Əvəzetmə (məntiq)

Əvəzetmə — formal dillərdə ifadələr üzərində aparılan sintaktik çevrilmə. Bir ifadəyə əvəzetməni tətbiq etmək onun dəyişənlərini və ya yer tutucu simvollarını ardıcıl şəkildə digər ifadələrlə əvəz etmək deməkdir. 

Nəticədə alınan ifadə ilkin ifadənin əvəzetmə nümunəsi (və ya qısaca nümunəsi) adlanır.Deutsch, Harry and Pawel Garbacz, "Relative Identity", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2024 Edition), Edward N. Zalta & Uri Nodelman (eds.), forthcoming URL: https://plato.stanford.edu/entries/identity-relative/#StanAccoIden

 Təklif məntiqi 
 Tərif 
Burada ψ və φ təklif məntiqinin formullarını ifadə edir. ψ, φ-nin əvəzetmə nümunəsidir o halda və yalnız o halda ki, ψ ifadəsi φ-dəki təklif dəyişənlərinin yerinə formulalar qoymaqla, eyni dəyişənin hər bir təkrarlanmasını eyni formul ilə əvəz etməklə əldə olunsun. Məsələn:

ψ: (R → S) & (T → S)
aşağıdakı ifadənin əvəzetmə nümunəsidir:
φ: P & Q

Yəni ψ ifadəsi φ-dəki P və Q dəyişənlərini müvafiq olaraq (R → S) və (T → S) ilə əvəz etməklə alınır. Oxşar olaraq:

ψ: (A ↔ A) ↔ (A ↔ A)
aşağıdakı ifadənin əvəzetmə nümunəsidir:
φ: (A ↔ A)

çünki ψ ifadəsi φ-dəki hər bir A-nı (A ↔ A) ilə əvəz etməklə əldə olunur.

Təklif məntiqi üçün bəzi deduksiya sistemlərində yeni bir ifadə (bir təklif) çıxarışın (isbatın) bir sətrinə yalnız o halda əlavə edilə bilər ki, o, əvvəlki sətirdəki ifadənin əvəzetmə nümunəsi olsun.Fitting, M., First-Order Logic and Automated Theorem Proving (Berlin/Heidelberg: Springer, 1990), pp. 198–200. Bu, bəzi aksiomatik sistemlərdə yeni sətirlərin daxil edilmə üsuludur. çevrilmə qaydalarından istifadə edən sistemlərdə isə qayda, çıxarışa müəyyən dəyişənləri daxil etmək məqsədilə əvəzetmə nümunəsindən istifadəni əhatə edə bilər.

 Tautologiyalar 
Bir təklif formulu hər bir qiymətləndirmə (və ya interpretasiya) altında doğru olarsa, o, tautologiya adlanır. Əgər Φ tautologiyadırsa və Θ onun əvəzetmə nümunəsidirsə, onda Θ da tautologiya olacaq. Bu fakt əvvəlki bölmədə təsvir edilən deduksiya qaydasının səsli (sound) olmasını təmin edir.

 Birinci dərəcəli məntiq 

Birinci dərəcəli məntiqdə əvəzetmə dəyişənlər çoxluğundan terminlər çoxluğuna olan tam təsvir kimi müəyyən olunur: . Bir çox, lakin hamısı deyil müəlliflər əlavə olaraq tələb edirlər ki, σ(x) = x yalnız sonlu sayda dəyişən istisna olmaqla bütün dəyişənlər üçün doğru olsun.

Yazılış Bəzi müəlliflər bu əvəzetməni [ t1/x1, …, tk/xk ] kimi göstərirlər, məsələn , burada: s. 682.
i=1,…,k üçün hər bir xi dəyişənini uyğun ti termini ilə əvəz edən, digər bütün dəyişənləri isə olduğu kimi saxlayan əvəzetməni göstərir; xi-lər cüt-cüt fərqli olmalıdır. Əksər müəlliflər əlavə olaraq tələb edirlər ki, hər bir ti termini sintaktik baxımdan xi-dən fərqli olsun; bu, eyni əvəzetmə üçün sonsuz sayda fərqli yazılışın qarşısını almaq üçündür.

Bu əvəzetmənin tətbiqi postfiks notasiyada t  kimi yazılır və t terminində hər bir xi-nin bütün occurrences-larının eyni anda ti ilə əvəz edilməsi deməkdir.Termin cəbri baxımından, terminlər çoxluğu T dəyişənlər çoxluğu V üzərində azad termin cəbridir; buna görə də hər bir σ: V → T əvəzetməsi üçün V ⊆ T üzərində σ ilə uyğun gələn yeganə homomorfizm : T → T mövcuddur. Yuxarıda tərif edilən tətbiq əməliyyatı bu  funksiyasının t arqumentinə tətbiqi kimi başa düşülür.

Əvəzetmə σ-nın t termininə tətbiqinin nəticəsi tσ həmin t terminəsinin nümunəsi adlanır. Məsələn,  əvəzetməsini.{{mset| x↦↦y+y }} əvəzlənməsi idempotentdir, məs. ((x+y) )  = ((y+y)+y)  = (y+y)+y),  = (y+y)+y,  əvəzlənməsi isə idempotent deyil, məs. ((x+y) )  = ((x+y)+y)  = ((x+y)+y) +y. İşə-gəlişlə əlaqəli olmayan əvəzetmələrə nümunə   = , lakin   = .

Əvəzetmənin sahəsi (dom(σ)) faktiki olaraq əvəz edilən dəyişənlər çoxluğu kimi müəyyən olunur, yənidom(σ) = .

Əgər əvəzetmə sahəsindəki bütün dəyişənləri yer (ground) terminlərlə — yəni dəyişənsiz terminlərlə — əvəz edirsə, o, yer əvəzetməsi adlanır. Əgər t terminindəki bütün dəyişənlər əvəzetmənin sahəsinə daxildirsə, yer əvəzetmənin nümunəsi tσ yer termini olur.

Əvəzetmə σ xətti adlanır, əgər tσ termini (və deməli, sahəsindəki dəyişənləri dəqiq əhatə edən istənilən xətti termin üçün) xəttidirsə.
Əvəzetmə σ düz (flat) adlanır, əgər hər bir x üçün xσ yenə dəyişən olarsa.
Əvəzetmə σ yenidadlandırma adlanır, əgər o, bütün dəyişənlər çoxluğu üzərində permutasiyadır. Yenidadlandırma əvəzetmələrinin hər zaman tərs əvəzetməsi σ−1 mövcuddur və hər bir t üçün tσσ−1 = t = tσ−1σ bərabərliyi ödənir. Lakin ixtiyari əvəzetmə üçün tərs müəyyən etmək mümkün deyil.

Məsələn,  yer əvəzetməsidir;  yer olmayan və düz olmayan, lakin xətti əvəzetmədir və s.

İki əvəzetmə o zaman bərabər hesab olunur ki, hər bir dəyişəni sintaktik baxımdan eyni terminə göndərsinlər, yəni formal olaraq σ = τ əgər hər bir x ∈ V üçün xσ = xτ olarsa.

İki əvəzetmənin kompozisiyası assosiativ əməliyyatdır, lakin kommutativ deyil; yəni ümumiyyətlə στ ≠ τσ. Əvəzetmə kompozisiyasının neytral elementi bütün dəyişənləri özünə göndərən eyniyyət əvəzetməsidir. Əgər σσ = σ olarsa, σ idempotent'' adlanır.

Məsələn,  ilə  bərabərdir, lakin  ilə eyni deyil.

 İstinadlar