Espaciu vectorial

Esti artículu ta empobináu a apurrir un tratamientu rigoroso y astracto del conceutu d'espaciu vectorial. Pa una introducción más accesible al conceutu, vease Vector

Un espaciu vectorial ye, n'álxebra astracta, una estructura alxebraica creada a partir d'un dominiu de definición conxuntu non vacíu, una operación interna (llamada suma, definida pa los elementos del conxuntu) y una operación esterna (llamada productu por un angular, definida ente dichu conxuntu y otru conxuntu, con estructura de cuerpu ), con 8 propiedaes fundamentales.

A los elementos d'un espaciu vectorial llámase-yos vectores y a los elementos del cuerpu, angulares.

 Historia 
Históricamente, les primeres idees que conducieron a los espacios vectoriales modernos remontar al sieglu XVII: xeometría analítica, matrices y sistemes d'ecuaciones lliniales. 

Los espacios vectoriales derivar de la xeometría allegada al traviés de la introducción de coordenaes nel planu o l'espaciu tridimensional. Alredor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron les bases de la xeometría analítica por aciu la vinculación de les soluciones d'una ecuación con dos variables a la determinación d'una curva plana.. Pa llograr una solución xeométrica ensin usar coordenaes, Bernhard Bolzano introdució en 1804 ciertes operaciones sobre puntos, llinies y planos, que son predecesores de los vectores.. Esti trabayu fixo usu del conceutu de coordenaes baricéntricas d'August Ferdinand Möbius de 1827.. 

La primer formulación moderna y axomática deber a Giuseppe Peano, a finales del sieglu XIX. Les siguientes meyores na teoría d'espacios vectoriales provienen del analís funcional, principalmente d'espacios de funciones. Los problemes d'analís funcional riquíen resolver problemes sobre la converxencia. Esto fixo dotando a los espacios vectoriales d'una fayadiza topoloxía, dexando tener en cuenta cuestiones de proximidá y continuidá. Estos espacios vectoriales topolóxicossobremanera los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y ellaborada.

L'orixe de la definición de los vectores ye la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que ye un segmentu empobináu, unu de que los sos estremos ye l'orixe y l'otru un oxetivu. Los vectores reconsiderar cola presentación de los númberos complexos d'Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por esti postreru (Hamilton foi amás el qu'inventó'l nome de vector).. Son elementos de R² y R⁴; el tratamientu por aciu combinaciones lliniales remontar a Laguerre en 1867, quien tamién definió los sistemes d'ecuaciones lliniales.

En 1857, Cayley introdució la notación matricial que dexa una harmonización y simplificación de les aplicaciones lliniales. Cuasi coles mesmes, Grassmann estudió'l cálculu baricéntrico empecipiáu por Möbius. Previo conxuntos d'oxetos astractos dotaos d'operaciones.. Nel so trabayu, los conceutos d'independencia llinial y dimensión, lo mesmo que de productu angular tán presentes. En realidá'l trabayu de Grassmann de 1844 supera'l marcu de los espacios vectoriales, una y bones teniendo en cuenta la multiplicación, tamién, llevar a lo qu'anguaño se llamen álxebres. El matemáticu italianu Peano dio la primer definición moderna d'espacios vectoriales y aplicaciones lliniales en 1888..

Un desenvolvimientu importante de los espacios vectoriales deber a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde foi formalizáu por Banach na so tesis doctoral de 1920. y por Hilbert. Nesti momentu, el álxebra y el nuevu campu del analís funcional empezaron a interactuarsobremanera con conceutos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. Tamién nesti tiempu, los primeros estudios sobre espacios vectoriales d'infinites dimensiones realizáronse.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones n'otres cañes de la matemática, la ciencia y la inxeniería. Utilizar en métodos como les series de Fourier, que s'utiliza nes rutines modernes de compresión d'imáxenes y soníu, o apurren el marcu pa resolver ecuaciones en derivaes parciales. Amás, los espacios vectoriales apurren una forma astracta llibre de coordenaes de tratar con oxetos xeométricos y físicos, tales como tensores, que de la mesma dexen estudiar les propiedaes locales de variedaes por aciu téuniques de linealización.

 Notación 
Dau un espaciu vectorial  sobre un cuerpu , estrémense.

Los elementos de  como:
  llámense vectores.

Caligrafíes d'otres obres


Si'l testu ye de física suelen representase so una flecha:


Los elementos de  como:
  llámense angulares.

 Definición d'espaciu vectorial 
Un espaciu vectorial sobre un cuerpu  (como'l cuerpu de los númberos reales o los númberos complexos) ye un conxuntu  non vacíu, dotáu de dos operaciones pa les cualos va ser zarráu:


operación interna tal que:
 1) tenga la propiedá conmutativa, ye dicir

 2) tenga la propiedá asociativa, ye dicir

 3) tenga elementu neutru , (exemplu 0 nos reales) ye dicir


 4) tenga elementu opuestu, ye dicir


y la operación productu por un angular:


operación esterna tal que:
 5) tenga la propiedá asociativa:


 6) Esistencia del elementu neutru multiplicativu  (exemplu 1 nos reales) del cuerpu K, ye sí mesmu.



 7) tenga la propiedá distributiva del productu respeuto la suma de vectores:


 8) tenga la propiedá distributiva del productu respeuto la suma d'angulares:




 Observaciones 
La denominación de los dos operaciones nun condiciona la definición d'espaciu vectorial polo que ye habitual atopar traducciones d'obres nes que s'utiliza multiplicación pal productu y adición pa la suma, usando les distinciones propies de l'aritmética.

Pa demostrar qu'un conxuntu  ye un espaciu vectorial:

Ser si los sos dos operaciones, por casu  y  almiten una redefinición del tipu  y  cumpliendo les 8 condiciones esixíes.

Si supiéramos que  ye un grupu conmutativu o abeliano respeuto la suma yá tendríamos probaos los apartaos 1, 2, 3 y 4.

Si supiéramos que'l productu ye una aición pela izquierda de  tendríamos probaos los apartaos 5 y 6.

Si nun se diz lo contrario:
 .

 Propiedaes 

Si  

 Si  ye ciertu.
 Si 
entós:


Notación

 .

Observación



Si  
Si  

 Primer exemplu con demostración 
Quier probase que  ye un espaciu vectorial sobre 

Si  xuega'l papel de  y  el de :

Los elementos:


son, de forma xenérica:


esto ye, pares de númberos reales. Por claridá caltiénse la denominación del vector, nesti casu o, nes sos coordenaes, añadiendo'l subíndice x o y pa denominar el so componente na exa x o y respeutivamente

En  defínese la operación suma:


onde:




y la suma de o y v sería:


onde:


esto implica que la suma de vectores ye interna y bien definida.

La operación interna suma tien les propiedaes:

1) La propiedá conmutativa, esto ye:









2) La propiedá asociativa:





3) tien elementu neutru :



4) tenga elementu opuestu:





La operación productu por un angular:


El productu de a y o va ser:


onde:


esto implica que la multiplicación de vector por angular ye esterna y aun así ta bien definida.

5) tenga la propiedá asociativa:


Esto ye:





6)  seya elementu neutru nel productu:


Que resulta:





Que tien la propiedá distributiva:

7) distributiva pela esquierda:


Nesti casu tenemos:






8) distributiva pela derecha:


Qu'en esti casu tenemos:






Queda demostráu que ye espaciu vectorial.

 Exemplos d'espacios vectoriales 

 Los cuerpos 
Tou cuerpu ye un espaciu vectorial sobre él mesmu, usando como productu por angular el productu del cuerpu.

 ye un espaciu vectorial de dimensión unu sobre .

Tou cuerpu ye un espaciu vectorial sobre'l so subcuerpo, usando como productu por angular el productu del cuerpu.

 ye un espaciu vectorial sobre .
 ye un espaciu vectorial sobre .

 Socesiones sobre un cuerpu  
L'espaciu vectorial más conocíu notáu como , onde n>0 ye un enteru, tien como elementos n-tuplas, esto ye, socesiones finitas de  de llargor n coles operaciones:

(o1, o2, ..., on)+(v1, v2, ..., vn)=(o1+v1, o2+v2, ..., on+vn).

a(o1, o2, ..., on)=(au1, au2, ..., aun).

Les socesiones infinites de  son espacios vectoriales coles operaciones:

(o1, o2, ..., on, ...)+(v1, v2, ..., vn, ...)=(o1+v1, o2+v2, ..., on+vn, ...).

a(o1, o2, ..., on, ...)=(au1, au2, ..., aun, ...).

L'espaciu de les matrices , , sobre , coles operaciones:

Tamién son espacios vectoriales cualquier agrupación d'elementos de  nes cualos defínase les operaciones suma y productu ente estes agrupaciones, elementu a elementu, similar al de matrices , asina por casu tenemos les caxes  sobre  qu'apaecen nel desenvolvimientu de Taylor d'orde 3 d'una función xenérica.

 Espacios d'aplicaciones sobre un cuerpu 
El conxuntu  de les aplicaciones ,  un cuerpu y  un conxuntu, tamién formen espacios vectoriales por aciu la suma y la multiplicación habitual:

 Los polinomios 
200px|thumb|Suma de f(x)=x+x² y g(x)=-x².

L'espacio vectorial K[x] formáu por funciones polinómiques, veámoslo:

Espresión xeneral: ,onde los coeficientes , considérese .

   , onde  y ,

  .

Les series de potencies son similares, sacantes se dexen infinitos términos distintos de cero.

 Funciones trigonométriques 
Les funciones trigonométriques formen espacios vectoriales coles siguientes operaciones:

Espresión xeneral: 

  ,

  .

 Los sistemes d'ecuaciones lliniales homoxénees 

170px|thumb|Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables

 o equivalentemente  simplificáu como 

Un sistema d'ecuaciones lliniales homoxénees( ecuaciones lliniales nes que  ye siempres una solución, esto ye, ) tien soluciones que formen un espaciu vectorial, puede vese nos sos dos operaciones:

Si  

Si  .

Tamién que les ecuaciones en sí, files de la matriz  notaes como una matriz , esto ye, , son un espaciu vectorial, como puede vese nos sos dos operaciones:

Si  

Si  .

 Definición de subespacio vectorial 
Sía  un espaciu vectorial sobre , y  un subconxuntu non vacíu de , dizse que  ye un subespacio vectorial de  si:




 y .

 Consecuencies 
 herieda les operaciones de  como aplicaciones bien definíes, ye dicir que nun escapen de , y de resultes tenemos que  ye un espaciu vectorial sobre .

Con cualquier subconxuntu d'elementos escoyíos nos espacios vectoriales anteriores, non vacíu, pueden xenerase subespacios vectoriales, pa ello seria útil introducir nuevos conceutos que van facilitar el trabayu sobre estos nuevos espacios vectoriales.

 Resultaos internes 
Pa detallar el comportamientu internu de tolos espacios vectoriales de manera xeneral ye necesariu esponer una serie de ferramientes cronológicamente venceyaes ente elles, coles cualos ye posible construyir resultaos válides en cualquier estructura que seya espaciu vectorial. 

 Combinación llinial 
250px|thumb|Cada vector u ye combinación llinial de forma única

Dau un espaciu vectorial , vamos dicir qu'un vector  ye combinación llinial de los vectores de  si esisten angulares 
||left}}
Vamos Notar como  el conxuntu resultante de toles combinaciones lliniales de los vectores de .

 Proposición 1 

Dau  un espaciu vectorial y  un conxuntu de vectores, el conxuntu  ye'l subespacio vectorial más pequeñu conteníu en  y que contién a .

Nota. Nesti casu dizse que  ye un sistema de xeneradores que xenera a .

 Independencia llinial 
Vamos Dicir qu'un conxuntu  de vectores ye linealmente independiente si'l vector 0 nun puede espresase como combinación llinial non nula de los vectores de , esto ye:

Si .

Vamos Dicir qu'un conxuntu  de vectores ye linealmente dependiente si nun ye linealmente independiente.

 Proposición 2 
 son linealmente dependientes 

 Base d'un espaciu vectorial 

Les bases revelen la estructura de los espacios vectoriales d'una manera concisa. Una base ye'l menor conxuntu (finito o infinitu) B = {vi}i ∈ I de vectores que xeneren tol espaciu. Esto significa que cualquier vector v puede ser espresáu como una suma (llamada combinación llinial) d'elementos de la base :a1vi1
+ a2vi2 + ... + anvin, onde los
ak son angulares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, per otru llau, faise formal pol conceutu d'independencia llinial. Un conxuntu de vectores dizse que ye linealmente independiente si nengunu de los sos elementos puede ser espresáu como una combinación llinial de los restantes. Equivalentemente, una ecuación 
a1vi1 + ai2v2 + ... + anvin = 0
solo consíguese si toos angular a1, ..., an son iguales a cero. Por definición de la base cada vector puede ser espresáu como una suma finita de los elementos de la base. Por cuenta de la independencia llinial esti tipu de representación ye única. Los espacios vectoriales dacuando introdúcense dende esti puntu de vista.

 Base formalmente 
200px|thumb|v1 y v2 son base d'un planu, si hubiera dependencia llinial(alliniaos) la cuadrícula nun podría xenerase

Dau un sistema de xeneradores, vamos dicir que ye una base si son linealmente independientes.

Proposición 3. Dau un espaciu vectorial  ye una base   .

Proposición 4. Dau un espaciu vectorial  linealmente independiente y   son linealmente independiente.

 Teorema de la base de xeneradores 
Tou sistema de xeneradores tien una base.

 Teorema Steinitz 
Toa base d'un espaciu vectorial pue ser camudada parcialmente por vectores linealmente independientes.

Corolariu. Si un espaciu vectorial  tien una base de  vectores  cualesquier otra base tien  vectores.

 Observación 
Tou espaciu vectorial tien una base. Esti fechu basar nel lema de Zorn, una formulación equivalente del axoma d'elección. Habida cuenta de los otros axomes de la teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel, la esistencia de bases ye equivalente al axoma d'eleición. El ultrafilter lemma, que ye más débil que l'axoma d'eleición, implica que toles bases d'un espaciu vectorial tienen el mesmu "tamañu", esto ye, cardinalidad. Si l'espaciu ye xeneráu por un númberu finito de vectores, tou lo anterior puede demostrase ensin necesidá d'allegar a la teoría de conxuntos.

 Dimensión 
Dau un espaciu vectorial sobre :
Si tien base finita, vamos dicir dimensión al númberu d'elementos de dicha base.
Si tien base non finita, vamos dicir que ye de dimensión infinita.

 Notación 
Dau un espaciu vectorial  y un subespacio , tenemos que:

Si  tien dimensión  vamos indicar como .

Si  tien dimensión  como subespacio de  vamos indicar como .

 Interseición de subespacios vectoriales 
Dau dos subespacios vectoriales , la interseición ye subespacio vectorial conteníu nestos y vamos notar como:

.

Observaciones. Pa la interseición socesiva d'espacios vectoriales procédese, inductivamente, de dos en dos.

La unión de subespacios vectoriales nun ye polo xeneral un subespacio vectorial.

 Suma de subespacios vectoriales 
Dau dos subespacios vectoriales , la suma ye un subespacio vectorial que contién a estos y vamos notar como:

.

Si F y G son subespacios vectoriales de Y, la so suma F+G ye'l subespacio vectorial de Y más pequeñu que contién a F y a G.

Observación. Pa la suma socesiva d'espacios vectoriales procédese, inductivamente, de dos en dos.

 Teorema Fórmula de Grassmann 
Dau dos subespacios vectoriales  de dimensión finita, tenemos la resultancia siguiente:

.

 Suma direuta de subespacios vectoriales 
Daos dos subespacios vectoriales , vamos dicir que  ye una suma direuta si  y vamos notar como:

.

Cuando  y  tán d'últimes direuta, cada vector de  espresar de forma única como suma d'un vector de  y otru vector de .

 Cociente d'espacios vectoriales 
Dau un espaciu vectorial  y un subespacio vectorial .

Daos  vamos dicir que tán rellacionaos módulu  si .

La rellación anterior ye una rellación d'equivalencia.

Notar por   a la clase de  módulu .

Vamos Llamar conxuntu cociente o espaciu cociente al conxuntu de les clases d'equivalencia anterior:

Notar por  a dichu espaciu cociente.

L'espaciu  ye un espaciu vectorial coles operaciones siguientes:

 Construcciones básiques 
Amás de lo espuesto nos exemplos anteriores, hai una serie de construcciones que nos apurren espacios vectoriales a partir d'otros. Amás de les definiciones concretes que figuren de siguío, tamién se caractericen por propiedaes universales, que determina un oxetu X especificando les aplicaciones lliniales de X a cualesquier otru espaciu vectorial.

 Suma direuta d'espacios vectoriales 
Dau dos espacios vectoriales  sobre un mesmu cuerpu , vamos llamar suma direuta al espaciu vectorial , veamos que tán bien definíes los dos operaciones:

,

.

 Espacios vectoriales con estructura adicional 
Dende'l puntu de vista de la álxebra llinial, los espacios vectoriales entiéndense dafechu na midida na que cualquier espaciu vectorial caracterízase, salvu isomorfismos, pola so dimensión. Sicasí, los espacios vectoriales ad hoc nun ufierten un marcu pa faer frente a la cuestión fundamental pal analís de si una socesión de funciones converxe a otra función. Coles mesmes, la álxebra llinial nun ta afecha per se pa faer frente a series infinites, una y bones la suma solo dexa un númberu finito de términos pa sumar. Les necesidaes del analís funcional riquen considerar nueves estructures.

 Espacios normados 

Un espaciu vectorial ye normado si ta dotáu d'una norma.

 Espaciu métricu 
Un espaciu métricu ye un espaciu vectorial dotáu d'una aplicación alloña.

Proposición 5. Un espaciu normado ye un espaciu métricu, onde la distancia vien dada por:

Toa distancia inducida pola norma ye una distancia.

 Espacios vectoriales topolóxicos 

Dada una topoloxía  sobre un espaciu vectorial  onde los puntos sían zarraos y los dos operaciones del espaciu vectorial sían continues respectu diches topoloxía, vamos dicir que:
 ye una topoloxía vectorial sobre , * ye un espaciu vectorial topolóxicu.

Proposición 6.. Tou espaciu vectorial topolóxicu dotáu d'una métrica ye espaciu normado.
Proposición 7.. Tou espaciu normado ye un espaciu vectorial topolóxicu.

 Espacios de Banach 

Un espaciu de Banach ye un espaciu normado y completu.

 Espacios prehilbertianos 

Un espaciu prehilbertiano ye un par , onde  ye un espaciu vectorial y  ye un productu a angular.

 Espacios de Hilbert 

Un espaciu de Hilbert ye un espaciu prehilbertiano completu pola norma definida pol productu angular.

 Morfismos ente espacios vectoriales 
Son aplicaciones ente espacios vectoriales que caltienen la estructura de los espacios vectoriales, esto ye, caltienen los dos operaciones y les propiedaes d'estes d'unu a otru de dichos espacios.

 Aplicaciones lliniales 

Dau dos espacios vectoriales  y , sobre un mesmu cuerpu, vamos dicir qu'una aplicación  ye llinial si:

,

.

 Ver tamién 
 Combinación llinial
 Sistema xenerador
 Independencia llinial
 Base (álxebra)
 Teorema rango-nulidad
 Base Ortogonal
 Base Ortonormal
 Coordenaes cartesianes
 Productu angular
 Productu vectorial
 Productu mistu
 Productu tensorial

 Referencies 

 Notes 

 Referencies históriques 









 Bibliografía 

Queysanne, M., Álxebra Básica, Vicens-Vives. 1973.
Rudin, w., Analís Funcional (Definición axomática d'espacios vectoriales topolóxicos introductivamente), Reverté.

 Enllaces esternos 
 Xuega con vectores

 A lecture about fundamental concepts related to vector spaces (given at MIT)
 A graphical simulator for the concepts of span, linear dependency, base and dimension

Categoría:Álxebra llinial
Categoría:Vectores