Númberu enteru

Un númberu enteru ye un elementu del conxuntu numbéricu que contién los númberos naturales , los sos opuestos y el cero. Los enteros negativos, como −1 o −3 (lléense «menos unu», «menos trés», etc.), son menores que cero y tolos enteros positivos. Pa resaltar la diferencia ente positivos y negativos, puede escribise un signu «más» delantre de los positivos: +1, +5, etc. Y si nun s'escribe signu al númberu asumir que ye positivu.

El conxuntu de tolos númberos enteros representar pola lletra  lletra inicial del vocablu alemán Zahlen («númberos», pronunciáu ).

Na recta numbérica atopamos los númberos negativos a la izquierda del cero y a la so derecha los positivos.

Los númberos enteros pueden sumarse, restarse, multiplicase y estremase, siguiendo'l modelu de los númberos naturales añadiendo unes normes pal usu del signu.

Los númberos enteros estienden la utilidá de los númberos naturales pa cuntar coses. Pueden utilizase pa contabilizar perdes: si nun colexu entren 80 alumnos nuevos de primer cursu un ciertu añu, pero hai 100 alumnos d'últimu cursu que pasaron a educación secundaria, en total va haber 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero tamién puede dicise que dichu númberu aumentó en 80 − 100 = −20 alumnos.

Ciertes magnitúes como la temperatura o l'altor usen valores per debaxo del cero. L'altor del Everest ye 8848 metros percima del nivel del mar, y otra manera, la vera del mar Muertu ta 423 metros per debaxo del nivel del mar; esto ye, el so altor puede espresase como −423 m.

 Introducción 

Los númberos negativos son necesarios pa realizar operaciones como:
3 − 5 = ?
Cuando'l minuendu ye más pequeñu que'l sustraendo, la resta nun puede realizase con númberos naturales. Sicasí, hai situaciones nes que ye útil el conceutu de númberos negativos, como por casu al falar de ganancies y perdes:

Exemplu: Un home xuega a la ruleta dos díes siguíos. Si'l primeru gana 2000 pesos y a otru día pierde 1000, l'home ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sicasí, si'l primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, dizse que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La espresión usada camuda en cada casu: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si les ganancies fueron mayores que les perdes o viceversa. Estos dos posibilidaes pueden espresase utilizando'l signu de los númberos negativos (o positivos): nel primer casu ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y nel segundu ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Asina, entiéndese qu'una perda ye una ganancia negativa.

 Númberos con signu 

Los númberos naturales 1, 2, 3,... son los númberos ordinarios que s'utilicen para cuntar. Al añader un signu menos («−») delantre llógrense los númberos negativos:

Amás, pa estremalos meyor, a los númberos naturales añader un signu más («+») delantre y llámase-yos númberos positivos.

El cero nun ye positivu nin negativu, y puede escribise con signu más o menos o ensin signu indistintamente, yá que sumar o restar cero ye igual a nun faer nada. Toa esta coleición de númberos son los llamaos enteros».

 La recta numbérica 

Los númberos enteros negativos son más pequeños que tolos positivos y que'l cero. Esto ye, tou númberu que s'atopa allugáu a la derecha ye mayor que'l númberu que s'atopa allugáu a la izquierda. Pa entender como tán ordenaos utilízase la recta numbérica:
centru
Ver con esta representación que los númberos negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, esto ye, cuanto mayor ye'l númberu tres el signu. A esti númberu llámase-y el valor absolutu:

Exemplos.  = 5 ,  = 2 ,  = 0.

L'orde de los númberos enteros puede resumise en:

Exemplos. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36

 Operaciones con númberos enteros 

Los númberos enteros pueden sumarse, restarse, multiplicase y estremase, igual que puede faese colos númberos naturales.

 Suma 

Na suma de dos númberos enteros, determinar por separáu'l signu y el valor absolutu de la resultancia.

Exemplos. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61

La suma de númberos enteros portar de manera similar a la suma de númberos naturales:

Exemplu.
 Propiedá asociativa:
 [ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
 (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
 Propiedá conmutativa:
 (+9) + (−17) = −8
 (−17) + (+9) = −8

Amás, la suma de númberos enteros tien una propiedá adicional que nun tienen los númberos naturales:

 Resta 

La resta de númberos enteros ye bien senciella, yá que agora ye un casu particular de la suma.

Exemplos
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = + 4(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

 Multiplicación 

La multiplicación de númberos enteros, al igual que la suma, rique determinar por separáu'l signu y valor absolutu de la resultancia.

Pa recordar el signu de la resultancia, tamién s'utiliza la regla de los signos:

Exemplos. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.

La multiplicación de númberos enteros tien tamién propiedaes similares a la de númberos naturales:

Exemplu.
 Propiedá asociativa:

 [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
 (−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
 Propiedá conmutativa:
 (−6) × (+9) = −54
 (+9) × (−6) = −54

La suma y multiplicación de númberos enteros tán rellacionaes, al igual que los númberos naturales, pola propiedá distributiva:

Exemplu.
 (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
 [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21

 Propiedaes alxebraiques 

 El conxuntu de los númberos enteros, consideráu xuntu operación adición ye grupu abelianu.
 m, n en Z → a+b en Z 
 m,n, p en z → (m+n)+p = m+(n+p) asociative
 cualquier m de Z, con 0, m+0 = 0, cero elementu neutru.
 para cualquier m de Z tien -m, m +(-m) = 0. elementu opuestu
 Además m+n = n+m

 El conxuntu de los númberos enteros, consideráu xunto colos sos operaciones d'adición y multiplicación, tien una estructura qu'en matemátiques se denomina aniellu; y tien una rellación d'orde. Los númberos enteros pueden amás construyise a partir de los númberos naturales por aciu clases d'equivalencia.

 Ver tamién 
Parte entera
Enteru (tipu de datu)

 Referencies 

 Bibliografía 



 Enllaces esternos 

Categoría:Teoría de númberos elemental
Categoría:Teoría de grupos abelianos
Categoría:Aritmética