Arximed aksiomu

Arximed aksiomu və ya Arximed prinsipi və ya Arximed mülkiyyəti — Qədim yunan riyaziyyatçısı Arximedin adını daşıyan riyazi ifadələr.

Bu təklif əvvəlcə Knidli Evdoks Kəmiyyətlər münasibətləri nəzəriyyəsində formalaşdırıldı (Evdoksun kəmiyyət anlayışı həm nömrələri, həm də davamlı kəmiyyətləri əhatə edir: parçalar, sahələr, həcmlər):

İki miqdar varsa  və ,  -dən azdırsa, sonra  komponent olaraq götürüb,kifayət qədər -ni kənarlaşdıra bilərik:

Məsələn, seqmentlər üçün Arximed aksiomu belə səslənir: əgər iki seqment verilirsə, onlardan daha kiçik olanı kifayət qədər dəfə təxirə salmaqla daha böyük hissəni örtə bilər.

Arximed aksiomu ifadəsi mənasız görünür,lakin əsl mənası sonsuz və ya sonsuz böyük miqdarda olmamasıdır. Beləliklə, bu aksiom qeyri-standart analizdə yerinə yetirilmir: hiperreal ədədlər dəstində sonsuz və sonsuz böyük miqdarlar var. Bu cür elementlər Arximedin aksiomunu qane edə bilməz. Digər nümunələr mümkündür.

Arximed əmlakının razı olduğu riyazi quruluşlar,arximediya adlanır,məsələn, Arximed sahəsi və Arximed qrupu və yerinə yetirilməyənlər isə - arximediya deyil.

 Tarixi 
Riyaziyyatda Arximedin aksiomu kimi tanınan aksiom, əslində ilk olaraq Knidli Evdoks tərəfindən tərtib edilmişdir. Bu təklif əslində əsl ədədlərin ilk aksiomatik nəzəriyyəsi olan münasibətlər nəzəriyyəsində əsas rol oynadı. Buna görə də buna Evdoksun aksiomu da deyilir.

Evdoksun nəzəriyyəsi bizə Evklidin təqdimatında gəldi.("Başlanğıclar", Kitab V).

Evdoksun aksiomu - Arximed, Evdoks tərəfindən icad edilən "tükənmə metodu" adını daşıyır -Rieman inteqralıvə Darb nəzəriyyəsi analoqundan istifadə etməklə rəqəmlərin sahələrini, bədən həcmlərini, qövslərin uzunluqlarını tapmaq üsuludur. Bununla birlikdə, Arximed bu sahədə ən böyük nəticələrə nail oldu. Öz metodundan istifadə edərək Evdoks sahələrin və həcmlərin hesablanmasına dair bir neçə teoremi ciddi şəkildə sübut etdi. Üstəlik, Qədim Yunanıstanda ardıcıllıq anlayışı olmadığından, ardıcıllığın həddi olduğu üçün Arximed hər konkret tapşırıqda arqumenti yenidən təkrarlamalı idi. Beləliklə, Arximed öz yazılarında Evdoksun - Arximedin aksiomlarını tərtib etmiş və istifadə etmişdir. Eyni zamanda, Arximed özü kitabının giriş hissəsində bu aksiomun sələfləri tərəfindən istifadə edildiyini və Evdoksun əsərlərində əhəmiyyətli rol oynadığını vurğulayır..

 Müasir tərif 
 Xətti sifarişli qrup 
Qoy  — xətti sifarişli qrup, və  — -in  müsbət elementləri olsun.  elementi  elementinə münasibətdə sonsuz kiçikdir,lakin əgər hər hansı bir təbii  bərabərsizliyi varsa  -ya münasibətdəsonsuz böyükdür:

 qrupu əgər Arximedin aksiomu yerinə yetirilirsə, Arximediya adlanır:  -də  elementləri cütü yoxdur,belə ki,   - -yə münasibətdə sonsuz kiçikdir.

 Sifarişli sahə 
Qoy  — sifarişli bir sahə olsun. Hər sifariş edilmiş sahə xətti sifariş edilmiş bir qrup olduğundan, onda sonsuz kiçik və sonsuz böyük elementlərin yuxarıdakı bütün tərifləri, həmçinin Arximed aksiomunun tərtib edilməsi qüvvədə qalır. Bununla birlikdə, bir sıra spesifik xüsusiyyətlər mövcuddur, buna görə də Arximed aksiomunun formalaşdırılması sadələşdirilmişdir.

Qoy  -nın müsbət elementləri olsun.
  elementi  elementinə nisbətində sonsuz kiçikdir,yalnız onda   -yə münasibətdə  sonsuz kiçik olur (belə elementlər sadəcə sonsuz kiçik adlanır).
  elementi  elementinə nisbətən sonsuz dərəcədə böyükdür, yalnız onda   -yə münasibətdə sonsuz böyük olur (belə elementlər sadəcə sonsuz böyük adlanır).

Sonsuz kiçik və sonsuz böyük elementlər sonsuz elementlər adı altında birləşdirilir.

Müvafiq olaraq, Arximed aksiomunun tərtib edilməsi sadələşdirilir: sifariş edilmiş sahə  sonsuz kiçik elementlərə sahib deyilsə və ya eyni dərəcədə sonsuz böyük elementlərə sahib deyilsə Arximed mülkiyyətinə malikdir. Sonsuz kiçik (və ya sonsuz böyük) bir elementin tərifini burada genişləndirsək, Arximed aksiomunun aşağıdakı formulasını alırıq:

Hər hansı  elementi,  sahəsi üçün təbii   kimi elementləri mövcuddur.

Və ya, ekvivalent formula:

Sahənin hər hansı bir müsbət  elementi üçün təbii   kimi elementləri mövcuddur.

 Nümunələr və əks misallar 
 Həqiqi ədədlər toplusu 
Arximed sahəsinin ən məşhur nümunəsi həqiqi ədədlər toplusudur. Həqiqi ədədlər toplusunu rasional dəstin tamamlanması hesab etsək (məsələn, Dedekind kəsiyindən istifadə etməklə),onda həqiqi ədədlər üçün Arximed əmlakı rasional ədədlərin ona sahib olmasıdır.Bununla əlaqədar olaraq qeyd etmək lazımdır ki, David Hilbert tərəfindən təklif olunan həqiqi ədədlərin aksiomu sistemlərindən birində (Hilbertin aksiomatikası),həqiqi ədədlər toplusu, maksimum arximediya sifariş edilmiş sahə, yəni  Arximed aksiomunu təmin edən sifarişli bir sahə olaraq təyin olunaraq (yəni sonsuz elementləri ehtiva etmir),daha böyük bir Arximediya sifariş edilmiş sahəyə genişləndirilə bilməz.

 Arximed olmayan sifarişli sahə 
Arximed aksiomunun yerinə yetirilmədiyi sifariş edilmiş bir sahənin nümunəsi (daha doğrusu, əks misal) olaraq, real əmsallar, yəni forma funksiyaları ilə rasional funksiyalar toplusunu nəzərdən keçiririk

Ümumi əlavə və vurma əməliyyatlarına gəlincə bu məcmu bir sahə meydana gətirir. Rasional funksiyaların cəminə sifarişin əlaqəsini aşağıdakı kimi təqdim edirik. və  — iki rasional funksiyadır. Deyirik ki, əgər bəzi məhəllələrdə  ilə fərq olduqda  ciddi bir müsbət işarəyə malik olur.Bu şərt,rasional funksiyaların əmsalları və  baxımından tərtib edilə bilər. Fərqi   çoxbucaqlı + müntəzəm rasional fraksiya şəklində yazırıq:

burada sağ tərəfdəki son müddət müntəzəm rasional fraksiyadır, yəni ədədi dərəcəsi məxrəc dərəcəsindən azdır: .Biz də məxrəcin ən yüksək əmsalı   olduğunu hesab edəcəyik. Sonra  olarsa yalnız onda hər hansı ,ya çoxbucaqlı hissə itir və ya  olur.Təqdim olunan qaydanın  düzgünlüyünü yoxlamaq asandır (tətbiq olunan əlaqənin həqiqətən sifariş əlaqəsi olduğunu və bu əlaqənin sahə əməliyyatlarına uyğun olduğunu təsdiqləmək lazımdır).

Beləliklə, rasional funksiyaların cəmi sifarişli bir sahə təşkil edir. Qeyd edək ki, bu həqiqi ədədlər sahəsinin uzantısıdır, lakin Arximedin aksiomu burada tətbiq edilmir(əvvəlki hissənin sonuna baxın!).Həqiqətən,  və  elementlərini nəzərdən keçirək. Aydındır ki,  natural sayı nə olursa olsun, bərabərsizliyi saxlayır:

Başqa sözlə,  birinə münasibətdə sonsuz böyük bir sahə elementidir. Beləliklə, bu sahədə Arximedin aksiomu tutmur.

 Həmçinin bax 
 Arximed
 Arximed qanunu 
 Arximed spiralı

 İstinadlar 

 Ədəbiyyat 





 Xarici keçidlər 
 Archimède : fizika tarixi
 Riyazi Analiz fənninin proqramı

 Portal:Elm

Kateqoriya:Portal:Elm
Kateqoriya:Riyazi analiz
Kateqoriya:Riyazi terminlər
Kateqoriya:Riyaziyyat