Númberu real

300px|thumb|Recta real.
En matemátiques, el conxuntu de los númberos reales (denotado por ) inclúi tanto a los númberos racionales (positivos, negativos y el cero) como a los númberos irracionales; y n'otru enfoque, trascendentes y alxebraicos. Los irracionales y los trascendentesManual de matemátiques (1985) Tsipkin, Editorial Mir, Moscú, traducción de Shapovalova; pg. 86 (1970) non pueden espresase por aciu una fracción de dos enteros con denominador non nulu; tienen infinites cifres decimales aperiódicas, tales como: √5, , el númberu real 2, que la so trescendencia foi enunciada por Euler nel sieglu XVIII.

Los númberos reales pueden ser descritos y construyíos de delles formes, delles simples anque carentes del rigor necesario pa los propósitos formales de matemátiques y otres más complexes pero col rigor necesario pal trabayu matemáticu formal.

Mientres los sieglos XVI y XVII el cálculu avanzó enforma anque escarecía d'una base rigorosa, yá que nel momentu prescindíen del rigor y fundamentu lóxicu, tan esixente nos enfoques teóricos de l'actualidá, y usábense espresiones como «pequeñu», «llende», «averar ensin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradoxes y problemes lóxicos que fixeron evidente la necesidá de crear una base rigorosa pa la matemática, que consistió de definiciones formales y rigoroses (anque verdaderamente téuniques) del conceutu de númberu real. Nuna seición posterior van describise dos de les definiciones precises más avezaes anguaño: clases d'equivalencia de socesiones de Cauchy de númberos racionales y cortadures de Dedekind.

 Historia 
Los exipcios dieron orixe per primer vegada a les fracciones comunes alredor del añu 1000 e. C.; alredor del 500 e. C. un grupu de matemáticos griegos lideraos por Pitágores diose cuenta de la necesidá de los númberos irracionales. Los númberos negativos fueron escurríos por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventaos en China pocu dempués, pero nun s'utilizaron n'Europa hasta'l sieglu XVII, magar a finales del XVIII Leonhard Euler refugó les soluciones negatives de les ecuaciones porque les consideraba irreales. Nesi sieglu, nel cálculu utilizábense númberos reales ensin una definición precisa, cosa que finalmente asocedió cola definición rigorosa fecha por Georg Cantor en 1871.

En realidá, l'estudiu rigorosu de la construcción total de los númberos reales esixe tener amplios antecedentes de teoría de conxuntos y lóxica matemática. Foi llograda la construcción y sistematización de los númberos reales nel sieglu XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando víes distintes: la teoría de conxuntos de Georg Cantor (encajamientos socesivos, cardinales finitos ya infinitos), per un sitiu, y l'analís matemáticu de Richard Dedekind (vecindaes, redolaes y cortadures de Dedekind). Dambos matemáticos llograron la sistematización de los númberos reales na hestoria, non de manera bonal, sinón utilizando toles meyores previes na materia: dende l'antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.

 Evolución del conceutu de númberu 
Sábese que los exipcios y babilónicos faíen usu de fracciones (númberos racionales) na resolución de problemes práuticos. Sicasí, foi col desenvolvimientu de la matemática griega cuando se consideró l'aspeutu filosóficu de númberu. Los pitagóricos afayaron que les rellaciones harmóniques ente les notes musicales correspondíen a cocientes de númberos enteros, lo que los inspiró a buscar proporciones numbériques en toles demás coses, y espresar cola máxima «tou ye númberu».

Na matemática griega, dos magnitud son conmensurables si ye posible atopar una tercera tal que les primeres dos sían múltiplos de la postrera, esto ye, ye posible atopar una unidá común pa la que los dos magnitúes tengan una midida entera. El principiu pitagóricu de que tou númberu ye un cociente d'enteros, espresaba nesta forma que cualesquier dos magnitúes tienen de ser conmensurables.

Sicasí, l'ambiciosu proyeutu pitagóricu taramellóse ante'l problema de midir la diagonal d'un cuadráu, o la hipotenusa d'un triángulu rectángulu, pos nun ye conmensurable respectu de los catetos. En notación moderna, un triángulu rectángulu que los sos catetos miden 1, tien una hipotenusa que mide raigañu cuadráu de dos, :

Surdió entós un dilema, yá que d'alcuerdu de primeres pitagóricu: tou númberu yera racional, mas la hipotenusa d'un triángulu rectángulu isósceles nun yera conmensurable colos catetos, lo cual implicó que d'equí p'arriba les magnitúes xeométriques y les cantidaes numbériques tendríen que tratase por separáu, fechu que tuvo consecuencies nel desenvolvimientu de la matemática mientres los dos milenios siguientes.

Los griegos desenvolvieron una xeometría basada en comparances (proporciones) de segmentos ensin faer referencia a valores numbéricos, usando diverses teoríes pa remanar el casu de midíes inconmensurables, como la teoría de proporciones de Eudoxo. Asina, los númberos irracionales permanecieron a partir d'entós escluyíos de l'aritmética yá que namái podíen ser trataos por aciu el métodu d'infinitos aproximamientos. Por casu, los pitagóricos atoparon (en notación moderna) que si  ye un aproximamientu a √2 entós  =  + 2 y  =  +  son tales que  ye un aproximamientu más precisu. Repitiendo'l procesu nuevamente llógrense mayores númberos que dan un meyor aproximamientu.
Yá que los llargores qu'espresen los númberos irracionales podíen ser llograes por aciu procesos xeométricos senciellos pero, aritméticamente, namái por aciu procesos d'infinitos aproximamientos, anició que mientres 2000 años la teoría de los númberos reales fora esencialmente xeométrica, identificando los númberos reales colos puntos d'una llinia recta.

Nueves meyores nel conceutu de númberu real esperaron hasta los sieglos XVI y XVII, col desenvolvimientu de la notación alxebraica, lo que dexó la manipulación y operación de cantidaes ensin faer referencia a segmentos y llargores. Por casu, atopáronse fórmules pa resolver ecuaciones de segundu y tercer grau de forma mecánica por aciu algoritmos, que incluyíen raigaños ya inclusive, n'ocasiones, «númberos non reales» (lo qu'agora conocemos como númberos complexos). Sicasí, nun esistía entá un conceutu formal de númberu e siguíase dando primacía a la xeometría como fundamentu de tola matemática. Inclusive col desenvolvimientu de la xeometría analítica esti puntu de vista calteníase vixente, pos Descartes refugaba la idea que la xeometría pudiera encontase en númberos, yá que para él la nueva área yera a cencielles una ferramienta pa resolver problemes xeométricos.

Darréu, la invención del cálculu abrió un periodu de grandes meyores matemátiques, con nuevos y poderosos métodos que dexaron per vegada primera atacar los problemes rellacionaos colo infinito por aciu el conceutu de llende. Asina, un númberu irracional pudo ser entendíu como la llende d'una suma infinita de númberos racionales (por casu, la so espansión decimal). Como amuesa, el númberu  puede estudiase de forma alxebraica (ensin apelar a la intuición xeométrica) por aciu la serie:

ente munches otres espresiones similares. Aquel día, el conceutu intuitivu de númberu real yera yá'l modernu, identificando ensin problema un segmentu cola midida del so llargor (racional o non). El cálculu abrió'l pasu al analís matemáticu, qu'estudia conceutos como continuidá, converxencia, etc. Pero l'analís nun cuntaba con definiciones rigoroses y munches de les demostraciones apelaben entá a la intuición xeométrica. Esto traxo a una serie de paradoxes ya imprecisiones.

 Notación 
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Los númberos reales espresar con decimales que tienen una secuencia infinita de díxitos a la derecha de la coma decimal, como por casu 324,8232. Frecuentemente tamién se sub representen con tres puntos consecutivos a la fin (324,823211247…), lo que significaría qu'entá falten más díxitos decimales, pero que se consideren ensin importancia.

Les midíes nes ciencies físiques son siempres un aproximamientu a un númberu real. Non yá ye más concisu escribilos con forma de fracción decimal (esto ye, númberos racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exactu) sinón que, sía que non, suple íntegramente el conceutu y significáu del númberu real. Nel analís matemáticu los númberos reales son oxetu principal d'estudiu. Puede dicise que los númberos reales son la ferramienta de trabayu de les matemátiques de la continuidá, como'l cálculu y l'analís matemáticu, ente que los númberos enteros ser de les matemátiques discretes, nes que ta ausente la continuidá.

Dizse qu'un númberu real ye recursivo si los sos díxitos pueden espresase por un algoritmu recursivo. Un númberu non-recursivo ye aquél que ye imposible d'especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supón que tolos númberos reales son recursivos.

Los ordenadores namái pueden averase a los númberos reales por númberos racionales; de toes formes, dellos programes d'ordenador pueden tratar un númberu real de manera exacta usando la so definición alxebraica (por casu, "") en cuenta del so respeutivu aproximamientu decimal.

Los matemáticos usen el símbolu  (o, d'otra forma, , la lletra "R" en negrina) pa representar el conxuntu de tolos númberos reales. La notación matemática  referir a un espaciu de  dimensiones de los númberos reales; por casu, un valor  consiste de tres númberu reales y determina un llugar nun espaciu de tres dimensiones.

En matemática, la pallabra "real" úsase como axetivu, col significáu de que'l campu subxacente ye'l campu de los númberos reales. Por casu, matriz real, función real, y Álxebra de Lie real.

 Tipos de númberos reales 

 Racionales ya irracionales 
Un númberu real pue ser un númberu racional o un númberu irracional. Los númberos racionales son aquellos que pueden espresase como'l cociente de dos númberos enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, ente que los irracionales son tolos demás. Los númberos racionales tamién pueden describise como aquellos que la so representación decimal ye eventualmente periódica, ente que los irracionales tienen una espansión decimal aperiódica:
 Exemplos
 1/4 = 0,250000... Ye un númberu racional yá que ye periódicu a partir del tercer númberu decimal .
 5/7 = 0,7142857142857142857.... Ye racional y tien un periodu de llargor 6 (repite 714285) .
 ye irracional y la so espansión decimal ye aperiódica .
El conxuntu de los númberos racionales designar por aciu  .

 Alxebraicos y trescendentes 
Otra forma de clasificar los númberos reales ye en alxebraicos y trascendentes. Un númberu ye alxebraicu si esiste un polinomiu de coeficientes racionales que lo tien por raigañu y ye trascendente en casu contrariu. Obviamente, tolos númberos racionales son alxebraicos: si  ye un númberu racional, con p enteru y q natural, entós ye raigañu de la ecuación qx=p. Sicasí, non tolos númberos alxebraicos son racionales.
 Exemplos
 El númberu  ye alxebraicu yá que ye un raigañu del polinomiu 
 Un exemplu de númberu trascendente ye 
El conxuntu de los númberos alxebraicos designar por aciu .

 Computables y irreductibles 
Un númberu real dizse computable si tien una complexidá de Kolmogórov finita, esto ye, si puede escribise un programa informáticu d'estensión finita que xenere los díxitos de dichu númberu. Si un númberu real nun ye computable dizse irreductible. Una definición de númberu irreductible ye:

El conxuntu de númberos reales computables designar por . Obviamente los racionales y los alxebraicos son númberos computables. De fechu tiense la siguiente inclusión:

Amás tiense que toos estos conxuntos son numerables:

Esto implica que'l conxuntu de tolos númberos computables ye un conxuntu de teoría de la midida midida nula.

 Construcciones del conxuntu de númberos reales 

 Presentación axomática 
Foi propuestu pol matemáticu alemán David Hilbert. En testos actuales de cálculu y analís matemáticu apaecen enunciaos equivalentes al de Hilbert.Haaser y otros, Kudiatsev; Bartle y otru, siguen

Esisten distintes formes de construyir el conxuntu de los númberos reales a partir d'axomes, siendo la carauterización más común, el conocíu como métodu direutu qu'introduz el sistema (ℝ, +,., ≤), onde los elementos de llámense númberos reales, + y. son dos operaciones en ℝ, ≤ ye una rellación d'orde en ℝ."El conceutu de númberu de Númberu" (1973) César Trejo. La propuesta ye de D. Hilbert qu'apaeció nel so célebre artículu en 1900: Über die Zahlbegriff páxs. 82 y 83 Preséntase una variante axomática, por aciu les siguientes trés propiedaes:

 L'axoma del supremu ye una variante del Principiu de Weirstrass" que diz que toa socesión de númberos reales acutada superiormente tien supremu Les
primeres dos condiciones definen el conceutu de campu ordenáu, ente que la tercer propiedá ye de naturaleza topolóxica y ye la qu'estrema al conxuntu de los númberos reales de tolos demás campos ordenaos. Hai que faer notar que, en principiu pueden esistir distintos conxuntos que satisfaigan les mesmes condiciones y que podríen ser distintes al conxuntu de los númberos reales, pero un teorema establez que si eso asocediera, dambes estructures seríen esencialmente la mesma.

En vista de lo anterior podemos falar de el conxuntu de los númberos reales (y non de un conxuntu de númberos reales) y estableciendo la so unicidá puede usase el símbolu ℝ pa representalo.

Al enunciar la tercer propiedá n'ocasiones especifícase que ℝ ye completu nel sentíu de Dedekind, pos esisten otros axomes que pueden usase y que, asumiendo les primeres dos condiciones, toos son lóxicamente equivalentes. Dalgunos d'estos son:
 (Cauchy) El conxuntu K cumple que cualesquier socesión de Cauchy ye converxente.
 (Bolzano-Weierstrass) El conxuntu K cumple que cualquier socesión acutada tien una subsocesión converxente.
 Cualquier socesión decreciente d'intervalos zarraos  tien interseición non vacía.

Caúna de les primeres dos propiedaes mentaes al entamu de la seición correspuenden de la mesma a otra serie d'axomes, de cuenta que si fai un desglose, puede caracterizase'l conxuntu de los númberos reales como un conxuntu que satisfaiga la siguiente llista d'axomes.

 Si , entós  (Pesllera na suma)
 Si , entós  (Conmutatividad na suma)
 Si , entós  (Asociatividad na suma)
 Esisti  de manera que  pa tou  (Neutru aditivu)
 Pa cada  esiste un elementu  tal que  (Inversu aditivu)
 Si , entós  (Pesllera na multiplicación)
 Si , entós  (Conmutatividad na multiplicación)
 Si , entós  (Asociatividad na multiplicación)
 Esisti  de manera que  pa cualesquier  (Neutru multiplicativu)
 Pa cada  esiste un elementu  tal que  (Inversu multiplicativu)
 Si , entós  (Distributividad de la multiplicación na suma)
 Si , entós cumplir namái una d'estes: (Tricotomía)



 Si ,  y  entós  (Transitividá)
 Si  y , entós  (Monotonía na suma)
 Si ,  y , entós  (Monotonía na multiplicación)
 Si  ye un conxuntu non vacíu acutáu superiormente en , entós  tien supremu en  (Axoma del supremu)

Los axomes del 1 al 15 correspuenden a la estructura más xeneral de cuerpu ordenáu.
L'últimu axoma ye'l qu'estrema  d'otros cuerpos ordenaos como . Tien De señalase que los axomes 1 a 15 nun constitúin una teoría categórica yá que puede demostrase qu'almiten siquier un modelu non estándar distintu de los númberos reales, que ye precisamente'l modelu nel que se basa la construcción de los númberos hiperreales

 Construcción por númberos decimales 
Consideramos los númberos decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que , esto ye, el númberu π esprésase como'l númberu enteru 3 y una secuencia infinita de díxitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.

Un númberu decimal esprésase entós como  onde  ye un númberu enteru y cada  ye un elementu del conxuntu . Amás, consideramos que nun esisten les coles de 9.

Al conxuntu de tolos númberos decimales onde  ye un númberu enteru positivu se -y denota por  y llámase-y el conxuntu de los númberos reales positivos.

Al conxuntu de tolos númberos decimales onde  ye un númberu enteru negativu se -y denota por  y llámase-y el conxuntu de los númberos reales negativos.

Al númberu decimal  llámase-y cero.

Al conxuntu  se -y denota por  y llámase-y conxuntu de númberos reales.

Defínese la rellación d'orde total de los númberos decimales como #
 pa tou 
  siempres que  y 
  pa tou 
 Daos dos númberos reales cualesquier  y ,  en cualesquier de los casos siguientes:

  y amás esiste  tal que  pa tou  y 

 Construcción por cortadures de Dedekind 

Hai valores que nun se pueden espresar como númberos racionales, tal ye'l casu de . Sicasí ye claro que puede averase  con númberos racionales tanto como se deseye. Podemos entós partir al conxuntu de los númberos racionales en dos subconxuntos  y  de manera que nel conxuntu  atópense tolos númberos racionales  y en  tolos númberos racionales tales que .

Una cortadura de dedekind ye un par ordenáu  que fai precisamente esto. Conceptualmente, la cortadura ye'l "espaciu" qu'hai ente  y . D'esta manera ye posible definir a  como  tal que  y .

Ye posible demostrar que  queda unívocamente definíu por , d'esta manera la cortadura  amenórgase a cencielles a .

Tamién ye demostrable que'l conxuntu de toles cortadures cumple colos axomes de los númberos reales, d'esta manera  ye'l conxuntu de toles cortadures de Dedekind. Esta ye la primer construcción formal de los númberos reales so la teoría de conxuntos.

 Construcción por socesión de Cauchy 

Les socesiones de Cauchy retomen la idea d'averar con númberos racionales un númberu real. Tómese por casu, la igualdá.
 .

Ye claro qu'esta sumatoria opera namái colos númberos racionales de la forma:


sicasí la resultancia final ye'l númberu irracional . Cada vez que s'añader un términu, la espresión avérase más y más a .

Les socesiones de Cauchy xeneralicen esti conceutu pa definir a los númberos reales. Primero defínese qu'una socesión de númberos racionales ye una función se denota a cencielles por .

Una socesión de Cauchy ye una socesión de númberos racionales onde los sos elementos cada vez son menos distintos. Más formalmente, defínese una socesión de Cauchy como una socesión de númberos racionales tales que pa tou  esiste un  tal que pa tou  cumplir .

D'esta manera ye posible definir al númberu real  como la socesión de númberos racionales:


 Definición de los númberos reales 
Sía Γ el conxuntu de les socesiones de Cauchy en Q. Sía la rellación siguiente, definida ente les socesiones de Cauchy de Q, (xn) y (yn):

 (xn)ρ(yn) s. s.s. lim (xn-yn) = 0 cuando n → ∞ .

 Esta rellación ρ ye una rellación d'equivalencia nel conxuntu de socesiones de Cauchy con elementos del conxuntu Q de los númberos racionales.

 Llamamos conxuntu de los númberos reales al conxuntu cociente  R = Γ/ρ.
Nel intre se define sobre R una llei de grupu aditivu, una rellación d'orde y una topoloxía. Demuéstrase que Q ( conxuntu de los racionales) ye isomorfu a una parte de R.Zamansky. Introducción a la álxebra y analís modernu. Montaner y Simon, Barcelona

 Propiedá Arquimediana (Axoma de Arquímedes) 
Sían a > 0 y b númberos reales cualesquier, esiste un númberu natural n tal que na > b; esto espresa de la mesma que la socesión b/n tiende a cero.Haaser y otros: Análisi matemáticu I

 Operaciones con númberos reales 
Con númberos reales pueden realizase tou tipu d'operaciones básiques con diverses esceiciones importantes:

 Nun esisten raigaños d'orde par (cuadraes, cuartes, sestes, etc.) de númberos negativos en númberos reales, (anque sí esisten nel conxuntu de los númberos complexos onde diches operaciones sí tán definíes).
 La división ente cero nun ta definida (pos cero nun tener inversu multiplicativu, esto ye, nun esiste númberu x tal que 0·x''=1).
 Nun puede topase el llogaritmu d'un númberu real negativu, cualesquier sía la base de llogaritmos, un númberu positivu distintu de 1.Aplíquese la definición de llogaritmu

Estes restricciones tienen repercusiones n'otres árees de les matemátiques como'l cálculu: esisten asíntotas verticales nos llugares onde'l denominador d'una función racional tiende a cero, esto ye, naquellos valores de la variable nos que se presentaría una división ente cero, o nun esiste gráfica real naquellos valores de la variable en que resulten númberos negativos pa raigaños d'orde par, por mentar un exemplu de construcción de gráfiques en xeometría analítica.

 Dos particiones 
 El conxuntu de los reales ye la unión dixunta de los racionales y de los irracionales
 El conxuntu R ye la unión d'A y T, Al conxuntu de los reales alxebraicos y T el conxuntu de los trascendentesCourant: ¿Qué ye la matemática?

 Ver tamién 

 Dos clasificaciones 
 Hai una partición del conxuntu de los reales en dos subconxuntos: racionales ya irracionales. Tolos racionales son alxebraicos y los irracionales pueden ser alxebraicos y trascendentes.
 Hai otra partición del conxuntu de los reales n'otros dos subconxuntos: alxebraicos y trascendentes. Los primeres son racionales ya irracionales. Tolos trascendentes son irracionales

 Referencies 

 Enllaces esternos 



Númberos reales
Categoría:Matemática elemental