Grupu fundamental

En topoloxía, podemos acomuñar a cada puntu p d'un espaciu topolóxicu X un grupu que nos informa sobre la estructura 1-dimensional de la porción d'espaciu qu'arrodia a esti puntu. Los elementos d'esti grupu, llamáu grupu fundamental de X relativu al puntu base p,Munkres: "Topoloxía" ISBN 978-84-205-3180-9, printed in spain son clases d'equivalencia de llazos (curves zarraes) con orixe nel puntu p.

Esisten xeneralizaciones a dimensión cimera d'esti grupu, que reciben el nome de grupos de homotopía. El grupu fundamental recibe tamién el nome de primer grupu de homotopía. D'ende la forma común de notalo como .

 Definiciones 

 Llazu 
Sía  un espaciu topolóxicu, y  un puntu fixu de . Un llazu con base en  ye una aplicación continua  que verifica .

El productu  de dos llazos  y  defínese como 
Esto ye, el llazu  primero percuerre'l camín de , pero a "doble velocidá" y dempués el de , tamién a doble velocidá.

 Clases de homotopía 
Les clases de homotopía son les clases d'equivalencia debíes a la rellación de ser homotópico. Dos llazos  con base nun puntu común p son homotópicos si esiste una aplicación continua  tal que

.
Intuitivamente una clase de homotopía representa un paquete de curves que son deformables ente sigo.

 Grupu fundamental 
El productu de dos clases de homotopía de llazos [f] y [g] defínese como [f ∗ g]. Puede demostrase qu'esti productu ta bien definíu al ser independiente de la eleición de representantes. Esti productu déxanos llograr una estructura de grupu: l'elementu neutru va ser la clase [γ] del llazu trivial definíu como γ(t) = p pa tou t; l'inversu de la clase d'un llazu [f] va ser la clase del mesmu llazu percorríu en sentíu contrariu (esto ye, g ye l'elementu simétricu de f si y solu si f(t)=g(1-t) pa tou t ∈ [0,1]).

El grupu fundamental d'un espaciu topolóxicu  basáu nun puntu , notáu como , ye'l conxuntu de clases de homotopía de curves zarraes cola operación yuxtaponer clases.

 Propiedaes 
 Si l'espaciu ye arcu-conexu, los distintos grupos  y  pa dos puntos  son isomorfos. Siendo posible falar de el grupu fundamental del espaciu: . Esti isomorfismu nun ye natural polo xeneral.
 Una aplicación continua  ente dos espacios topolóxicos induz una aplicación del conxuntu de llazos de X sobre'l de llazos de Y. Esta aplicación induzse tamién sobre les clases respeutives y conviértese nun homomorfismo  ente los grupos fundamentales definíu d'esta miente: .
 La asignación dada por  que va de la categoría d'espacios topolóxicos a la categoría de grupos ye un functor.
 Esti invariante puede ser calculáu por aciu la téunica de grafo de grupos conocida como'l Teorema de Seifert-van Kampen. Con esta resultancia basta descomponer l'espaciu en 2 espacios más simples onde'l grupu fundamental seya conocíu.

 Exemplos 
 En munchos espacios namái esiste una clase de homotopía de llazos, y arriendes d'ello, el grupu fundamental ye trivial. Un espaciu topolóxicu con grupu fundamental trivial dizse a cencielles conexu. Rn, o cualesquier soconxuntu convexu de Rn ser. La esfera de dimensión n con n mayor o igual que 2 tamién lo ye.

 L'espaciu topolóxicu más simple non a cencielles conexu ye la circunferencia: el so grupu fundamental ye isomorfu al grupu aditivu de los númberos enteros Z. El númberu enteru asociáu a cada llazu de  ye'l númberu de vueltes qu'esi llazu da en redol a ella.

 Si X y Y son dos espacios topolóxicos arcoconexos, el grupu fundamental del productu X x Y ye isomorfu al productu de los grupos de dambos espacios. Por casu, si pa la circunferencia, . Pal toru, homeomorfo a un productu de circunferencies,.

 El grupu fundamental nun tien por qué ser conmutativu. Por casu, el grupu fundamental del planu priváu de dos puntos  ye isomorfu al grupu llibre con dos xeneradores . Estos dos xeneradores son les clases de los llazos que pasando por un puntu p arrodien a cada unu de los puntos esaniciaos. En delles clases particulares d'espacios topolóxicos, como por casu na de los grupos topolóxicos, el grupu fundamental sí resulta ser siempres abeliano.

 Notes y referencies 

 Bibliografía 
 Masey, W.S. A basic course in algebraic topology. GTM 127. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97430-X
 Munkres, J., Topology, Prentice Hall (2000) ISBN 0131816292

Categoría:Topoloxía alxebraica
Categoría:Teoría de categoríes