Potenciación

La potenciación ye una operación matemática ente dos términos denominaos: base  y esponente . Escríbese  y lléese usualmente como « eleváu a » o tamién « eleváu a la ». Hai dellos númberos esponentes especiales como'l 2, que se llee al cuadráu o'l 3, que-y correspuende al cubu. Tien de notase que nel casu de la potenciación la base y l'esponente pueden pertenecer a conxuntos distintos, nun aniellu totalmente xeneral la base va ser un elementu del aniellu pero l'esponente va ser un númberu natural que nun tien por qué pertenecer al aniellu. Nun cuerpu l'esponente puede ser un númberu enteru.

 Definición 

Llámase potencia a una espresión de la forma , onde a ye la base y n ye'l esponente. La so definición varia según el conxuntu numbéricu al que perteneza l'esponente.

 Esponente enteru 

Cuando l'esponente ye un númberu natural n, este indica les vegaes qu'apaez a multiplicando por sigo mesmu, siendo a un númberu cualesquier:

Esta definición puede aplicase, tantu a númberos reales o complexos, según a otres estructures alxebraiques más astractes, como pueden ser, por casu, matrices cuadraes.

 Multiplicación de potencies d'igual base 

El productu de dos potencies que tienen la mesma base ye igual a una potencia de dicha base que tien como esponente la suma de los esponentes, esto ye:

Exemplos:

 Potencia d'una potencia 

La potencia d'una potencia de base a ye igual a la potencia de base a y que'l so esponente ye'l productu de dambos esponentes (la mesma base y multiplíquense los esponentes):

Por cuenta de esto, la notación  acutar pa significar  yá que  puede escribise cenciellamente como .

 Potencia d'un productu 

La potencia d'un productu ye igual al productu de cada unu de los factores eleváu al mesmu esponente, esto ye:

Si la base a tien inversu aditivu, indicáu por aciu signu negativu -a, entós tiense la regla:

Si la base a tien inversu multiplicativu c, ye dicir c·a = 1 o que , entós esti se denota por  y l'esponente puede ampliase a tolos númberos enteros:

Observación

 División de potencies d'igual base 

El cociente de dos potencies cola mesma base ye igual a una potencia de dicha base con un esponente igual a la diferencia del esponente del dividendu menos el del divisor,Dolciani-Berman-Wooton, Algebra Moderna y Trigonometría. ISBN 968-439-024-6 esto ye:

Exemplu:

 Potencia d'esponente 0 

Un númberu distintu de 0 eleváu al esponente 0 da como resultáu la unidá (1), yá que:

El casu particular de  nun ta definíu y ye conocíu como una indetermín.

 Potencia d'un cociente 

La potencia d'un cociente ye igual al cociente de cada unu de los númberos eleváu al mesmu esponente.

Si la base a = 0, entós a nun tien inversu multiplicativu , polo que namái se presenten esponentes de númberos naturales por  quedando asina prohibida la notación  como valor numbéricu:

 Esponente racional 

La potenciación con esponente racional vien de la necesidá de resolver una ecuación del tipu , de manera que , pero haber de garantizar que dicha x sía un númberu real y esto namái puede garantizase pa tou n si la base a ye un númberu real positivu, polo qu'esiste un teorema que diz:

Pa notar la raíz defínese l'usu de fracciones nel esponente:

Observación

Polo xeneral pa les fracciones defínese que:

Rellación

 Propiedaes 

 Esponente real 

La potenciación puede estendese a esponentes reales usando socesiones racionales; esto recuéyese nel siguiente teorema:

Nótese que los socesivos aproximamientos de ab tienen como esponente númberos racionales, colo que por que la definición sía consistente, esíxese que a sía un númberu real positivu.

Análogamente, puede estendese la potenciación a funciones, usando la función esponencial, y la so inversa, la función llogaritmu natural, nun procesu que se denomina exponenciación. Asina, defínese

.

Otramiente, esta ye totalmente consistente si'l conxuntu imaxe de f(x) ye'l conxuntu de los númberos reales positivos R+, o dalgún subconxuntu d'este, siendo los valores de la función esponente g(x) númberos reales cualesquier, por cuenta de que'l llogaritmu natural nun ta definíu pa númberos negativos.

 Propiedaes 

 Esponente complexu 

Puede estendese a esponentes complexos usando funciones analítiques o holomorfas, asina  onde det-exp ye la determinación de la esponencial y det-log la determinación del llogaritmu.

 Resultaos de potenciación 

 Propiedaes que non cumple la potenciación 

Nun ye distributiva con al respective de la adición y sustracción (vease productos notables), esto ye, nun puede distribuyise cuando dientro del paréntesis ye suma o resta:

Nun cumple la propiedá conmutativa:

Tampoco cumple la propiedá asociativa:

 Potencia de base 10 

Pa les potencies con base 10 y esponente enteru, l'efectu va ser mover la coma decimal tantes posiciones como indique l'esponente, escontra la esquierda si l'esponente ye negativu, o escontra la derecha si l'esponente ye positivu.

Exemplos:




 Representación gráfica 

La representación gráfica d'una función potencia f(x) = xn con esponente natural n par tien una simetría similar a la d'una parábola. El so vértiz asitiar nel puntu (0, 0) y la curva ye decreciente nel segundu cuadrante y creciente nel primeru.

La representación gráfica d'una función potencia f(x) = xn con esponente natural n impar ye una curva con dos rames xuníes nel puntu (0, 0), que tien simetría rotacional alredor d'este. El puntu d'inflexón precisamente atópase nel puntu (0, 0), la curva ye siempres creciente y ocupa el tercer y primer cuadrante.

Estes curves son continues y derivables en tol so dominiu de definición.

 Llendes 

 Indetermín 0⁰ 

El casu especial considérase indefiníu y dependiendo del contestu pueden ser asignaos distintos valores dependiendo de les propiedaes específiques que quieran caltenese.

Por casu, puede argumentase que ye l'igual al valor de la llende :
y como  pa , dichu valor podría ser igual a 1.
Sicasí tamién puede considerase dicha espresión como'l valor de la llende :
y como  pa , dichu valor podría ser igual a 0.
Esto ilustra que la forma  puede corresponder a distintos valores y por ello considérase indefinida.

L'alderique sobre'l valor de la forma  tien casi dos sieglos d'antigüedá. Mientres los primeros díes del analís matemáticu en que'l fundamentu formal del cálculu nun s'estableciera, yera común aceptar que =1. Sicasí, en 1821 cuando Cauchy publica'l Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique estableciendo'l primer tratamientu rigorosu del analís, dicha forma apaez nuna tabla de formes indefiníes xunto a otres como 0/0.
Nos años 1830, LibriGuillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303-316. publicó un argumentu p'asignar 1 como valor de  y MöbiusA. F. Möbius, Beweis der Gleichung  = 1, nach J. F. Pfaff, Journal für die reine und angewandte Mathematik 12 (1834), 134-136. sofitar afirmando equivocadamente que : siempres que 
Sicasí una comentarista que robló a cencielles como «S» apurrió un contraejemplo

que la so llende cuando  ye , lo cual aseló l'alderique cola aparente conclusión del incidente que  tendría de permanecer indefinida. Pueden atopase más detalles en Knuth (1992).Donald Y. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 non. 5 (May 1992), 403-422.

Na actualidá, suel considerase la forma  como indefinida y nun se-y asigna valor si nun se tien un contestu nel cual el valor asignáu tenga sentíu.

Pa calcular llendes que'l so valor aparente ye  suel usase la regla de l'Hôpital.

 Xeneralizaciones 

 Estensión a estructures astractes 

La definición de potenciación puede estendese a esponentes reales, complexos o inclusive matriciales. Dau un aniellu  la operación de potenciación defínese como:


Esto difier de la exponenciación que ye definible sobre un cuerpu que contenga a los racionales o ciertes álxebres sobre los reales o complexos:




Obviamente la exponenciación namái puede definise sobre un conxuntu nel que sía posible definir la potenciación, anque un aniellu va almitir siempres la operación de potenciación (con esponente natural) anque nun almita la exponenciación.

 Potencia de númberos complexos 

Pa cualesquier de los númberos reales  tiense la identidá:

 Ver tamién 
 Productos notables
 raíz cuadrada
 Radicación
 Fórmula de De Moivre (pa potencies de númberos complexos)
 Potencia de dos
 Serie de potencies

 Bibliografía 


 Referencies 

 Enllaces esternos 
 Artículu sobre potenciación n'Enciclopedia universal n'español 

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Categoría:Álxebra
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