Álxebra multilineal

Na matemática, el álxebra multilineal ye una área d'estudiu que xeneraliza los métodos del álxebra llinial. Los oxetos d'estudiu son los productos tensoriales d'espacios vectoriales y los tresformamientos multi-lliniales ente los espacios.

 Notación 
La álxebra multilineal fai un usu intensivu de la notación multi-índiz. Una notación d'esi tipu fai representar les combinaciones lliniales por un conxuntu de dos o más índices repitíos. 

 Nel casu elemental (tensores de rangu unu contravariantes) tenemos, usando la convención de la suma d'Einstein: . Lo cual indica que l'oxetu X, ye la combinación llinial:

sobre los vectores básicos , y los  llamaos los componentes de X. Equí  ye la dimensión (alxebraica) d'espaciu onde "vive" X. Por convención llamar a estos 1-contra-tensores. 
 En rangu unu tamién tán los 1-co tensores, ye dicir mapeos lliniales dende l'espaciu escoyíu escontra'l campu d'esguilar. Ellos escríbense como combinación llinial de los funcionales lliniales , tresformamientos lliniales  que satisfaen: , onde (como clásicamente) ta usándose la delta de Kronecker. Asina cualesquier covector  escríbese como , notación qu'embrive .
 Tensores de rango dos:
 Un tensor de rango dos contravariante ye .
 Un tensor de rango dos covariante ye .
 Y un tensor de rango dos mistu ye . Esto indica una combinación llinial bi-indexada.
Por casu, 
si la dimensión del espaciu ye dos.
 Xeneralizando lo anterior escríbese  pa representar los componentes d'un tensor mistu A, que ye p-contravariante y q-covariante. Pero 
representa una combinación llinial multi-indexada.

Tou lo anterior namái foi considerando que l'espaciu vectorial ye de dinensión finita igual a n.

 Productu tensorial 
Teniendo dos espacios vectoriales V, W, con respeutives bases ,  defínese'l so productu tensorial

ye dicir l'espaciu vectorial xeneráu polos nuevu símbolos 

Y por lo tanto si un oxetu X que vive en (pertenez a)  entós él puédese representar como una combinación llinial

y la cual vase a embrivir como 
los índices repitíos s o t, una vegada enriba y una vegada embaxo -ta conveníu- indica sumación, cada unu.

Esta definición ye absolutamente astracta, pero dende'l puntu de vista alxebraicu nun hai nengún problema esplorar toles posibilidaes del productu tensorial. Una plétora d'espacios surde (y d'importancia capital) a cencielles al considerar un espaciu vectorial V y el so dual  unu llogra los espacios:

Toos ellos d'usu cotidianu na xeometría diferencial, xeometría alxebraica, álxebra conmutativa, relatividá y cuántica, teoríes de campu, QFT, TQFT y otres.

 Tensores y formes 
Sía  xeneráu polos . Simbolicemos con 
 la base de dual .
Cualquier elementu de  escribir de la forma . Esta mesma espresión puede ser vista como un mapa bilineal 

sabiendo que  - kronecker.

Otru de rango dos ye . Los elementos d'equí vense como combinaciones lliniales bi-indexadas .

Dellos conceutos desenvueltos (llista incompleta)
 tensor
 espaciu dual
 covector
 xeometría diferencial
 cálculu tensorial
 analís vectorial
 covariancia y contravariancia
 tensor métricu
 derivada covariante
 conexón
 tensor de combadura de Riemann
 símbolos de Christoffel
 álxebra esterior
 forma diferencial
 combadura
 teorema de Stokes
 Símbolu de Levi-Civita
 Seición (matemática)
 Campu vectorial
 Campu tensorial
 Pullback

 Referencies 

 Bibliografía 
 Robert M. Wald, Xeneral Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2. 

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Categoría:Xeometría diferencial