Teoría de cuerpos

La teoría de cuerpos ye una caña de la matemática qu'estudia les propiedaes de los cuerpos. Un cuerpu ye una entidá matemática pa la cual la adición, sustracción, multiplicación y división tán bien definíes.

 Historia 
El conceutu de cuerpu. foi usáu implícitamente por Niels Henrik Abel y Évariste Galois nel so trabayu sobre resolución d'ecuaciones.

En 1871, Richard Dedekind, al conxuntu de los númberos reales o complexos los cualos son cerraos so los cuatro operaciones aritmétiques como "cuerpu".

En 1881, Leopold Kronecker definió lo qu'él llamo "dominiu de racionalidá", que ye, ello ye que un cuerpu de polinomios en términos modernos.

En 1893, Heinrich Martin Weber dio la primer definición clara de cuerpu astractu.

En 1910 Ernst Steinitz publicó l'artículu Algebraische Theorie der Körper (alemán: teoría alxebraica de cuerpos), que foi bien influyente. Nesti artículu él estudió axiomáticamente les propiedaes de los cuerpos y definió dellos conceutos de teoría de cuerpos importantes como cuerpu primu, cuerpu perfectu y el grau de trescendencia d'una estensión de cuerpos.

Galois, que nun tenía'l términu "cuerpu" en mente, foi honráu por ser el primer matemáticu qu'enllazó la teoría de grupos y la teoría de cuerpos. La teoría de Galois ye llamada asina nel so honor. Sicasí, foi Emil Artin el primeru que desenvolvió la rellación ente grupos y cuerpos en gran detalle mientres 1928-1942.

 Introducción 

Los cuerpos son oxetos importantes d'estudiu n'álxebra, yá que apurren una xeneralización útil de dellos sistemes de númberos, como pueden ser los númberos racionales, númberos reales, y los númberos complexos. En particular, les regles comunes d'asociatividá, conmutatividá y distributividá cumplir. Los cuerpos tamién apaecen en munches otres de les matemátiques; vease los exemplu embaxo.

Cuando la álxebra astracta taba siendo desenvuelta, la definición d'un cuerpu usualmente nun incluyía la conmutatividad de la multiplicación, y a lo que güei llamamos cuerpu, podría ser llamáu cuerpu conmutativu o dominiu racional. Nel usu contemporaneu, un cuerpu ye siempres conmutativu. Una estructura que satisfai toles propiedaes d'un cuerpu cola posible esceición de conmutatividad, llámase-y anguaño aniellu de división o álxebra de división o o delles vegaes como cuerpu torcíu. Tamién ye llargamente utilizáu'l términu cuerpu non conmutativu. En francés, los cuerpos son llamaos corps y n'alemán conócense como Körper, d'ende que s'use la lletra  en tipografía blackboard bold pa denotar a un cuerpu. 

El conceutu de cuerpu foi usáu primeramente (de manera implícita) pa demostrar que nun esiste una fórmula xeneral pa espresar en términos de radicales les raigaños de los polinomios con coeficientes racionales de grau cimeru o igual a 5.

 Estensiones d'un cuerpu 

Una estensión d'un cuerpu k ye xustamente un cuerpu K que contién a k como un subcuerpo. Estremar ente estensiones que tienen cualidaes distintes. Por casu, una estensión K d'un cuerpu k ye llamada alxebraica, si cada elementu de K ye un raigañu de dalgún polinomiu con coeficientes en k. D'otra manera, la estensión ye llamada trascendental.

L'oxetivu de la teoría de Galois ye l'estudiu de les estensiones alxebraiques d'un cuerpu.

== Clausures d'un cuerpu Dau un cuerpu k, dellos tipos de clausura de k pueden ser introducíes. Por casu, la clausura alxebraica, la clausura xebrable, la clausura cíclica etc. La idea ye siempres la mesma: Si P ye una propiedá de cuerpos, entós una P-clausura de k ye un cuerpu K que contién a k, y que tien la propiedá P, que ye mínima nel sentíu de que nun hai subcuerpo apropiáu de K que contién k y tien la propiedá P. 
Por casu, si tómase P(K) como la propiedá de que "tou polinomiu non constante f en K[t] tien un raigañu en K", entós una P-clausura de k ye xustamente una clausura alxebraica de k. 
Polo xeneral, si les P-clausures esisten pa dalguna propiedá P y cuerpu k, son toes isomorfes. Sicasí, nun hai isomorfismu preferible xeneral ente dos clausures.

 Aplicaciones de la teoría de cuerpos 

El conceutu de cuerpu úsase, por casu, na definición de vectores y matrices, dos estructures en álxebra llinial que los sos componentes pueden ser elementos d'un cuerpu arbitrariu. 

Los cuerpos finitos son usaos en teoría de númberos, teoría de Galois y teoría de códigos, y de nuevu, les estensiones alxebraiques son tamién una gran ferramienta.

Los cuerpos binarios, cuerpos de carauterística 2, son útiles en ciencies de la computación.

 Dellos teoremes útiles 

 Teorema d'estensión del isomorfismu
 Teorema del elementu primitivu

 Ver tamién 
 Cuerpu
 Aniellu
 Espaciu vectorial
 Categoría de cuerpos

 Referencies