Şredinger tənliyi

Şredinger tənliyi — kvant-mexaniki sistemləri təsvir edən xüsusi törəməli xətti diferensial tənlik; kvant mexanikasının fundamental tənliyi.Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-111892-8 . Bu tənlik kvant mexanikasının inkişafında başlıca dönüş nöqtəsi yaratmışdır. Tənlik Ervin Şredingerin adını daşıyır. Şredinger bu tənliyi 1925-ci ildə irəli sürmüş, 1926-cı ildə nəşr etdirmiş, 1933-cü ildə isə bu işinə görə Fizika üzrə Nobel Mükafatı almışdır."Physicist Erwin Schrödinger's Google doodle marks quantum mechanics work" . The Guardian.Schrödinger, E. (1926). "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules" (PDF). Physical Review. 28 (6): 1049–1070.
Bibcode:1926PhRv…28.1049S . doi:10.1103/PhysRev.28.1049 .

Konseptual olaraq Şredinger tənliyi klassik mexanikadakı Nyutonun ikinci qanununun kvant qarşılığıdır. Bir sıra məlum başlanğıc şərtləri nəzərə aldıqda, Nyutonun ikinci qanunu müəyyən bir fiziki sistemin zamanla hansı yolu keçəcəyinə dair riyazi proqnoz verir. Şredinger tənliyi dalğa funksiyasının zamana görə evolyusiyasını, təcrid olunmuş fiziki sistemin kvant-mexaniki xarakteristikasını ifadə edir. Tənlik zaman-evolyusiya operatorunun unitarlığı şərtindən çıxarıla bilər və buna görə də kvant Hamiltonianı olan özü-özünə qoşma operatorun üstlü qiymətiylə əldə olunmalıdır.

Şredinger tənliyi kvant-mexaniki sistemləri öyrənmək və proqnozlar vermək üçün yeganə yol deyil. Kvant mexanikasının digər formulyasiyalarına Verner Heyzenberq tərəfindən irəli sürülən matris mexanikası və əsası Riçard Feynman tərəfindən hazırlanmış trayektoriya inteqral formulyasiyası daxildir. Pol Dirak matris mexanikasını və Şredinger tənliyini vahid bir formada birləşdirmişdir. Bu yanaşmaları nəzərə aldıqda, Şredinger tənliyinə əsaslanan mexanikaya bəzən "dalğa mexanikası" da deyilir.

 Tərif 

 Önhazırlıq 
Fizika və ya kimyanın giriş kurslarında, adətən, Şredinger tənliyini elə verirlər ki, yalnız diferensial hesabının əsas anlayış və xassələrini, xüsusən də fəza və zamana aid törəmələri bilərək hesablamalar aparmaq mümkün olsun. Bütün bu deyilənləri özündə əks etdirən Şredinger tənliyinin xüsusi halı, tək qeyri-relyativist hissəcik üçün birölçülü mövqe-fəza Şredinger tənliyidir:

Burada,  dalğa funksiyası olub, hər bir  nöqtəsinə  anında müəyyən bir kompleks ədədi qarşı qoyur.  parametri hissəciyin kütləsi,  isə hissəciyin yerləşdiyi mühiti xarakterizə edən potensial,  xəyali vahid,  isə gətirilmiş Plank sabitidir.
Bu sadə vəziyyətin önünə keçməklə kvant mexanikasının Pol DirakDirac, Paul Adrien Maurice (1930). The Principles of Quantum Mechanics. Oxford: Clarendon Press., David Hilbertvon Neumann, John (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin: Springer. English translation: Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Translated by Beyer, Robert T. Princeton University Press. 1955., Con fon NeymanHilbert, David (2009). Sauer, Tilman; Majer, Ulrich (eds.). Lectures on the Foundations of Physics 1915–1927: Relativity, Quantum Theory and Epistemology. Springer. doi:10.1007/b12915 . ISBN 978-3-540-20606-4. OCLC 463777694 . və Herman Veyl Weyl, Hermann (1950) [1931]. The Theory of Groups and Quantum Mechanics. Translated by Robertson, H. P. Dover. ISBN 978-0-486-60269-1. Translated from the German Gruppentheorie und Quantenmechanik (2nd ed.). S. Hirzel Verlag. 1931. tərəfindən tərtib edilmiş ciddi riyazi forması kvant-mexaniki sistemin halını  Hilbert fəzasının  vektoruyla ifadə edir. Bu vektorun Hilbert fəzasının skalyar hasili altında normallaşdırıldığı fərz edilir, yəni o Dirak notasiyasına tabe olur . Hilbert fəzasının təbiəti sistemdən asılıdır — məsələn, mövqe və impulsu təsvir etmək üçün Hilbert fəzası  kompleks kvadratik inteqrallanan funksiyalar fəzası, tək protonun spini üçün isə sadəcə olaraq  ikiölçülü kompleks vektorlar fəzasıdır.

Maraqlanılan fiziki kəmiyyətlər — mövqe, impuls, enerji, spin — Hilbert fəzasına təsir edən Ermit (daha dəqiq, özü-özünə qoşma) xətti operatorlar olan "müşahidəolunanlar" ilə təmsil olunur. Dalğa funksiyası müşahidəolunabilənin məxsusi vektoru ola bilər, bu halda o, məxsusi hal adlanır və əlaqəli xüsusi qiymət həmin məxsusi halda müşahidəolunanın qiymətinə uyğun gəlir. Daha ümumi şəkildə, kvant halı kvant superpozisiyası kimi tanınan məxsusi halların xətti kombinasiyası olacaqdır. Müşahidəolunabilən ölçüldükdə, nəticə Born qaydası ilə verilmiş ehtimalla onun məxsusi qiymətlərindən biri olacaq: ən sadə halda məxsusi qiymət  cırlaşmayandır və ehtimalıyla verilir. Burada  rabitəli məxsusi vektordur. Daha ümumi şəkildə, məxsusi qiymət cırlaşandır və  ehtimalı ilə verilir. Burada  rabitəli məxsusi fəza üzrə proyektordur.

İmpulsun məxsusi halı kvadratik inteqrallanmayan, sonsuz dərəcədə mükəmməl monoxromatik dalğa olacaqdır. Eynilə, mövqenin məxsusi halı Dirak delta paylanması olacaq, o kvadratik inteqrallanmır və texniki cəhətdən ümumiyyətlə funksiya deyil. Nəticə etibarilə, heç biri hissəciyin Hilbert fəzasına aid ola bilməz. Fiziklər bəzən bu fəzanın xaricindəki elementlərdən ibarət Hilbert fəzası üçün həqiqi olmayan "əsaslar" irəli sürürlər. Bunlar hesablama rahatlığı üçün icad edilmişdir və fiziki halları təmsil etmir.Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck (2005). Quantum Mechanics. Translated by Hemley, Susan Reid; Ostrowsky, Nicole; Ostrowsky, Dan. John Wiley & Sons. ISBN 0–471–16433-X. Beləliklə, mövqe-fəza dalğa funksiyası  yuxarıda istifadə edildiyi kimi, zamandan asılı  hal vektorunun qeyri-fiziki lakin əlverişli olan "mövqenin məxsusi halları"  ilə skalyar hasili kimi yazıla bilər

 Zamandan asılı tənlik 
Şredinger tənliyinin forması fiziki şəraitdən asılıdır. Ən ümumi forma zamandan asılı Şredinger tənliyidir. O zamana görə dəyişən sistemi təsvir edir:Shankar, R. (1994). Principles of Quantum Mechanics (2nd ed.). Kluwer Academic/Plenum Publishers. ISBN 978-0-306-44790-7.

Burada,  zaman,  kvant sisteminin hal vektoru ( yunan hərfi psidir),  Hamilton operatorudur.

"Şredinger tənliyi" ifadəsi həm ümumi tənliyi, həm də onun xüsusi qeyri-relyativist versiyanı ifadə edə bilər. Ümumi tənlik həqiqətən də olduqca ümumidir, Dirak tənliyindən tutmuş kvant sahə nəzəriyyəsinə qədər hər şey üçün kvant mexanikasında Hamiltonian üçün müxtəlif ifadələr birləşdirərək istifadə olunur. Xüsusi qeyri-relativist versiya bir çox hallarda, ancaq müəyyən dərəcəyə qədər dəqiq nəticələr verən yaxınlaşmadır.

Şredinger tənliyini tətbiq etmək üçün sistemi təşkil edən hissəciklərin kinetik və potensial enerjilərini nəzərə alaraq sistem üçün Hamiltonian yazılır, sonra o Şredinger tənliyinə daxil edilir. Alınan xüsusi törəməli diferensial tənlik sistem haqqında məlumatı ehtiva edən dalğa funksiyası üçün həll edilir. Praktikada ehtimal sıxlığı funksiyasını təyin etmək üçün hər bir nöqtədə dalğa funksiyasının mütləq qiymətinin kvadratı götürülür. Məsələn, yuxarıdakı kimi mövqe fəzasında  dalğa funksiyası verilmişdirsə,

 Zamandan asılı olmayan tənlik 
Yuxarıda təsvir edilən zamandan asılı Şredinger tənliyi dalğa funksiyalarının stasionar hallar adlanan durğun dalğalar əmələ gətirə biləcəyini xəbər verir. Bu hallar xüsusilə vacibdir, çünki onların ayrıca tədqiqi sonradan istənilən vəziyyət üçün zamandan asılı Şredinger tənliyinin həll olunması məsələsini asanlaşdırır. Stasionar hallar Şredinger tənliyinin daha sadə forması, zamandan asılı olmayan Şredinger tənliyi ilə də təsvir edilə bilər.

burada  sistemin enerjisidir. Bu, yalnız Hamiltonian özü zamandan aşkar şəkildə asılı olmadıqda istifadə olunur. Bununla belə, hətta bu halda ümumi dalğa funksiyası aşağıda xəttilik bölməsində izah edildiyi kimi zamandan asılıdır. Xətti cəbrin diliylə desək, bu tənlik məxsusi qiymətli tənlikdir. Buna görə də, dalğa funksiyası Hamilton operatorunun müvafiq məxsusi qiymət(lər)i olan məxsusi funksiyasıdır.

 Xassələr 

 Xəttilik 
Şredinger tənliyi xətti diferensial tənlikdir, yəni iki hal vektoru  və  həllərdirsə, onda hər hansı bir xətti kombinasiya da tənliyin həlli olar:

burada və ixtiyari kompleks ədədlərdir.Rieffel, Eleanor G.; Polak, Wolfgang H. (4 March 2011). Quantum Computing: A Gentle Introduction. MIT Press. ISBN 978-0-262-01506-6. Üstəlik, bu cəmi istənilən sayda hal vektoru üçün genişləndirmək olar. Bu xassə kvant hallarının superpozisiyalarının Şredinger tənliyinin həlli olmasına imkan verir. Daha ümumi şəkildə desək, Şredinger tənliyinin ümumi həllini hallar əsasında cəmləmə aparmaqla tapmaq olar. Tez-tez istifadə olunan seçim zamandan asılı olmayan Şredinger tənliyinin həlləri olan məxsusi enerji hallarının əsasıdır. Bu əsasda zamandan asılı hal vektoru  xətti kombinasiya kimi yazıla bilər

burada  və  uyğun olaraq kompleks ədədlər və vektorlar olub, zamandan asılı olmayan  tənliyinin həlləridir.

 Unitarlıq 
 Hamilton operatoru sabit olduqda Şredinger tənliyinin həlli var.

 zaman-evolyusiya operatoru adlanan unitar operatordur, yəni Hilbert fəzasında vektorlararası skalyar hasili qoruyur. Unitarlıq Şredinger tənliyi üzrə zaman-evolyusiyanın ümumi xassəsidir. İlkin hal isə  kimidir. Bu hal  müddətindən sonra belə olar:

bəzi unitar  operatorları üçün. Əksinə, fərz edək ki,   vasitəsilə parametrləşdirilmiş vahid operatorların kəsilməz ailəsidir.Yaffe, Laurence G. (2015). "Chapter 6: Symmetries"  (PDF). Physics 226: Particles and Symmetries. Ümumiliyi pozmadan parametrləşdirmə elə seçilə bilər ki,  hər hansı  istənilən  üçün identifikasiya operatoru olsun. Bu zaman  operatorunun  parametrindən asılılığı aşağıdakı kimi olar

bəzən özü-özünə qoşma  operatoruna  ailəsinin generatoru deyilir. Hamiltonian məhz belə bir generatordur (təbii vahidlərdə 1-ə bərabər olan Plank sabitinə qədər).

 Əsasın dəyişməsi 
Şredinger tənliyi tez-tez mövqe funksiyaları kimi dəyişən kəmiyyətlərdən istifadə etməklə verilir, lakin vektor-operator tənliyi kimi Hilbert fəzasında ketlərin istənilən ixtiyari tam bazasında etibarlı təmsilə malikdir. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, fiziki Hilbert fəzasından kənarda yerləşən "əsaslar" da hesablama məqsədləri üçün istifadə olunur. Bu, qeyri-relyativistik, spinsiz hissəcik üçün mövqe-fəza və impuls-fəza Şredinger tənlikləri ilə təsvir edilmişdir. Belə bir hissəcik üçün Hilbert fəzası üçölçülü Evklid fəzasında kompleks kvadratik inteqrallanan funksiyalar fəzasıdır və onun Hamiltonianı impuls operatorunda kvadratik olan kinetik və potensial enerji hədlərinin cəmidir.

Üçölçülü  fəza və  impuls vektorları üçün mövqe-fəza Şredinger tənliyi aşağıdakı kimi yazılır

İmpuls-fəza qarşılığı dalğa funksiyasının və potensialın Furye çevrilmələrini əhatə edir:

 və  funksiyaları  funksiyasından aşağıdakıların köməyilə alınır

burada  və  Hilbert fəzasının özünə aid deyildir, lakin bu fəzanın bütün elementləri ilə dəqiq müəyyən edilmiş skalyar hasillərə malikdirlər. Mövqe-fəza tənliyi üç ölçüdən bir ölçüyə doğru məhdudlaşdırıldıqda, mövqe-fəza tənliyi yuxarıda verilmiş Şredinger tənliyinin yalnız birinci formasıdır. Kvant mexanikasında mövqe və impuls arasındakı əlaqə bir ölçüdə qiymətləndirilə bilər. Kanonik kvantlamada klassik dəyişənlər  və  kanonik kommutasiya əlaqəsini təmin edən  və  özü-özünə qoşma operatorlara yüksəldilir

Bu o deməkdir ki,

ona görə də mövqe-fəza təsvirində  impuls operatorunun təsiri belədir: . Beləliklə  ikitərtibli törəmə olur və üç ölçüdə ikitərtibli törəmə  Laplasian olur.

Kanonik kommutasiya əlaqəsi həm də mövqe və impuls operatorlarının bir-birinin Furye qoşmaları olduğunu nəzərdə tutur. Nəticə etibarilə, ilkin olaraq mövqedən asılılıq baxımından müəyyən edilmiş funksiyalar Furye çevrilməsindən istifadə edərək impuls funksiyalarına çevrilə bilər. Bərk cisim fizikasında Şredinger tənliyi tez-tez impuls funksiyaları üçün yazılır, çünki Blox teoremi periodik kristal qəfəsin potensial cütlərini təmin etdiyindən,  ilə  yalnız diskret qarşılıqlı qəfəs vektorları  üçün yazılır. Bu Briluen zonasındakı digər nöqtələrdən asılı olmayaraq Briluen zonasının hər bir nöqtəsində impuls-fəza Şredinger tənliyini həll etməyi asanlaşdırır.

 Ehtimal cərəyanı 
Şredinger tənliyi yerli ehtimalın saxlanmasına uyğundur. Sağdakı Şredinger tənliyini kompleks qoşma dalğa funksiyasına vurmaq və dalğa funksiyasını Şredinger tənliyinin kompleks qoşmasının soluna vurub çıxmaqla ehtimal üçün kəsilməzlik tənliyini almaq olar:

burada

ehtimal sıxlığı (vahid həcmə düşən ehtimal, kompleks qoşmanı bildirir),

isə ehtimal cərəyanıdır (vahid səthə düşən cərəyandır).

 Dəyişənlərə ayrılma 
Əgər Hamiltonian zamanın aşkar funksiyası deyilsə, tənlik fəza və zamana aid hissələrin hasili kimi vuruqlara ayrıla bilər. Tənliyi dəyişənlərə ayırma yolu ilə həll etmək, aşağıdakı formanın həllini axtarmaq deməkdir

burada  yalnız sistemi təşkil edən hissəcik(lər)in bütün fəza koordinat(lar)ının,  isə yalnız zamanın funksiyasıdır. Bu ifadəni  funksiyasının yerinə yazsaq

Bu tip bir həll stasionar adlanır, çünki zamandan asılı olan yeganə şey Born qaydası ilə ehtimal sıxlığı hesablandıqda ləğv edən bir faza amilidir.

Bu, istənilən sayda ölçülər (zamandan asılı olmayan potensialda) istənilən sayda hissəcik üçün ümumiləşdirilir: zamandan asılı tənliyin durğun dalğa həlləri müxtəlif enerjilərin ehtimal paylanması əvəzinə müəyyən enerjiyə malik vəziyyətlərdir. Fizikada bu durğun dalğalar "stasionar vəziyyətlər" və ya "enerji məxsusi halları" adlanır; kimyada onlara "atom orbitalları" və ya "molekul orbitalları" deyilir. Enerjinin məxsusi hallarının superpozisiyaları enerji səviyyələri arasındakı nisbi fazalara uyğun olaraq xassələrini dəyişir. Enerjinin məxsusi halları əsas təşkil edir: hər hansı bir dalğa funksiyası diskret enerji vəziyyətləri üzərində cəmi və ya kəsilməz enerji vəziyyətləri üzərində inteqral və ya daha ümumi olaraq ölçü üzərində inteqral kimi yazıla bilər. Bu, riyaziyyatda spektral teoremdir və sonlu ölçülü vəziyyət fəzasında bu, sadəcə olaraq Ermit matrisinin məxsusi vektorlarının tamlığının ifadəsidir.

Dəyişənlərin ayrılması zamandan asılı olmayan Şredinger tənliyi üçün də səmərəli bir üsul ola bilər. Məsələn, problemin simmetriyasından asılı olaraq, Dekart oxları üzrə

şəklində və ya sferik koordinatlar üzrə aşağıdakı kimi ayrıla bilər:

 İstinadlar 

Xarici keçidlər
 Quantum Cook Book and PHYS 201: Fundamentals of Physics II by Ramamurti Shankar, Yale OpenCourseware 
 The Modern Revolution in Physics – an online textbook. 
 Quantum Physics I at MIT OpenCourseWare  

Kateqoriya:Diferensial tənliklər