Serie matemática

En matemátiques, una serie ye la xeneralización de la noción de suma aplicada a los términos d'una socesión matemática. Informalmente, ye la resultancia de sumar los términos:


lo que suel escribise en forma más compacta col símbolu de sumatorio:


L'estudiu de les series consiste na evaluación de la suma d'un númberu finito n de términos socesivos, y por aciu un pasu a la llende identificar el comportamientu de la serie a midida que n crez indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tien un primera y últimu términu bien definíos; sicasí nuna serie infinita, cada unu de los términos suel llograse a partir d'una determinada regla o fórmula, o por dalgún algoritmu. Al tener infinitos términos, esta noción suel espresase como serie infinita, pero a diferencia de les sumes finitas, les series infinites riquen de ferramientes del analís matemáticu pa ser debidamente entendíes y manipoliaes. Esiste una gran cantidá de métodos pa determinar la naturaleza de converxencia o non-converxencia de les series matemátiques, ensin realizar explícitamente los cálculos.

 Tipos de series Sumes parciales =

Pa cualesquier socesión matemática  de númberos racionales, reales, complexos, funciones, etc., la serie acomuñada defínese como la suma formal ordenada:


La socesión de sumes parciales  acomuñada a una socesión  ta definida pa cada  como la suma de la socesión  dende  hasta :


Munches de les propiedaes xenerales de les series suelen enunciase en términos de les sumes parciales acomuñaes.

 Converxencia 
Per definición, la serie  converxe a la llende  si y namái si la socesión de sumes parciales acomuñada  converxe a . Esta definición suel escribise como :

 Exemplos 
 Una serie xeométrica ye aquella na que cada términu llógrase multiplicando l'anterior por una constante, llamada razón r. Nesti exemplu, la razón r = 1/2:

Polo xeneral, una serie xeométrica ye converxente, namái si |z| < 1, a:


 La serie harmónica ye la serie ::

La serie harmónica ye diverxente.

 Una serie alternada ye una serie onde los términos camuden de signu:


 Una serie telescópica ye la suma , onde an = bn − bn+1:


La converxencia de dicha serie y la so suma pueden calculase fácilmente, yá que:


 Una serie hiperxeométrica ye una serie de la forma:


 Converxencia de series 

Una serie   dizse que ye converxente (o que converxe) si la socesión SN de sumes parciales tien una llende finito. Si la llende de SN ye infinitu o nun esiste, dizse que la serie diverxe. Cuando esta llende esiste, llámase-y suma de la serie. 


Si tolos an son cero pa n abondo grande, la serie puede identificase con una suma finita. L'estudiu de la converxencia de series, centrar nes propiedaes de les series infinites qu'inclúin infinitos términos non nulos. Por casu, el númberu periódicu

Sn = 0.111111...

tien como representación decimal, la serie :

Yá que estes series siempres converxen nos númberos reales (ver: espaciu completu), nun hai diferencia ente esti tipu de series y los númberos decimales que representen. Por casu, 0.111… y 1/9; o bien 1=0,9999...

 Ver tamién 

 Serie de Taylor
 Serie de Laurent
 1 - 2 + 3 - 4 + . . .
 Series trigonométriques
 Fórmula de Faulhaber
 Serie converxente
 Llende d'una socesión
 Series matemátiques

 Referencies 

 .

 A history of the calculus (n'inglés).

 Enllaces esternos 
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