙары булып ниндәйҙер полиномиаль тигеҙләмәнең тамырҙары торған тигеҙләмәләр симметрияһын тасуирлау өсөн ҡулланыла. Төркөмдәр математикала һәм тәбиғәт фәндәрендә һәр ерҙә, йыш ҡына (автоморфизмдар төркөмө) объекттарының эске симметрияһын күрһәтеү өсөн ҡулланыла. Дөйөм алгебраның бөтә структуралары тиерлек — төркөмдәрҙең айырым осраҡтары.

 Ҡулсалар теорияһы 
Ҡулса — ул, түбәндәге үҙсәнлектәргә эйә булған, (ҡушыу һәм ҡабатлау тип аталған) ике бинар операция: + һәм × бирелгән R күмәклеге:

  — ҡушыуҙың коммутативлығы;
  — ҡушыуҙың ассоциативлығы;
  — ҡушыуға ҡарата нейтраль элементтың булыуы;
  — ҡушыуға ҡарата ҡапма-ҡаршы элементтың булыуы;
  — ҡабатлауҙың ассоциативлығы (ҡайһы бер авторҙар был аксиоманың үтәлеүен талап итмәйҙәр)
  — дистрибутивлыҡ.

 Универсаль алгебра 

Универсаль алгебра дөйөм алгебраның бөтә алгебраик системалар өсөн хас булған үҙсәнлектәрҙе өйрәнеүсе махсус бүлеге булып тора. Алгебраик система бирелгән сикле арлы (сикһеҙ булырға ла мөмкин) ғәмәлдәр һәм сикле арлы бәйләнештәр йыйылмаһы менән ирекле буш булмаған күмәклектән ғибәрәт: , , .  күмәклеге был осраҡта системаның эйәһе (йәки төп күмәклек) тип атала, ә функциональ һәм предикатлы символдарҙың уларҙың арлыҡтары менән йыйылмаһы  — уның сигнатураһы тип атала. Бәйләнештәр күмәклеге буш булған система универсаль алгебра (предмет контексында — йышыраҡ ябай ғына алгебра) тип атала, ә ғәмәлдәр күмәклеге буш булған система — модель йәки бәйләнештәр системаһы, реляцион система тип атала.

Универсаль алгебра терминдарында, мәҫәлән, ҡулса — ул шундай универсаль алгебра , бында  алгебраһы — Абель төркөмө, һәм  ғәмәле  ҡарата уңдан һәм һулдан дистрибутив. Ҡулса, әгәр мультипликатив группоид ярымтөркөм булһа, ассоциатив тип атала.

Бүлек асылда универсаль алгебраларҙы ла, шулай уҡ бер үк ваҡытта булған структураларҙы:  бөтә эндоморфизмдарҙың моноидын,  бөтә автоморфизмдар төркөмөн,  бөтә аҫалгебралар рәшәткәһен һәм  бөтә конгруэнцияларҙы ҡарай.

Универсаль алгебра логика һәм алгебраның тоташҡан урыны.

 Тарихи очерк 
Алгебраның башланғысы бик боронғо замандарға барып тоташа. Натураль һандар һәм кәсерҙәр өҫтөндә арифметик ғәмәлдәр — иң ябай алгебраик ғәмәлдәр — тәүге математик текстарҙа осрайҙар. Б.э. тиклем 1650 йылда уҡ Египет күсереп яҙыусылары ситләштерелгән беренсе дәрәжә тигеҙләмәләрҙе һәм иң ябай икенсе дәрәжә тигеҙләмәләрҙе эшләй белгәндәр, уларға Ринд папирусынан 26-сы һәм 33-сө мәсьәләләрҙе һәм Мәскәү папирусынан 6-сы мәсьәләне индерәләр. Мәсьәләләрҙең сығарылышы ялған фекер ҡағиҙәһенә нигеҙләнгән тип фаразлана. Ошо уҡ ҡағиҙәне, бик һирәк булһа ла, Вавилонлылар ҡулланғандар.

Вавилон математиктары квадрат тигеҙләмәләрҙе сығара белгәндәр. Улар тик ыңғай коэффициенттар һәм тигеҙләмә тамырҙары менән эш иткәндәр, сөнки тиҫкәре һандарҙы белмәгәндәр. Төрлө реконструкциялар буйынса Вавилонда йә сумманың квадраты ҡағиҙәһен, йә сумма һәм айырма ҡабатландығы өсөн ҡағиҙәне белгәндәр, шуның менән бергә тамырҙы иҫәпләү ысулы тулыһынса хәҙерге формула менән тап килә. Өсөнсө дәрәжә тигеҙләмәләр ҙә осрай. Бынан тыш, Вавилонда махсус терминология индерелгән була, беренсе билдәһеҙҙе («оҙонлоҡто»), икенсе билдәһеҙҙе («киңлекте»), өсөнсө билдәһеҙҙе («тәрәнлекте»), шулай уҡ математик символдар тип иҫәпләп булған төрлө сығарылма дәүмәлдәрҙе («оҙонлоҡ» һәм «киңлек» ҡабатландығы булған «яланды», «оҙонлоҡ», «киңлек» һәм «тәрәнлек» ҡабатландығы булған «күләмде») тамғалау өсөн шумер шына яҙыулы тамғалары ҡулланыла. Мәсьәләләр һәм терминдарҙың геометрик сығышына ҡарамаҫтан, улар абстрактлаштырып ҡулланыла, атап әйткәндә, «майҙан» һәм «оҙонлоҡ» бер иш тип һанала. Квадрат тигеҙләмәләрҙе сығарыу өсөн төрлө тождестволы алгебраик үҙгәртеүҙәр башҡара, билдәһеҙ дәүмәлдәр менән эш итергә белергә кәрәк була. Шулай итеп, сығарыу өсөн алгебраик ысулдар менән ҡуллана белергә кәрәк булған тотош мәсьәләләр класы бүленеп сыға.

Квадраттың яғы менән диагонале сағыштырғыһыҙ булыуы асыҡланғандан һуң, грек математикаһы кризис кисерә, уны хәл итеүгә геометрияны математиканың нигеҙе итеп һайлау һәм алгебраик ғәмәлдәрҙе геометрик дәүмәлдәр өсөн билдәләү булышлыҡ итә. Евклидтың «Башланғыстарының» икенсе китабы, Архимедтың һәм Аполлонийҙың хеҙмәттәре Геометрик алгебраға бағышланған. Киҫектәр, тура дүртмөйөштәр һәм параллелепипедтар ҡулланыу менән ҡушыу, алыу һәм ҡабатлау (ике киҫектә төҙөлгән тура дүртмөйөш) билдәләнә. Бындай күҙаллау ҡабатлауҙың ҡушыуға ҡарата дистрибутивлыҡ законын, сумманың квадраты өсөн тождествоны иҫбатларға мөмкинлек бирә. Алгебра башта планиметрияға нигеҙләнә һәм тәү сиратта квадрат тигеҙләмәләрҙе сығарыу өсөн ҡулайлаштырыла. Шуның менән бергә Пифагорсылар тарафынан әйтеп бирелгән кубты икеләтеү һәм мөйөштөң трисектрисаларын төҙөү, төҙөк күпмөйөштәр төҙөү тураһында мәсьәләләр алгебраик тигеҙләмәләргә ҡайтып ҡала. Куб тигеҙләмәләрҙе сығарыу Архимедтың хеҙмәттәрендә үҫеш ала («Шар һәм цилиндр тураһында» һәм «Коноидтар һәм сфероидтар тураһында» яҙмалары), ул дөйөм күренештә  тигеҙләмәһен тикшерә. Айырым мәсьәләләр конус киҫелештәре ярҙамында сығарыла.

Көтөлмәгән, арифметикаға нигеҙләнгән алгебраға күсеү Диофанттың хеҙмәттәрендә барлыҡҡа килә, ул хәреф тамғалауҙар индерә: Билдәһеҙ һанды ул «һан» тип, билдәһеҙҙең икенсе дәрәжәһен — «квадрат», өсөнсө жәрәжәһен — «куб», дүртенсе дәрәжәһен — «квадрато-квадрат», бишенсе дәрәжәһен — «квадрато-куб», алтынсы дәрәжәһен — «кубо-куб» тип атай. Шулай уҡ ул тиҫкәре дәрәжәләр, ирекле быуын, тиҫкәре һан (йәки алыу) өсөн тамғалау һәм тигеҙлек тамғаһын индерә. Диофант кәметеүсене тигеҙләмәнең бер яғынан икенсе яғына күсереү ҡағиҙәһен һәм тигеҙ быуындарҙы ҡыҫҡартыу ҡағиҙәһен белгән. Өсөнсө һәм дүртенсе дәрәжә тигеҙләмәләрҙе тикшереп, Диофант, кәкре һыҙыҡта рациональ нөктәне табыу өсөн геометрик алгебраның, кәкре һыҙыҡтың рациональ нөктәһендә тейеүсе үткәреү йәки ике рациональ нөктә аша тура һыҙыҡ үткәреү кеүек ысулдарын ҡуллана. X быуатта Диофанттың үҙенең ысулдарын тасуирлаған «Арифметика» китабы ғәрәп теленә тәржемә ителә, ә XVI быуатта Көнбайыш Европаға барып етә, ул Ферма һәм Виеттың хеҙмәттәренә йоғонто яһай. Диофанттың идеяларын шулай уҡ Эйлерҙың, Якоби, Пуанкаре һәм башҡа математиктарҙың хеҙмәттәрендә XX быуат баштарына тиклем күрергә мөмкин. Хәҙерге ваҡытта Диофант мәсьәләләрен алгебраик геометрияға ҡайтарып ҡалдырыу ҡабул ителгән.

Хәҙерге заманға тиклем 2000 йыл элек Ҡытай ғалимдары беренсе дәрәжә тигеҙләмәләрҙе һәм уларҙың системаларын, шулай уҡ квадрат тигеҙләмәләрҙе эшләй белгәндәр (ҡарағыҙ. Математика в девяти книгах). Улар хатта тиҫкәре һәм иррациональ һандарҙы белгәндәр. Ҡытай телендә һәр символ төшөнсәне аңлатҡанлыҡтан, ҡыҫҡартыуҙар булмай. XIII быуатта ҡытайлылар биномиаль коэффициенттарҙы төҙөү законын асҡандар, ул хәҙерге ваҡытта «Паскаль өсмөйөшө» булараҡ билдәле. Европала ул тик 250 йыл үткәс кенә билдәле булаМ. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике».

«Алгебра» термины Урта Азия ғалимы Аль-Хорезмиҙың «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы» (825 йыл) китабынан алына. «аль-джабр» һүҙе кәметеүсене тигеҙләмәнең бер яғынан икенсе яғына күсереү ғәмәлен аңлата һәм уның тура мәғәнәһе «ҡайтарыу».

XII быуатта алгебра Европаға килеп эләгә. Ошо ваҡыттан алып уның йылдам үҫеше башлана. 3 һәм 4 дәрәжә тигеҙләмәләрҙе сығарыу ысулы асыла. Тиҫкәре һәм комплекслы һандар киң танылыу ала. Теләһә ниндәй 4 дәрәжәнән юғары тигеҙләмәләрҙе алгебраик ысул менән сығарыу мөмкин түгел икәне иҫбат ителә.

XX быуаттың икенсе яртыһына тиклем алгебраны практик ҡулланыу, башлыса, бер нисә үҙгәреүсәнле алгебраик тигеҙләмәләрҙе һәм тигеҙләмәләр системаһын сығарыу менән сикләнә. XX быуаттың икенсе яртыһында техниканың яңы тармаҡтарының йылдам үҫеше башлана. Электрон-иҫәпләү машиналары, мәғлүмәтте һаҡлау, эшкәртеү һәм тапшырыу ҡоролмалары, радар тибындағы күҙәтеү системалары барлыҡҡа килә. Техниканың яңы төрҙәрен проектлау һәм уларҙы ҡулланыу хәҙерге хәҙерге заман алгебраһын ҡулланмайынса мөмкин түгел. Шулай, электрон-иҫәпләү машиналары сикле автоматтар принцибы буйынса төҙөлгән. электрон-иҫәпләү машиналарын һәм электрон схемаларҙы проектлау өсөн Буль алгебраһы ысулдары ҡулланыла. ЭВМ өсөн хәҙерге программалау телдәре алгоритмдар теорияһы принциптарына нигеҙләнгән. Күмәклектәр теорияһы компьютерҙа мәғлүмәтте эҙләү һәм һаҡлау системаларында ҡулланыла.
Категориялар теорияһы образдарҙы таныу мәсьәләләрендә, программалау телдәре семантикаһын аныҡлағанда, һәм башҡа практик мәсьәләләрҙә ҡулланыла.
Мәғлүмәтте кодлау һәм кодты алыу төркөмдәр теорияһы ысулдары менән башҡарыла. Рекуррент эҙмә-эҙлелектәр теорияһы радарҙар эшендә ҡулланыла. Экономик иҫәпләүҙәр графтар теорияһын ҡулланмайынса мөмкин түгел. Математик моделдәрҙе алгебраның бөтә бүлектәре лә киң ҡуллана.

 Әҙәбиәт 


 Иҫкәрмәләр 

 Әҙәбиәт 
 Б. Л. ван-дер Варден. Алгебра. М.: Наука, 1979
 С. Ленг Алгебра. М.: Мир, 1968

 Өҫтәмә мәғлүмәт 
 Русскоязычные ресурсы по алгебре  в Открытом Каталоге.

 Һылтанмалар 


 Информация на начало XX века: 

*
-->