Operación binaria

Defínese como operación binaria (o llei de composición)​ aquella operación matemática, que precisa de l'operador y dos operandos (argumentos) por el que calculese un valor.Brainard Braimah. Definitions of Some Mathematical Terms for 11-18 Year Olds. Xulon Press, novembre 2007, p. 23–. ISBN 978-1-60477-357-6.A Text Book of Mathematics XII Vol. 1. Rastogi Publications, p. 3–. ISBN 978-81-7133-897-9.

Formalmente, daos trés conxuntos A, B y C una operación binaria productu, representando la operación pol signu ∘ , ye una aplicación qu'asigna a cada par de valores a de A y b de B un solu valor c de C, que podemos representar:

En particular, A, B y C podríen ser el mesmu conxuntu, que denotamos A. Polo tanto, una operación binaria nel conxuntu A ye una aplicación d'elementos del productu cartesianu A×A na A.

Esisten dos tipos d'operaciones binaries, les operaciones binaries internes y les operaciones binaries esternes.

 Notación 
Una operación binaria ∘ ente dos elementos, a y b, de dos conxuntos, A y B, puede denotase por:

siendo la primera la más común.

 Exemplu d'operación binaria 
La suma (+) de númberos naturales ye un exemplu d'operación binaria interna nel conxunto .

y tenemos que:

 Tipos 
Según los conxuntos A, B y C podemos estremar dos tipos d'operaciones, les internes nes qu'A = B = C, y les esternes que son toles demás. Denomínase Llei de Composición a un subtipo d'operación binaria.
miniaturadeimagen|centro|Esquema de les tipos d'operaciones binaries en castellanu|495x495px

 Operación binaria interna 
Si a cada par de valores (a, b) de  la operación correspuéndelu a un valor c de A:



dizse qu'esta operación ye interna, tamién se llama llei de composición interna.

 Operación binaria esterna 
Si la operación nun ye interna entós ye esterna, pudiéndose presentar los siguientes casos:

 Si a cada par de valores a de A y b de B, asígnase-y un valor c de A,

a esta operación tamién se denomina llei de composición esterna.

 Si la operación ye de la forma:

na qu'a cada par de valores a, b de A asígnase-y un c de B, esta operación nun se denomina llei de composición.

 Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C, siendo A, B y C conxuntos distintos:

ye'l casu más xeneral, y tampoco se denomina llei de composición.

 Propiedaes d'una operación binaria 
Dáu un conxuntu A non vacíu y definida una aplicación de  sobre A, onde a cada par ordenáu (a,b) asígnase-y un valor c de A, que representamos: 



Puede tener les siguientes propiedaes:

 Conmutatividá 

Dizse que  tien la propiedá conmutativa na A si cumplese:



Para tou a, b de A, cumplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al d'operar b con a.

De la mesma podemos dicir que la llei de composición interna , nun ye conmutativa na A si:



Si esiste dalgún a, b na A, que cumple que la resultancia d'operar a con b ye distintu d'operar b con a.

 Anticonmutatividá 
La operación  en A ye anticonmutativa si:



Para tou a, b de A, cúmplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al opuestu d'operar b con a.

 Asociatividá 

Dizse que  ye asociativa si, solu si:



Para tou a, b, c de A cumplese qu'operando a con b y la resultancia con c ye igual a operar a cola resultancia d'operar b con c.

Tamién puede dicise que la operación  nun ye asociativa si cumplese:



Esisten a, b, c na A que cumplen qu'operando a con b y la resultancia con c ye distintu d'operar a cola resultancia d'operar b con c.

 Propiedaes de dos operaciones binaries 
Dáu un conxuntu A non vacíu y definíes dos aplicación d'A por A sobre A, onde a cada par ordenáu (a,b) asígnase-y cola operación  un valor c de A y con la operación  el valor d de A que representamos: .



Pueden tener les siguientes propiedaes:

 Distributividá 

Dizse qu'una operación binaria ye distributiva si y solu si ye distributiva pela esquierda y pela derecha.

 Distributividá pela esquierda 
Dizse que la operación  ye distributiva pela esquierda de  si cumplese:



 Distributividá pela derecha 
Dizse que la operación  ye distributiva pela derecha de  si cumplse:



 Elementos distinguidos 

 Elementu neutru 

Un elemento e ye elementu neutru en  si ye elementu neutru pela derecha y pela esquierda.



 Elementu neutru pela derecha 
Vamos dicir que l'elementu e, ye l'elementu neutru pela derecha si:



 Elementu neutru pela esquierda 
Vamos dicir que l'elementu e, ye l'elementu neutru pela esquierda si:

 Unicidá del elementu neutru 
El elementu neutru ye únicu. Demuestrase por reducción al absurdo. Vamos suponer que esisten dos elementos neutros, e y e'. 

 Por ser e l'elementu neutro, pa to tou a cumplese que ea=a.
 Por ser e' l'elemtu neutru, pa tou a cumplese que e'a=a.

Polo tanto, ea=e'a y ye claru que e=e'.

 Elementu simétricu 

Dizse que  ye simétricu de  si:



onde e ye l'elementu neutru.

 Elementu involutivu 
Dizse que  ye elementu involutivu si:



 Elementu absorbente 

Dizse que  ye elementu absorbente si:



 Operación inversa 
Sía A un conxuntu con una operación binaria :



polo que quepe la ecuación:



Si:



Si A almite elementos simétricos, defínese:



Arrexuntando:



onde e ye l'elementu neutru:



simplificando:



La operación inversa seria 



 Otres propiedaes 

 Simplificación o cancelativa 
Sía A cola operación  si ab =ac implica que b=c, dizse que se simplificó a pela esquierda. Y si de ba =ca deduzse b=c y dizse que se simplificó pela derecha. Si puede simplificase per dambos llaos falase de simplificación o cancelación.

 Divisores del cero 
Sía'l conxuntu A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 deduzse qu'ab = 0 , dizse qu'a y b son divisores del 0.

 Ver tamién 
 Otres operaciones:
 Operación nularia
 Operación unaria
 Operación ternaria

 Referencies 

 Enllaces esternos 
 Operaciones binarias por Jose Ignacio Farran Martin (Universidá de Valladolid)
 Estructuras Algebraicas por Aldo Jiménez Arteaga (Universidá Veracruzana)

Categoría:Álxebra elemental
Categoría:Álxebra astrauta