Matris

Matris – düzbucaqlı sxemdə yerləşən aij elementləri (ədədlər, funksiyalar, üzərində cəbri əməllər aparıla bilən başqa kəmiyyətlər) sistemi. Onun m sətri və n sütunu varsa, deyilir ki, (m×n)–ölçülü matris verilmişdir. Məsələn,

matrisi iki sətirə və üç sütuna malik  ölçülü matrisdir.

Matrislər əlavə spesifikasiyalar olmadan xətti çevirmələri təsvir edir və xətti cəbrdə aşkar hesablamalar aparmağa imkan verir. Buna görə də matrislərin tədqiqi xətti cəbrin böyük bir bölümünü təşkil edir və abstrakt xətti cəbrin əksər xassə və əməlləri matrislərlə ifadə oluna bilir. Məsələn, matrislərin hasili xətti çevirmələrin kompozisiyasını ifadə edir.

Matrislərin hamısı xətti cəbrlə əlaqəli deyil. Bu xüsusən qraf nəzəriyyəsində, insident və qonşuluq matrislərində belədir.Bununla belə, qonşuluq matrisləri halında, matrislərin vurulması və ya onun bir variantı eyni vaxtda istənilən iki təpə arasındakı yollar sayını və iki təpə arasındakı ən qısa məsafəni hesablamağa imkan verir.

Bu məqalədə xətti cəbrlə əlaqəli matrislərə diqqət yetirilir və əgər digər hallar göstərilməyibsə, bütün matrislər xətti çevirmələri ifadə edir

Eyni sayda sətir və sütuna malik matrislər (kvadrat matrislər) matrislər nəzəriyyəsində böyük rol oynayır. Verilmiş ölçülü kvadrat matrislər qeyri-kommutativ halqa əmələ gətirir ki, bu da qeyri-kommutativ halqanın ən ümumi nümunələrindən biridir. Kvadrat matrisin determinantı kvadrat matrisin öyrənilməsi üçün əsas sayılan matrislə əlaqəli ədəddir; məsələn, kvadrat matris yalnız və yalnız sıfırdan fərqli determinanta malik olduqda və onun məxsusi qiymətləri çoxhədli determinantının kökləri olduqda tərs olur.

Həndəsədə matrislər həndəsi çevirmələri (məsələn, dönmələri) və koordinat dəyişmələrini təyin etmək və göstərmək üçün geniş istifadə olunur. Ədədi analizdəki bir çox hesablama məsələləri matris hesablamaya gətirilməklə həll edilir və bu, çox vaxt böyük ölçülü matrislərlə hesablamanı əhatə edir. Matrislər riyaziyyatın əksər sahələrində və bir çox elm sahələrində ya birbaşa, ya da həndəsə və ədədi analizdə istifadə yoluyla tətbiq olunur.

 Tərif 
Matris ədədlərin (və ya digər riyazi obyektlərin) düzbucaqlı yığımıdır. Matrisdəki ədəd, simvol və ya ifadələr onun ünsürləri və ya elementləri, ünsürlərdən ibarət üfüqi və şaquli sıralar isə müvafiq olaraq sətir və sütunlar adlanır.

Matrislər toplama və vurma kimi standart əməllərə tabedir. Ən geniş yayılmış F meydanı üzərindəki matris F elementlərinin düzbucaqlı yığımıdır.Ünsürləri uyğun olaraq həqiqi və ya kompleks ədədlər olan matris, həqiqi və ya kompleks matris adlanır.

 Ölçü 
Matrisin ölçüsü ona daxil olan sətir və sütunların sayı ilə xarakterizə olunur. Müsbət tam ədədlər olduqları müddətcə, bir matrisin (ümumi mənada) malik ola biləcəyi sətir və sütunların sayında heç bir məhdudiyyət yoxdur. m sətir və n sütundan ibarət matris m×n ölçülü matris və ya m-in n-ə matris adlanır. Məsələn, yuxarıdakı A matrisi 3×2 ölçülü matrisdir.

Yalnız bir sətirdən ibarət olan matris sətir vektoru, bir sütundan ibarət olan matris isə sütun vektoru adlanır. Eyni sayda sətir və sütuna malik olan matrisə kvadrat matris deyilir. Sonsuz sayda sətir və ya sütunu (və ya hər ikisi) olan matrisə sonsuz matris deyilir. Bəzi kontekstlərdə, məsələn, kompüter cəbri proqramlarında, sətirləri və ya sütunları olmayan, boş matrisi nəzərdən keçirmək faydalıdır.
+Matris ölçüsünə ümumi baxışAdıÖlçüsüNümunəTəsvirSətir vektoru1 × nBir sətirli matris olub, bəzən vektoru göstərmək üçün istifadə edilirSütun vektorun × 1Bir sütunlu matris olub, bəzən vektoru göstərmək üçün istifadə edilirKvadrat matrisn × nBərabər sayda sətir və sütuna malik matris, bəzən vektor fəzasından özünə xətti çevirməni (məsələn, əksetmə, dönmə və ya sürüşməni) göstərmək üçün istifadə olunur

 İşarələmə 
Matrislər, adətən, düzbucaqlı və ya dairəvi mötərizə daxilində yazılır:

Matrisin simvolik şəkildə göstərilmə xüsusiyyətləri bəzi yayğın meyllərlə birlikdə böyük ölçüdə dəyişir. Matrislər, adətən, böyük hərflərdən istifadə edilməklə (məsələn, yuxarıdakı nümunələrdə A kimi), buna uyğun olaraq ünsürlər isə iki işarəli aşağı indeksə malik kiçik hərflərlə (məsələn, a11 və ya a1,1) işarələnir. Bir çox müəlliflər matrisləri işarələmək üçün böyük hərflərdən istifadə etməklə yanaşı, matrisləri digər riyazi obyektlərdən daha da fərqləndirmək üçün xüsusi tipoqrafik üslubdan, adətən, qalın şriftdən (kursiv olmayan) istifadə edirlər. Alternativ işarələmə qalın şriftli və ya qalın şriftsiz dəyişənin adı ilə ikiqat alt xəttdən istifadəni özündə əks etdirir (məsələn,  kimi).

A matrisinin i-ci sətir və j-ci sütunundakı element bəzən matrisin i, j, (i, j) və ya (i, j)-ci elementi kimi nəzərdə tutulur və çox vaxt ai, j və ya aij kimi işarə olunur. Bu element üçün başqa bir işarələmə A[i, j] və ya Ai, j kimidir. Məsələn, aşağıdakı A matrisinin (1,3) elementi 5-dir (o həmçinin a13, a1,3, A[1,3] və ya A1,3 ilə işarə olunur):

Bəzən matrisin elementləri ai, j = f(i, j) şəklindəki düsturla müəyyən edilə bilər. Məsələn, aşağıdakı A matrisinin hər bir elementi aij = i − j düsturu ilə müəyyən edilir.

Bu halda matrisin özü bəzən düzbucaqlı və ya dairəvi mötərizə daxilində həmin düsturla müəyyən edilir. Məsələn, yuxarıdakı matris A = [i−j] və ya A = ((i−j)) kimi təyin olunur. Əgər matrisin ölçüsü m × n kimi olarsa, yuxarıda qeyd olunan f(i, j) düsturu istənilən i = 1, …, m və istənilən j = 1, …, n üçün etibarlıdır. Bunu ayrıca şəkildə, ya da aşağı indeksdə matrisin ölçüsünü (m × n) göstərməklə ifadə etmək olar. Məsələn, yuxarıdakı A matrisi 3 × 4 ölçülüdür və A = [i − j] (i = 1, 2, 3; j = 1, …, 4) və ya A = [i − j]3×4 kimi müəyyən edilə bilər.

Bəzi proqramlaşdırma dilləri m-×-n matrisini təsvir etmək üçün ikiqat indeksli massivlərdən (və ya massivlərin massivlərindən) istifadə edir. Bəzi proqramlaşdırma dilləri massivin indekslərinin nömrələnməsinə sıfırdan başlayır, bu halda m × n matrisinin ünsürləri 0 ≤ i ≤ m − 1 və 0 ≤ j ≤ n − 1 ilə indekslənir. Bu məqalədə sadalamanın 1-dən başlayan riyazi yazılışda daha çox yayılmış qaydaya əməl edilir.

Matrisdəki bütün sətir və ya sütunlara istinad etmək üçün bəzən ulduz işarəsindən istifadə edilir. Məsələn, ai,∗ A-nın i-ci sətirinə, a∗, j isə A-nın j-ci sütununa aiddir. m × n ölçülü bütün həqiqi matrislər çoxluğu çox zaman  və ya  kimi işarə olunur. Başqa bir meydan və ya  halqası üzərindəki bütün m × n matrislərinin çoxluğu oxşar şəkildə  və ya  işarə olunur.  olduqda, yəni matris kvadrat olan halda ölçü təkrarlanmır:  və ya .Pop; Furdui (2017). Square Matrices of Order 2. Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-54938-5. Çox vaxt  əvəzinə -dən istifadə olunur.

 Əsas əməllər 
Matrislər üzərində dəyişikliklər aparmaq üçün tətbiq oluna bilən bir sıra əsas əməllər mövcuddur ki, bunlara matrislərin toplanması, skalyara (ədədə) vurma, transponirə etmə, matrislərin hasili, sıra əməlləri və altmatris aiddir.

 Toplama, skalyara vurma və transponirə etmə 
ƏməlTərifNümunəToplamaEyni (m×n) ölçülü matrislərin cəmi həmin ölçülü başqa bir matrisi verir:
 (A + B) = A + B, burada 1 ≤ i ≤ m və 1 ≤ j ≤ n.Skalyara (ədədə) vurmac ədədi (abstrakt cəbr dilində skalyar da deyilir) və A matrisinin cA hasili A-nın hər bir elementi c-yə vurulmaqla hesablanır:

 (cA)i, j = c · Ai, j.Transponirə etmə m x n ölçülü A matrisinin bütün sətirləri ilə sütunlarının yerlərinin dəyişdirilməsiylə (nömrələrini saxlamaqla) alınan n x m ölçülü AT (həmçinin Atr, At və ya A' ilə işarələnir) matrisi:
 (AT)i, j = Aj, i.

Ədədlərin məlum xassələri matrislər üzərindəki əməllərə də şamil edilir: məsələn, toplama kommutativdir, yəni matrislərin cəmi toplananların ardıcıllığından asılı deyil: A + B = B + A. Transponirə etmə (cA)T = c(AT) və (A + B)T = AT + BT ilə ifadə olunduğu kimi toplama və skalyara vurma ilə uzlaşır.

 Matrislərin vurulması 
İki matrisin hasili o halda təyin edilir ki, soldakı matrisin sütunlarının sayı sağdakı matrisin sətirlərinin sayı ilə eyni olsun. m × n ölçülü A matrisinin n × p ölçülü B matrisinə hasili hədləri

kimi təyin olunan AB matrisinə deyilir. Burada 1 ≤ i ≤ m və 1 ≤ j ≤ p. Məsələn, hasildə altından xətt çəkilmiş 2340 elementi aşağıdakı kimi hesablanır

(2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:

Matrislərin hasili (AB)C = A(BC) (assosiativlik) və (A + B)C = AC + BC, eləcə də C(A + B) = CA + CB (sola və sağa nəzərən distributivlik) qanununa cavab verir, bu zaman matrislərin ölçüsü elə olmalıdır ki, müxtəlif hasillər təyin oluna bilsin.

AB hasili BA təyin edilmədən müəyyən edilə bilər, yəni A və B müvafiq olaraq mxn və nxk ölçülü matrislərdirsə və m ≠ k olarsa. Hər iki hasil müəyyən edilsə belə, onların ümumiyyətlə bərabər olmasına ehtiyac yoxdur, yəni:

AB ≠ BA

Başqa sözlə, hasili vuruqların sırasından asılı olmayan (rasional, həqiqi və ya kompleks) ədədlərdən fərqli olaraq, matrislər vurmaya nəzərən kommutativ deyil.

halbuki

Matrislərin adi formada vurulması ilə yanaşı, vurulan matrislər üzərində daha az istifadə olunan Adamar və Kroneker hasili kimi digər əməllər də mövcuddur. Onlar Silvestr tənliyi kimi matris tənliklərinin həlli zamanı ortaya çıxır.

 Sətir əməlləri 
Üç növ sətir əməli var:

 sətirlərin toplanması, yəni bir sətir digəri ilə toplana bilər;
 sətirlərin vurulması, yəni sətirin bütün elementlərini sıfırdan fərqli sabitə vurmaq olar;
 sətirlərin yerdəyişməsi, yəni matrisin iki sətirini dəyişdirmək olar.

Bu əməllər xətti tənliklərin həlli və matrisin tərsinin tapılması da daxil olmaqla müxtəlif şəkillərdə istifadə olunur.

 Altmatris 
Hər hansı bir matrisin altmatrisi istənilən sətir və/və ya sütunlar yığımının silinməsi ilə əldə edilir.

Məsələn, aşağıdakı 3x4 ölçülü matrisin 3-cü sətir və 2-ci sütununu silməklə 2x3 ölçülü altmatris düzəltmək olar:

Matrisin minor və cəbri tamamlayıcıları müəyyən altmatrislərin determinantını hesablamaqla tapılır.

Əsas altmatris müəyyən sətir və sütunları silməklə əldə edilən kvadrat altmatrisdir. Onun tərifi müəllifdən müəllifə dəyişir. Bəzi müəlliflərə görə, əsas altmatris, qalan sətir indeksləri çoxluğu ilə qalan sütun indeksləri çoxluğu eyni olan altmatrisdir... Digər müəlliflər əsas matrisi bəzi k ədədləri üçün ilk k sətir və sütunundan geridə qalanlardan ibarət matris kimi təyin edir;. bu tip submatris həm də aparıcı əsas submatris adlanır..

 Xətti tənliklər 
Matrislər bir çox xətti tənlikləri, yəni xətti tənliklər sistemini yığcam şəkildə yazmaq və onlarla işləmək üçün istifadə edilə bilər. Məsələn, A mxn ölçülü matris, x x1, x2, …, xn dəyişənlərindən ibarət sütun vektoru (yəni n×1 ölçülü matris), b isə m×1 ölçülü sütun vektorudursa, onda

matris tənliyi

xətti tənliklər sisteminə ekvivalentdir.

Bütün bu tənlikləri ayrı-ayrılıqda yazmaq əvəzinə matrislərdən istifadə etməklə daha yığcam şəkilə salmaq və həll etmək olar. Əgər n = m və tənliklər sərbəst olarsa, bunu aşağıdakı şəkildə yazmaqla tamamlamaq olar

burada A−1 A matrisinin tərsidir.

Əgər A-nın tərsi yoxdursa, onun ümumiləşdirilmiş tərsindən istifadə etməklə həllər (əgər varsa) tapıla bilər.

 Xətti çevirmələr 
Matrislər və matrislərin hasili xətti çevirmələrlə əlaqəli olduqda onların əsas cəhətləri ortaya çıxır. mxn ölçülü həqiqi A matrisi Rn-dəki hər bir x vektorunu Rm-də vektor olan Ax (matris) hasilinə qarşı qoyan Rn → Rm xətti çevirməsinə səbəb olur. Digər tərəfdən, hər bir f: Rn → Rm xətti çevirməsi mxn ölçülü unikal A matrisindən yaranır: aşkar şəkildə A-nın (i, j)-elementi f(ej)-nin i-ci koordinatıdır (burada ej = (0,…,0,1,0,…,0) j-ci mövqedə 1 və başqa yerlərdə 0 qiymətini alan vahid vektordur). Bu zaman deyilir ki, A matrisi f xətti çevirməsini təmsil edir, A isə f-in çevirmə matrisi adlanır.

Məsələn, 2×2 ölçülü

matrisinə vahid kvadratın təpələri (0, 0), (a, b), (a + c, b + d) və (c, d) olan paraleloqrama çevrilməsi kimi baxıla bilər. Sağda təsvir olunan paraleloqram A-nı növbə ilə  və  sütun vektorlarının hər birinə vurmaqla əldə edilir. Bu vektorlar vahid kvadratın təpə nöqtələrini müəyyən edir.

Aşağıdakı cədvəl R2 ilə əlaqəli xətti çevirmələr vasitəsilə 2×2 ölçülü müxtəlif həqiqi matrisləri nümayiş etdirir. Mavi rəngli orijinal yaşıl tor və fiqurlara çevrilir. Koordinat başlanğıcı (0,0) qara nöqtə ilə qeyd olunmuşdur.
Üfüqi sürüşmə
[m = 1.25]Şaquli oxa nəzərən əksetməSıxmaqla çevirmə
[r = 3/2]Miqyaslanma
[3/2 nisbətdə]Dönmə
[/6 = 30° qədər]link=:en:File:VerticalShear m=1.25.svg|175x175pxlink=:en:File:Flip map.svg|150x150pxlink=:en:File:Squeeze r=1.5.svg|150x150pxlink=:en:File:Scaling by 1.5.svg|125x125pxlink=:en:File:Rotation by pi over 6.svg|125x125px
Matrislər və xətti çevirmələr arasında birəbir uyğunluq (biyeksiya) altında matrislərin vurulması çevirmələrin kompozisiyasına uyğun gəlir: əgər kxm ölçülü matris B başqa bir xətti çevirməni təmsil edirsə: Rm → Rk, onda g ∘ f kompozisiyası BA ilə ifadə edilir, çünki

(g ∘ f) (x) = g(f(x)) = g(Ax) = B(Ax) = (BA)x.

Son bərabərlik matrislərin vurmaya görə assosiativliyindən irəli gəlir.

A matrisinin ranqı matrisin xətti sərbəst sətir vektorlarının maksimum sayıdır və bu, xətti sərbəst sütun vektorlarının maksimum sayına bərabərdir. Ekvivalent olaraq bu, A ilə ifadə olunan xətti çevirmənin obrazının ölçüsüdür. Ranq-sıfırlıq teoremi göstərir ki, matrisin nüvəsinin ölçüsü və ranqı matrisin sütunları sayına bərabərdir.

 Kvadrat matris 
Kvadrat matris bərabər sayda sətir və sütuna malik matrisdir. nxn ölçülü matris n tərtibli kvadrat matris adlanır. Tərtibləri bərabər olan istənilən iki kvadrat matris toplanıla və vurula bilər. aii elementləri kvadrat matrisin baş diaqonalını təşkil edir. Onlar matrisin yuxarı sol küncünü aşağı sağ küncü ilə birləşdirən xəyali xətt üzrə yerləşirlər.

 Başlıca növləri 

 Diaqonal və üçbucaq matris 
AdıNümunə (n = 3)Diaqonal matrisAşağı üçbucaq matrisYuxarı üçbucaq matris
Əgər A-nın baş diaqonaldan aşağıda duran bütün elementləri sıfırdırsa, A yuxarı (yaxud sağ) üçbucaq matris adlanır. Eynilə, A-nın baş diaqonaldan yuxarıda duran bütün elementləri sıfırdırsa, A aşağı (yaxud sol) üçbucaq matris adlanır. Baş diaqonal elementlərindən başqa qalan elementlər sıfırdırsa, A diaqonal matris adlanır.

 Vahid matris 
n ölçülü vahid matris baş diaqonaldakı bütün elementləri 1-ə, digər elementləri isə 0-a bərabər olan nxn ölçülü matrisdir. Məsələn,

Bu n tərtibli kvadrat matrisdir, həmçinin diaqonal matrisin xüsusi növüdür. Ona vahid matrisi deyilir, çünki hər hansı matrisin onunla hasili elə həmin matrisi verir, yəni mxn ölçülü hər hansı A matrisi üçün

AIn = ImA = A

bərabəriyi doğrudur.

Vahid matrisin sıfırdan fərqli skalyarla hailinə skalyar matris deyilir. Əgər matrisin elementləri meydandan gəlirsə, skalyar matrislər matrislərin vurulması altında qrup təşkil edir, yəni meydanın sıfırdan fərqli elementlərinin multiplikativ qrupuna izomorfdur.

 Simmetrik və ya çəp-simmetrik matris 
Transponirə edildikdə özü alınan, yəni A=AT olan A matrisinə simmetrik matris deyilir. Bunun əvəzinə, A= −AT olduqda, A matrisinə çəpsimmetrik matris deyilir. Kompleks matrislərdə simmetriya çox vaxt A∗=A bərabərliyini təmin edən Ermit matrisi anlayışıyla əvəz olunur, burada ulduz işarəsi A matrisinin Ermit və ya transponirə edilmiş kompleks qoşmasını bildirir.

Spektral teoremə görə, həqiqi simmetrik matrislər və kompleks Ermit matrisləri məxsusi bazisə malikdir; yəni hər bir vektor məxsusi vektorların xətti kombinasiyası kimi ifadə edilə bilər. Hər iki halda bütün məxsusi qiymətlər həqiqidir. Bu teorem sonsuz sayda sətir və sütuna malik matrislərlə əlaqəli olan sonsuz ölçülü hallar üçün ümumiləşdirilə bilər (aşağıya baxın).

 Tərs matris və onun tərsi 
Aşağıdakı bərabərliyi ödəyən B matrisi varsa, A kvadrat matrisinə tərsi olan və ya qeyri-sinqulyar matris deyilir:

AB = BA = In

burada In baş diaqonalında 1-lər və qalan yerlərdə 0-lar yerləşən n×n ölçülü vahid matrisdir. Əgər B mövcuddursa, o yeganədir və A-nın tərs matrisi adlanır, həmçinin A−1 ilə göstərilir.

 Müəyyən matris 
Müsbət müəyyən matrisQeyri-müəyyən matrisQ(x, y) =  x + yQ(x, y) =  x − ylink=:en:File:Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg|150x150px
Elə nöqtələr var ki, Q(x,y)=1 (Ellips).link=:en:File:Hyperbola2 SVG.svg|150x150px
Elə nöqtələr var ki, Q(x,y)=1 (Hiperbola).
Simmetrik həqiqi A matrisi, o zaman müsbət-müəyyən adlanır ki, onunla əlaqəli

f (x) = xTA x

kvadratik forması Rn-dəki sıfırdan fərqli hər bir x vektoru üçün müsbət qiymətlər alsın. f (x) yalnız mənfi qiymətlər aldıqda, A-ya mənfi-müəyyən; həm mənfi, həm də müsbət qiymətlər aldıqda isə qeyri-müəyyən matris deyilir. Əgər f kvadratratik forması yalnız mənfi olmayan qiymətlər (müsbət və ya sıfır) alırsa, simmetrik matris müsbət-yarımüəyyən adlanır (əksinə olduqda isə mənfi-yarımüəyyən); deməli, matris nə müsbət-yarımmüəyyən, nə də mənfi-yarımmüəyyən olmadıqda qeyri-müəyyən olur.

Simmetrik matris, o halda müsbət-müəyyən olur ki, onun bütün məxsusi qiymətləri müsbətdir, yəni matris müsbət-yarımüəyyəndir və onun tərsi var. Sağdakı cədvəldə 2x2 ölçülü matrislər üçün iki mümkün hal göstərilmişdir.

Sərbəst dəyişənin yerinə iki müxtəlif vektor yazılarsa A ilə əlaqəli bixətti forma alınar:

BA (x, y) = xTAy

Matrislərin kompleks olması halında da eyni terminologiya və nəticə tətbiq edilir, simmetrik matris, kvadratik forma, bixətti forma və xT çevrilməsi müvafiq olaraq Ermit matris, Ermit forma, bir yarım-xətti forma və xH qoşma çevrilməsi ilə əvəz olunur.

 Ortoqonal matris 
Sütun və sətirləri ortoqonal vahid vektorlar (yəni ortonormal vektorlar) olan həqiqi elementli kvadrat matrisə ortoqonal matris deyilir.

Ekvivalent olaraq, A matrisi transponirə edildikdə onun tərsi alınırsa, o ortoqonaldır:

buradan alınır ki,

burada In n ölçüsünün vahid matrisidir.

Ortoqonal A matrisi mütləq şəkildə tərslənən (A−1 = AT), unitar (A−1 = A*) və normaldır (A*A = AA*). İstənilən ortoqonal matrisin determinantı ya +1, ya da −1-dir. Determinantı +1 olan ortoqonal matrisə xüsusi ortoqonal matris deyilir. Xətti çevirmə olaraq, determinantı +1 olan hər bir ortoqonal matris əksetməsiz xalis dönmədir, yəni çevirmə çevrilmiş strukturun oriyentasiyasını saxlayır, determinantı −1 olan hər bir ortoqonal matris isə oriyentasiyanı tərsinə çevirir, yəni xalis əksetmə və (ehtimal ki, sıfır) dönmənin kompozisiyasıdır. Vahid matrislərin determinantı 1-ə bərabər olur və onlar sıfır bucaq qədər xalis dönmələrdir.

Ortoqonal matrisin kompleks analoqu unitar matrisdir.

 Başlıca əməllər 

 İz 
A kvadrat matrisinin izi (tr A) dedikdə, onun diaqonal elementlərinin cəmi başa düşülür. Matrislərin vurulması yuxarıda qeyd edildiyi kimi kommutativ olmasa da, iki matrisin hasilinin izi vuruqların sırasından asılı deyil:

tr(AB) = tr(BA).

Bu bilavasitə matrislərin vurulmasından irəli gəlir:

Buradan belə çıxır ki, ikidən artıq matrisin hasilinin izi matrislərin siklik permutasiyalarından asılı deyil, lakin bu, ümumiyyətlə, ixtiyari permutasiyalara şamil edilmir (məsələn, ümumi halda tr(ABC) ≠ tr(BAC)). Həmçinin, matrisin izi onun transponirəsinin izinə bərabərdir:

tr(A) = tr(AT).

 Determinant 
Kvadrat A matrisinin determinantı (det(A) və ya |A|) həmin matrislə əlaqəli ədəddir. Hər hansı bir matrisin tərsi yalnız və yalnız onun determinantı sıfırdan fərqli olduqda mövcud ola bilər. Onun mütləq qiyməti vahid kvadratın (və ya kubun) obrazının sahə (R2-də) və ya həcminə (R3-də) bərabər olub, işarəcə müvafiq xətti çevirmənin oriyentasiyasına uyğundur: determinant yalnız və yalnız oriyentasiya qorunub saxlanılan zaman müsbət olur.

2x2 ölçülü matrisin determinantı aşağıdakı şəkildə təyin olunur:

3x3 ölçülü matrislərin determinantı 6 həddə malik olur (Sarrius qaydası). Daha uzun Leybnits düsturu bu iki düsturu bütün ölçülər üçün ümumiləşdirir.

Kvadrat matrislər hasilinin determinantı onların determinantları hasilinə bərabərdir:

det(AB) = det(A) · det(B).

Determinantın hər hansı bir sətir (sütun) elementlərini müəyyən bir ədədə vurub başqa sətrin (sütunun) uyğun elementləri ilə topladıqda onun qiyməti dəyişməz. Determinantın iki sətrinin və ya iki sütununun yerlərini dəyişsək, onun yalnız işarəsi dəyişər. Bu əməllərdən istifadə etməklə istənilən matrisi aşağı (və ya yuxarı) üçbucaq matrisə çevirmək olar və belə matrislər üçün determinant baş diaqonal elementlərinin hasilinə bərabərdir; bu hər hansı matrisin determinantını hesablamaq üçün bir üsul təqdim edir. Nəhayət, Laplas teoremi determinantı minorlar, yəni daha kiçik ölçülü matrislərin determinantları vasitəsilə ifadə edir. Bu genişlənmə determinantların rekursiv tərifi üçün istifadə edilə(başlanğıc hal kimi onun yeganə elementi olan 1x1 ölçülü matrisin determinantını və ya hətta 1-ə bərabər olan 0x0 ölçülü matrisin determinantını götürməklə), beləliklə bunun Leybnits düsturuna ekvivalent olduğu görülə bilər. Determinantlardan Kramer qaydasından istifadə edərək xətti sistemləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər, burada iki əlaqəli kvadrat matrisin determinantlarının bölünməsi sistemin dəyişənlərinin hər birinin qiymətinə bərabərdir.

 Məxsusi qiymətlər və məxsusi vektorlar 
λ ədədi və sıfırdan fərqli v vektoru

bərabərliyini ödədikdə, müvafiq olaraq onlara A-nın məxsusi qiyməti və məxsusi vektoru deyilir. λ ədədi n×n ölçülü A matrisinin məxsusi qiymətidir, o halda və yalnız A−λIn o ifadəsinin tərsi olmasın. Bu aşağıdakı bərabərliyə ekvivalentdir:

det(XIn−A) determinantının qiymətləndirilməsi ilə verilən qeyri-müəyyən X-dəki pA çoxhədlisi A-nın xarakteristik çoxhədlisi adlanır. Bu n dərəcəli monik çoxhədlidir. Buna görə də pA(λ) = 0 çoxhədli tənliyinin ən çoxu n müxtəlif həlli var, belə ki, matris məxsusi qiymətlərə malikdir. A-nın elementləri həqiqi olsa belə, onlar kompleks ola bilər. Keli-Hamilton teoreminə görə, pA(A) = 0 olur, yəni matris öz xarakteristik çoxhədlisi ilə əvəz edildikdə nəticə sıfır matris olur.

 Hesablama aspektləri 
Matris hesablamaları çox vaxt müxtəlif üsullarla həyata keçirilə bilər. Bir çox problem həm birbaşa alqoritmlər, həm də iterativ yanaşmaların köməyilə həll edilə bilər. Məsələn, kvadrat matrisin məxsusi vektorları, n sonsuzluğa yaxınlaşdıqda məxsusi vektora yaxınlaşan xn vektorlar ardıcıllığını tapmaqla əldə edilə bilər.

Hər bir konkret problemə görə ən uyğun alqoritmi seçmək üçün bütün mövcud alqoritmlərin həm effektivliyini, həm də dəqiqliyini müəyyən etmək vacibdir. Bu məsələləri öyrənən sahə ədədi xətti cəbr adlanır. Digər ədədi vəziyyətlərdə olduğu kimi, iki əsas cəhət alqoritmlərin kompleksliyi və ədədi stabilliyidir.

Alqoritmin mürəkkəbliyini müəyyən etmək yuxarı hədləri tapmaq və ya bəzi alqoritmi yerinə yetirmək üçün skalyarların toplanması və vurulması kimi neçə elementar əməlin, məsələn, matrislərin vurulmasının zəruri olduğunun təxminlərini tapmaq deməkdir. Yuxarıda verilmiş tərifdən istifadə edərək iki nxn ölçülü matrisin hasilini hesablamaq üçün n3 vurma lazımdır, çünki hasilin n2 elementlərindən hər hansı biri üçün n vurma lazımdır. Strassen alqoritmi bu "sadəlövh" alqoritmi üstələyir; ona yalnız n2.807 vurma lazımdır. Təkmilləşdirilmiş yanaşma hesablama cihazlarının spesifik xüsusiyyətlərini də özündə birləşdirir. Bir çox praktik hallarda əlaqəli matrislər haqqında əlavə bilgilər məlum olur. Mühüm hal seyrək matrislərlə, yəni elementlərinin çoxu sıfır olan matrislərlə bağlıdır. Ax = b şəklindəki xətti tənliklər sistemini seyrək A matrisinə görə həll etmək üçün qoşma qradiyent metodu kimi xüsusi uyğunlaşdırılmış alqoritmlər mövcuddur.

Giriş qiymətlərindəki kiçik sapmalar nəticədə böyük sapmalara səbəb olmursa, alqoritm kobud formada desək, ədədi stabildir. Məsələn, Laplas teoremi vasitəsilə matrisin tərsinin hesablanması (adj(A) A-nın qarşılıqlı matrisini ifadə edir)

A−1 = adj(A) / det(A)

matrisin determinantı çox kiçik olarsa, nəzərə çarpan yuvarlaqlaşdırma xətalarına səbəb ola bilər. Matrisin norması xətti cəbri məsələlərin şərtləndirilməsini, məsələn, matrisin tərsini hesablamaq üçün istifadə edilə bilər.

Əksər kompüter proqramlaşdırma dilləri massivləri dəstəkləyir, lakin matrislər üçün daxili əmrlərlə tərtib edilməyib. Bunun əvəzinə, mövcud xarici kitabxanalar, demək olar ki, bütün hazırda istifadə olunan proqramlaşdırma dillərində massivlərdə matris əməliyyatları təmin edir. Matris manipulyasiyası kompüterlərin ilk ədədi tətbiqləri arasında idi. Orijinal Dartmouth BASIC -də 1964-cü ildə ikinci buraxılışından etibarən massivlər üzərində matris arifmetikası üçün daxili əmrlər var idi. Hələ 1970-ci illərdə HP 9830 kimi bəzi mühəndis stolüstü kompüterlərində matrislər üçün BASIC əmrləri əlavə etmək üçün ROM kartricləri var idi. APL kimi bəzi kompüter dilləri matrisləri manipulyasiya etmək üçün nəzərdə tutulmuşdur və matrislərlə hesablamalara kömək etmək üçün müxtəlif riyazi proqramlardan istifadə edilə bilər.Məsələn, Mathematica, bax 

 Dekompozisiya 
Matrisləri daha rahat formada göstərmək üçün bir neçə üsul var. Bunlar, ümumiyyətlə, matrisin dekompozisiyası və ya vuruqlara ayırma üsulu adlanır. Bütün bu üsulların marağı ondan ibarətdir ki, onlar sözügedən matrislərin determinantı, ranqı və ya tərsi kimi müəyyən xassələri qoruyub saxlayırlar ki, bu kəmiyyətlər çevirmənin tətbiqindən sonra hesablana bilsin və ya bəzi növ matrislər üçün müəyyən matris əməllərinin həyata keçirilməsi alqoritmik olaraq daha asan olsun.

LU-dekompozisiya matrisləri aşağı (L) və yuxarı üçbucaq matrislərin (U) hasili kimi verilir. Bu dekompozisiya hesablandıqdan sonra xətti sistemlər irəli və geri əvəzetmə adlanan sadə metodla daha səmərəli formada həll edilə bilər. Eyni şəkildə, üçbucaqlı matrislərin tərslərini hesablamaq alqoritmik olaraq daha asandır. Qauss üsulu oxşar alqoritmə əsaslanır; istənilən matrisi sətir pilləli formaya çevirir. Hər iki üsul matrisi sətir və ya sütunların dəyişdirilməsinə uyğun gələn uyğun elementar matrislərə vurmaqla davam edir və bir sətiri müəyyən ədədə vurub digər sətirlə toplanılır. Sinqulyar ayrılma istənilən A matrisini UDV∗ hasili kimi ifadə edir, burada U və V unitar, D isə diaqonal matrisdir.
Matrisin Jordan (normal) formasına dair nümunə. Boz bloklara Jordan blokları deyilir.
Məxsusi dekompozisiya və ya diaqonallaşdırma A-nı VDV−1 hasili kimi ifadə edir, burada D diaqonal, V isə uyğun tərslənən matrisdir. Əgər A matrisini bu formada yazmaq mümkündürsə, ona diaqonallaşdırıla bilən matris deyilir. Daha ümumi şəkildə və bütün matrislərə aid olan Jordan ayrılması matrisi normal formaya (Jordan formasına) çevirir, yəni yalnız sıfırdan fərqli elementləri əsas diaqonalda yerləşdirilən A-nın λ1-dən λn-ə qədər olan məxsusi qiymətləri olan matrisləri, sağda göstərildiyi kimi əsas diaqonalın üstündə yerləşdirilir və ola bilsin ki, ünsürlər birbaşa baş diaqonalın üzərində birinə bərabər olan matrislərdir. Məxsusi dekompozisiyanı nəzərə almaqla, A-nın n-ci dərəcəsini (yəni, matrislərin n dəfə özünə vurulması) aşağıdakı üsulla hesablamaq olar

An = (VDV−1)n = VDV−1VDV−1…VDV−1 = VDnV−1

Və diaqonal matrisin qüvvətini diaqonal elementlərinin müvafiq qüvvətləri götürməklə hesablamaq olar, bu, A matrisinin eksponentini hesablamaqla müqayisədə daha asandır. Bu, xətti diferensial tənliklərin, matris loqarifmlərinin və matrislərin kvadrat köklərinin həllində çox vaxt ehtiyac duyulan eksponensial eA matrisini hesablamaq üçün istifadə edilə bilər. Ədədi mənada gözlənilməz hallardan yayınmaq üçün Şur dekompozisiyası kimi əlavə alqoritmlərdən istifadə edilə bilər.

 Abstrakt cəbri aspektlər və ümumiləşdirmələr 
Matrislər müxtəlif yollarla ümumiləşdirilə bilər. Abstrakt cəbr daha ümumi sahələrə və ya hətta halqalara daxil olan matrislərdən istifadə edir, xətti cəbr isə xətti çevirmələr anlayışı daxilində matrislərin xassələrini sistemləşdirir. Sonsuz sayda sütun və sətirlərə malik matrisləri nəzərdən keçirmək mümkün olur. Başqa bir uzantı, vektorlardan fərqli olaraq, daha yüksək ölçülü ədədlər yığımı kimi baxıla bilən tenzorlardır, bunlar çox vaxt ədədlərin ardıcıllığı kimi həyata keçirilə bilər, matrislər isə düzbucaqlı və ya ikiölçülü ədədlər yığımıdır. Müəyyən tələblərə tabe olan matrislər matris qrupları kimi tanınan qrupları meydana gətirirlər. Eynilə müəyyən şərtlərdə matrislər matris halqaları kimi tanınan halqalar əmələ gətirir. Matrislərin hasilinin ümumi kommutativ olmasa da, müəyyən matrislər matris meydanları kimi tanınan meydanları əmələ gətirir.

 Daha ümumi elementlərə malik matrislər 
Bu məqalədə elementləri həqiqi və ya kompleks ədədlər olan matrislərə diqqət yetirilir. Bununla belə, həqiqi və ya kompleks ədədlərdən başqa, daha ümumi elementlərə malik olan matrisləri də nəzərdən keçirmək olar. Ümumiləşdirmənin ilk addımı kimi, R və ya C yerinə hər hansı bir meydan, yəni toplama, çıxma, vurma və bölmə əməlləri təyin edildiyi və düzgün aparıldığı çoxluq, məsələn, rasional ədədlər və ya sonlu meydanlar istifadə edilə bilər. Məsələn, kodlaşdırma nəzəriyyəsində sonlu meydanlar üzərindəki matrislərdən istifadə edilir. Məxsusi qiymətlər çoxhədlinin kökləri kimi nəzərə alındıqda, onlar yalnız matrisin elementlərindən daha böyük meydanda mövcud ola bilər; məsələn, real elementləri olan matris halında onlar kompleks ola bilər. Matrisin elementlərini daha böyük meydanın elementləri kimi yenidən şərh etmək imkanı (məsələn, həqiqi matrisə elementləri hamısı həqiqi olan kompleks matris kimi baxmaq) sonra hər kvadrat matrisin tam məxsusi qiymətlərinə malik olmasını nəzərdən keçirməyə imkan verir. Alternativ olaraq, əvvəldən yalnız C kimi cəbri qapalı meydanda elementləri olan matrisləri nəzərdən keçirmək olar.

Daha ümumi formada, R halqasında elementləri olan matrislər riyaziyyatda geniş istifadə olunur. Halqa anlayışı meydana nəzərən daha ümumi bir anlayışdır ki, burada bölmə əməlinin mövcud olmasına ehtiyac yoxdur. Matrislərin eyni toplama və vurma əməlləri bu parametrə də aiddir. R üzərində bütün kvadrat nxn matrislərin M(n, R) (həmçinin Mn(R)) çoxluğu matris halqasıdır, sol R modulunun R endomorfizm halqasına izomorfdur. Əgər R halqası kommutativdirsə, yəni onun vurulması kommutativdirsə, M(n, R) R üzərində unitar qeyri-kommutativ (n = 1 olmadıqda) assosiativ cəbrdir. Kvadrat matrislərin R kommutativ halqası üzərindəki determinantını hələ də Leybnits düsturundan istifadə etməklə müəyyən etmək olar; belə bir matrisin yalnız və yalnız o halda tərsi var ki, onun determinantı R-də tərslənən olarsa, hər bir sıfırdan fərqli elementin çevrilə bildiyi F meydanı üzərində vəziyyəti ümumiləşdirir. Üst halqalar üzərindəki matrislər supermatrislər adlanır.

Matrislərin bütün elementləri həmişə eyni halqada, hətta ümumiyyətlə hər hansı bir halqada olmur. Xüsusi, lakin ümumi hallardan biri blok matrisləridir ki, bu da elementlərinin özləri matrislər olan matrislər kimi qəbul edilə bilər. Elementlər kvadrat matrislər olmamalıdır və buna görə də hər hansı bir halqanın üzvləri olmamalıdır; lakin onların ölçüləri müəyyən uyğunluq şərtlərinə cavab verməlidir.

 Xətti çevirmələrlə əlaqə 
Rn → Rm xətti çevirmələri yuxarıda təsvir olunduğu kimi mxn ölçülü matrislərə ekvivalentdir. Daha ümumi şəkildə, sonlu ölçülü vektor fəzaları arasında istənilən f: V → W xətti çevirməsi, V-nin v1, …, vn və w1, …, wm əsaslarını seçdikdən sonra A = (aij) matrisi ilə təsvir edilə bilər. W-nun (beləliklə, n V-nin, m isə W-nun ölçüsüdür), belə ki,

Başqa sözlə, A-nın j sütunu vj-nin obrazını W-nun wi bazis vektorları baxımından ifadə edir; beləliklə, bu əlaqə A matrisinin elementlərini yeganə formada müəyyən edir. Matris əsasların seçimindən asılıdır: əsasların müxtəlif seçimləri fərqli, lakin ekvivalent matrislərin yaranmasına səbəb olur. Yuxarıdakı konkret anlayışların bir çoxunu bu işıqda yenidən şərh etmək olar, məsələn, AT çevrilmiş matrisi ikili əsaslara münasibətdə A tərəfindən verilmiş xətti çevirmənin yerdəyişməsini təsvir edir.

Bu xüsusiyyətlər daha təbii şəkildə yenidən ifadə edilə bilər: kompozisiya olaraq vurma ilə k meydanında elementləri olan bütün matrislərin kateqoriyası sonlu ölçülü vektor fəzalarının və bu meydan üzərində xətti çevirmələrin kateqoriyasına bərabərdir. Daha ümumi olaraq, m×n matrislər çoxluğu birliyə malik ixtiyari R halqası üçün Rm və Rn sərbəst modulları arasında R-xətti çevirmələri göstərmək üçün istifadə edilə bilər. n = m olduqda, bu çevirmələrin kompozisiyası mümkündür və bu, Rn-nin endomorfizm halqasını təmsil edən n× n ölçülü matrislərin matris halqasına səbəb olur.

 Matris qrupları 
Qrup binar əməllə birlikdə obyektlər toplusundan ibarət riyazi struktur, yəni müəyyən tələblərə uyğun olaraq hər hansı iki obyekti üçüncü ilə birləşdirən əməldir.Qrupdakı hər hansı bir standart istinada baxın.Obyektləri matrislər və qrup əməli matrislərin vurulması olan qrupa matris qrupu deyilir.Əlavə olaraq, qrup ümumi xətti qrupda qapalı olmalıdır. Bir qrup hər bir element tərslənən olduğundan, ən ümumi matris qrupları ümumi xətti qruplar adlanan verilmiş ölçülü tərsi olan bütün matrislərin qruplarıdır. Matrislərin hasilləri və tərsləri altında qorunan matrislərin istənilən xassəsindən sonrakı matris qruplarını təyin etmək üçün istifadə edilə bilər. Məsələn, verilmiş ölçülü, determinantı 1 olan matrislər, xüsusi xətti qrup adlanan ümumi xətti qrupun (yəni daxilində olan daha kiçik bir qrupun) altqrupunu təşkil edir. Aşağıdakı

MTM = I

şərti ilə təyin olunan ortoqonal matrislər ortoqonal qrup təşkil edir. Hər bir ortoqonal matrisin determinantı 1 və ya −1 olur. Determinantı 1 olan ortoqonal matrislər xüsusi ortoqonal qrup adlanan altqrupu təşkil edir. Simmetrik qrupun nizamlı təsvirini nəzərə almaqla görmək olar ki, hər bir sonlu qrup matris qrupuna izomorfdur. Ümumi qruplar təqdimat nəzəriyyəsi vasitəsilə nisbətən yaxşı başa düşülən matris qruplarından istifadə etməklə öyrənilə bilər.Təqdimat nəzəriyyəsi və ya qrup təqdimatına dair hər hansı bir istinada baxın.

 Sonsuz matrislər 
Sonsuz sayda sətir və/və ya sütuna malik matrislər, sonsuz obyektlərdən ibarət olmalarına baxmayaraq, aşkar formada yazılmadan da düşünülə bilərlər. (1987)-da "Matrix" maddəsinə baxın Əhəmiyyətli olan odur ki, çoxluq indeksləşdirmə sətirlərindəki hər bir element və çoxluq indeksləşdirmə sütunlarındakı hər bir element üçün yaxşı müəyyən edilmiş bir giriş var (hətta bu indeks çoxluqlarının natural ədədlərin alt çoxluqları olmasına ehtiyac yoxdur). Toplama, çıxma, skalyara vurma və transponirə etmə kimi əsas əməllər hələ də problemsiz şəkildə təyin edilə bilər; lakin matrislərin vurulması nəticədə olan elementləri müəyyən etmək üçün sonsuz cəmləmələri əhatə edə bilər və bunlar ümumiyyətlə təyin olunmamışdır. Əgər R hər hansı vahid halqadırsa, onda düzgün R modulu kimi -in endomorfizm halqası elementləri  ilə indekslənən  sonlu sütunlu matrislər halqasına izomorfdur və sütunların hər biri yalnız sonlu sayda sıfırdan fərqli elementlərdən ibarətdir. Sol R modulu kimi qəbul edilən M-in endomorfizmləri analoji obyektlə, sətirlərinin hər biri yalnız sonlu sayda sıfırdan fərqli elementlərdən ibarət olan sonlu sətirli  matrisləri ilə nəticələnir.

Xətti çevirmələri təsvir etmək üçün sonsuz matrislərdən istifadə edilirsə, aşağıdakı səbəbə görə yalnız sütunları sonlu sayda sıfırdan fərqli elementlərdən ibarət bütün matrislər istifadə edilə bilər. A matrisinin xətti f: V→W çevirməsini təsvir etməsi üçün, hər iki fəza üçün bazislər seçilmiş olmalıdır; (xatırlamaq lazımıdır ki, tərifə görə bu o deməkdir ki, fəzadakı hər bir vektor yeganə şəkildə bazis vektorların (sonlu) xətti kombinasiyası kimi ifadə edilə bilər), beləliklə, əmsalların (sütun) v vektoru kimi yazılan zaman yalnız sonlu sayda vi elementləri sıfırdan fərqli olur. İndi A sütunları W əsasında V-nin fərdi bazis vektorlarının təsvirlərini f ilə təsvir edir, bu, yalnız bu sütunların yalnız sonlu sayda sıfırdan fərqli elementlərə malik olduğu halda məna kəsb edir. Bununla belə, A-nın sətirlərində heç bir məhdudiyyət yoxdur: A·v hasilində yalnız v-nin sonlu sayda sıfırdan fərqli əmsalları iştirak edir, ona görə də onun hər bir elementi, hətta hasilin sonsuz cəmi kimi verilsə belə, yalnız sonlu sayda sıfırdan fərqli hədlərə malik olur və buna görə də yaxşı təyin olunmuşdur. Üstəlik, bu, A sütunlarının yalnız sonlu bir küllüsünü təsirli şəkildə əhatə edən xətti kombinasiyasının formalaşdırılmasına ekvivalentdir, beləliklə, nəticədə yalnız sonlu sayda sıfırdan fərqli elementlər olur, çünki bu sütunların hər biri bunu edir. Verilmiş tipli iki matrisin hasili yaxşı təyin edilib (sütun-indeks və sətir-indeks çoxluqları uyğun gəlmək şərti ilə), eyni tiplidir və xətti çevirmələrin kompozisiyasına uyğundur.

Əgər R normalaşdırılmış halqadırsa, o zaman sətir və ya sütunun sonluluğu şərti yumşaldıla bilər. Norma yerində olduqda, sonlu cəmlərin əvəzinə mütləq yaxınlaşan sıralardan istifadə edilə bilər. Məsələn, sütunları cəmləri mütləq yaxınlaşan ardıcıllıq olan matrislər halqa əmələ gətirir. Analoji olaraq, sətirləri cəmi mütləq yaxınlaşan sıra olan matrislər də halqa əmələ gətirir. Sonsuz matrislər yaxınlaşma və kəsilməzlik problemlərinin meydana gəldiyi və yenə tətbiq ediməli olan müəyyən məhdudiyyətlərlə nəticələnən Hilbert fəzalarındakı operatorları ifadə etmək üçün də istifadə edilə bilər. Bununla belə, matrislərin açıq-aydın nöqteyi-nəzəri məsələni çaşdırmağa meyillidir"Matris nəzəriyyəsinin çoxu sonsuz ölçülü fəzalara keçmir və bu o qədər də faydalı deyil, lakin bəzən kömək edir."  və bunun əvəzinə mücərrəd və daha güclü funksional analiz vasitələrindən istifadə edilə bilər.

 Boş matris 
Sətir və ya sütunlarının (və ya hər ikisinin) sayı sıfır olan matris boş matris adlanır."Boş Matris: Sətir və ya sütunlarının ölçüsü sıfırdır olan matris boşdur", Glossary  , O-Matrix v6 User Guide"Ən azı bir ölçüsü sıfıra bərabər olan matrisə boş matris deyilir", MATLAB Data Structures  

Boş matrislər sıfır vektor fəzasını əhatə edən çevirmələrlə işləməyə kömək edir. Məsələn, A 3x0 ölçülü matris, B isə 0x3 ölçülü matrisdirsə, AB 3-ölçülü V fəzasından özünə doğru olan sıfır çevirməyə uyğun gələn 3x3 ölçlü sıfır matris, BA isə 0-a 0 matrisidir. Boş matrislər üçün ümumi işarələmə yoxdur, lakin əksər kompüter cəbr sistemləri onları yaratmağa və hesablamalar aparmağa imkan verir. 0x0 ölçülü matrisin determinantı, determinant üçün Leybnits düsturunda meydana gələn boş hasillə əlaqədar olaraq 1-ə bərabərdir. Bu qiymət həm də hər hansı sonlu ölçülü fəzadan özünə doğru olan eynilik çevirməsinin 1 determinantına malik olması faktına uyğundur, bu fakt çox vaxt determinantların xarakteristikasının bir hissəsi kimi istifadə olunur.

 Tətbiqlər 
Matrislərin həm riyaziyyatda, həm də digər elmlərdə çoxsaylı tətbiqləri var. Bəzən onlardan sadəcə olaraq ədədlər yığımını yığcam formada təsvir etmək üçün istifadə edirlər. Məsələn, oyunlar nəzəriyyəsi və iqtisadiyyatda qazanc matrisi, oyunçuların verilmiş (sonlu) alternativlər çoxluğundan hansını seçməsindən asılı olaraq iki oyunçuya uyğun gələn qazancı özündə əks etdirir. Mətnin öyrənilməsi və avtomatlaşdırılmış tezaurus tərtibi bir neçə sənəddə müəyyən sözlərin tezliyini izləmək üçün tf-idf kimi sənəd-söz matrislərindən istifadə edir.

Kompleks ədədlər 2x2 ölçülü məxsusi həqiqi

matrisləriylə göstərilə bilər ki, bu halda da kompleks ədədlərin və matrislərin toplanması və vurulması bir-birinə uyğun gəlir. Məsələn, 2x2 ölçülü dönmə matrisləri yuxarıda göstərildiyi kimi kompleks ədədin mütləq qiyməti olan 1-ə vurmanı ifadə edir. Oxşar izahı kvaternionlara və ümumilikdə Klifford cəbrlərinə də şamil etmək olar.

Hill şifri kimi qədim şifrələmə üsulları da matrislərin tətbiqinə əsaslanırdı. Buna baxmayaraq, matrislərin xətti təbiətinə görə, bu kodları sındırmaq nisbətən asandır.Kompüter qrafikası nəzəri kamera müşahidəsinə uyğun olaraq matrislərdən üçölçülü obyektin ikiölçülü ekrana proyeksiyası kimi tapşırıqları yerinə yetirmək üçün həm obyektləri göstərmək, həm də affin fırlanma matrislərindən istifadə edərək obyektlərin çevrilməsini hesablamaq üçün istifadə edir. Çoxhədli halqası üzərindəki matrislər idarəetmə nəzəriyyəsinin öyrənilməsində mühüm əhəmiyyət kəsb edir.

Kimyada matrislər müxtəlif məsələlərdə, xüsusən də molekulyar rabitə və spektroskopiyanı öyrənmək üçün kvant nəzəriyyəsinin tətbiq edilməsindən etibarən istifadə olunmaqdadır. Nümunə kimi, Hartri-Fok metodunun molekulyar orbitallarını əldə etmək üçün Rutaan tənliklərinin həllində istifadə olunan uzlaşma və Fok matrisini göstərmək olar.

 Qraf nəzəriyyəsi 
Sonlu qrafın qonşuluq matrisi qraf nəzəriyyəsinin əsas anlayışıdır. O qrafın hansı təpələrinin kənarla birləşdirildiyini ifadə edir. Yalnız iki müxtəlif qiyməti olan matrislər (1 və 0, məsələn, müvafiq olaraq "hə" və "yox" mənasında) məntiqi matrislər adlanır. Məsafə (və ya xərc) matrisi kənarların uzunluğu haqqında məlumatları ehtiva edir. Bu anlayışlar hiperlinklərə bağlanan vebsaytlara və ya yollar və s. ilə əlaqələnən şəhərlərə tətbiq oluna bilər, bu halda (əlaqə şəbəkəsi son dərəcə sıx olmadıqda) matrislər seyrək olur, yəni sıfırdan fərqli bir neçə elementə malik olur. Buna görə də, şəbəkə nəzəriyyəsində xüsusi olaraq uyğunlaşdırılmış matris alqoritmlərindən istifadə edilə bilər.

 Analiz və həndəsə 
Diferensiallanan ƒ: Rn → R funksiyasının Hesse matrisi (Hessianı) ƒ-in bir neçə koordinatına görə ikinci tərtib törəmələrindən ibarətdir, yəni,


 Hesse matrisi qeyri-müəyyəndir
O, funksiyanın lokal artım xarakterini təsvir edir: x = (x1, …, xn) böhran nöqtəsi, yəni ƒ-in  birinci tərtib xüsusi törəmələrinin sıfıra çevrildiyi nöqtə verildikdə, funksiya lokal minimuma malik olur. Matrislərə əlavə olunanlarla sıx əlaqəli olan kvadratik funksiyaların qlobal minimum və ya maksimumlarını tapmaq üçün kvadratik proqramlaşdırmadan istifadə etmək olar (yuxarıya baxın).

Həndəsi situasiyalarda çox zaman istifadə olunan digər matris diferensiallanan f inikasının Yakobi matrisidir: Rn → Rm. Əgər f1, …, fm f-in komponentlərini göstərirsə, Yakobi matrisi (Yakobian) bu cür təyin olunur:

Əgər n>m və Yakobi matrisinin ranqı maksimum m qiymətinə çatarsa, qeyri-aşkar funksiya teoreminə görə həmin nöqtədə f lokal tərslənəndir. Daha təkmil və ümumi izahat üçün bax: 

Xüsusi törəməli diferensial tənlikləri tənliyin yüksək tərtibli diferensial operatorların əmsallar matrisini nəzərə almaqla təsnif etmək olar. Elliptik xüsusi törəməli diferensial tənliklər üçün bu matris müsbət müəyyəndir və sözügedən tənliyin mümkün həllər çoxluğuna həlledici təsir göstərir.

Sonlu elementlər üsulu mürəkkəb fiziki sistemlərin simulyasiyasında geniş tətbiq olunan xüsusi törəməli diferensial tənliklərin həlli üçün mühüm bir ədədi üsuldur. O bəzi tənlikləri hissə-hissə xətti funksiyalar vasitəsilə yaxınlaşmaqla həll etməyə imkan verir, burada parçalar kifayət qədər incə bir şəbəkə üçün seçilir və bu da öz növbəsində matris tənliyi kimi yenidən tərtib edilə bilər.

 Ehtimal nəzəriyyəsi və statistika 
Stoxastik matrislər sətirləri ehtimal vektorları olan, yəni elementləri mənfi olmayan və cəmi vahidə bərabər olan kvadrat matrislərdir. Stoxastik matrislər sonlu sayda hala malik Markov zəncirlərini təyin etmək üçün istifadə olunur. Stoxastik matrisin bir sətiri, cari cərgəyə uyğun gələn haldakı bəzi hissəciklərin növbəti mövqeyi üçün ehtimal paylanmasını verir. Markov zəncirinəbənzər udma hallarının xassələri, yəni hər hansı bir hissəciyin son nəticədə çatdığı hallar keçid matrislərinin məxsusi vektorlarından anlaşıla bilər.

Statistikada matrislər müxtəlif formalarda tətbiq edilir. Təsviri statistika çox vaxt verilən (data) matrisləri kimi təqdim oluna bilən və sonra ölçüləri azaltma üsullarına məruz qala bilən verilən çoxluqlarının təsviri ilə əlaqədardır. Kovariasiya matrisi bir neçə təsadüfi dəyişənin qarşılıqlı dispersiyasını kodlaşdırır. Matrislərdən istifadə edən başqa bir üsul xətti ən kiçik kvadratlardır, bu üsulda

yi ≈ axi + b, i = 1, …, N

xətti funksiyasının köməyilə (x1, y1), (x2, y2), …, (xN, yN) sonlu cütlər çoxluğuna yaxınlaşılır. Bu matrislər baxımından tərtib edilə bilir və matrislərin sinqulyar dekompozisiyası ilə əlaqədardır.

Təsadüfi matrislər, elementləri təsadüfi ədədlər olan və matris normal paylanması kimi ehtimal paylanmalarına tabe olan matrislərdir. Ehtimal nəzəriyyəsindən başqa, onlar ədədlər nəzəriyyəsindən tutmuş fizikaya qədər müxtəlif sahələrdə tətbiq olunur.

 Fizikada simmetriya və çevirmələr 
Xətti çevirmələr və onlarla əlaqəli simmetriyalar müasir fizikada vacib rol oynayır. Məsələn, kvant sahə nəzəriyyəsindəki elementar hissəciklər xüsusi nisbilik nəzəriyyəsinin Lorens qrupunun təsvirləri kimi və daha dəqiq desək, spin qrupu altındakı davranışlarına görə təsnif edilir. Pauli matrislərini və daha ümumi qamma matrislərini əhatə edən konkret təsvirlər spinor kimi davranan fermionların fiziki xarakteristikasının əsas tərkib hissəsidir. Üç ən yüngül kvark üçün SU(3) xüsusi unitar qrupunu əhatə edən qrup-nəzəri təsvir var; fiziklər öz hesablamaları üçün Gell-Mann matrisləri kimi tanınan rahat matris təsvirindən istifadə edirlər ki, bu da güclü nüvə qarşılıqlı təsirlərinin müasir təsvirinin, kvant xromodinamikasının əsasını təşkil edən SU(3) ölçü qrupu üçün də istifadə olunur. Kabibbo-Kobayaşi-Maskava matrisi, öz növbəsində ifadə edir ki, zəif qarşılıqlı təsirlər üçün vacib olan əsas kvark halları konkret və müxtəlif kütləli hissəcikləri təyin edən əsas kvark halları ilə eyni olmayıb, xətti əlaqəlidir.bax: 

 Kvant hallarının xətti kombinasiyaları 
Kvant mexanikasının ilk modeli (Hayzenberq, 1925) nəzəriyyənin operatorlarını kvant hallarına təsir edən sonsuz ölçülü matrislərlə ifadə edirdi. Bu, eyni zamanda matris mexanikası da adlanır. Xüsusi nümunələrdən biri, kvant sisteminin "qarışıq" halını elementar, "xalis" məxsusi halların xətti kombinasiyası kimi xarakterizə edən sıxlıq matrisidir.

Başqa bir halda matris eksperimental hissəciklər fizikasının təməl daşı olan səpilmə təcrübələrini təsvir etmək üçün əsas alət rolunu oynayır: toqquşma reaksiyaları, məsələn, hissəcik sürətləndiricilərində, qarşılıqlı təsir göstərməyən hissəciklərin bir-birinə doğru yönəldiyi və kiçik bir qarşılıqlı təsir zonasında toqquşduğu, yeni nəticədə qarşılıqlı təsir göstərməyən hissəciklər dəsti, çıxan hissəcik vəziyyətlərinin skalyar hasili və daxil olan hissəcik vəziyyətlərinin xətti kombinasiyası kimi təsvir edilə bilər. Xətti kombinasiya hissəciklər arasındakı mümkün qarşılıqlı təsirlər barədə bütün məlumatları özündə saxlayan S-matrislə verilir.

 Normal modlar 
Matrislərin fizikadakı ümumi tətbiqi xətti əlaqəli harmonik sistemlərin təsviriylə də bağlıdır.

Belə sistemlərin hərəkət tənliklərini matris formasında təsvir etmək üçün kütlə matrisini ümumiləşmiş sürətə (kinetik ifadəni almaq üçün), qüvvə matrisini isə yerdəyişmə vektoruna vurmaq (qarşılıqlı təsirləri xarakterizə etmək üçün) lazımdır. Həlləri əldə etməyin ən yaxşı yolu matris tənliyini diaqonallaşdırmaqla sistemin məxsusi vektorlarını, onun normal modlarını təyin etməkdir. Bu kimi üsullar molekulların daxili dinamikası: bir-birilə əlaqələnmiş komponent atomlarından ibarət sistemlərin daxili rəqsləriylə bağlı mühüm əhəmiyyət kəsb edir. Həmçinin onlar mexaniki rəqsləri və elektrik rəqslərini təsvir etmək üçün lazımdır.

 Həndəsi optika 
Həndəsi optika matrislərin tətbiqi üçün daha çox imkan yaradır. Bu yaxınlaşma nəzəriyyəsində işığın dalğa təbiəti nəzərə alınmır. Nəticədə, işıq şüalarının həqiqətən də həndəsi şüalar olduğu model alınır. Əgər işıq şüalarının optik elementlər tərəfindən meyllənməsi kiçikdirsə, linza və ya qaytarıcı elementin verilmiş işıq şüasına təsiri ikikomponentli vektorun şüa ötürmə matris analizi adlanan 2x2 ölçülü matrislə vurulması kimi ifadə edilə bilər: vektorun komponentləri işıq şüasının mailliyi və optik oxdan uzaqlığıdır, matris isə optik elementin xassələrini kodlaşdırır. Faktiki olaraq, iki növ matris var, yəni linza səthində sınmanı təsvir edən sınma matrisi və istinad müstəvisinin başqa bir sınma matrisinin tətbiq olunduğu növbəti sındırıcı səthə ötürülməsini təsvir edən ötürmə matrisi. Linza və/və ya qaytarıcı elementlərin birləşməsindən ibarət olan optik sistem sadə formada komponentlərin matrislərinin hasili nəticəsində yaranan matrislə təsvir edilir.

 Elektronika 
Elektronikadakı ənənəvi kontur cərəyanları və potensiallar metodu matrislə təsvir edilə bilən xətti tənliklər sisteminə gətirib çıxarır. Bir çox elektron komponentlərin davranışı matrislərin köməyilə təsvir edilə bilər. A elementləri komponentin v1 giriş gərginliyi və i1 giriş cərəyanından ibarət 2-ölçülü vektor, B isə elementləri komponentin v2 çıxış gərginliyi və i2 çıxış cərəyanından ibarət 2-ölçülü vektor olsun. Sonra elektron komponentin davranışı B = H · A ilə təsvir edilə bilər, burada H bir impedans (h12), bir admittans (h21) elementindən və iki ədəd ölçüsüz elementdən (h11 və h22) ibarət 2 x 2 ölçülü matrisdir. Sonda dövrənin hesabatı matrislərin vurulmasına gətirilir.

 Tarix 
Matrislər xətti tənliklərin həllində tətbiq olunma ilə bağlı uzunmüddətli keçmişə sahibdir, lakin onlar 1800-cü illərə qədər nizamlı elementlər yığımı (massiv) kimi tanınırdılar. Eramızdan əvvəl 10–2-ci əsrlərdə yazılmış Çin mətni olan Riyazi sənətə dair doqquz fəsil tənliklər sisteminin həlli üçün massiv metodlarından, ilə yanaşı  o cümlədən determinant anlayışından istifadənin ilk nümunəsidir. 1545-ci ildə italyan riyaziyyatçısı Cerolamo Kardano, Ars Magna (Dahiyanə incəsənət) kitabını nəşr etdirərkən bu metodu Avropaya təqdim etdi.Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, October 10, 2001 , p. 564–565 1683-cü ildə yapon riyaziyyatçısı Seki tənliklər sistemini həll etmək üçün eyni massiv üsullarından istifadə etdi. Niderland riyaziyyatçısı Jan de Vitt 1659-cu ildə çap olunmuş Əyrilərin elementləri (1659) kitabında massivlərdən istifadə edərək çevirmələri göstərmişdir.Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, October 10, 2001 , p. 564 1700–1710-cu illər arasında Qotfrid Vilhelm Leybnits informasiya və ya həlləri qeyd etmək üçün massivlərin istifadəsini açıqladı və 50-dən artıq müxtəlif massivlər sistemini təcrübədən keçirdi. 1750-ci ildə Kramer öz qaydasını təqdim etdi.

"Matris" termini (latınca "bətn, başlanğıc" mənasını verən mater—ana sözündən törəmişdir) 1850-ci ildə Ceyms Cozef Silvestr tərəfindən istifadə edilmişdir,Although many sources state that J. J. Sylvester coined the mathematical term "matrix" in 1848, Sylvester published nothing in 1848. (For proof that Sylvester published nothing in 1848, see: J. J. Sylvester with H. F. Baker, ed., The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester (Cambridge, England: Cambridge University Press, 1904), vol. 1. ) His earliest use of the term "matrix" occurs in 1850 in J. J. Sylvester (1850) "Additions to the articles in the September number of this journal, "On a new class of theorems," and on Pascal's theorem," The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 37: 363–370. From page 369 : "For this purpose, we must commence, not with a square, but with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of m lines and n columns. This does not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants … " o, matrisi bu gün minorlar adlanan bir neçə determinantın, yəni, sütun və sətirləri silməklə orijinaldan əldə edilən kiçik matrislərin determinantlarının yaranmasına səbəb olan obyekt kimi başa düşür. 1851-ci ildə bir məqaləsində Silvestr bunu belə izah edir:Əvvəlki məqalələrdə mən "Matris"i ümumi bir valideynin bətnində olduğu kimi müxtəlif determinant sistemlərinin yaradıla biləcəyi düzbucaqlı ifadələr yığımı kimi təyin etmişdim.The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853, Paper 37 , p. 247Artur Keli əvvəllər edildiyi kimi tədqiq edilən əmsalların dönmə variantları olmayan matrislərdən istifadə edərək həndəsi çevrirmələr haqqındakı traktatını nəşr etdirdi. Bunun əvəzinə o, toplama, çıxma, vurma və bölmə kimi əməlləri həmin matrislərin çevrilmələri kimi təyin etdi və assosiativ və distributivlik kimi dəyişməz xassələri ifadə etdi. Keli matrislərin vurulmasının qeyri-kommutativ xassəsini, eləcə də matrisin toplanmasının kommutativ xassəsini tədqiq etdi və göstərdi.Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, October 10, 2001 , p. 564–565 Əvvəllər matris nəzəriyyəsi massivlərin istifadəsini demək olar ki, yalnız determinantlarla məhdudlaşdırmışdı və Artur Kelinin mücərrəd matris əməlləri inqilabi idi. O, tənlik sistemlərindən asılı olmayan matris konsepsiyasının təklif edilməsində mühüm rol oynamışdır. 1858-ci ildə Keli, Keli-Hamilton teoremini təklif etdiyiDiscrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Published by Addison Wesley, October 10, 2001 , p. 564–565 və göstərdiyi Matrislər nəzəriyyəsiylə bağlı xatirələrini nəşr etdirdi.Phil. Trans. 1858, vol.148, pp.17–37 Math. Papers II 475–496

İngilis riyaziyyatçısı Katbert Edmund Kullis 1913-cü ildə matrislər üçün bugünkü düzbucaqlı mötərizə işarələrini istifadə edən ilk şəxsdir və eyni zamanda o, matrisi ifadə etmək üçün A = [ai, j] işarələməsinin ilk əhəmiyyətli istifadəsini nümayiş etdirmişdir (burada ai, j i-ci sıra və j-ci sütunu nəzərdə tutur).

Determinantların müasir tədqiqi bir neçə mənbədən qaynaqlanır. Ədədlər nəzəriyyəsinə dair məsələlər Qaussu kvadratik formaların, yəni x2 + xy − 2y2 kimi ifadələrin əmsallarını və üçölçülü xətti çevirmələri matrislərlə əlaqələndirməyə vadar etdi. Eyzenşteyn müasir dillə desək, matrislər hasilinin qeyri-kommutativ olduğunu söyləməklə birlikdə bu anlayışları daha da inkişaf etdirdi. Koşi A = [ai, j] matrisinin determinantının tərifi kimi aşağıdakılardan istifadə edərək, aşağıdakı çoxhədlidə ajk qüvvətlərini ajk ilə əvəz etməklə determinantlar haqqındakı ümumi müddəaları ilk dəfə olaraq isbat etdi

burada Π göstərilən hədlərin hasilini bildirir. O, həmçinin 1829-cu ildə simmetrik matrislərin məxsusi qiymətlərinin həqiqi olduğunu da göstərdi. Yakobi lokal (və ya sonsuz kiçik) səviyyədə həndəsi çevirmələri təsvir etmək üçün istifadə edilən "funksional determinantları" (sonralar Silvestr tərəfindən Yakobi determinantları adlandırılmışdır) araşdırdı (yuxarıya baxın); Kronekerin Vorlesungen über die Theorie der Determinanten (Determinantlar nəzəriyyəsi üzrə mühazirələr) və hər ikisi 1903-cü ildə nəşr olunan Veyerştrassın Zur Determinantentheorie (Determinantlar nəzəriyyəsinə) əsərlərində Koşinin qeyd olunan düsturu kimi əvvəlki daha konkret yanaşmalardan fərqli olaraq, ilk dəfə determinantları aksiomatik şəkildə nəzərdən keçirdi. Bu nöqtədə determinantlar ciddi şəkildə qurulmuşdu.

Bir çox teoremlər ilk dəfə yalnız yığcam matrislər üçün yaradılmışdır, məsələn, Keli-Hamilton teoremi yuxarıda qeyd olunan memuarda Keli tərəfindən 2×2 ölçülü matrislər üçün, Hamilton tərəfindən isə 4×4 matrislər üçün isbat edilmişdir. Bixətti formalar üzərində işləyən Forbenius, teoremi bütün ölçülər üçün ümumiləşdirdi (1898). Həmçinin 19-cu əsrin sonlarında Vilhelm Jordan tərəfindən Qauss-Jordan üsulu (indi Qauss üsulu adlanan xüsusi halın ümumiləşməsi) yaradıldı. 20-ci əsrin əvvəllərində matrislər, qismən əvvəlki əsrin hiperkompleks ədəd sistemlərinin təsnifatında istifadə edildiyinə görə xətti cəbrdə mərkəzi rola sahib oldular.

Hayzenberq, Born və Jordan tərəfindən matris mexanikasının yaradılması sonsuz sayda sətir və sütundan ibarət matrislərin öyrənilməsinə səbəb oldu. Daha sonra fon Neyman Hilbert fəzaları üzərindəki xətti operatorlar kimi funksional analitik anlayışları daha da inkişaf etdirərək kvant mexanikasının riyazi formulyasiyasını həyata keçirdi; bunlar, kobud şəkildə desək, Evklid fəzasına uyğun gəlir, lakin sonsuz sayda sərbəst istiqamətə malikdir.

 Riyaziyyatda "matris" sözünün digər tarixi istifadələri 
Bu söz ən azından tarixi önəmə malik iki müəllif tərəfindən qeyri-adi şəkildə istifadə edilmişdir.

Bertran Rassel və Alfred Nort Vaythed Principia Mathematica (Riyaziyyatın əsasları) (1910–1913) əsərində "matris" sözünü sadələşdiriləbilmə aksiomları kontekstində istifadə edirlər.

Onlar bu aksiomu hər hansı funksiyanı ardıcıl olaraq daha aşağı növdən birinə sadələşdirmə vasitəsi kimi təklif etdilər, beləliklə də, "aşağıdakı" (0 sıra) funksiya onun artımı ilə eyniləşdirildi:"Gəlin dəyişənlərin sayı nə qədər çox olsa da, heç bir zahiri dəyişənləri ehtiva etməyən istənilən funksiyaya matrisin adını verək. Bu zaman matris istisna olmaqla başqa hər hansı mümkün funksiya ümumiləşdirmə yolu ilə, yəni təklifi nəzərə almaqla matrisdən alınır və bu sözügedən funksiyanın bütün mümkün qiymətlərlə və ya arqumentlərdən birinin bəzi qiymətləri üçün, digər arqument və ya arqumentlər qeyri-müəyyən olduqda doğrudur".Whitehead, Alfred North; and Russell, Bertrand (1913) Principia Mathematica to *56, Cambridge at the University Press, Cambridge UK (republished 1962) cf page 162ff.Məsələn, x və y dəyişənlərinin Φ(x, y) funksiyası "obyektlərin" bütün mümkün qiymətləri üçün funksiyanı nəzərə alaraq bir dəyişənli funksiyalar yığımına gətirilə bilər. Və sonra ortaya çıxan birdəyişənli funksiyalarının yığımı, yəni , y dəyişəninin yerinə yazılan bi "obyektlərinin" bütün mümkün qiymətləri üçün funksiya "nəzərə alınmaqla" qiymətlər "matrisinə" gətirilə bilər:

Alfred Tarski 1946-cı ildə Məntiqə giriş əsərində "matris" sözünü riyazi məntiqdə istifadə edilən doğruluq cədvəli anlayışının sinonimi kimi işlətmişdir.Tarski, Alfred; (1946) Introduction to Logic and the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc, New York NY, .

 Qeydlər 

 İstinadlar 






















 .
























 Fizikaya aid istinadlar 










 Tarixi istinadlar 
 A. Cayley A memoir on the theory of matrices. Phil. Trans. 148 1858 17–37; Math. Papers II 475–496
 , reprint of the 1907 original edition









Kateqoriya:Matrislər