Productoriu

El productoriu, tamién conocíu como multiplicatorio, multiplicatoria o a cencielles productu (por denotase como una lletra pi mayúscula), ye una notación matemática que representa una multiplicación d'una cantidá arbitraria (finita o infinita).

 Notación 
La notación espresar cola lletra griega pi mayúscula Π de la siguiente manera:

Pa tolos valores m < n


Si m = n tenemos que:


Nel casu de que m sía mayor que n, m > n, asígnase-y el valor del elementu neutru de la multiplicación, l'unu:


Puede definise por inducción como sigue.

1. Defínese :: 

2. Supuesta definida pa un n ≥ 1 fixu, defínese :: 

 Exemplu 

Puede usase'l productoriu pa definir otres igualdaes importantes. Asina, tomando n=1 y aplicando la segunda igualdá llógrase:
.

Definida pa n=2, puede aplicase otra vegada la segunda igualdá con n=2 pa depués llograr
.

Asina, usando la propiedá asociativa de la multiplicación, el productu  ye'l mesmu que  y, poro, podemos prescindir del usu de paréntesis ensin peligru de tracamundiu y usar a cencielles 
 .

Puédese entós, usar esti razonamientu pa cualesquier  ensin qu'haya peligru de tracamundiu.

Otru exemplu de productoriu bien conocíu ye'l que s'utiliza pa definir n! (n factorial) como sigue:


Defínese 

 Propiedaes 

Puede usase el métodu d'inducción matemática para demostrar delles propiedaes. Pa ello, basaremos na definición formal por inducción descrita enantes.

 Propiedá Multiplicativa 


Demostración per Inducción
i) Tomemos n=1 y veamos si cumple la igualdá :

y la igualdá ye cierta pa n=1

ii) Supongámosla cierta pa n y analicémosla pa n+1




(Definición per inducción)

(Asociatividad en DIR)
Depués, : 

 Propiedá Telescópica 


Demostración per Inducción

i) Analicemos pa n=1


ii) Supongámosla cierta pa n y analicémosla pa n+1
  (Definición per inducción)

Depués, :

que ye lo que queríamos demostrar.

Nótese que la nuesa esixencia yera que pa cada , . En particular, pa , . Depués la simplificación ye posible y :
.

 Ver tamién 

Sumatorio
Factorial
Suma
Multiplicación
Coproducto (teoría de categoríes)

 Referencies 

 Enllaces esternos 

Categoría:Aritmética
Categoría:Notación matemática

hu:Szorzás
Categoría:Wikipedia:Correxir/Revisar títulu
Categoría:Wikipedia:Páxines con enllaces interllingüísticos