Númberu e

La constante matemática  ye unu de los númberos irracionales más importantes.
Ye aproximao igual a 2,71828 y apaez en diverses cañes de les Matemátiques, al ser la base de los llogaritmos naturales y formar parte de les ecuaciones del interés compuestu y otros munchos problemes.

El númberu , conocíu n'ocasiones como númberu d'Euler o constante de Napier, foi reconocíu y utilizáu per primer vegada pol matemáticu escocés John Napier, quien introdució'l conceutu de llogaritmu nel cálculu matemáticu.

Xuega un papel importante nel cálculu y nel analís matemáticu, na definición de la función más importante de la matemática, la función esponencial, según  lo ye de la xeometría y el númberu  del analís complexu y de la álxebra.

El númberu , al igual que'l númberu  y el númberu áureo (φ), ye un númberu irracional, non expresable por aciu una razón de dos númberos enteros; o bien, nun puede ser representáu por un numberal decimal exactu o un decimal periódicu. Amás, tamién como , ye un númberu trascendente, esto ye, que nun puede ser raigañu de nenguna ecuación alxebraica con coeficientes racionales.
El valor de  truncáu a les sos primeres cifres decimales ye'l siguiente:

 Llista de númberos – Númberos irracionalesζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δBinariu 10.10110111111000010101…Decimal 3.14159265358979323846…Hexadecimal 3.243F6A8885A308D31319…Fraición continua Nótese que la fracción continua nun ye periódica.

 Historia 

miniatura|200px|Leonhard Euler popularizó l'usu de la lletra e pa representar la constante; amás foi'l descubridor de numberoses propiedaes referentes a ella.

A diferencia de , la introducción del númberu  na matemática ye relativamente recién, lo cual tien sentíu si considérase qu'esti postreru tuvo un orixe analíticu y non xeométricu, como'l primeru. Nes pallabres d'Eli Maor:

Les primeres referencies a la constante fueron publicaes en 1618 na tabla nun apéndiz d'un trabayu sobre llogaritmos de John Napier.
Sicasí, esta tabla nun contenía'l valor de la constante, sinón que yera a cencielles una llista de llogaritmos naturales calculaos a partir d'ésta. Créese que la tabla foi escrita por William Oughtred. Unos años más tarde, en 1624,  vese nuevamente arreyáu na lliteratura matemática, anque non del tou. Esi añu, Briggs dio un aproximamientu numbéricu a los llogaritmos en base 10, pero nun mentó al númberu  explícitamente nel so trabayu.

La siguiente apaición de  ee daqué dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó l'área so la hipérbola rectangular. Si reconoció la conexón colos llogaritmos ye una cuestión abierta a alderique, ya inclusive si facer, nun hubo razón por que tratara con  explícitamente. Quien sí entendió la rellación ente la hipérbola rectangular y el llogaritmu foi Huygens allá por 1661, al estudiar el problema del área so la curva . El númberu  ee aquel valor d'ascisa a tomar por que l'área so esta curva a partir de 1 sía igual a 1. Esta ye la propiedá que fai que  sía la base de los llogaritmos naturales, y magar nun yera entendida del tou polos matemáticos d'aquel entós, d'a pocu diben averándose a la so comprensión.

Sicasí, y seique inesperadamente, nun ye al traviés de los llogaritmos que  ee descubiertu, sinón del estudiu del interés compuestu, problema encetáu por Jacob Bernoulli en 1683. Si inviértese una Unidá Monetaria (que vamos embrivir en delantre como UM) con un interés del 100% añal y páguense los intereses una vegada al añu, van llograse 2 UM. Si paguen los intereses 2 vegaes al añu, estremando l'interés ente 2, la cantidá llograda ye 1 UM multiplicáu por 1,5 dos veces, ye dicir 1 UM x 1,50² = 2,25 UM. Si estremamos l'añu en 4 periodos (trimestres), al igual que la tasa d'interés, llógrense 1 UM x 1,25⁴ = 2,4414... En casu de pagos mensuales el monto xube a 1 UM x  = 2,61303...UM. Por tanto, cada vez que s'aumentar la cantidá de periodos de pagu nun factor de n (que tiende a crecer ensin llende) y amenórgase la tasa d'interés nel periodu, nun factor de , el total d'unidaes monetaries llograes va tar dau pola siguiente espresión:

Bernoulli utilizó'l teorema del binomiu p'amosar que dichu llende atopar ente 2 y 3. Puede considerase esta'l primer aproximamientu atopáu pa . Inclusive si aceptamos esta como una definición de , seria la primer vegada qu'un númberu defínese como un procesu de llende. Con seguridá, Bernoulli nun reconoció nenguna conexón ente'l so trabayu y los llogaritmos.
D'equí provién la definición que se da de  en finances, qu'espresa qu'esti númberu ye la llende d'una inversión de 1 UM con una tasa d'interés al 100% añal compuestu en forma continua. En forma más xeneral, una inversión que s'empecipia con un capital C y una tasa d'interés añal R, va apurrir  UM con interés compuestu.

El primer usu conocíu de la constante, representáu pola lletra b, foi nuna carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler empezó a utilizar la lletra y pa identificar la constante en 1727, y el primer usu de  nuna publicación foi en Mechanica, d'Euler, publicáu en 1736. Ente que nos años subsiguientes dellos investigadores usaron la lletra c,  foi la más común, y finalmente convirtióse na terminoloxía avezada. Euler realizó dellos apurras en rellación a  nos años siguientes, pero nun foi hasta 1748 cuando publicó'l so Introductio in Analysin infinitorum que dio un tratamientu definitivu a les idees sobre . Ellí amosó que :
y dio un aproximamientu pa  de 18 cifres decimales, ensin amosar cómo la llogró. Tamién dio la so espresión como fracción continua reconociendo'l patrón que sigue dicha espresión. Foi esta carauterización la que lu sirvió de base pa concluyir que  ee un númberu irracional, y la mayor parte de la comunidá acepta que Euler foi'l primeru en probar esta propiedá.

La pasión que guio a muncha xente a calcular más y más cifres decimales de  nunca paeció retrucar de la mesma manera pa . Sicasí, dalgunos embarcáronse na xera de calcular la so espansión decimal y el primeru en contribuyir con esto foi William Shanks en 1854. Vale la pena destacar que Shanks foi un entusiasta entá mayor del cálculu de los decimales de . James Whitbread Lee Glaisher amosó que los primeres 137 llugares de Shanks pal cálculu de  eeren correutos, pero atopó un error que, depués de correxíu pol mesmu Shanks, refundio cifres decimales de y hasta'l llugar 205. Ello ye que precísense alredor de 120 términos de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... pa llograr 200 decimales.

Espansiones decimales entá mayores siguieron colos trabayos de Boorman en 1884, quien calculó 346 llugares y topó que'l so cómputu coincidía col de Shanks hasta'l llugar 187, pero depués diverxíen. En 1887 Adams envaloró'l llogaritmu de  en base 10 con 272 cifres exactes.

En 1873, Charles Hermite (1822-1905) llogró demostrar que  ee trascendente, a dichu llogru llegó usando un polinomiu, consiguíu con ayuda de fracciones continues, emplegaes, enantes, por Lambert. David Hilbert — tamién Karl Weierstrass y otros — propunxeron, posteriomente, variantes y cambeos de les primeres demostraciones.

 Definición 
miniatura|derecha|L'área ente la exa x y la gráfica e = 1/x, ente x = 1 y x = e ye 1.

La definición más común de  ee como'l valor llende de la socesión . En símbolos, :

Dacuando tómase tamién como puntu de partida la serie

que s'espande como :

Otra definición habitualEsta forma de definir la función llogaritmu natural, el númberu e, la función esponencial, etc. puede atopase en Cálculu Infinitesimal 2ª edición, cap. 17 (p. 465) de Michael Spivak, Reverté o en Calculus 2ª edición, cap. 6 (p. 277) de Tom Apostol, Reverté. dada al traviés del cálculu integral ye como solución de la ecuación

ye dicir que se define  como'l númberu pal que

 Propiedaes matemátiques y aplicaciones 

 Analís matemáticu 

 Función esponencial 

derecha|e ye l'únicu númberu a, tal que la derivada de la función esponencial f(x) = ax (curva azul) nel puntu x = 0 ye igual a 1. En comparanza, les funciones 2x (curva a puntos) y 4x (curva a trazos) son amosaes; nun son tanxentes a la llinia de rimada 1 (colloráu).

Pa cualesquier , la socesión  converxe. Podemos denotar dichu llende con : 



Llámase función esponencial a la función real que la so variable independiente percuerre'l conxuntu  de los númberos reales, y defínese como

La traza más relevante de la función esponencial ye que la so función derivada (qu'esiste en tou puntu) coincide cola mesma función, esto ye,

Amás, ye la única función non idénticamente nula (a menos de multiplicación por constantes) con esta propiedá. Esto fai de la esponencial la función más importante del analís matemáticu, y en particular pa les ecuaciones diferenciales.

El desenvolvimientu en serie de la función  realizar por aciu la fórmula de Maclaurin. Yá que 



la fórmula de Maclaurin escribir de la siguiente manera:

Suponiendo x=1, llógrase'l valor averáu del númberu 

Onde s'entiende como un valor averáu.V. S. Shipachev. Op. cit.

Problema de Steiner

miniatura|derecha|250px|El máximu global de  asocede en .

Esti problema plantega atopar el máximu absolutu de la función

Esti máximu dase precisamente en .

Coles mesmes,  ye'l mínimu absolutu de la función

definida pa . Más polo xeneral, la función

algama'l so máximu global en  pa ; y el mínimu global atopar en  pa .

La tetración infinita

 o 

converxe si y solu si , por un teorema de Leonhard Euler.

 Númberos complexos 
miniatura|250px|Representación xeométrica de la fórmula d'Euler.

El númberu  presenta na fórmula d'Euler un papel importante rellacionáu colos númberos complexos:

El casu especial con  ee conocíu como identidá d'Euler o fórmula mística d'Euler

de lo que se deduz que:

Amás, utilizando les lleis de la exponenciación, llógrase:

que ye la fórmula de De Moivre.

Esta fórmula llegó como una revelación a Benjamin Peirce, profesor de Harvard, quien la espunxo ante los sos alumnos, y manifestó la so reconocencia ante la maraviyosa conexón de los cinco númberos más famosos de tola matemática.

 Probabilidá ya estadística 

El númberu e tamién apaez n'aplicaciones a la teoría de probabilidaes. Un exemplu ye'l problema de los desigües, decubierto en parte por Jacob Bernoulli xunto con Pierre Raymond de Montmort, tamién conocíu como el problema de los sombreros: los  convidaos a una fiesta dexen a la entrada los sos sombreros col mayordomu, quien los asitia depués en  compartimientos, cada unu col nome d'unu de los invitaos. Pero'l mayordomu nun conoz la identidá de los invitaos, y entós asitia los sombreros nos compartimientos al azar. El problema de De Montmort ye atopar la probabilidá de que nengún de los sombreros sía asitiáu nel compartimientu correutu. La respuesta ye:

A midida que el númberu  d'invitaos tiende a infinitu,  averar a . Mas entá, el númberu de maneres en que pueden asitiase los sombreros nos compartimientos de forma que nengún correspuenda al so dueñu ye  arrondáu al enteru más cercanu, pa cada positivu .
La resultancia anterior puede reformulase de la siguiente manera: sía  la probabilidá de qu'una función aleatoria del conxuntu 1, 2, ..., n en sí mesmu tenga siquier un puntu fixu. Entós


Otra apaición de  na probabilidá ye nel siguiente problema: tiense una secuencia infinita de variables aleatories , ..., con distribución uniforme en [0,1]. Sía  el menor enteru  tal que la suma de les primeres  observaciones ye mayor que 1:



Depués, . Esta resultancia dexa envalorar el valor de la constante per mediu de simulaciones aleatories.

Sicasí, el papel más relevante que xuega'l númberu  nesta caña de la matemática vien dau al traviés de la función de densidá de probabilidá pa la distribución normal con media μ y esviación estándar σ, que depende de la integral gaussiana:

El rol d'esta distribución ye central na teoría y la práutica.

 Teoría de Númberos 

Les siguientes dos rellaciones son corolarios direutos del teorema de los númberos primosS. M. Ruiz 1997

onde  ee n-esimo primu e  ee'l primorial del n-esimo primu.

onde  la función contadora de primos.

 Xeometría 

miniatura|250px|derecha|Espiral equiangular d'ángulu α. 

Al igual que ,  puede interpretase como un cociente ente cantidaes amestaes a cierta curva del planu. 
Consideremos una curva cola propiedá de que cualesquier semirrecta que naz nel orixe corta a esta formando un ángulu de  radianes (esisten preseos que dexen trazar curves con esta carauterística). Si tomamos dos puntos cualesquier de la curva  con una separación angular de 1 radián, y  entonce tiense


Esta construcción puede paecer forzada pol fechu de riquir midir un radián, sicasí, esto puede consiguise bien fácilmente si dexamos la operación d'esmucir una circunferencia sobre una recta (operación más qu'avezada dientro del conxuntu de curves mecániques). 
La curva cola propiedá enantes señalada ye un casu especial d'espiral logarítmica o equiangular, y puede probase fácilmente qu'a partir de la so condición de "equiangularidad", la so ecuación en coordenaes polares  vien dada por

Más xeneralmente, si la curva ye cortada formando un ángulu , entós la so espresión en coordenaes polares ye :.

Otra manifestación relevante de y na xeometría dar cola catenaria. La catenaria ye la curva que la so forma ye adoptada por una cuerda de densidá uniforme suxeta polos sos dos estremos y sometida namái a encomalo de la gravedá.
Queda determinada pola posición de los sos estremos y el so llargor.

 Irracionalidá y trescendencia 

El númberu real  ee irracional, lo que significa que nun puede espresase como fracción de dos númberos enteros, como demostró Euler en 1737. Na so demostración, Euler valir de la representación de e como fracción continua, que al ser infinita, nun puede corresponder a un númberu racional. Sicasí, la demostración más conocida foi dada por Fourier, y básase nel desenvolvimientu en serie del númberu. 
J. H. Lambert probó en 1768 que  ee irracional si  ee un racional positivu.

Tamién ye un trascendente, esto ye, que nun ye'l raigañu de nengún polinomiu de coeficientes enteros (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Foi'l primer númberu trascendente que foi probáu como tal, ensin ser construyíu específicamente pa tal propósitu (comparar col númberu de Liouville). La demostración d'esto foi dada por Charles Hermite en 1873. Créese que e amás ye un númberu normal.
Hilbert simplificó la prueba de Hermite, Hurwitz dio una variación a la de Hilbert. Esta última prueba presentar Herstein, en castellánI. N. Herstein: Álxebra moderna. Editorial F. Tríes S. A. Méxicu D.F. (1970).

 Fórmules que contienen al númberu e 

De siguío, esíbense delles fórmules qu'arreyen de diverses formes a :

Formules 2–7: H. J. Brothers, Improving the convergence of Newton's series approximation for e, The College Mathematics Journal, Vol.35, Non.1,(2004), páxs.34–39.. 

la cual llógrase de la identidá 

Identidá d'Euler o fórmula mística d'Euler

Fórmula de Stirling:


Fórmula de Gosper:

 Representaciones de e 

El númberu  puede ser representáu como un númberu real en delles formes: como serie infinita, como productu infinitu, como fracción continua o como llende d'una socesión. 

 Como llende 

La principal d'estes representaciones, particularmente nos cursos básicos de cálculu, ye la mesma definición de , esto ye, la llende:

En 1975, el suizu Felix A. Keller llogró la llende simétrica:H. J. Brothers and J. A. Knox, MIO-1998-12).pdf New closed-form approximations to the Logarithmic Constant e, The Mathematical Intelligencer, Vol. 20, Non. 4, (1998), páxs. 25–29.

De la fórmula de Stirling llógrase

 e

.

Amosóse tamién que

onde  ee enésimu primu y  ee'l primorial del enésimu primu.

onde  la función contadora de primos.

 Como serie o suma infinita 

 onde  ee'l -esimo númberu de Bell. 
Dellos exemplos d'esta última carauterización:

 Como productu infinitu 

El númberu  puede espresase tamién por aciu productos infinitos "del tipu Wallis" de diverses formes,http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1005/1005.2712.pdf incluyendo'l productu de PippengerWeisstein, Eric W. "Pippenger Product." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PippengerProduct.html. N. Pippenger, An infinite product for e, Amer. Math. Monthly 87 (1980) 391.

el productu de Catalan 

y el productu de GuilleraJ. Sondow, A faster product for pi and a new integral for ln pi/2, Amer. Math. Monthly 112 (2005) 729–734.J. Guillera and J. Sondow, Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent,Ramanujan Journal 16 (2008), 247–270.

onde'l n-ésimo factor ye la n-ésima raigañu del productu :

como tamién el productu infinitu

 Como fracción continua 

El desenvolvimientu decimal de e nun amuesa regularidá dalguna. Sicasí, coles fracciones continues, que pueden ser normalizaes (colos numberadores toos iguales a 1) o non, llogramos, en fracción continua normalizada:

lo que s'escribe , propiedá descubierta por Leonhard Euler (A003417 en OEIS). En fracción continua non normalizada tiense 
En dambos casos, e presenta regularidaes non casuales.

 Díxitos conocíos 

El númberu de díxitos conocíos de e aumentó descomanadamente mientres les últimes décades. Esto ye debíu tanto al aumentu del desempeñu de los ordenadores como tamién a la meyora de los algoritmos utilizaos.Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computationGourdon, X.; Reported large computations with PiFast 
En 1949, J. von Neumann y el so grupu utilizaron el ENIAC pa llograr 2010 decimales. D. Shanks y J.W. Wrench toparon hasta 100.265 en 1961 cola fórmula d'Euler con un IBM 7090. Emplegar 2,5 hores. Yá pa 1994, R. Nemiroff y J. Bonnell llegaren a 10.000.000 de decimales.

Nes últimes décades, los ordenadores fueron capaces de llograr númberos que tienen una inmensa cantidá de decimales. Asina, por casu, nel
añu 2000, utilizando'l programa de cálculu PiFast33 nun ordenador Pentium III 800, llográronse 12
884 901 000 cifres decimales, pa lo que se precisó 167 hores.

+ Númberu de díxitos decimales conocíos de   Fecha  Cantidá de cifres  Realizador del cálculu 1690  1  Jacob Bernoulli 1714  13  Roger CotesRoger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29 (338) : 5-45; see especially the bottom of page 10. From page 10: "Porru eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … " (Furthermore, the same ratio is between 2.718281828459… and 1, … ) 1748  23  Leonhard EulerLeonhard Euler, Introductio in Analysin Infinitorum (Lausanne, Switzerland: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), volume 1, page 90. 1853  137  William ShanksWilliam Shanks, Contributions to Mathematics, … (London, England: G. Bell, 1853), page 89. 1871  205  William ShanksWilliam Shanks (1871) "On the numerical values of e, loge 2, loge 3, loge 5, and loge 10, also on the numerical value of M the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals," Proceedings of the Royal Society of London, 20 : 27-29. 1884  346  J. Marcus BoormanJ. Marcus Boorman (October 1884) "Computation of the Naperian base," Mathematical Magacín, 1 (12) : 204-205. 1949  2,010  John von Neumann (on the ENIAC) 1961  100,265  Daniel Shanks and John Wrench 1978  116,000  Steve Wozniak on the Apple II 1994 10 000 000 Robert Nemiroff y Jerry Bonnell Mayu de 1997 18 199 978 Patrick Demichel Agostu de 1997 20 000 000 Birger Seifert Setiembre de 1997 50 000 817 Patrick Demichel Febreru de 1999 200 000 579 Sebastian Wedeniwski Ochobre de 1999 869 894 101 Sebastian Wedeniwski 21 de payares de 1999 1 250 000 000 Xavier Gourdon 10 de xunetu de 2000 2 147 483 648 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon 16 de xunetu de 2000 3 221 225 472  Colin Martin y Xavier Gourdon 2 d'agostu de 2000 6 442 450 944  Shigeru Kondo y Xavier Gourdon 16 d'agostu de 2000 12 884 901 000  Shigeru Kondo y Xavier Gourdon 21 d'agostu de 2003 25 100 000 000  Shigeru Kondo y Xavier Gourdon 18 de setiembre de 2003 50 100 000 000  Shigeru Kondo y Xavier Gourdon 27 d'abril de 2007 100 000 000 000  Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo 6 de mayu de 2009 200 000 000 000  Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo 21 de febreru de 2010 500 000 000 000  Alexander J. YeeAnnouncing 500 billion digits of e... 5 de xunetu de 2010 1 000 000 000 000  Shigeru Kondo y Alexander J. Yee 24 de xunu de 2015 1 400 000 000 000  Matthew HebertA list of notable large computations of e|

Na dómina computacional del cálculu de e les cifres disparáronse, non yá por cuenta de la potencia de cálculu qu'estes máquines son capaces de xenerar, sinón tamién pol prestíu que trai pal constructor de la máquina cuando la so marca apaez na llista de los récores.

Primeres cien cifres decimales

Les cien primeres cifres de e son:


Curiosidaes

Regles mnemotécniques
 Nel so desenvolvimientu decimal, dempués del “2,7” el númberu “1828” apaez dos veces, y dempués vienen los ángulos d'un triángulu rectángulu isósceles que son 45°, 90°, 45°: 2,7 1828 1828 45 90 45.

 878/323 = 2.718266254 ... ye'l meyor aproximamientu racional utilizando enteros menores que 1000. Amás, dambos son palíndromos y 878-323=555.

 Inventáronse frases como regles mnemotécniques pa poder recordar les primeres cifres. Una forma de memorizar los 13 primeros díxitos ye con esta frase, namái hai que cuntar les lletres de cada pallabra: "El trabayu y esfuerciu de recordar y revuelve el mio estómagu, pero voi poder alcordame". Otru exemplu, en francés: "El to aideras a rappeler ta quantite a beaucoup de docteurs amis" (Tu vas ayudar a recordar la cantidá a munchos doctores amigos)

 na cultura informática
miniatura|230px|Cartelu publicitariu de Google que plantegaba problema rellacionáu con e.
 Nel so ufierta publica inicial de 2004, Google anunció la so intención de recaldar $2,718,281,828, que son  miles de millones de dólares, arredondiaos a un valor enteru.
 Google foi tamién responsable d'un cartelu publicitariu qu'apaeció nel corazón de Silicon Valley, y más tarde en Cambridge; Seattle; y Austin. Nél lleíase "{primer primu de 10 díxitos topáu ente 1vos díxitos consecutivos de }.com". Resolviendo esti problema y visitando l'anunciáu sitio web, aportar a un problema entá más difícil, que de la mesma conducía a los Google Labs, onde'l visitante taba convidáu a dexar el so currículum. El primer primu de 10 díxitos en  ye 7427466391, qu'empieza nel noventenu novenu (99°) díxitu.
 L'informáticu Donald Knuth fai que'l númberu de versión del so programa Metafont averar a . Les versiones son 2, 2.7, 2.71, 2.718, etc.

 Poemes al númberu  
 La matemática y poeta Sarah Glaz escribió un ellaboráu y estensu poema nel que describe la hestoria de  y les sos principales propiedaes.

 Otru poema ye'l realizáu por José Acevedo Jiménez:

Otros intereses
miniatura|e en chocolate

 El valor principal de la espresión  ee un númberu real y ta dau porUnidá imaxinaria en Mathworld  (n'inglés). consulta: 21 d'abril de 2008 

 Esllumáu pola identidá d'Euler, Benjamin Pierce suxirió crear nuevos símbolos pa  e . Pierce publicó la so suxerencia en revistes de matemática y llibros de la so autoría. Por cuenta de les dificultaes tipográfiques y la semeyanza ente los símbolos, la so propuesta nun foi bien recibida y cayó nel olvidu rápido.

 Dellos matemáticos proponen declarar el 2 de xunetu de 2018 como'l día .

Cuestiones abiertes sobre e
 Nun se sabe si  ye a cencielles normal en base 10 (o dalguna otra base). Esto ye, que cada unu de los diez díxitos del sistema decimal tenga la mesma probabilidá d'apaición nuna espansión decimal.
 Nun se sabe si  ye trascendente
 Nun se sabe si  e  son irracionales. Sábese que nun son raigaños de polinomios de grau inferior a nueve y con coeficientes enteros del orde 10⁹.

 Ver tamién 

 Demostración de la irracionalidá de e
 Función esponencial
 Llista de constantes matemátiques
 Llogaritmu
 Llogaritmu d'una matriz
 Númberu irracional
 Númberu π
 Númberu trascendente

 Referencies 

 Bibliografía 









 Enllaces esternos 
 Descubriendo el número e: el número e como límite de una determinada sucesión.  

 Les primeres diez mil cifres decimales del númberu e
 Un millón de cifres del númberu e.
 Fórmula pal cálculu de llendes de socesiones del tipu 1 eleváu a infinitu
 Programa pal cálculu de e y d'otru gran númberu de constantes 
  Approximations – Wolfram MathWorld
 http://www.numberworld.org/misc_runs/e-500b.html
 The On-line Encyclopedia of Integer Sequences

Categoría:Constantes matemátiques
Categoría:Llogaritmos
Categoría:Esponenciales
Categoría:Númberos trascendentes