Ecuación de Laplace

En cálculu vectorial, la ecuación de Laplace ye una ecuación en derivaes parciales de segundu orde de tipu elípticu, que recibe esi nome n'honor al físicu y matemáticu Pierre-Simon Laplace.

Introducida poles necesidaes de la mecánica newtoniana, la ecuación de Laplace apaez en munches otres cañes de la física teórica como l'astronomía, la electrostática, la mecánica de fluyíos o la mecánica cuántica. 

 Definición 

En tres dimensiones, el problema consiste en topar funciones reales , doblemente diferenciables, de variables reales , tal que

En coordenaes cartesianes,



En coordenaes cilíndriques ,

En coordenaes esfériques ,

Munches vegaes escribir de la siguiente manera:



onde  ye l'operador de Laplace o "Laplaciano".

Esta ecuación en derivaes parciales, tamién puede escribise como



onde  ye la diverxencia, y  ye'l gradiente.

O sinón, delles vegaes la notación puede ser:



onde  tamién ye l'operador de Laplace.

Les soluciones de la ecuación de Laplace denominar funciones harmóniques.

Si del llau derechu de la igualdá especifica una función, , esto ye, si la ecuación escríbese como:



entós tiense la "ecuación de Poisson", polo que la ecuación de Laplace ye un casu particular d'esta. La ecuación de Laplace tamién ye un casu particular de la ecuación de Helmholtz.

La ecuación de Laplace, según la ecuación de Poisson, son los exemplos más simples d'ecuaciones en derivaes parciales elíptiques.

 Condiciones de contorna o frontera 

 Problema de Dirichlet 

El problema de Dirichlet pa la ecuación de Laplace consiste en topar una solución  en dalgún dominiu  tal que  sobre la so contorna o frontera  ye igual a una función determinada:



Como l'operador de Laplace apaez na ecuación del calor, una interpretación física d'esti problema ye lo siguiente: afitar la temperatura sobre la contorna del dominiu d'alcuerdu a una especificación determinada de la condición de contorna. La temperatura flúi hasta qu'algama un estáu estacionariu nel que dicha temperatura en cada puntu del dominiu nun camuda más. La distribución de la temperatura nel interior va ser entós la solución correspondiente al problema de Dirichlet.

 Problema de Neumann 

Les condiciones de contorna de Neumann pa la ecuación de Laplace nun especifica la función  en sí mesmu sobre la contorna , pero sí la so derivada normal. Físicamente, esto correspuende a la construcción d'un potencial pa un campu vectorial que'l so efeutu ye conocíu na contorna de :



Les soluciones de la ecuación de Laplace son funciones harmóniques; son toes analítiques dientro del dominiu onde la ecuación satisfaise. Si cualesquier de dos funciones son soluciones a la ecuación de Laplace (o de cualquier ecuación diferencial homoxénea), la so suma (o cualquier combinación llinial) ye tamién una solución. Esta propiedá, llamada principiu de superposición, ye bien útil, por casu, les soluciones de problemes complexos pueden construyise a cencielles sumando les soluciones determinaes y variables.

 Ecuación de Laplace en dos dimensiones 

La ecuación de Laplace en dos variables independientes:

 Funciones analítiques 

Les partes reales ya imaxinaries d'una función analítica nos complexos satisfaen la ecuación de Laplace. Esto ye, si , y si 

entós la condición necesaria por que  seya analítica ye que se satisfaigan les ecuaciones de Cauchy-Riemann:

onde  ye la primer derivada parcial de  con al respective de .

Entós 

Polo tanto  satisfai la ecuación de Laplace. Un cálculu similar demuestra que  tamién satisfai la ecuación de Laplace. 

A la inversa, dada una función harmónica, ye la parte real d'una función analítica,  (siquier llocalmente). Una forma de probalo ye:

entós les ecuaciones de Cauchy-Riemann satisfáense:

Esta rellación nun determina , namái les sos medríes:

La ecuación de Laplace pa  implica que la condición de integrabilidad pa  satisfaise:

y asina  puede definise con una integral de llinia. La condición de integrabilidad y el teorema de Stokes implica que'l valor de la integral de llinia que coneuta dos puntos ye independiente del camín. El par de soluciones resultante de la ecuación de Laplace denominar funciones harmóniques conxugaes. Esta construcción namái ye válida llocalmente, o siempres que'l camín nun tea arrodiando a una singularidá. Por casu, si  y  son coordenaes polares y

entós una función analítica correspondiente ye 

Sicasí, l'ángulu  ye univaluada solamente nuna rexón que nun inclúi al orixe.

La estrecha rellación ente la ecuación de Laplace y les funciones analítiques establez que cualquier solución de la ecuación de Laplace tien derivaes en tolos órdenes, y puede espandise en series de potencies, siquier dientro d'un círculu que nun incluya una singularidá. Esto ta en contraste coles soluciones de la ecuación d'onda, que polo xeneral tien menor regularidá. 

Hai una íntima conexón ente les series de potencies y les series de Fourier. Si espandimos una función  en series de potencies dientro d'un círculu de radiu , esto significa que

con coeficientes definíos afechiscamente que les sos partes reales ya imaxinaries tán daes por: 

Entós

la cual ye una serie de Fourier de .

 Fluxu de fluyíu 

Sean les cantidaes  y  les componentes horizontal y vertical del campu de velocidá del fluxu incompresible estacionariu y irrotacional en dos dimensiones, respeutivamente. La condición de que'l fluxu seya incompresible ye que :

y la condición de que'l fluxu seya irrotacional ye que

Si definimos el diferencial de  como

entós la condición de incompresibilidad ye la de integrabilidad pa esti diferencial: la función resultante llámase función de corriente porque ye constante a lo llargo de les llinies de fluxu. Les primeres derivaes de  son

y la condición de irrotacionalidad establez que  satisfai la ecuación de Laplace. La función harmónica , que ye'l conxugáu de , denominar potencial de velocidá. Les ecuaciones de Cauchy-Riemann establecen que :

Asina que, a cada función analítica correspuéndelu un fluxu de fluyíu incompresible estacionariu y irrotacional nel planu. La parte real ye'l potencial de velocidá, y la parte imaxinaria ye la función de corriente.

 Electrostática 

D'alcuerdu a les ecuaciones de Maxwell, un campu llétricu (o,v) nun espaciu de dos dimensiones que ye independiente del tiempu satisfai :

onde  ye la densidá de carga. La primer ecuación de Maxwell ye la condición de integrabilidad pal diferencial

 asina que'l potencial llétricu  puede construyise pa satisfaer

La segunda ecuación de Maxwell establez que 

conocida como la ecuación de Poisson.

Ye importante reparar que la ecuación de Laplace puede usase en problemes de tres dimensiones en electroestática y fluxu de fluyíu según en dos dimensiones.

 Ecuación de Laplace en tres dimensiones 

 Solución fundamental 

Una solución fundamental de la ecuación de Laplace satisfai:



onde la función delta de Dirac  ye una fonte unitaria concentrada nun puntu 
Nun ye una función en sí, sicasí puede pensase como la llende de funciones que la so integral sobremanera l'espaciu ye unitaria, y que la so rexón onde la función ye distinta de cero ye namái nun puntu (ver solución débil). Ye común escoyer una convención de signos distintu pa esta ecuación, esto fai cuando se define la solución fundamental. Frecuentemente la eleición d'esti signu ye conveniente pa trabayar con un  que ye un operador positivu. Asina la definición de la solución fundamental implica que, si'l laplaciano de  ye integráu sobre cualquier volume que zarra'l puntu de la fonte, entós :

La ecuación de Laplace nun camuda so un cambéu de coordenaes, y entós podemos esperar que la solución fundamental puede llograse ente soluciones que dependen solamente de la distancia  del puntu de la fonte. Si escoyemos el volume d'una bola de radiu  alredor del puntu de la fonte, entós pol teorema de la diverxencia de Gauss: 



Entós


sobre una esfera de radiu  que tien como centro al puntu de la fonte y polo tanto 



Un argumentu similar amuesa qu'en dos dimensiones:

 Función de Green 

Una función de Green ye una solución fundamental que tamién satisfai una condición fayadiza na contorna  d'un volume . Por casu,  satisfai



Agora si  ye cualquier solución de la ecuación de Poisson en : 

y  toma valores de contorna  sobre , entós podemos aplicar la identidá de Green, una consecuencia del teorema de la diverxencia, que satisfai : 

les notaciones  y  referir a derivaes normales a . En vista de que les condiciones satisfaen  y , esta resultancia simplifica a : 

Asina la función de Green describe la influencia de  y  en . Pal casu del interior d'una esfera de radiu , la función de Green puede llograse per mediu de la reflexón:Sommerfeld, 1949 el puntu de la fonte  a distancia  del centru de la esfera reflexar a lo llargo de la llinia radial al puntu  que ye nuna distancia :

Reparar que si  ta dientro de la esfera, entós  va tar fora de la esfera. La función de Green ta dada entós por 



onde  ye la distancia al puntu de la fonte  y  ye la distancia al puntu reflexáu . Una consecuencia d'esta espresión pa la función de Green ye la fórmula integral de Poisson. Sía , , y  les componentes de coordenaes esfériques del puntu de la fonte . Equí  ye l'ángulu cola exa vertical, que ye contraria a la notación matemática estauxunidense, pero cumple col estándar européu y la práutica de la Física. Entós la solución de la ecuación de Laplace dientro de la esfera ta dada por 

. 

onde



Una consecuencia simple d'esta fórmula ye que si  ye una función harmónica, el valor de  dientro de la esfera ye'l valor mediu de los valores sobre la esfera. Esta propiedá de valor mediu implica darréu que funciones harmóniques non constantes nun pueden tomar el so valor máximu nun puntu interior.

 Electrostática 

Nel espaciu llibre la ecuación de laplace de cualquier potencial electroestático ten de ser igual a cero yá que  (densidá de carga volumétrica) ye cero nel espaciu llibre.

A partir del gradiente del potencial llógrase'l campu llétricu

Tomando la diverxencia del campu llétricu llógrase la ecuación de Poisson, que rellaciona'l potencial llétricu cola densidá de carga

Nel casu particular del espaciu llibre () la ecuación de Poisson amenorgar a la de Laplace.

Usando'l teorema de la unicidá y amosando qu'un potencial satisfai la ecuación de Laplace (la segunda derivada de  tendría de ser cero nel espaciu llibre) y el potencial tien los valores correutos na contorna, el potencial entós ta unívocamente definíu.

Un potencial que nun satisfai la ecuación de Laplace xunto cola condición de contorna ye un potencial electroestático inválidu.

 Ver tamién 
 Ecuación de Poisson
 Función harmónica

 Referencies 

 Referencies 
 Ireneo Peral, Primer cursu d'ecuaciones en derivaes parciales, Capítulu 5: La ecuación de Laplace. El problema de Dirichlet. Departamentu de Matemátiques, Universidá Autónoma de Madrid, España.
  Universidá Nacional d'Inxeniería, Perú.
  Universidá de Navarra, España.
 L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
 I. G. Petrovsky, Partial Differential Equations, W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.
 A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
 A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, New York, 1949

Laplace, ecuacion
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