Teoría d'aniellos

N'álxebra astracta, la teoría d'aniellos ye l'estudiu d'aniellos —estructures alxebraiques nes cualos la adición y la multiplicación tán definíes y tienen propiedaes similares a aquelles operaciones definíes pa los enteros—. La teoría d'aniellos estudia la estructura d'aniellos, los sos representaciones, o, en llinguaxe distintu, módulos, clases especiales d'aniellos (aniellos de grupu, aniellos de división, álxebres universales envolventes), según una variedá de propiedaes que resultaron d'interés tantu dientro de la mesma teoría y pa les sos aplicaciones, como propiedaes homológicas y identidaes polinómiques.

Los aniellos conmutativos son muncho meyor entendíos que los non conmutativos. La xeometría alxebraica y la teoría de númberos alxebraicos, que apurren munchos exemplos naturales d'aniellos conmutativos, impulsaron enforma'l desenvolvimientu de la teoría d'aniellos conmutativos, que ta agora, sol nome de álxebra conmutativa, una área importante de la matemática moderna. Por cuenta de que estos trés campos (xeometría alxebraica, teoría de númberos alxebraicos y álxebra conmutativa) tán tan íntimamente coneutaos, ye de normal difícil y ensin sentíu decidir a qué campu pertenez un resultáu particular. Por casu, El teorema de los ceros de Hilbert ye un teorema que ye fundamental pa la xeometría alxebraica, y ta declaráu y probáu en términos d'álxebra conmutativa. De la mesma, el últimu teorema de Fermat ta declaráu en términos d'aritmética elemental, que ye una parte d'álxebra conmutativa, pero la so prueba implica resultancies fondes tantu de la teoría de númberos alxebraicos como de la xeometría alxebraica.

Los aniellos non conmutativos son abondo distintos en sabor, una y bones un comportamientu más inusual puede surdir. Mientres la teoría desenvolvióse por derechu propiu, un enclín bastante recién buscó paralelizar el desenvolvimientu conmutativu construyendo la teoría de ciertes clases d'aniellos non conmutativos d'una manera xeométrica como si fueren aniellos de funciones sobre (non esistentes) 'espacios non conmutativos'. Esti enclín empecipiar na década de 1980 col desenvolvimientu de la xeometría non conmutativa y col descubrimientu de grupos cuánticos. Esto llevó a una meyor comprensión de los aniellos non conmutativos, especialmente aniellos notherianos (Goodearl 1989).

Pa les definiciones d'un aniellu y conceutos básicos y les sos propiedaes, ver aniellu (matemática). Les definiciones de términos utilizaos a lo llargo de la teoría d'aniellos pueden atopase nel Glosariu de teoría d'aniellos.

 Aniellos conmutativos 
Un aniellu ye conmutativu si la so multiplicación ye conmutativa. Los aniellos conmutativos paecer a los sistemes numbéricos conocíos, y delles definiciones pa los aniellos conmutativos tán diseñaes pa formalizar les propiedaes de los enteros. Los aniellos conmutativos tamién son importantes en xeometría alxebraica. Na teoría d'aniellu conmutativu, los númberos suelen ser reemplazaos por ideales, y la definición del ideal primu intenta prindar la esencia de númberos primos. Dominio d'integridá, aniellos conmutativos non triviales onde nun hai dos elementos distintos de cero que multiplicaos dean cero, xeneralicen otra propiedá de los enteros y sirven como'l dominiu apropiáu pa estudiar la divisibilidad. Los dominios d'ideales principales son dominios integrales nos cualos cada ideal puede ser xeneráu por un solu elementu, otra propiedá compartida polos enteros. Los dominios euclidianos son dominios integrales nos que puede llevase a cabu'l algoritmu euclidianu. Exemplos importantes d'aniellos conmutativos pueden ser construyíos como aniellos de polinomio y los sos aniellos de factor. Resume: dominiu euclidianu => dominiu ideal principal => dominiu de factorización única => dominiu d'integridá => aniellu conmutativu.

 Xeometría alxebraica 
La xeometría alxebraica ye de munches maneres la imaxe d'espeyu de la álxebra conmutativa. Esta correspondencia empezó col Teorema de los ceros de Hilbert qu'establez una correspondencia unu a unu ente los puntos d'una variedá alxebraica, y los ideales máximos del so aniellu de coordenaes. Esta correspondencia foi ampliada y sistematizada pa traducir (y probar) les propiedaes más xeométriques de les variedaes alxebraiques en propiedaes alxebraiques de los aniellos conmutativos asociaos. Alexander Grothendieck completó esto introduciendo esquemes, una xeneralización de variedaes alxebraiques, que pueden construyise a partir de cualquier aniellu conmutativu. Más específicamente, l'espectru d'un aniellu conmutativu ye l'espaciu de los sos ideales principales forníos cola topoloxía de Zariski, y aumentáu con un fai d'aniellos. Estos oxetos son los "esquemes allegaos " (xeneralización de variedaes allegaes), y un esquema xeneral llógrase "pegando" (por métodos puramente alxebraicos) dellos d'estos esquemes allegaos, n'analoxía a la manera de construyir un colector "pegando" los gráficos d'un atles.

 Aniellos non conmutativos 
Los aniellos non conmutativos paecer a aniellos de matrices en munchos aspeutos. Siguiendo'l modelu de xeometría alxebraica, intentáronse apocayá definir xeometríes non conmutatives basaes n'aniellos non conmutativos. Los aniellos non conmutativos y el álxebra asociativa (aniellos que tamién son espacios de vector) son de cutiu estudiaos al traviés de los sos categoríes de módulos. Un módulu sobre un aniellu ye un grupu abelianu nel que l'aniellu actúa como un aniellu d'endomorfismos, bien asemeyaos a los campos (dominios integrales nos que cada elementu distintu de cero ye invertible) de manera qu'actúa enriba espacios de vector. Exemplos d'aniellos non conmutativos son daos por aniellos de matrices cuadraes o más xeneralmente por aniellos de endomorfismos de grupos abelianos o módulos, y por aniellos monoidales.

 Teoría de representación 
La teoría de la representación ye una caña de matemátiques que se basa en gran midida nos aniellos non conmutativos. Estudia estructures alxebraiques astractes representando les sos elementos como tresformamientos lliniales d'espacios vectoriales, y módulos
d'estudios sobre estes estructures alxebraiques astractes. N'esencia, una representación fai un oxetu alxebraicu astractu más concretu describiendo los sos elementos por aciu matrices y les operaciones alxebraiques en términos d'adición matricial y multiplicación matricial, que ye non conmutativa. Los oxetos alxebraicos susceptibles de tal descripción inclúin grupos, álxebres asociatives y álxebres de Lie. El más prominente d'estos (ya históricamente'l primeru) ye la teoría de representación de grupos, na cual los elementos d'un grupu representar poles matrices invertibles de tal manera que la operación del grupu ye la multiplicación de la matriz.

 Referencies 

History of ring theory at the MacTutor Archive

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