Laplas teoremi

Laplas teoremi- determinantların minorlar üzrə ayrılışı.

TEOREM (Laplas).-tərtibli  determinantının ixtiyari  sayda  sətrini (sütununu) seçib bunların nisbi vəziyyətini dəyişmədən bunlardan mümkün olan bütün müxtəlif  tərtibli minorlar düzəltsək, onda bu minorların öz cəbri tamamlayıcıları ilə hasilləri cəmi determinantın özünə bərabər olar.

İSBATI. Tutaq ki, -tərtibli  determinantında hər hansı  nömrəli sətirləri qeyd edib, həmin sətirlərdən bunların nisbi vəziyyətini dəyişmədən alınan  ölçülü matrisdən buradakı  sütunlarının köməyi ilə bütün mümkün ola bilən müxtəlif -tərtibli  minorlarını düzəltmişik (bunun üçün "kombinezon sayağı" qaydadan istifadə edirlər, yəni seçilmiş  dənə  nömrəli sətirlərin nisbi vəziyyətini dəyişmədən bunların hər dəfə heç olmasa bir nömrəsi ilə fərqlənən müxtəlif ardıcıl nömrəli sütunlarla kəsişmələrinə baxmaq gərəkdir). Bu yolla düzəldilən  minorlarının cəbri tamamlayıcıları  olsun. Göstərməliyik ki:

 (1)

-lər öz işarələri ilə verilən  determinantının hədləridir. Həmçinin buradakı  minorları bir-birindən heç olmasa bir sütunu ilə fərqləndiyi üçün (1) cəmindəki toplananlar da ortaq həddə malik olmamalıdır. Deməli, (1) cəmində iştirak edən hasillərdən alınan hədlər hamısı verilən -tərtibli determinantın müxtəlif hədləridir. Teoremin isbatını tamamlamaq üçün bu hədlərin sayının  olduğunu göstərməliyik.
 minorlarının hər biri -tərtibli olduğundan bunların hədləri sayı , cəbri tamamlayıcılar isə  tərtibli olduğundan bunlardakı hədlərin sayı  olur.  hasilinin hər birində determinantın  sayda həddi olmalıdır. (1) cəmində  sayda toplanan olduğundan burada iştirak edən müxtəlif hədlərin sayı  dənə olmalıdır. Buradakı  əmsallı determinantın  sayda sətrindən düzəldilməsi mümkün ola bilən  tərtibli minorların sayıdır. Bu minorların düzəldilməsi qaydası və quruluşu elədir ki, onlar bir-birindən ancaq sütunlar ilə fərqlənirlər(heç olmasa bir sütunu ilə). Onda belə minorların sayı  olmalıdır. Deməli, (1) cəmində olan hədlərin ümumi sayı

olur, yəni bu cəmdə determinantın təkrar olunmamaq şərti ilə bütün  sayda hədlərinin hamısı iştirak edir.

Ədəbiyyat

 Maarif Əkbərov "Cəbr və Ədədlər nəzəriyyəsi"
 В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
 Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000.
 Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: Учебник для вузов. М.: Физматлит, 2004.

Kateqoriya:Riyaziyyat
Kateqoriya:Determinantlar