Elementos d'Euclides

Los Elementos d'Euclides (en griegu:  , /stoicheia/) y conocíu como xeometría euclidiana; en griegu: Ευκλειδης Γεωμετρια) ye un tratáu matemático y xeométrico que se compón de trece libros, escritu pol matemáticu griegu Euclides cerca del 300 e.C.  en Alexandría.

 Historia 

Anque la obra yera conocida en Bizanciu, yera desconocida n'Europa Occidental hasta contorna de 1120, cuando'l monxu inglés Adelardo de Bath traducir al Llatín a partir d'una traducción Árabe. En 1482, Erhard Ratdolt realizó en Venecia la primer impresión llatina de la obra. 

Los Elementos ye consideráu unu de los llibros de testu más sopelexáu na hestoria y el segundu en númberu d'ediciones publicaes dempués de la Biblia (más de 1000). Mientres dellos sieglos, el quadrivium taba incluyíu nel temariu de los estudiantes universitarios, y esixíase la conocencia d'esti testu. Entá güei utilízase por dellos educadores como introducción básica de la xeometría. 

Nestos trelce volúmenes Euclides arrexunta gran parte del saber matemáticu de la so dómina, representaos nel sistema axomáticu conocíu como Postulaos de Euclides, que d'una forma senciella y lóxica dan llugar a la Xeometría euclidiana.

 Principios fundamentales 
Nel primer llibru, Euclides desenvuelve 48 proposiciones a partir de 23 definiciones (como puntu, llinia y superficie), 5 postulaos y 5 nociones comunes (axomes). Ente estes proposiciones atopa la primer demostración xeneral conocidaCarlos Dorce Polu, Història de la matemàtica. Des de Mesopotàmia al Renaixement, (Universitat de Barcelona. Publicacions i Edicions, 1ª ed., 1ª imp.(03/2013)) del teorema de Pitágoras.

Les nociones comunes de Los Elementos son:

 Coses iguales a una mesma cosa son iguales ente sigo.
 Si añaden iguales a iguales, los toos son iguales.
 Si sustraer iguales a iguales, los restos son iguales.
 Les coses que coinciden una con otra son iguales ente sigo.
 El tou ye mayor que la parte.

Los postulaos de Los Elementos son:
 Una llinia recta pue ser dibuxada xuniendo dos puntos cualesquier. 
 Un segmentu de llinia recta puede estendese indefinidamente nuna llinia recta.
 Dau un segmentu de llinia recta, puede dibuxase un círculu con cualquier centru y distancia.
 Tolos ángulos rectos son iguales ente sigo.
 Postuláu de les paraleles. Si una llinia recta curtia a otros dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mesmu llau seya menor que dos rectos, les otres dos rectes córtense, al enllargales, pel llau nel que tán los ángulos menores que dos rectos. 

Esti postreru postuláu tien un equivalente, que ye'l más usáu nos llibros de xeometría:
 Por un puntu esterior a una recta, puede trazase una única paralela 

Cabo señalar qu'esti ye'l postuláu que fai que la xeometría seya euclidiana. Negándolo llógrense les xeometríes non-euclidianes.

Estos principios básicos reflexen l'interés de Euclides pola xeometría constructiva, al igual que los matemáticos griegu y helenísticu contemporáneos.

 Conteníu 

A pesar de tratase d'un trabayu sobre xeometría, el llibru inclúi resultaos que güei se pueden clasificar dientro de la teoría de los númberos. Euclides decide describir los resultaos en teoría de númberos dientro de la xeometría porque nun pudo desenvolver un aproximamientu constructivu a l'aritmética.

El conteníu de los llibros ye'l siguiente:

 Llibros 1 al 4 traten sobre xeometría plana.
 Llibros 5 al 10 traten sobre razones y apurras.
 Llibros 11 al 13 traten sobre xeometría de los cuerpos sólidos.

 Elementos d'Euclides / Definiciones (Llibru primeru) 
 Un puntu ye lo que nun tien partes. 
 Una llinia ye un llargor ensin anchor. 
 Los estremos d'una llinia son puntos. 
 Una llinia recta ye aquella que xaz por igual respectu de los puntos que tán nella. 
 Una superficie ye lo que solo tien llargor y anchor. 
 Los estremos d'una superficie son llinies. 
 Una superficie plana ye aquella que xaz por igual respectu de les llinies que tán nella. 
 Un ángulu planu ye l'enclín mutuu de dos llinies que s'atopen una a otra nun planu y nun tán en llinia recta. 
 Cuando les llinies qu'entienden el ángulu son rectes, l'ángulu llámase rectilliniu. 
 Cuando una recta llevantada sobre otra recta forma ángulos axacentes iguales ente sigo, cada unu de los ángulos iguales ye rectu y la llevantada llámase perpendicular a aquel sobre la que ta. 
 Ángulu obtusu ye'l mayor qu'un rectu. 
 Ángulu agudu ye'l menor qu'un rectu. 
 Una llende ye aquello que ye estremu de daqué. 
 Una figura ye lo contenío por unu o delles llendes. 
 Un círculu ye una figura plana entendida por una llinia tal que toles rectes cayen sobre ella dende un puntu de los que tán dientro de la figura son iguales ente sigo. 
 El puntu llámase'l «centru» del círculu. 
 Un diámetru del círculu ye una recta cualesquier trazada al traviés del centru y llindáu en dambos sentíos pola circunferencia del círculu, recta que tamién estrema'l círculu en dos partes iguales. 
 Un semicírculu ye la figura entendida ente'l diámetru y la circunferencia por él cortada. Y el centru del semicírculu ye'l mesmu que'l del círculu. 
 Figures rectillinies son les entendíes por rectes, triláteras les entendíes por 3, cuadriláteras les entendíes por 4, multiláteras les entendíes por más de 4 rectes. 
 Ente les figures triláteras, el triángulu equilláteru ye la que tien los trés llaos iguales, triángulu isósceles la que tien dos llaos iguales, y el triángulu escalenu la que tien los trés llaos desiguales. 
 Ente les figures triláteras, triángulu rectángulu ye la que tien un ángulu rectu, obtusángulo la que tien un ángulu obtusu, acutángulo la que tien los trés llaos agudos. 
 D'ente les figures cuadriláteras, cuadráu ye la que ye equillátera y rectangular, rectángulu la que ye rectangular pero non equillátera, rombu la que ye equillátera pero non rectangular, romboide la que tien los ángulos y los llaos opuestos iguales ente sigo, pero nun ye equillátera nin rectangular; y trapecius les demás figures cuadriláteras. 
 Son rectes paraleles les que tando nel mesmu planu y siendo enllargáu indefinidamente en dambos sentíos, nun s'atopen una a otra en nengún d'ellos.

 Elementos d'Euclides / Postulaos (Llibru primeru) 

 Postúlese'l trazar una llinia recta dende un puntu cualesquier hasta un puntu cualesquier. 
 Y el enllargar de cutio una recta finita en llinia recta. 
 Y el describir un círculu con cualquier centru y distancia. 
 Y el ser tolos ángulos rectos iguales ente sigo. 
 Y que si una recta al incidir sobre 2 rectes fai los ángulos internos del mesmu llau menores que dos rectos, los dos rectes enllargaes indefinidamente van atopase nel llau nel que tán los menores que dos rectos.

 Ver tamién 
 Postulaos de Euclides
 Xeometría euclidiana
 Llibru II de los Elementos d'Euclides
 Teorema del ángulu esterior

 Referencies 

 Bibliografía 


 Enllaces esternos 

 Testu español nel sitio Euclides. 
 Testu  catalán nel mesmu sitiu.
 Testu francés, con anotaciones nesti idioma, nel sitio de Philippe Remacle (1944 - 2011); trad. de François Peyrard (1759 ó 1760 - 1822). Ed. de 1804, en París.
 Llibros: 1; 2; 3; 4; 6; 11; 12.
 Testu inglés.
 Testu griegu, con índiz electrónicu, nel Proyeutu Perseus. 
 Testu griegu en Wikisource.
 Testu griegu  con índiz electrónicu: facsímil dixitalizáu del MS D'Orville 301, de la Biblioteca Bodleiana.

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