Derivada

En matemática, la derivada d'una función mide la rapidez cola que camuda'l valor de dicha función matemática, según camude'l valor del so variable independiente. La derivada d'una función ye un conceutu local, esto ye, calcúlase como la llende de la rapidez de cambéu media de la función en ciertu intervalu, cuando l'intervalu consideráu pa la variable independiente tórnase cada vez más pequeñu. Por ello fala del valor de la derivada d'una función nun puntu dau.

Un exemplu habitual apaez al estudiar el movimientu: si una función representa la posición d'un oxetu con respectu al tiempu, la so derivada ye la velocidá de dichu oxetu. Un avión que realice un vuelu tresatlánticu de 4500 km ente les 12:00 y les 18:00, viaxa a una velocidá media de 750 km/h. Sicasí, pue tar viaxando a velocidaes mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si ente les 15:00 y les 15:30 percuerre 400 km, la so velocidá media nesi tramu ye de 800 km/h. Pa conocer el so velocidá instantánea a les 15:20, por casu, ye necesariu calcular la velocidá media n'intervalos de tiempu cada vez menores alredor d'esta hora: ente les 15:15 y les 15:25, ente les 15:19 y les 15:21.

Entós el valor de la derivada d'una función nun puntu puede interpretase geométricamente, yá que se correspuende cola pendiente de la recta tanxente a la gráfica de la función en dichu puntu. La recta tanxente ye de la mesma la gráfica de la meyor aproximamientu llinial de la función alredor de dichu puntu. La noción de derivada puede xeneralizase pal casu de funciones de más d'una variable cola derivada parcial y el diferencial d'una función diferencial.

 Historia de la derivada 
Los problemes típicos que dieron orixe al cálculu infinitesimal, empezaron a plantegase na dómina clásica de l'antigua Grecia (sieglu III e.C. ), pero nun s'atoparon métodos sistemáticos de resolución hasta diecinueve siglos dempués (nel sieglu XVII por obra d'Isaac Newton y Gottfried Leibniz).

No qu'atañe a les derivaes esisten dos conceutos de tipu xeométricu que-y dieron orixe:
 El problema de la tanxente a una curva (Apolonio de Perge)
 El Teorema de los estremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)

Nel so conxuntu dieron orixe a lo que modernamente conozse como cálculu diferencial.

 Sieglu XVII 
Los matemáticos perdieron el mieu que los griegos tuviérenlu a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeres n'usalos, empezaron a andar un camín que llevaría en mediu sieglu al descubrimientu del cálculu infinitesimal.

A mediaos del sieglu XVII les cantidaes infinitesimales fueron cada vez más usaes pa resolver problemes de cálculos de tanxentes, árees, volumes; los primeres daríen orixe al cálculu diferencial, los otros al integral.

 Newton y Leibniz 

A finales del sieglu XVII sintetizar en dos conceutos los algoritmos usaos polos sos predecesores, no que güei llamamos «derivada» y «integral». La historia de la matemática reconoz que Isaac Newton y Gottfried Leibniz son el creadores del cálculu diferencial ya integral. Ellos desenvolvieron regles pa manipoliar les derivaes (regles de derivación) y Isaac Barrow demostró que la derivación y la integración son operadores inversos.

Newton desenvolvió en Cambridge el so propiu métodu pal cálculu de tanxentes. En 1665 atopó un algoritmu pa derivar funciones alxebraiques que coincidía col descubiertu por Fermat. A finales de 1665 dedicar a reestructurar les bases del so cálculu, intentando desligarse de los infinitesimales, ya introdució el conceutu de flusión, que para él yera la velocidá cola qu'una variable «flúi» (varia) col tiempu.

Gottfried Leibniz, pela so parte, formuló y desenvolvió el cálculu diferencial en 1675. Foi'l primeru en publicar les mesmes resultaos que Isaac Newton afayara 10 años antes. Na so investigación caltuvo un calter xeométricu y trató a la derivada como un cociente incremental y non como una velocidá, viendo'l sentíu de la so correspondencia cola rimada de la recta tanxente a la curva en dichu puntu.

Leibniz ye l'inventor de diversos símbolos matemáticos. A él deben los nomes de: cálculu diferencial y cálculu integral, según los símbolos de derivada  y el símbolu de la integral ∫.

 Conceutos y aplicaciones 
El conceutu de derivada ye unu de los conceutos básicos del Analís matemáticu. Los otros son los d'integral indefinida, integral definida, socesión; sobremanera, el conceutu liminar de llende. Este ye usáu pa la definición de cualquier tipu de derivada y pa la integral de Riemann, socesión converxente y suma d'una serie y la continuidá. Pola so importancia, hai un antes y dempués de tal conceutu que biseca les matemátiques previes, como'l Álxebra, la Trigonometría o la Xeometría Analítica, del Cálculu. Según Einstein, el mayor apurra que se llogró de la derivaes foi la posibilidá de formular diversos problemes de la física por aciu ecuaciones diferenciales .

La derivada ye un conceutu que tien variaes aplicaciones. Aplicar naquellos casos onde ye necesariu midir la rapidez con que se produz el cambéu d'una magnitú o situación. Ye una ferramienta de cálculu fundamental nos estudios de Física, Química y Bioloxía, o en ciencies sociales como la Economía y la Socioloxía. Por casu, cuando se refier a la Gráfica d'una función gráfica de dos dimensiones de , considérase la derivada como la rimada de la recta tanxente del gráficu nel puntu . Puede averase la rimada d'esta tanxente como la llende cuando la distancia ente los dos puntos que determinen una recta secante tiende a cero, esto ye, tresfórmase la recta secante nuna recta tanxente. Con esta interpretación, pueden determinase munches propiedaes xeométriques de los gráficos de funciones, tales como monotonía d'una función (si ye creciente o decreciente) y la cuéncanu o convexidá.

Delles funciones nun tienen derivada en toos o en dalgún de los sos puntos. Por casu, una función nun tien derivada nos puntos en que se tien una tanxente vertical, una discontinuidá o un puntu angulosu. Afortunadamente, gran cantidá de les funciones que se consideren nes aplicaciones son continues y la so gráfica ye una curva nidia, polo que ye susceptible de derivación.

Les funciones que son diferenciables (derivables si falar nuna sola variable), son aproximables linealmente.

 Definiciones de derivada 
En terminoloxía clásica, la diferenciación manifiesta'l coeficiente en qu'una cantidá  camuda por cuenta de un cambéu n'otra cantidá .

En matemátiques, coeficiente ye un factor multiplicativu que pertenez a ciertu oxetu como una variable, un vector unitariu, una función base, etc.

En física, coeficiente ye una espresión numbérica que por aciu dalguna fórmula determina les carauterístiques o propiedaes d'un cuerpu.

Nel nuesu casu, reparando la Gráfica d'una función gráfica de la derecha, el coeficiente del que falamos vendría representáu nel puntu  de la función pola resultancia de la división representada pola rellación , que como puede comprobase na gráfica, ye un valor que se caltién constante a lo llargo de la llinia recta azul que representa la tanxente nel puntu  de la función. Esto ye bono d'entender yá que el triángulu rectángulu formáu na gráfica con vértiz nel puntu , por enforma que lo dibuxemos más grande, al ser una figura proporcional la resultancia de  ye siempres el mesmu.

Esta noción constitúi l'aproximamientu más rápidu a la derivada, yá que l'acercamientu a la rimada de la recta tanxente ye tantu pela derecha como pela izquierda de manera simultánea.

 Llende como cociente de diferencies 

La derivada d'una función  ye la pendiente xeométrica de la recta tanxente del gráficu de  en . Ensin el conceutu que se va a definir, nun ye posible atopar direutamente la rimada de la llinia tanxente a una función dada, porque solamente conozse un puntu na llinia tanxente: . La idea ye averar la llinia tanxente con múltiples llinies secantes que tienen distancies progresivamente más pequeñes ente los dos puntos que crucien. Cuando se toma la llende de les rimaes de les llinies secantes d'esta progresión, consíguese la rimada de la llinia tanxente. Defínese, pos, la derivada tomando la llende de la rimada de les llinies secantes, al averales a la llinia tanxente.
P'atopar les rimaes de les llinies secantes próximes, escuéyese un númberu  relativamente pequeñu.  representa un cambéu relativamente pequeñu en , que puede ser positivu o negativu. La rimada de la recta que pasa polos dos puntos  y  ye:

.


espresión denomada «cociente de Newton».Serge Lang: "Introducción al analís matemáticu", páx. 55, ISBN 0-201-62907-0

La derivada de  en  ye entós la llende del valor del cociente diferencial, conforme les llinies secantes averar a la llinia tanxente:

.

Si la derivada de  esiste en tolos puntos , puede definise la derivada de  como la función que'l so valor en cada puntu  ye la derivada de  en .

Puesto que sustituyir  por 0 produz una división per cero, calcular direutamente la derivada puede nun ser intuitivu. Una téunica posible consiste n'operar nel numberador, de manera que pueda atayase la  del denominador. Y eso ye posible fácilmente nos polinomios. Pero pa munches otres funciones la resultancia ye inciertu. Afortunadamente, hai regles xenerales que faciliten estremar la mayoría de les funciones simples.

 Continuidá y diferenciabilidad 

Una condición necesaria pero non abondu por que una función seya derivable nun puntu ye qu'esta seya continua. Intuitivamente, una función continua ye aquella na cual pequeñes medríes nos elementos del dominiu de la variable dependiente produz pequeñes medríes nel valor de dicha función, de manera que

.

Faciendo estes medríes cada vez más pequeños, les variaciones fáense más pequeñes; cuando estos avérense a cero, na llende,

colo que se llogra, f(x)=y. Pa un puntu particular a, quier dicir que , y si esta postrera llende esiste significa en consecuencia por un teorema de llendes (una llende esiste si y namái si les dos llendes llaterales esisten y son iguales) que toa función f(x) que cumpla con

ye continua nel puntu a. De resultes lóxica, toa función derivable nel intervalu abiertu I, ye continua en I.

 Condición necesaria 
La rellación nun funcionar a la inversa: el qu'una función seya continua nun garantiza la so derivabilidad. Ye posible que les llendes llaterales sían iguales pero les derivaes llaterales non; nesti casu concretu, la función presenta un puntu angulosu en dichu puntu.

Un exemplu recurrente na lliteratura avezada — pue ser la función valor absolutu (tamién llamada módulu) nel puntu . Dicha función esprésase:


Pa valores infinitamente cercanos a 0, por dambes cañes, la resultancia tiende a 0. Y la resultancia nel puntu 0 ye tamién 0, polo tanto ye continua. Sicasí, les derivaes resulten:


Cuando  vale 0, les derivaes llaterales dan resultaos distintes. Poro, nun esiste derivada nel puntu, a pesar de que seya continuu.

De manera informal, si'l gráficu de la función tien puntes agudes, atáyase o tien saltos, nun ye derivable. Sicasí, la función y=x|x| ye diferenciable pa tou x. Tópese la so función derivada.
N'otros términos, qu'una función seya continua ye una condición necesaria por que dicha función seya diferenciable. (Ver "Analís matemáticu" d'Apóstol.)

 Derivada d'una función 

Considerando la función f definida nel intervalu abiertu I y un puntu a fixu en I, tiense que la derivada de la función f nel puntu  defínese como sigue:

si esta llende esiste, de lo contrario, , la derivada, nun ta definida. Esta última espresión coincide cola velocidá instantánea del movimientu continuu uniforme aceleráu en cinemática.

Anque podríen calculase toles derivaes emplegando la definición de derivada como una llende, esisten regles bien establecíes, conocíes como teoremes pal cálculu de derivaes, que dexen calcular la derivada de munches funciones d'alcuerdu a la so forma ensin tener que calcular por fuercia la llende. Tales regles son consecuencia direuta de la definición de derivada y de regles previes, como puede apreciase en tou bon testu de cálculu infinitesimal.

Tamién puede definise alternativamente la derivada d'una función en cualquier puntu del so dominiu de la siguiente manera:

,

La cual representa un acercamientu de la rimada de la secante a la rimada de la tanxente yá seya pela derecha o pela izquierda según el signu de . L'aspeutu d'esta llende ta rellacionáu más cola velocidá instantánea del movimientu uniformemente aceleráu que cola rimada de la recta tanxente a una curva.

Sicasí la so aparente diferencia, el cálculu de la derivada por definición con cualesquier de les llendes enantes espresaes, apurre siempres el mesmu resultáu.

 Exemplu 
Sía la función cuadrática f(x)= x2 definida pa tou x perteneciente a los reales. Trátase de calcular la derivada d'esta función pa tou puntu x ∈ R —yá que ye continua en tolos puntos del so dominiu—, por aciu la llende del so cociente de diferencies de Newton. Asina, 

 Notación 
Esisten diverses formes pa nomar a la derivada. Siendo f una función, escríbese la derivada de la función  respectu al valor  en delles maneres.

 Notación de Newton 

La notación de Newton pa la diferenciación respeuto al tiempu, yera poner un puntu enriba del nome de la función:

y asina socesivamente.

Lléese «puntu » o « puntu». Anguaño ta en desusu en Matemátiques pures, sicasí síguese usando n'árees de la física como la mecánica, onde otres notaciones de la derivada pueden confundise cola notación de velocidá relativa. Usar pa definir la derivada temporal d'una variable.

Esta notación de Newton úsase principalmente en mecánica, de normal pa derivaes qu'arreyen la variable tiempu, como variable independiente; tales como velocidá y aceleración, y en teoría d'ecuaciones diferenciales ordinaries. Usualmente solo emplégase pa les primeres y segundes derivaes.

 Notación de Leibniz 

Otra notación común pa la diferenciación ye debida a Leibniz. Pa la función derivada de , escríbese:

Tamién puede atopase como ,  ó . Lléese «derivada de  ( ó  de ) con al respeutive de ». Esta notación tien la ventaya de suxerir a la derivada d'una función con al respeutive de otra como un cociente de diferencial d'una función diferenciales.

Con esta notación, puede escribise la derivada de  nel puntu  de dos maneres distintos:

Si , puede escribise la derivada como

Les derivaes socesives esprésense como

 o 

pa la enésima derivada de  o de  respeutivamente. Históricamente, esto vien del fechu que, por casu, la tercera derivada ye

la cual puede escribise como

La notación de Leibniz ye bien útil, por cuanto dexa especificar la variable de diferenciación (nel denominador); lo cual ye pertinente en casu de diferenciación parcial. Tamién facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos «d» paecen atayase simbólicamente:

Na formulación popular del cálculu por aciu llendes, los términos «d» nun pueden atayase lliteralmente, porque por sigo mesmos son indefiníos; son definíos solamente cuando s'usen xuntos pa espresar una derivada. En analís non estándar, sicasí, puede vese como númberos infinitesimales que s'atayen.

Verdaderamente, Leibnitz (sí) consideró la derivada dy/dx como'l cociente de dos «infinitésimos» dy y dx, llamaos «diferenciales». Estos infinitésimos nun yeren númberos sinón cantidaes más pequeños que cualquier númberu positivu.Lee, Karel de: Calculus, Editorial Universitaria de Buenos Aires, páx. 61, 1972

 Notación de Lagrange 

La notación más simple pa diferenciación, n'usu actual, ye debida a Lagrange. Pa identificar les derivaes de  nel puntu , escríbese:

 pa la primer derivada, :
pa la segunda derivada, :
pa la tercer derivada, :
pa la enésima derivada (). (Tamién pueden usase númberos romanos).

Lléese «efe prima de xe» pa la primer derivada, «efe dos prima de xe» pa la segunda derivada, etc. Pa la función derivada de  en , escríbese . De manera asemeyada, pa la segunda derivada de  en , escríbese , y asina socesivamente.

 Notación de Euler 

 o  (Notaciones d'Euler y Jacobi, respeutivamente)
lléese « sub  de », y los símbolos D y ∂ tienen d'entendese como operadores diferenciales.

 Cálculu de la derivada 
La derivada d'una función, en principiu, pue ser calculada de la definición, por aciu el cociente de diferencies, y dempués calcular la so llende. Na práutica, namái les derivaes d'unes poques funciones son conocíes, les derivaes d'otres funciones son fáciles de calcular utilizando regles pa llograr derivaes de funciones más complicaes d'otres más simples.

 Derivaes de funciones elementales 

La mayor parte de los cálculos de derivaes riquen tomar eventualmente la derivada de delles funciones comunes. La siguiente llista incompleta apurre dalgunes de les más frecuentes funciones d'una variable real usaes y les sos derivaes.

 Regles de derivación Derivada de potencies: si

onde r ye cualesquier númberu real, entós

onde quiera qu'esta función seya definida. Por casu, si , entós

y la función derivada ye definida namái pa númberos positivos x, non pa . Cuando r = 0, esta regla implica que f′(x) ye cero pa , lo que la convierte na regla de la constante (espuesta embaxo).

 Funciones esponenciales y logarítmiques:

 funciones trigonométriques:

 Funciones trigonométriques inverses:

 Regles avezaes de derivación 

En munchos casos, el cálculu de llendes complicaes por aciu l'aplicación direuta del cociente de diferencies de Newton puede ser anuláu por aciu l'aplicación de regles de diferenciación. Dalgunes de les regles más básiques son les siguientes:
 Regla de la constante: si f(x) ye constante, entós :
 Aplicación llinial:
 pa toa función f y g y tou númberu real  y .
 Regla del productu:
 pa toa función f y g. Por estensión, esto significa que la derivada d'una constante multiplicada por una función ye la constante multiplicada pola derivada de la función. Por casu, 
 Regla del cociente:
 pa toa función f y g pa toos aquellos valores tales que g ≠ 0.
 Regla de la cadena: Si , siendo g derivable en x, y h derivable en g(x), entósSerge Lang: "Introducción al analís matemáticu" páx.56

 Exemplu de cálculu 
La derivada de



ye



Equí, el segundu términu calculóse usando la regla de la cadena y el terceru usando la regla del productu. La derivaes conocíes de funciones elementales x2, x4, ensin(x), ln(x) y exp(x) = yx, según la constante 7, tamién fueron usaes.

 Diferenciabilidad 
Una función con dominiu nun subconxuntu de los reales ye diferenciable nun puntu  si la so derivada esiste nesi puntu; una función ye diferenciable nun intervalu abiertu si ye diferenciable en tolos puntos del intervalu.

Si una función ye diferenciable nun puntu , la función ye continua nesi puntu. Sicasí, una función continua en , puede nun ser diferenciable en dichu puntu (puntu críticu). N'otres pallabres, diferenciabilidad implica continuidá, pero non el so recíprocu.

La derivada d'una función diferenciable pue ser, de la mesma, diferenciable. La derivada d'una primer derivada llámase derivada segunda. D'una manera asemeyada, la derivada d'una derivada segunda ye la derivada tercer, y asina socesivamente. Esto tamién recibe'l nome de derivación socesiva o derivaes d'orde cimeru.

 Xeneralizaciones del conceutu de derivada 
El conceutu simple de derivada d'una función real d'una sola variable foi xeneralizáu de delles maneres:

 Pa funciones de delles variables:
 Derivada parcial, que s'aplica a funciones reales de delles variables.
 Derivada direccional, estiende'l conceutu de derivada parcial.
 En analís complexu: 
 Función holomorfa, qu'estiende'l conceutu de derivada a ciertu tipu de funciones de variables complexes.
 En analís funcional:
 Derivada fraccional, qu'estiende'l conceutu de derivada d'orde cimeru a orde r, r nun precisa ser necesariamente un númberu enteru como asocede nes derivaes convencionales.
 Derivada funcional, que s'aplica a funcionales que los sos argumentos son funciones d'un espaciu vectorial de dimensión non finita.
 Teoría de distribuciones Derivada d'una distribución Derivada nel sentíu de les distribuciones, estiende'l conceutu de derivada a funciones xeneralizaes o distribuciones, asina puede definise la derivada d'una función discontinua como una distribución.
 En xeometría diferencial:
 La Derivación un conceutu de xeometría diferencial.
 En teoría de la probabilidá y teoría de la midida:
 Derivada de Malliavin derivada d'un procesu estocástico o variable aleatoria que camuda col tiempu.
 Derivada de Radon-Nikodym usada en teoría de la midida.

 Diferenciabilidad:
 Diferenciablidad, otra xeneralización posible pa funciones de delles variables cuando esisten derivaes continues en toes direiciones ye'l de:
 Función diferenciable, que s'aplica a funciones reales de delles variables que tienen derivaes parciales según cualesquier de les variables (L'argumentu d'una función de delles variables pertenez a un espaciu del tipu  de dimensión n finita).
 La Diferenciación nel sentíu de Fréchet xeneraliza'l conceutu de función diferenciable a espacios de Banach de dimensión infinita.

 Ver tamién 
 Regles de derivación
 Tabla de derivaes
 Derivación de funciones trigonométriques
 Criteriu de la derivada de mayor orde
 Derivación numbérica
 Integral

 Referencies 

 Bibliografía 





 Enllaces esternos 




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