Ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger, desenvuelta pol físicu austriacu Erwin Schrödinger en 1925, describe la evolución temporal d'una partícula subatómica masiva de naturaleza ondulatoria y non relativista. Ye d'importancia central na teoría de la mecánica cuántica, onde representa pa les partícules microscópiques un papel análogu a la segunda llei de Newton na mecánica clásica. Les partícules microscópiques inclúin a les partícules elementales, tales como electrones, según sistemes de partícules, tales como nucleos atómicos.

 Ecuación 

 Ecuación dependiente del tiempu 
La forma de la ecuación de Schrödinger depende de la situación física. La forma más xeneral ye la ecuación dependiente del tiempu, que describe un sistema qu'evoluciona col tiempu:

onde  ye la unidá imaxinaria,  ye la constante de Planck estremada por , el símbolu  indica una derivada parcial con respectu al tiempu ,  (la lletra griega psi) ye la función d'onda del sistema cuánticu, y  ye'l operador Hamiltoniano (el cual caracteriza la enerxía total de cualquier función d'onda dada y tien distintes formes que dependen de la situación).

300px|thumb|right|Caúna de los trés files ye una función d'onda que satisfaen la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempu pa un oscilador harmónicu cuánticu. A la izquierda: La parte real (azul) y la parte imaxinaria (colloráu) de la función d'onda. A la derecha: La distribución de probabilidá de topar una partícula con esta función d'onda nuna posición determinada. Los dos files de riba son exemplos de estaos estacionarios, que correspuenden a ondes estacionaries. La fila de baxo ye un exemplu d'un estáu que non ye estacionariu. La columna de la derecha ilustra por qué l'estáu puede llamase "estacionariu".

L'exemplu más famosu ye la ecuación de Schrödinger non relativista pa una partícula simple moviéndose nun campu llétricu (pero non nun campu magnéticu; ver la ecuación de Pauli):

onde  ye la "masa amenorgada" de la partícula,  ye'l so enerxía potencial,  ye'l Laplaciano (un operador diferencial), y  ye la función d'onda (más precisamente, nesti contestu, denominar "función d'onda posición-espaciu"). Esto ye, significa que la "enerxía total ye igual a la enerxía cinética más la enerxía potencial".

Según los operadores diferenciales que s'utilicen, reparar que ye una ecuación diferencial en derivaes parciales llinial. Tamién ye un casu d'una ecuación d'espardimientu, pero non como la ecuación del calor, yá que tamién ye una ecuación d'onda dada por unidá imaxinaria presente nel términu de transitoriu.

El términu "ecuación de Schrödinger" puede referise a la ecuación xeneral (la primera de riba), o la versión específica non relativista (la segunda y les sos variantes). La ecuación xeneral usar en tola mecánica cuántica, dende la ecuación de Dirac hasta la teoría de campos cuánticos, por aciu l'usu d'espresiones complicaes pal Hamiltoniano. La versión non relativista específica ye un aproximamientu simplificáu a la realidá, que tien bastante precisión en munches situaciones, pero bien imprecisa en munches otres (ver mecánica cuántica relativista y teoría cuántica de campos relativista).

P'aplicar la ecuación de Schrödinger, utilizar pal sistema l'operador Hamiltoniano, tomáu en cuenta les enerxíes cinética y potencial de les partícules que constitúin el sistema, y depués inxertaes na ecuación de Schrödinger. La ecuación en derivaes parciales resultante resolver pa la función d'onda, que contién información avera del sistema.

 Ecuación independiente del tiempu 
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempu prediz que les funciones d'onda pueden tener la forma d'ondes estacionaries, denominaos estaos estacionarios (tamién llamaos "orbitales", como nos orbitales atómicos o los orbitales moleculares). Estos estaos son importantes, y si los estaos estacionarios clasifíquense y pueden entendese, entós ye más bono de resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempu pa cualesquier estáu. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempu ye la ecuación que describe los estaos estacionarios. (Solo utilízase cuando'l Hamiltoniano nun ye dependiente del tiempu. Sicasí, en cada unu d'estos casos la función d'onda total va siguir dependiente del tiempu.)

Esto ye, la ecuación diz que:
Cuando l'operador Hamiltoniano actúa sobre cierta función d'onda , y la resultancia ye proporcional a la mesma función d'onda , entós  ye un estáu estacionariu, y la constante de proporcionalidad, , ye la enerxía del estáu .
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempu, en terminoloxía d'álxebra llinial, ye una ecuación con autovalores.

Una conocida aplicación, ye la ecuación de Schrödinger non relativista pa una partícula simple moviéndose nun campu llétricu (pero non n'unu magnéticu):

 Orixe de la ecuación 

 Contestu históricu 
Al empiezu del sieglu XX comprobárase que la lluz presentaba una dualidá onda corpúsculu, esto ye, la lluz podía manifestase (según les circunstancies) como partícula (fotón nel efeutu fotoeléctricu), o como onda electromagnética na interferencia lluminosa. En 1923 Louis-Victor de Broglie propunxo xeneralizar esta dualidá a toles partícules conocíes. Propunxo la hipótesis, paradóxica nel so momentu, de qu'a toa partícula clásica microscópica puede asignáse-y una onda, lo cual comprobóse esperimentalmente en 1927 cuando se reparó la difraición d'electrones. Por analoxía colos fotones, De Broglie acomuña a cada partícula llibre con enerxía  y cantidá de movimientu  una frecuencia  y una llonxitú d'onda :

La comprobación esperimental fecha por Clinton Davisson y Lester Germer amosó que la llonxitú d'onda acomuñada a los electrones midida na difraición según la fórmula de Bragg corresponder cola llonxitú d'onda predicha pola fórmula de De Broglie.

Esa predicción llevó a Schrödinger a tratar d'escribir una ecuación pa la onda acomuñada de De Broglie que pa escales macroscópiques amenorgar a la ecuación de la mecánica clásica de la partícula. La enerxía mecánica total clásica ye:

L'ésitu de la ecuación, deducida d'esta espresión utilizando'l principiu de correspondencia, foi inmediatu pola evaluación de los niveles cuantificados d'enerxía del electrón nel átomu d'hidróxenu, pos ello dexaba esplicar l'espectru d'emisión del hidróxenu: series de Lyman, Balmer, Bracket, Paschen, Pfund, etc. 

La interpretación física correuta de la función d'onda de Schrödinger foi dada en 1926 por Max Born. En razón del calter probabilista que s'introducía, la mecánica ondulatoria de Schrödinger amenó primeramente la rocea de dellos físicos de sonadía como Albert Einstein, pa quien «Dios nun xuega a los dados» y del propiu Schrödinger.

 La derivación histórica 
L'esquema conceptual utilizáu por Schrödinger pa derivar la so ecuación reposa sobre una analoxía formal ente la óptica y la mecánica:

 Na óptica ondulatoria, la ecuación d'espardimientu nun mediu tresparente d'índiz real n variando amodo a la escala del llonxitú d'onda conduz —mientres se busca una solución monocromática onde l'amplitú varia bien amodo ante la fase— a una ecuación averada denomada eikonal. Ye l'aproximamientu de la óptica xeométrica, a la cual ta acomuñada'l principiu variacional de Fermat.
 Na formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, esiste una ecuación de Hamilton-Jacobi (que n'última instancia ye equivalente a les lleis de Newton). Pa una partícula masiva non relativista sometida a una fuercia que deriva d'una enerxía potencial, la enerxía mecánica total ye constante y la ecuación de Hamilton-Jacobi pa la función carauterística de Hamilton” paezse formalmente a la ecuación de la eikonal (el principiu variacional asociáu ye'l principiu de mínima aición.)

Esti paralelismu haber notáu yá Hamilton en 1834, pero'l nun tenía una razón pa duldar de la validez de la mecánica clásica. Dempués de la hipótesis de De Broglie de 1923, Schrödinger diz:Schrödinger alderica en detalle les rellaciones ente la mecánica hamiltoniana y la óptica en 1926 (vease bibliografía). Walter Moore; Schrödinger - Life & Thought, Cambridge University Press (1989). la ecuación de la eikonal siendo un aproximamientu a la ecuación d'onda de la óptica ondulatoria, buscamos la ecuación d'onda de la "mecánica ondulatoria" (a realizar) onde l'aproximamientu va ser la ecuación de Hamilton-Jacobi. Lo que falta, primero pa una onda estacionaria (Y = cte), dempués pa una onda de cualquier tipu.Esta derivación detallar en: Herbert Goldstein; Classical mechanics, Addison-Wesley (2.da edición-1980), párrafu 10.8, páxs. 484-492.

Schrödinger había n'efeutu empezáu per tratar el casu d'una partícula relativista —como de Broglie primero qu'él—.Abraham Païs; Inward Bound, Oxford University Press (1986). Entós llograra la ecuación conocida güei día col nome de Klein-Gordon, pero la so aplicación al casu del potencial llétricu del átomu d'hidróxenu daba unos niveles d'enerxía incompatibles colos resultaos esperimentales.La fórmula de Balmer llograda ye correuta, pero la estructura fina ye incorreuta. Ello va faer que se concentre sobre'l casu non-relativista, col ésitu conocíu.

 Interpretación estadística de la función d'onda 
A principios de la década de 1930 Max Born que trabayara xunto con Werner Heisenberg y Pascual Jordan nuna versión de la mecánica cuántica basada nel formalismu matricial alternativa a la de Heisenberg apreció que la ecuación de Schrödinger complexa tien una integral de movimientu dada por  que podía ser interpretada como una densidá de probabilidá. Born dio-y a la función d'onda una interpretación probabilística distinta de la que De Broglie y Schrödinger diéren-y, y por esi trabayu recibió'l premiu Nobel en 1954. Born yá apreciara nel so trabayu por aciu el formalismu matricial de la mecánica cuántica que'l conxuntu d'estaos cuánticos llevaba de manera natural a construyir espacios de Hilbert pa representar los estaos físicos d'un sistema cuánticu.

D'esi manera abandonó l'enfoque de la función d'onda como una onda material, y pasó a interpretase de manera más astracta como una amplitú de probabilidá. Na moderna mecánica cuántica, el conxuntu de tolos estaos posibles nun sistema describir por un espaciu de Hilbert complexu y xebrable, y cualquier estáu instantáneu d'un sistema describir por un "vector unitariu" nesi espaciu (o más bien una clase d'equivalencia de vectores unitarios). Esti "vector unitariu" codifica les probabilidaes de los resultaos de toles posibles midíes feches al sistema. Como l'estáu del sistema xeneralmente camuda col tiempu, el vector tao ye una función del tiempu. Sicasí, tien de recordase que los valores d'un vector d'estáu son distintos pa distintes llocalizaciones, n'otres pallabres, tamién ye una función de x (o, tridimensionalmente, de r). La ecuación de Schrödinger da una descripción cuantitativa de la tasa de cambéu nel vector tao.

 Formulación moderna de la ecuación 
En mecánica cuántica, l'estáu nel intre t d'un sistema describir por un elementu  del espaciu complexu de Hilbert — usando la notación bra-ket de Paul Dirac. Les probabilidaes de resultaos de toles midíes posibles d'un sistema pueden llograse a partir de . La evolución temporal de  describir pola ecuación de Schrödinger :

onde 
 : ye la unidá imaxinaria ;
 : ye la constante de Planck normalizada (h/2π) ;
 : ye'l hamiltoniano, dependiente del tiempu polo xeneral, el observable correspuende a la enerxía total del sistema ;
 : ye l'observable posición ;
 : ye l'observable impulso.
 : ye la enerxía potencial

Como cola fuercia na segunda llei de Newton, la so forma exacta nun da la ecuación de Schrödinger, y hai de ser determinada independientemente, a partir de les propiedaes físiques del sistema cuánticu.

Tien De notase que, contrariamente a les ecuaciones de Maxwell que describen la evolución de les ondes electromagnétiques, la ecuación de Schrödinger ye non relativista. Nótese tamién qu'esta ecuación nun se demuestra: ye un postuláu. Supónse correuta dempués de que Davisson y Germer confirmaron esperimentalmente la hipótesis de Louis de Broglie.

Pa más información del papel de los operadores en mecánica cuántica, vease la formulación matemática de la mecánica cuántica.

 Llimitaciones de la ecuación 
 La ecuación de Schrödinger ye una ecuación non relativista que namái puede describir partícules que'l so momentu llinial seya pequeñu comparáu cola enerxía en reposu estremada pola velocidá de la lluz (de nun cumplise esta condición tien d'allegase a una ecuación relativista como la d'ecuación de Dirac o la de Klein-Gordon).
 Amás, la ecuación de Schrödinger nun incorpora'l espín de les partícules afechiscamente. Pauli xeneralizó llixeramente la ecuación de Schrödinger al introducir nella términos que predicíen correutamente l'efeutu del espín; la ecuación resultante ye la ecuación de Pauli.
 Más tarde, Paul Dirac, apurrió l'agora llamada ecuación de Dirac que non yá incorporaba'l espín pa fermiones de espín 1/2, sinón qu'introducía los efeutos relativistes.

 Resolución de la ecuación 
La ecuación de Schrödinger, al ser una ecuación vectorial, puede reescribise de manera equivalente nuna base particular del espaciu d'estaos. Si escuéyese por casu la base xeneralizada  correspondiente a la representación de posición definida por:

Entós la función d'onda  satisfai la ecuación siguiente:

Onde  ye'l laplaciano. D'esta forma vese que la ecuación de Schrödinger ye una ecuación en derivaes parciales na qu'intervienen operadores lliniales, lo cual dexa escribir la solución xenérica como suma de soluciones particulares. La ecuación ye ,na gran mayoría de los casos, demasiáu complicada p'almitir una solución analítica de forma que'l so resolución facer de manera averada y/o numbérica.

Nótese que la función d'onda definida asina, pa estaos amestaos siempres puede interpretase como un elementu del espaciu de Hilbert complexu y xebrable , anque para estaos de choque o non amestaos ye necesariu allegar a espacios de Hilbert forníos pa un tratamientu rigorosu.

 Busca de los estaos propios 
Los operadores qu'apaecen na ecuación de Schrödinger son lliniales; de lo que se deduz que toa combinación llinial de soluciones ye solución de la ecuación. Esto lleva a favorecer la busca de soluciones que tengan un gran interés teóricu y práuticu: al saber los estaos que son propios del operador hamiltoniano. Estos estaos, denominaos estaos estacionarios, son les soluciones de la ecuación d'estaos y valores propios, 
denomada davezu ecuación de Schrödinger independiente del tiempu. L'estáu propiu  ta acomuñáu al valor propiu , esguilar real que correspuende cola enerxía de la partícula en dichu estáu. 

Los valores de la enerxía pueden ser discretos como les soluciones amestaes a un pozu de potencial (por casu nivel del átomu d'hidróxenu); resultando una cuantización de los niveles d'enerxía. Estes pueden corresponder tamién a un espectru continuu como les soluciones llibres d'un pozu de potencial (por casu un electrón que tenga l'abonda enerxía p'alloñar al infinitu del nucleu d'átomu d'hidróxenu).

De cutiu llógrase que numberosos estaos  correspuenden a un mesmu valor de la enerxía: falamos entós de niveles d'enerxía dexeneraos.

De manera xeneral, la determinación de cada unu de los estaos propios del hamiltoniano, , y de la enerxía acomuñada, da l'estáu estacionariu correspondiente, solución de la ecuación de Schrödinger :

Una solución de la ecuación de Schrödinger puede entós escribise xeneralmente como una combinación llinial de tales estaos:

Según los postulaos de la mecánica cuántica, 
 l'esguilar complexu  ye l'amplitú del estáu  sobre l'estáu  ;
 el real  ye la probabilidá (nel casu d'un espectru discretu) d'atopar la enerxía  mientres se fai una midida de la enerxía sobre'l sistema.

 Rareza d'una solución analítica exacta 
La busca d'estaos propios del hamiltoniano ye polo xeneral complexa. Inclusive nel casu resoluble analíticamente del átomu d'hidróxenu solo ye rigorosamente resoluble de forma simple si refúgase'l acoplamientu col campu electromagnético que dexa'l pasu a los estaos escitaos, soluciones de la ecuación de Schrödinger del átomu, dende'l nivel fundamental.

Dellos modelos simples, anque non del tou conformes cola realidá, pueden ser resueltos analíticamente y son bien útiles. Estes soluciones sirven pa entender meyor la naturaleza de los fenómenos cuánticos, y n'ocasiones son un aproximamientu razonable al comportamientu de sistemes más complexos (en mecánica estadística avérense les vibraciones moleculares como osciladores harmónicos). Exemplos de modelos: 
 La partícula llibre (potencial nulu) ;
 La partícula nuna caxa
 Un fexe de partícula incidiendo sobre una barrera de potencial 
 La partícula nun aniellu
 La partícula nun potencial de simetría esférica
 El oscilador harmónicu cuánticu (potencial cuadrático) 
 El átomu d'hidróxenu (potencial de simetría esférica)
 La partícula nuna rede monodimensional (potencial periódicu)

Nos otros casos, hai qu'usar téuniques d'aproximamientu :
 La teoría perturbacional da espresiones analítiques na forma de desarrollos asintóticos alredor d'un problema ensin-perturbaciones que seya resoluble esautamente.
 El analís numbéricu dexa esplorar casos inaccesibles a la teoría de perturbaciones.
 El métodu variacional
 Les soluciones de Hartree-Fock
 Los métodos cuánticos de Montecarlu

 Llende clásica de la ecuación de Schrödinger 
Primeramente la ecuación de Schrödinger consideróse a cencielles como la ecuación de movimientu d'un campu material que s'arrobinaba en forma d'onda. De fechu puede trate que na llende clásica, cuando  la ecuación de Schrödinger amenorgar a la ecuación clásica de movimientu en términos d'aición o ecuación de Hamilton-Jacobi. Pa ver esto, vamos trabayar cola función d'onda típica que satisfaiga la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempu que tenga la forma:

Onde  ye la fase de la onda si se substituye esta solución na ecuación de Schrödinger dependiente del tiempu, en reordenando los términos convenientemente, llegar a que:

Si toma la llende  el segundu miembru sume y tenemos que la fase de la función d'onda coincide cola magnitú d'aición y esta magnitú puede tomase como real. Igualmente yá que la magnitú d'aición ye proporcional a la masa d'una partícula  puede trate que pa partícules de masa grande'l segundu miembru ye muncho más pequeñu que'l primeru:

Y, por tanto, pa partícules macroscópiques, dada la pequeñez de la constante de Planck, los efeutos cuánticos resumíos nel segundu miembru anúlense, lo cual esplica porqué los efeutos cuánticos namái son apreciables a escales subatómiques.

Acordies con el principiu de correspondencia les partícules clásiques de gran masa, comparada cola escala cuántica, son partícules alcontraes describibles por aciu un paquete d'ondes altamente alcontráu que se mueve pel espaciu. La llonxitú d'onda de les ondes que conformaben dichu paquete material tán en redol al llargor de De Broglie pa la partícula, y la velocidá de grupu del paquete coincide cola velocidá del movimientu de la partícula lo que reconcilia la naturaleza corpuscular reparada en ciertos esperimentos cola naturaleza ondulatoria reparada pa partícules subatómiques.

 Formulación matricial 
Esiste una formulación matricial de la mecánica cuántica, en dicha formulación esiste una ecuación que la so forma ye esencialmente la mesma que la de les ecuaciones clásiques del movimientu, dicha ecuación ye:

D'esta ecuación ye posible deducir la segunda llei de Newton, resolviendo pal operador . N'efeutu tiense 
evaluando'l conmutador deduzse Ecuación|

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Nun ye difícil demostrar que  y, por tanto, llógrase:

onde s'usó . Esta resultancia ye análogu al de la mecánica clásica, pa una ecuación asemeyada qu'arreya los corchetes de Poisson, entá más, esta ecuación ye xustamente la formulación Newtoniana de la mecánica.

 Ver tamién 
 Gatu de Schrödinger

 Notes 

 Referencies 

 Bibliografía 

 . Reedición Jacques Gabay (1988). Contién la traducción al francés de Alexandre Proca de les memories históriques de 1926 :
 Cuantificación y valores propios (I) y (II), Annalen der Physik (4) 79 (1926) [] y [] (n'alemán);
 Sobre la comparanza ente la mecánica cuántica de Heisenberg-Born-Jordan y la mía, Annalen der Physik (4) 79 (1926) [] (n'alemán);
 Cuantificación y valores propios (III) - Teoría de les perturbaciones con aplicación del efeutu Stark a les rayes de Balmer, Annalen der Physik (4) 80 (1926) [] (n'alemán);
 Cuantificación y valores propios (IV), Annalen der Physik (4) 81 (1926) [] (n'alemán);
 Sobre l'efeutu Compton, Annalen der Physik (4) 82(1927) [] (n'alemán);
 El teorema del caltenimientu de la enerxía y la cantidá de movimientu pa les ondes materiales, Annalen der Physik (4) 82 (1927) [] (n'alemán);
 Intercambios d'enerxía según la mecánica ondulatoria, Annalen der Physik (4) 83 (1927)[] (n'alemán).









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