Cálculu multivariable

El cálculu multivariable (o cálculu en delles variables) nun ye más que la estensión del cálculu infinitesimal a funciones angulares y vectoriales de delles variables.

 Cálculu diferencial en campos angulares y vectoriales 

 Funciones de Rn en Rm. Campos angulares y vectoriales 

Vamos Formular les definiciones pa campos vectoriales. Tamién van ser válides para campos angulares. Sía :
un campu vectorial que fai corresponder a tou puntu P definíu biunívocamente pol so vector posición un vector  onde'l puntu O ye'l nuesu orixe de coordenaes.
 con  y . Cuando  tenemos un campu angular. Pa  tenemos un campu vectorial. Vamos Utilizar la norma euclídea pa topar la magnitú de los vectores.

 Llendes y continuidá 

Sean  y  Escribimos:

, :

o bien, :

 cuando 

pa espresar lo siguiente:

onde  ye la norma euclídea de .
Espresándolo en función de les componentes de 

o, de forma equivalente, :

 Derivaes direccionales 

 Derivada d'un campu angular al respective de un vector 

thumb

 Derivaes parciales 

Si derivamos la espresión anterior al respective de una segunda variable, , vamos tener . Na práutica, vamos calcular  derivando al respective de  y suponiendo  constante.

 La diferencial 

 Definición de campu angular diferenciable 

L'anterior ecuación ye la fórmula de Taylor de primer orde pa .

 Teorema d'unicidá de la diferencial 

 Regla de la cadena 

 Diferencial d'un campu vectorial 

Espresando  en función de los sos componentes, tenemos 

Esta ye la fórmula de Taylor de primer orde pa .
La matriz de  ye'l so matriz jacobiana.

 Diferenciabilidad implica continuidá 

Deduzse fácilmente de la fórmula de Taylor de primer orde yá vista.

 Regla de la cadena pa diferenciales de campos vectoriales 

 Condición abonda pa la igualdá de les derivaes parciales mistes 

 Aplicaciones del cálculu diferencial 

 Cálculu de máximos, mínimos y puntos de ensilladura pa campos angulares 

Pa saber si ye unu de los casos anteriores:
 Llogramos 
 Llogramos la matriz hessiana de f. Sía esta .
  ye definida positiva  tien un mínimu local (mínimu relativu) en .
  ye definida negativa  tien un máximu local (máximu relativu) en .
  ye indefinida  tien un puntu de ensilladura en .

No enantes espuesto, supunximos que  ye continua 

 Ver tamién 

 Función diferenciable
 Campu angular
 Campu vectorial
 Gradiente
 Diverxencia
 Rotacional
 Integral de llinia
 Integral de superficie
 Integral múltiple
 Multiplicadores de Lagrange

 Referencies 

 Apostol, Tom M., Calculus, volume 2, editorial reverté, S. A., ISBN 84-291-5003-X

Categoría:Cálculu multivariable