Problemes de Hilbert

Los problemes de Hilbert conformen una llista de 23 problemes matemáticos compilada pol matemáticu alemán David Hilbert pa la conferencia en París del Congresu Internacional de Matemáticos de 1900. Los problemes taben toos por resolver naquel momentu, y dellos resultaríen ser bien influyentes na matemática del sieglu XX. Hilbert presentó diez de los problemes (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 y 22) na conferencia, nun actu'l 8 d'agostu en La Sorbona. La llista completa publicóse más palantre.

 Naturaleza ya influencia de los problemes 

Anque se producieron intentos de repitir l'ésitu de la llista de Hilbert, nengún otru conxuntu tan variáu de problemes o conxetures tuvo un efeutu comparable nel desenvolvimientu de la tema y llográu una fracción importante de la so celebridá. Por casu, les conxetures d'André Weil son famoses pero fueron pocu espublizaes. Quiciabes el so propiu temperamentu evitó qu'él intentara ponese en posición de competir con Hilbert. John von Neumann produció una llista, pero nun llogró reconocencia universal.

A la primer vista, esti ésitu podría atribuyise a la eminencia del autor de los problemes. Hilbert taba nel cumal del so poder y reputación naquel momentu y siguió dirixendo'l sobresaliente escuela de matemática na Universidá de Göttingen. Un exame más cuidadosu revela que l'asuntu nun ye tan simple.

La matemática d'aquel tiempu yera entá discursiva: l'enclín a sustituyir pallabres por símbolos y apelaciones a la intuición y conceutos por aciu axomática pura siguía apoderada, anque se volvería fuerte mientres la siguiente xeneración. En 1900, Hilbert nun pudo allegar a la teoría axomática de conxuntos, la integral de Lebesgue, los espacios topolóxicos o la tesis de Church, que camudaríen los sos respeutivos campos de forma permanente. El analís funcional, fundáu en ciertu mou pol mesmu Hilbert como noción central de los testigos del espaciu de Hilbert, nun s'estremara entá del cálculu de variaciones; hai na llista de problemes de matemática variacional, pero nada, como podría asumise inocentemente, sobre teoría espectral (el problema 19 tien una conexón cola hipoelipticidad).

La llista nun foi predictiva nesi sentíu: nun consiguió afigurar o antemanar l'acandilante ascensu qu'esperimentaríen la topoloxía, la teoría de grupos y la teoría de la midida nel sieglu XX, según nun previo la manera en que diba avanzar la lóxica matemática. Por tanto, el so valor documental ye'l de ensayu: una visión parcial, personal. Suxer dellos programes d'investigación y delles direiciones por siguir ensin fin concretu.

Ello ye que munches de les entrugues daben una falsa idea del matemáticu profesional del sieglu XIX, o inclusive de 1950, en que la forma d'una solución a una bona entruga tomaría la forma d'un artículu publicáu nuna publicación matemática. Si esti fora'l casu de tolos ventitrés problemes, simplificaríase'l comentariu hasta'l puntu de poder dar una referencia a una revista, o considera la entruga como abierta inda. En dellos casos el llinguaxe usáu por Hilbert sigue considerándose un tanto "negociable", en cuanto al significáu real de la formulación del problema (n'ausencia, repitimos, de fundamentos axomáticos, basaos en matemática pura, empezando con el mesmu trabayu de Hilbert sobre xeometría euclidiana, pasando pol Principia Mathematica, y terminando col grupu Bourbaki y el "terrorismu intelectual" pa terminar el trabayu). Los problemes Primeru y Quintu atópense, quiciabes sorprendentemente, nun estáu de formulación d'una claridá menos que total (veanse les notes). En casos como'l Ventenu, el problema podría lleese de forma razonable nuna versión "interna", relativamente accesible, na que'l llector puede saber a qué taba apuntando Hilbert; o como una clarixa "esterna" y especulativa.

Dicho too esto, poro, la razón más importante ye la gran rapidez cola qu'aceptó la llista de Hilbert la comunidá matemática d'aquel momentu (lo que ye una fórmula menos convencional qu'agora, yá que daquella había pocos líderes investigadores, que xeneralmente s'atopaben nunos pocos países europeos y conocíense toos ente ellos). Los problemes estudiar con gran atención; resolver unu llabró reputaciones.

L'estilu foi siquier tan influyente como'l conteníu de los problemes. Hilbert solicitaba clarificaciones. Pidió soluciones en principiu a entrugues algorítmicas, non a algoritmos práuticos. Pidió un fortalecimientu de los cimientos de partes de la matemática qu'a los non prauticantes entá s'antoxaben empuestes por intuiciones opaques (el cálculu de Schubert y la xeometría enumerativa).

Estes actitúes fueron adoptaes por munchos siguidores, anque tamién fueron aldericaes, y siguen siéndolo. Trenta años dempués, Hilbert endureciera la so postura: vease ignorabimus.

 Los problemes como manifiestu de Hilbert 

Ta abondo claro que la llista de problemes, y la so forma de discutiniu, taben pensaes pa ser influyentes. Hilbert nun falló a les mires de l'academia Alemana tocantes a construcción d'imperios, verbu programáticu, y establecimientu esplícitu d'una direición y reclamu de territoriu pa una escuela. Naide fala yá de la 'escuela de Hilbert' nesos términos; nin gociaron los problemes de Hilbert del so momentu como si fixo'l programa de Erlangen de Felix Klein. Klein foi colega de Hilbert, y en comparanza la llista d'esti postreru yera muncho menos prescriptiva. Michael Atiyah caracterizó'l programa de Erlangen como prematuru. Los problemes de Hilbert, otra manera, amosaron la capacidá del espertu de buscar el momentu fayadizu.

Si la 'escuela de Hilbert' tien un significáu, posiblemente refiérase a la teoría d'operadores y al estilu de la física teórica que tomó los volúmenes Hilbert-Courant como canónicos. Como se señaló antes, la llista nun establez direutamente problemes sobre teoría espectral. Tampoco-y dio relevancia al álxebra conmutativa (entós conocer como teoría d'ideales), la so contribución alxebraica más importante y mayor esmolición nos sos díes de la teoría de invariantes; lo cual, podría dicise, taría más na llinia de Klein. Nin, siquier superficialmente, predicó contra Leopold Kronecker, l'oponente de Georg Cantor, del qu'aprendiera enforma pero que les sos actitúes casi repunaba (como queda documentáu na biografía de Constance Reid). El llector podría estrayer amplies conclusiones de la presencia de la teoría de conxuntos en cabeza na llista.

La teoría de funciones de variable complexa, la caña del analís clásicu que tou matemáticu puru tendría de conocer, ta bastante escaecida: nin la conxetura de Bieberbach nin otra cuestión interesante, amás de la hipótesis de Riemann. Unu de los oxetivos estratéxicos de Hilbert foi poner la álxebra conmutativa y la teoría de funciones complexes al mesmu nivel; esto, sicasí, llevaría 50 años (y entá nun resultó nun cambéu de llugares).

Hilbert tenía un pequeñu grupu de pares: Adolf Hurwitz y Hermann Minkowski yeren dambos amigos cercanos ya iguales intelectuales. Hai un chisgo a la xeometría de númberos de Minkowski nel problema 18, y al so trabayu nes formes cuadráticas nel problema 11. Hurwitz foi'l gran desarrollador de la teoría de la superficie de Riemann. Hilbert usó l'analoxía del cuerpu de funciones, una guía a la teoría alxebraica de númberos por aciu l'usu d'análogos xeométricos, pa desenvolver la teoría del cuerpu de clases dientro de la so propia investigación, y esto queda reflexáu nel problema 9, hasta ciertu puntu nel problema 12, y nos problemes 21 y 22. Per otru llau, l'únicu rival de Hilbert en 1900 yera Henri Poincaré, y la segunda parte del problema 16 ye una cuestión de sistemes dinámicos al estilu de Poincaré.

 Dos docenes redondes 

Orixinalmente Hilbert incluyó 24 problemes na so llista, pero decidió escluyir unu d'ellos de la publicada. El "problema ventenu cuartu" (na teoría de la demostración, sobre un criteriu de simplicidá y métodos xenerales) redescubrir nel añu 2000 l'historiador alemán Rüdiger Thiele, dientro de les notes manuscrites orixinales de Hilbert.

 Resume 

De los problemes de Hilbert claramente formulaos, los problemes 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 y 20 tienen una solución aceptada por consensu. Per otru llau, los problemes 1, 2, 5, 9, 15, 18*, 21 y 22 tienen soluciones d'aceptación parcial, pero esiste ciertu discutiniu al respeutu de si la solución resuelve realmente'l problema.

Nel 18 indica que la solución a la ecuación de Kepler ye una demostración asistida por ordenador, una noción anacrónica pa un problema de Hilbert y revesosa hasta ciertu puntu por cuenta de que un llector humanu nun puede verificala en tiempu razonable.

Esto dexa ensin resolver el 8 (la hipótesis de Riemann) y el 12, dambos dientro de la teoría de númberos. Nesta clasificación los 4, 6 y 16 son demasiáu folgazanes como por que dalgún día pueda declaráse-yos resueltos. El problema 24 retiráu tamién cayería nesta clase.

 Información tabulada 

Los ventitrés problemes de Hilbert son los siguientes:

 ProblemaEsplicación concisaEstáu del problema 1ᵉʳ La hipótesis del continuu (esto ye, nun esiste conxuntu que'l so tamañu tea puramente ente'l de los racionales y el de los númberos reales). Probóse la imposibilidá de probalo como ciertu o falsu por aciu los axomes de Zermelo-Fraenkel. Nun hai consensu al respeutu de considerar esto como solución al problema.Suelse citar la resultancia d'independencia de Cohen, amosando que la hipótesis del continuu ye independiente de ZFC (los axomes de Zermelo-Fraenkel, estendíos pa incluyir el axoma d'elección) cítase de cutiu pa xustificar que'l primer problema foi resueltu. Un puntu de vista contemporaneu ye que podría ser el casu de que la teoría de conxuntos tendría de tener axomes adicionales, capaces de resolver la situación. 2º Probar que los axomes de l'aritmética son Demostración de consistencia consistentes (esto ye, que l'aritmética ye un sistema formal que nun supón una contradicción). Parcialmente resueltu: hai quien sostienen que se demostró imposible d'establecer nun sistema consistente, finitista y axomáticu;Asuntu d'opinión, non compartida por toos. La resultancia de Gentzen amuesa de forma bastante precisa cuántu fai falta asumir pa probar que los axomes de Peano son consistentes. Sostener de forma xeneral que'l teorema de la incompletitud de Gödel amuesa que nun hai demostración finitista de que los AP sían consistentes (anque'l mesmu Gödel refugó faer esta inferencia [precísase meyor referencia pa esto, pero cf Dawson p.71ff "... Gödel creía tamién [como Hilbert] que nengún problema matemáticu quedaba más allá del algame de la razón humana. Aun así les sos resultancies amosaron que'l programa propuestu por Hilbert pa validar esa creencia — la so teoría de la demostración — nun podría llevase a cabu tal como quería Hilbert" (p.71) Vease tamién p.98ff pa lleer más sobre'l 'procedimientu finito'). sicasí, Gentzen probó en 1936 que la consistencia de l'aritmética derivar del bon fundamentu del ordinal , un fechu suxetu a la intuición combinatoria. 3ᵉʳ Daos dos poliedros d'igual volume, ¿ye siempres posible cortar el primeru nuna cantidá finita de pieces poliédriques que puedan ser ensambladas de cuenta que quede armáu'l segundu? Resueltu. Resultáu: non, probáu usando invariantes de Dehn. 4º Construyir toles métriques que les sos rectes sían xeodésiques. Demasiao folgazán pa decidir si resolvióse o non.D'alcuerdu a Rowe y Gray (vease la referencia más palantre), la mayoría de los problemes fueron resueltos. Dalgunos nun fueron definíos dafechu, pero progresóse lo suficiente nellos como pa consideralos «resueltos»; Rowe y Gray listan el cuartu problema como demasiao folgazán pa decidir si resolvióse. 5º ¿Son los grupos continuos grupos diferenciales de forma automática? Resueltu por Andrew Gleason (1952). 6º Axomatizar tola física. La mecánica clásica: Hamel (1903).
 La termodinámica: Carathéodory (1909).
 La relatividá especial: Robb (1914) y Caratheodory (1924) independientemente.
 La teoría de probabilidaes: Kolmogórov (1930).
 La teoría cuántica de campos: Wightman a finales de los años 1950. 7º ¿Ye a b trascendental, siendo a ≠ 0,1 alxebraicu y b irracional alxebraicu? Resueltu. Resultáu: sí, ilustráu pol teorema de Gelfond o'l teorema de Gelfond-Schneider. 8º La hipótesis de Riemann (la parte real de cualesquier cero non trivial de la función zeta de Riemann ye ½) y la conxetura de Goldbach (cada númberu par mayor que 2 puede escribise como la suma de dos númberos primos). Ensin resolver.El problema 8 contién dos problemes famosos, dambos entá ensin resolver. El primeru d'ellos, la hipótesis de Riemann ye unu de los siete problemes premiaos del mileniu, que pretendíen ser los "Problemes de Hilbert" del sieglu XXI. 9º Atopar la llei más xeneral del teorema de reciprocidá en cualesquier cuerpu numbéricu alxebraicu. Parcialmente resueltu.El problema 9 foi resueltu nel casu abeliano, por aciu el desenvolvimientu de la teoría de cuerpos de clases; el casu non abeliano sigue ensin resolver, si interpreta eso como teoría de cuerpos de clases non abelianas. 10º Atopar un algoritmu que determine si una ecuación diofántica polinómica dada con coeficientes enteros tien solución entera. Resueltu. Resultáu: non, el teorema de Matiyasevich (1970) implica que nun esiste tal algoritmu. 11º Resolver les formes cuadráticas con coeficientes numbéricos alxebraicos. Parcialmente resueltu:
 Sobre los númberos racionales: Hasse (1923-1924).
 Sobre los númberos enteros: Siegel nos años 1930. 12º Estender el teorema de Kronecker sobre estensiones abelianas de los númberos racionales a cualesquier cuerpu numbéricu de base. Ensin resolver. 13º Resolver toles ecuaciones de 7º grau usando funciones de dos parámetros. Resueltu negativamente por Vladímir Arnold y Andréi Kolmogórov en 1957. 14º Probar la finitud de ciertos sistemes completos de funciones. Resueltu. Resultáu: non, polo xeneral, por cuenta de un contraejemplo, Nagata (1962). 15º Fundamentu rigorosu del cálculu enumerativo de Schubert. Parcialmente resueltu, Van der Waerden a finales de los años 1930. 16º Topoloxía de les curves y superficies alxebraiques. Ensin resolver. 17º Espresión d'una función definida racional como cociente de sumes de cuadraos. Resueltu. Resultáu: establecióse una llende cimera pal númberu de términos cuadraos necesarios, Pfister (1967). La solución negativa polo xeneral débese a Du Bois (1967). 18º ¿Esiste un poliedru irregular y que construya otros poliedros? ¿Cual ye'l apilamientu compactu más trupu? Resueltu.Rowe y Gray tamién listan el problema 18º como "abiertu" nel so llibru de 2000, porque'l problema d'apilamientu compactu (tamién conocíu como conxetura de Kepler) taba ensin resolver, pero propúnxose una solución dende entós (ver en referencies). 19º ¿Son siempres analítiques les soluciones de los Lagrangianos? Resueltu por Bernstein (1904). Resultáu: sí. 20º ¿Tienen solución toes los problemes variacionales con ciertes condiciones de contorna? Resueltu. Supunxo una área importante d'investigación mientres el sieglu XX, rematando coles soluciones al casu non llinial. 21ᵉʳ Probar la esistencia d'ecuaciones lliniales diferenciales que tengan un grupu monodrómico prescritu. Resueltu. Resultáu: sí o non, dependiendo d'una formulación más exacta del problema. Según Gray resueltu de forma negativa por Anosov y Bolibruch (1994). 22º Uniformización de les rellaciones analítiques per mediu de funciones automórficas. Resueltu por Koebe (1907) y Poincaré independientemente (1907). 23ᵉʳ Estensión de los métodos del cálculu de variaciones. Ensin resolver.

 Ver tamién 
 Problemes de Smale
 Problemes del mileniu

 Referencies 

problema 2:
 Lo que sigue vien de Nagel y Newman, páxs. 96 y 97: "Esta impresionante resultancia del analís de Godel nun debería malinterpretarse: nun esclúi una demostración metamatemática de la consistencia de l'aritmética. Lo qu'esclúi ye una demostración de consistencia que pueda reflexase nes deducciones formales de l'aritmética- Nota al pie 29.[Esta nota da un exemplu de la trisección d'un ángulu (ye posible, pero non con regla y compás)]. Ello ye que construyéronse demostraciones metamatemáticas de la consistencia de l'aritmética, siendo notable la de 1936 de Gerhard Gentzen, miembru de la escuela de Hilbert, y por otros dende entós Nota al pie 30" [Nota 30: Describe la demostración de Gentzen, qu'usa inducción transfinita; "30: la demostración de Gentzen depende de la disposición de toles demostraciones de l'aritmética n'orde llinial d'alcuerdu al so grau de 'simplicidá'... pero l'argumentu de Gentzen nun se puede mapear sobre'l formalismu de l'aritmética. Entá más, anque la mayoría de los estudiosos nun cuestionen la cogencia de la demostración, nun ye finitista nel sentíu de les estipulaciones orixinales de Hilbert d'una demostración absoluta de consistencia."[cursiva añadida]..."Pero estes demostraciones [metamatemáticas] nun pueden representase dientro del cálculu aritméticu; y, yá que nun son finitistas, nun algamar los oxetivos proclamaos pol programa orixinal de Hilbert."

Goldstein da una definición d'un "sistema formal finitista":
 "...sistemes formales finitistas... sistemes formales con un alfabetu finito o numerable (o contable) de símbolos, fbds [fórmules bien definíes] de tamañu finito, y regles de inferencia que namái impliquen un númberu finito de premises. (Los lóxicos tamién trabayen con sistemes formales d'alfabetos non numerables, con fbds de tamañu infinitu, y con demostraciones d'infinites premises."(p. 144, nota al pie 7)

 Bibliografía 
 Gray, Jeremy J. (2000). El retu de Hilbert. Crítica. ISBN 84-8432-465-6
 Yandell, Benjamin H. (2002). The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. ISBN 1-56881-141-1
 On Hilbert and his 24 Problems. En: Proceedings of the Joint Meeting of the CSHPM 13(2002)1-22 (26th Meeting; ed. M. Kinyon)
 Nagel, Ernest and Newman, James R., Godel's Proof, New York University Press, 1958. Una presentación maraviyosa (legible, estensiva) sobre la Demostración de Gödel, con comentarios.
 John Dawson, Jr Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel, AK Peters, Wellesley, Mass., 1997. Gran cantidá d'información relevante al "programa" de Hilbert y al impautu de Gödel na Segunda Entruga, l'impautu del Intuicionismo d'Arend Heyting y Brouwer na filosofía de Hilbert. Dawson ye Profesor de Matemátiques na O. Penn State, catalogador de los artículos de Gödel pal Institute for Advanced Study de Princeton, y co-editor de los Trabayos Aconceyaos de Gödel (Collected Works)
 Rebecca Goldstein, Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel, Atlas Books, W. W. Norton & Co., New York, 2005. Formalismu y Hilbert: la so definición de "demostración finitista" ta na nota 2 del so artículu. Los llectores tendríen de quedar avisaos de qu'ella nun ye siempres correuta.
 Felix E. Browder (editor), Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII (1976), American Mathematical Society. Coleición d'ensayos d'estudios d'espertos dedicaos a cada unu de los 23 problemes dando énfasis a los desarrollos actuales.
 Yuri Matiyasévich, Hilbert's Tenth Problem, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1993. Informe de nivel universitariu escritu pol matemáticu que completó la solución al problema.
 Torkel Franzén, Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, AK Peters, Wellesley, Mass., 2005. Informe d'un filósofu qu'apoderó la matemática y ye capaz d'esplicalo d'una manera clara y a un nivel básicu. L'autor trata colos distintos puntos de vista sobre los teoremes d'incompletitú.

 Enllaces esternos 
 Llistáu de los 23 problemes, con descripción de los que fueron resueltos 
 Testu orixinal de la charra de Hilbert, n'alemán
 Traducción al inglés de la charra de Hilbert de 1900

 The Mathematical Gazette, Marzu de 2000 (páxines 2-8) "100 Years On"

 Los problemes de París
 Páxina del décimu problema de Hilbert
  Información sobre los 23 Problemes de Hilbert.

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