Cálculu tensorial

En matemátiques y en física, un tensor ye cierta clase d'entidá alxebraica de dellos componentes, que xeneraliza los conceutos d'escalar, vector y matriz d'una manera que seya independiente de cualesquier sistema de coordenaes escoyíu. D'equí p'arriba vamos utilizar el conveniu de sumación d'Einstein.

Una vegada escoyida una base vectorial, les componentes d'un tensor nuna base van venir daes por una multimatriz. L'orde d'un tensor va ser el númberu d'índices necesariu pa especificar ensin ambigüedá una componente d'un tensor: un esguilar va ser consideráu como un tensor d'orde 0; un vector, un tensor d'orde 1; y dada una base vectorial, los tensores de segundu orde pueden ser representaos por una matriz.

 Historia 
La pallabra "tensor" utilízase de cutiu como abreviatura de campu tensorial, que ye un valor tensorial definíu en cada puntu nuna variedá. El primeru n'utilizar esta pallabra foi William Rowan Hamilton en 1846, emplegándola para lo qu'anguaño se conoz como módulu y foi Woldemar Voigt en 1899 quien la emplegó na so acepción actual. La pallabra tensor provién del llatín tensus, participiu pasáu de tendere 'espurrir, estender'. El nome estendióse porque la teoría de la elasticidá foi una de les primeres aplicaciones físiques onde s'usaron tensores.

Gregorio Ricci-Curbastro en 1890 desenvolvió la notación actual col nome de xeometría diferencial absoluta, y popularizóse cola publicación de Cálculu Diferencial Absolutu de Tullio Levi-Civita en 1900. Cola introducción de la teoría de la relatividá xeneral per parte d'Albert Einstein alredor de 1915 atopóse la so aplicación más pragmática. La relatividá xeneral ye netamente tensorial. Einstein aprendiera del mesmu Levi-Civita l'usu de tensores con gran dificultá.

 Carauterístiques y usu 
Les cantidaes xeométriques y físiques pueden ser categorizadas considerando los graos de llibertá inherentes a la so descripción. Les cantidaes esguilares son les que pueden representase por un solu númberu, por casu masa y temperatura. Hai tamién cantidaes tipo vector, por casu fuercia, que riquen una llista de númberos pa la so descripción. Finalmente, les cantidaes tales como formes cuadráticas riquen naturalmente una matriz con índices múltiples pa la so representación. Estes últimes cantidaes pueden concebise solamente como tensores. 

Realmente, la noción tensorial ye absolutamente xeneral. Esguilar y los vectores son casos particulares de tensores. La propiedá qu'estrema un esguilar d'un vector, y estrema dambos d'una cantidá tensorial más xeneral ye'l númberu d'índices na matriz de la representación. Esti númberu llámase rangu d'un tensor. Asina, esguilar son los tensores de rangu cero (ensin índices), y los vectores son los tensores de rangu unu.

 Usu de tensores 
Non toles rellaciones na naturaleza son lliniales, pero la mayoría ye diferenciable y asina pueden averase llocalmente con sumes de funciones multilineales. Asina la mayoría de les magnitúes en física pueden espresase como tensores. 

Un exemplu simple ye la descripción d'una fuercia aplicao al movimientu d'una nave na agua. La fuercia ye un vector, y la nave va responder con una aceleración, que ye tamién un vector. L'aceleración polo xeneral nun va tar na mesma direición que la fuercia, por cuenta de la forma particular del cuerpu de la nave. Sicasí, resulta que la rellación ente la fuercia y l'aceleración ye llinial. Tal rellación ye descrita por un tensor del tipu (1, 1), esto ye, que tresforma un vector n'otru vector. El tensor puede representase como una matriz que cuando ye multiplicada por un vector, dea llugar a otru vector. Según los númberos que representen un vector van camudar si unu camuda'l conxuntu de coordenaes, los númberos na matriz que representa'l tensor tamién van camudar cuando se camude'l conxuntu de coordenaes. 

Na inxeniería, les tensiones nel interior d'un sólidu ríxidu o líquidu tamién son descrites por un tensor. Si un elementu superficial particular dientro del material escuéyese, el material nun llau de la superficie va aplicar una fuercia nel otru llau. Polo xeneral, esta fuercia nun va ser ortogonal a la superficie, sinón que va depender de la orientación de la superficie d'una manera llinial. Esto ye descritu por un tensor del tipu (2, 0), o más esautamente per un campu tensorial del tipu (2, 0) yá que les tensiones pueden camudar puntu a puntu. 

Dellos exemplos bien conocíos de tensores en xeometría son les formes cuadráticas, y el tensor de combadura. Dellos exemplos de tensores físicos son el tensor d'enerxía-momento, el tensor de polarización y el tensor dieléctricu.

 Conceutos básicos 
Nun sentíu práuticu un tensor ye oxetu matemáticu representáu por un ciertu conxuntu de componentes. Pa definir un tensor ye necesariu partir d'un espaciu físicu o variedá diferenciable que define cuál ye l'espaciu vectorial base V sobre'l que se van construyir tensores de distintu tipu y orde. En mecánica clásica por casu l'espaciu ye , anque na teoría de la relatividá especial l'espaciu base ye isomorfu a  y na teoría xeneral de la relatividá ye l'espaciu tanxente a una variedá lorentziana de cuatro dimensiones. En matemátiques lo más avezáu ye construyir la teoría sobre una variedá riemanniana o variedá pseudoriemanniana n-dimensional.

 Tratamientu clásicu de los tensores 
L'enfoque clásicu visualiza los tensores como "matrices" d'orde cimeru que son xeneralizaciones n-dimensionales d'esguilar, vectores de 1 dimensión y matrices de 2 dimensiones. Nesti enfoque los númberos reales qu'apaecen en diches "matrices" son les componentes del tensor nuna base concreta. Magar pa los casos práuticos esta manera de representación puede ser bien intuitivu enzanca la manipulación formal pa otros fines menos práuticos.

Les "componentes" tensoriales son los índices del arreglu. Esta idea puede ser xeneralizada entá más a los campos tensoriales, onde los elementos del tensor son funciones, o inclusive diferenciales. La teoría del campu tensorial puede vese, grosso modo, nesti enfoque, como otra estensión de la idea del jacobiano.

 Enfoque modernu 
L'enfoque modernu visualiza los tensores primeramente como oxetos astractos, construyíos sobre espacios vectoriales astractos, nos que se define un productu tensorial que dexa construyir estructures típiques del álxebra multilineal. Les sos propiedaes bien conocíes pueden derivase de les sos definiciones, como funciones lliniales o inclusive más xenerales; y les regles pa les manipulaciones de tensores preséntense como estensión del álxebra llinial al álxebra multilineal. 

Esti tratamientu sustituyó en gran parte'l tratamientu basáu en componentes pal estudiu avanzáu, a la manera en que'l tratamientu llibre de componentes más modernu de vectores substituye el tratamientu basáu en componentes tradicional anque'l tratamientu basáu en componentes utilizárase p'apurrir una motivación elemental pal conceutu d'un vector. Podría dicise que'l lema ye 'tensores son elementos d'un ciertu espaciu tensorial'.

L'enfoque modernu ta más estrechamente acomuñáu al tratamientu que los matemáticos fixeron del cálculu tensorial nel que les notaciones xeneralmente representen l'oxetu tensorial y secundariamente les componentes. Esto oldea col tratamientu clásicu de los tensores nes ciencies físiques que suel representar los tensores por aciu los sos componentes y enfatiza enforma les propiedaes acomuñaes al tresformamientu de coordenaes al pasar d'un sistema de referencia a otru, o cuando se camuden les coordenaes.

 Definición de tensor 
Hai delles maneres de definir un tensor, que resulten n'enfoques equivalentes:
 la manera clásica, forma avezada en física de definir los tensores, en términos d'oxetos que los sos componentes tresformar baxu cambeos de coordenaes según ciertes regles, introduciendo la idea de tresformamientos covariantes o contravariantes.
 la manera avezada de la matemática, qu'implica definir ciertos espacios vectoriales definíos a partir d'un espaciu vectorial dau, ensin afitar cualesquier conxuntos de coordenaes hasta que les bases introducir por necesidá. Esisten dos definiciones d'esti tipu:
 La de tensores como aplicaciones multilineales, que nos obliga a usar el dual d'un espaciu vectorial.
 La qu'usa una operación definida axiomáticamente llamada productu tensorial d'espacios vectoriales.

 Definición clásica 
Los físicos especialmente en tratamientos informales de los tensores, consideren qu'un tensor ye a cencielles una magnitú física multi-índiz dada por un conxuntu de númberos reales o "componentes" del tensor que se tresformen de "manera fayadiza". Esto ye, si nun determináu sistema de referencia  una magnitú tensorial ta dada por un conxuntu de componentes  al camudar a un sistema de referencia distinta  va tener componentes con valores numbéricos distintos  siendo la rellación ente les componentes de la magnitú n'unu y otru sistema de referencia la siguiente:

onde na última espresión usóse'l conveniu de sumación d'Einstein y amás:
 ye la matriz del cambéu de base de coordenaes
 ye la matriz del cambéu de base inversu, que ye la matriz trespuesta de l'anterior.
Les magnitúes esguilares de la física polo xeneral son tensores d'orde cero, y dellos de los tensores físicos importantes (tensor d'inercia, tensor de tensiones, etc.) son tensores de segundu orde.

 Como aplicación multilineal 
Dau un espaciu vectorial  de dimensión  sobre un cuerpu , recordemos que'l so espaciu dual  ye'l conxuntu de toles aplicaciones lliniales . L'espaciu dual ye un espaciu vectorial de la mesma dimensión que .
vamos referinos de normal a los elementos de  y de  como vectores y covectores, respeutivamente.

Un tensor ye una aplicación multilineal, esto ye, una aplicación llinial en cada unu de los sos argumentos, de la forma:

D'esta miente, un tensor  acomuña cada  covectores  y  vectores , un esguilar

Llamamos tipu del tensor al par .

 Usando productu tensorial d'espacios vectoriales 
Nel enfoque más matemáticu del cálculu tensorial considérase un espaciu vectorial V y considérase el so espaciu dual V*. Si  ye una base del espaciu vectorial V y  la correspondiente base dual de V*, constrúyese l'espaciu vectorial productu de r copies de V y s copies de V*, esto ye,  o productu tensorial d'espacios vectoriales. Un tensor ye un elementu de dichu espaciu vectorial:

Les propiedaes de tresformamientu de los tensores siguir de les propiedaes de tresformamientu de los vectores de la base de manera trivial.

 Exemplos de tensores de distintu orde 
A los tensores puede clasificar pol so orde, ye dicir el númberu de componentes que rique pa ser descritu. Polo xeneral, si n ye la dimensión del tensor (dimensión del espaciu vectorial sobre'l que se constrúi) y r+s l'orde, un tensor rique de  componentes pa ser descritu.

 Tensores d'orde cero: esguilares 
Como se dixo enantes, un esguilar ye una cantidá que rique solo un númberu real en cualquier sistema de coordenaes pa ser descritu. Ye dicir ye invariante ante cualquier cambéu de coordenaes en cualquier sistema. D'esta manera si  ye un esguilar nun sistema de coordenaes y  ye'l mesmu esguilar n'otru sistema de coordenaes entós  
Un esguilar ye un tensor d'orde cero porque rique un solu númberu pa ser descritu: .

 Tensores d'orde unu: vectores y covectores 
Polo xeneral, un vector rique n componentes pa ser descritu. Nun espaciu tridimensional, un vector definir por aciu trés componentes. El tresformamientu de coordenaes d'un vector d'un espaciu a otru realízase por aciu una tresformamientu llinial. D'esta manera, un vector ye un tensor d'orde unu porque rique n númberos pa definilo.

Si tenemos un vector espresáu polos sos componentes  nun sistema y  n'otru sistema, el tresformamientu de coordenaes por que'l vector calténgase invariante puede espresase:

onde  ye'l cosenu del ángulu ente l'i-ésimo exa de coordenaes y el k-ésimo.

 Tensores d'orde dos: matrices y formes cuadráticas 
Siguiendo la mesma lóxica, el siguiente elementu ye'l que rique x componentes pa ser descritu. Denominar tensor d'orde dos al oxetu, de normal representáu por una matriz nxn, que representáu nun sistema de coordenaes como  el so tresformamientu invariante n'otru sistema con componentes  ye:

onde  ye'l cosenu del ángulu ente l'i-ésimo exa d'un sistema col l-ésimo exa del otru sistema.

 Tensores d'orde m xeneralizaos 

Finalmente, la xeneralización de los tipos anteriores vien dada por un elementu que precisa  coordenaes pa ser especificáu. Como xeneralización de los tresformamientos anteriores tenemos:

onde  son les componentes del tensor nun sistema de coordenaes,  son les componentes del mesmu tensor n'otros coordenaes y los  son los cosenos de los ángulos ente los -ésimos exes del un sistema y los -ésimos nel otru sistema.

 Notación y nomenclatura 

 Covarianza y contravarianza 

El conceutu de covarianza y contravarianza ta enraigonáu na descripción d'un elementu en dos sistemes de coordenaes. Pa simplificar la so descripción puede tomase un vector nun espaciu tridimensional. La posición d'un puntu arbitrariu nesti espaciu puede ser espresáu en términos de trés coordenaes  y si  ye'l vector posición d'esi puntu entós en P esisten dos conxuntos de vectores base:
 y  onde 

Polo xeneral, estos vectores nun son unitarios nin formen una base ortogonal. Sicasí los conxuntos  y  son sistemes recíprocos de vectores y por eso:

Nel cálculu tensorial ye avezáu denotar al conxuntu de vectores base  como , que estremar de la base . Con esta notación, la rellación de reciprocidá anterior sería:

onde  ye la delta de Kronecker. 

Asina, daes dos bases  y  puede escribise un vector xeneral  en términos d'estes bases:

Los  se les llapada componentes contravariantes del vector  y los  llamar componentes covariantes. Otramiente,  llamar base contravariante y  llamar base covariante.

 Conveniu de sumación d'Einstein 

Esiste una convención pa escribir tensores, conocida como conveniu de sumación d'Einstein. Nesta notación tou subíndice qu'apaez dos veces en cualquier términu d'una espresión indica qu'éstos tienen de ser sumaos sobre tolos valores qu'esi índiz toma. Por casu, nun casu tridimensional:
 implica que 
 implica que 

 Notación en cálculu en variedaes 
Otra notación llargamente usada nel cálculu tensorial ye la forma usada pa los vectores de la base. Cuando se fai cálculu tensorial nuna variedá diferencial o superficie curva, l'espaciu básicu que sirve pa definir les magnitúes ye l'espacio tangente a dicha variedá en cada puntu. Cuando s'empleguen coordenaes curvillinies , dada la rellación isomórfica qu'esiste ente derivaciones sobre la variedá y el conxuntu d'elementos del espaciu tanxente, puede construyise una base del espaciu vectorial tanxente formada poles derivaes direccionales según les direiciones daes poles coordenaes; asina una base vectorial del espaciu tanxente en cada puntu p vien dada por:

Per otra parte la base del espaciu cotanxente, que ye l'espaciu dual del espaciu tanxente, puede espresase por aciu la diferencial esterior de les coordenaes consideraes como funciones reales sobre la variedá:

 Álxebra de tensores 
Por cuenta de que les operaciones de los tensores d'orde cero (esguilares), unu (vectores) y dos (matrices) son conocíes, pa los tensores espérase que solo se xeneralicen delles operaciones. El conxuntu de tolos tensores p-vegaes covariantes y q-vegaes contravariantes definíos sobre l'espaciu vectorial V se denota como  (dellos autores usen la notación inversa ) formen un espaciu vectorial  cola suma y restar definíes como, una y bones la suma ta bien definida pa tensores de los mesmos órdenes  y ; asina la so suma y resta taría dada por:

Esti espaciu vectorial ye de dimensión  onde  ye la dimensión del espaciu vectorial V.

Otru conxuntu d'operaciones importantes tienen que ver col cambéu d'orde de los índices d'un tensor. Si  son les componentes d'un tensor, de la mesma manera'l conxuntu formáu pol intercambiu de dos índices, ye dicir , tamién lo ye. En términos d'esos intercambios d'índices pueden identificase subespacios vectoriales:
 Dizse que'l tensor ye simétricu si l'intercambiu de cualquier par d'índices nun alteria'l tensor:
 el conxuntu de tolos tensores simétricos del espaciu  forma un subespacio del mesmu denotado como 
 Dizse que'l tensor ye antisimétrico si l'intercambiu de cualquier par d'índices alteria'l signu del tensor:
 el conxuntu de tolos tensores antisimétricos d'orde k d'un espaciu tensorial tamién forma un subespacio denotado como  ye de dimensión 
Per otra parte, un tensor arbitrariu nun ye simétricu nin antisimétrico. Un tensor d'orde 2 siempres puede espresase como la suma d'un tensor simétricu () y unu antisimétrico ():
. Esto nun ye posible pa tensores d'orde cimeru a 2.

 Operaciones con tensores 

 Productu tensorial y productu esterior 

Daos dos tensores puede definise ente ellos el llamáu productu tensorial que'l so resultáu ye un tensor de tipu más complexu que les sos componentes pueden llograse a partir de los tensores orixinales.

El productu de dos tensores ye un tensor que'l so rangu ye la suma de los rangos daos polos dos tensores. Esti productu implica la multiplicación ordinaria de los componentes d'un tensor y ye llamáu productu esterior. 

Por casu:

 Xubir y baxar índices 

Nuna variedá riemanniana esiste la posibilidá de definir una operación sobre tensores, que polo xeneral nun puede realizase nuna variedá cualesquier. Esa operación dexa sustituyir nos cálculos un tensor de tipu  por otru de tipu  con tal . Esta operación denominar usualmente llei de xubir o baxar índices. Esa operación basar na esistencia d'un isomorfismu ente espacios de tensores covariantes y contravariantes definíos sobre una variedá riemanniana o pseudoriemanniana . Por tanto pa emplegar la xubida y baxada d'índices ye necesariu usar el tensor métricu  (y el so inversu , llamáu co-tensor métricu). 

Estes operaciones resulten bien útiles na teoría xeneral de la relatividá onde cualesquier magnitú física pue ser representada por tensores covariantes o contravariantes indistintamente, y ensin alteriar el significáu físicu, según les necesidaes del problema plantegáu. Asina pa cualquier magnitú física representada por un tensor de tercer rangu, pue ser representáu por dellos conxuntos de magnitúes relacionables gracies a la operación de "xubir y baxar índices":

 Contraición 

La contraición de tensores ye una operación qu'amenorga l'orde total d'un tensor. Esta operación amenorga un tensor tipu  a otru tipu . En términos de componentes, esta operación llógrase sumando l'índiz d'un tensor contravariante y un covariante. Por casu, un tensor (1,1)  puede ser contraíu a un esguilar al traviés de ; onde'l conveniu de sumación d'Einstein ye emplegáu. Cuando'l tensor (1,1) interprétase como un mapeo llinial, esta operación ye conocida como la traza.

La contraición utilízase usualmente col productu tensorial pa contraer l'índiz de cada tensor. La contraición puede tamién entendese en términos de la definición d'un tensor como un elementu d'un productu tensorial de copies del espaciu  col espaciu , descomponiendo primero'l tensor nuna combinación llinial de tensores más simples, y darréu aplicando un factor de  a un factor de . Por casu

puede ser escritu como la combinación llinial de 
La contraición de  nel primeru y últimu espaciu ye entós el vector

 Productu Internu 

El productu internu de dos tensores producir al contraer el productu esterior de los tensores. Por casu, daos dos tensores  y  el so productu esternu ye . Igualando índices, , llógrase'l productu internu: .

 Dual de Hodge 

== Cálculu tensorial en variedaes Tanto la xeometría diferencial avanzada como la teoría xeneral de la relatividá riquen l'usu de tensores construyíos sobre espacios vectoriales distintos. Esto asocede porque tantu nes superficies curves como nel espaciu-tiempu curvu'l espacio tangente de distintos puntos nun coincide y ye necesariu "conectalos" o construyir aplicaciones ente ellos de dalguna manera. Una manera de faer cálculu tensorial neses situaciones ye definir una conexón matemática que dexe definir la derivación covariante. Amás la estructura diferenciable dexa construyir l'aplicación diferencial tanxente que dexa construyir isomorfismu ente los distintos espacios tanxentes. El cálculu tensorial neses situaciones construyir a partir de seiciones sobre fibrados tanxentes acomuñaos a cada tipu de tensor.

 Pushforward y Pullback 

Daes dos variedaes diferenciables  de dimensión m y  de dimensión n y una aplicación ente elles  el conceutu d'aplicación diferencial tanxente (o pushforward) ye una aplicación llinial ente los fibrados tanxentes de dambes variedaes.

Una aplicación ente variedaes dizse diferenciable si dada una carta local  que contenga al puntu  y  que contenga a , l'aplicación ye diferenciable como función de  a . 

La aplicación llinial tanxente (llamada frecuentemente pushforward) puede definise pa una aplicación diferenciable ente variedaes. Dau un vector del espaciu tanxente  nun puntu, queda definida una aplicación sobre'l conxuntu de funciones definíes na redolada de dichu puntu, qu'asigna a cada función (a valores reales) la derivada direccional de la función según el vector :

Teniendo presente l'anterior operación de vectores sobre funciones y dada l'aplicación diferenciable  defínese l'aplicación llinial tanxente:

Tal qu'a un vector en p  asígna-y l'únicu vector  que fai que se cumpla que:

Onde:

Una vegada definda l'aplicación llinial tanxente puede definise la aplicación (diferencial) cotanxente (o pullback) sobre 1-formes como:

 Tensor métricu 
Si la variedá diferenciable tien estructura de variedá riemanniana o pseudoriemanniana entós pueden definise estructures más complexes y arriquecer el conxuntu de ferramientes del cálculu tensorial sobre esa variedá. Un tensor métricu g ye n'esencia un tensor 2-covariante y simétricu definíu sobre tou la variedá y non dexeneráu:



 Derivada covariante 

Puede probase qu'una variedá riemanniana o pseudoriemanniana ye llocalmente isométrica al espaciu euclídeo si y namái si'l so tensor de combadura de Riemann anúlase. Si la variedá tien combadura non nula puede demostrase que la particularización de les derivaes direccionales de  nun tienen les propiedaes de invariancia esperaes, en concretu la derivada non covariante d'un vector tanxente polo xeneral nun resulta nun vector tanxente tamién a la variedá, y por tanto, nun da llugar a un oxetu tensorial definible sobre la variedá.

Pa resolver esos problemes define una conexón que dexe rellacionar l'espaciu tanxente en puntos distintos de la variedá (a diferencia del casu euclídeo si la variedá ye curva la orientación del espaciu tanxente, consideráu como subconxuntu de , va variar d'un puntu a otru.

 Derivada de Lie 

 Derivación esterior 
Dada una n-forma (tensor n-covariante totalmente antisimétrico):

La diferenciación esterior  ye una aplicación nel álxebra graduada de n-formes qu'opera según:

De forma que la diferenciación esterior ye una combinación llinial de n+1 derivaes parciales de les componentes de la n-forma orixinal. Ye interesante notar que la diferenciación esterior xeneraliza les operaciones de gradiente, rotacional o diverxencia, asina cuando se considera'l cálculu tensorial sobre :

Onde  denota l'operador dual de Hodge.

 Ver tamién 
 Conveniu de sumación d'Einstein
 Álxebra multilineal
 Tensor métricu 
 unu-forma 
 Productu tensorial
 Densidá tensorial
 Combadura 
 Xeometría de Riemann 
 Tensor de tensiones
 Elasticidá llinial
 Simetrización y antisimetrización

 Referencies 

 Bibliografía 




 Enllaces esternos 
 Introducción a tensores pa estudiantes de Física ya Inxeniería


 Tensores en PlanetMath

Cálculu tensorial