Distribución normal multivariante

En probabilidá y estadística, una distribución normal multivariante, tamién llamada distribución gaussiana multivariante, ye una xeneralización de la distribución normal unidimensional a dimensiones cimeres.

 Casu xeneral 
Un vector aleatoriu  sigue una distribución normal multivariante si satisfai les siguientes condiciones equivalentes:

Toa combinación llinial  ta de normal distribuyida.
Hai un vector aleatoriu , que les sos componentes son variables aleatories independientes distribuyíes según la normal estándar, un vector  y una matriz   tal que . 
Hai un vector  y una matriz semidefinida positiva simétrica  tal que la función carauterística de X ye 
Si  ye una matriz non singular, entós la distribución puede describise pola siguiente función de densidá:

onde  ye'l determinante de . Nótese como la ecuación de riba amenórgase a la distribución normal si  ye un escalar (esto ye, una matriz 1x1).

El vector μ nestes circunstancies ye la esperanza de X y la matriz  ye la matriz de covarianza de les componentes Xi. 

Ye importante entender que la matriz de covarianza puede ser singular (anque nun tea asina descrita pola fórmula de riba, pa la cual  ta definida). 

Esti casu apaez con frecuencia en estadística; por casu, na distribución del vector de residuos en problemes ordinarios de regresión llinial. Nótese tamién que los Xi son polo xeneral non independientes; pueden trate como la resultancia d'aplicar el tresformamientu llinial A a una coleición de variables normales Z.

Esta distribución d'un vector aleatoriu X que sigue una distribución normal multivariante pue ser descrita cola siguiente notación:

o faer esplícitu que X ye n-dimensional, 
 Función de distribución 
La función de distribución  defínese como la probabilidá de que tolos valores d'un vector aleatoriu  sían menores o iguales que los valores correspondientes d'un vector . Anque F nun tenga una fórmula, hai una serie d'algoritmos que dexen envalorala numbéricamente.Vease MVNDST en   (incluyi códigu FORTRAN) o  (inclúi códigu MATLAB).

 Un contraejemplo 
El fechu de que dos variables aleatories X y Y sigan una distribución normal, caúna, nun implica que'l par (X, Y) siga una distribución normal conxunta. Un exemplu simple dar con X Normal(0,1), Y = X si |X| > 1 y Y = −X si |X| < 1. Esto tamién ye ciertu pa más de dos variables aleatories.Ver tamién de normal distribuyíes y incorreladas nun implica independencia

 De normal distribuyíes ya independencia 
Si X y Y tán de normal distribuyíes y son independientes, la so distribución conxunta tamién ta de normal distribuyida, esto ye, el par (X, Y) tien de tener una distribución normal bivariante. Sía que non, un par de variables aleatories de normal distribuyíes nun tienen por qué ser independientes al ser consideraes de forma conxunta.

 Caso bivariante 
Nel casu particular de dos dimensiones, la función de densidá (con media (0, 0) ye 

onde  ye'l coeficiente de correllación ente  y . Nesti casu,

 Tresformamientu allegáu 

Si  ye una tresformamientu allegáu de  onde  ye un  vector de constantes y  una  matriz, entós  tien una distribución normal multivariante con esperanza  y varianza  esto ye, . En particular, cualquier subconxuntu de les  tien una distribución marxinal que ye tamién una normal multivariante.

Pa ver esto, considérese'l siguiente exemplu: pa estrayer el subconxuntu , úsese

lo qu'estrayi direutamente los elementos deseyaos.

Otru corolariu sería que la distribución de , onde  ye un vector del mesmu llargor que  y el puntu indica un productu vectorial, sería una distribución gaussiana unidimensional con . Esta resultancia llógrase usando 

y considerando namái la primer componente del productu (la primer fila de  ye'l vector ). Reparar cómo la definición positiva de  implica que la varianza del productu vectorial tendría de ser positiva.

 Interpretación xeométrica 

Les curves de equidensidad d'una distribución normal multivariante son elipsoides (esto ye, tresformamientos lliniales d'hiperesferes) centraos na media. Les direiciones de les exes principales de los elipsoides vienen daos polos vectores propios de la matriz de covarianza . Los llargores relativos de los cuadraos de les exes principales vienen daos polos correspondientes vectores propios.

Si  ye una descomposición espectral  onde les columnes d'O son vectores propios unitarios y  ye una matriz diagonal de valores propios, entós tenemos

Amás, O puede escoyese talmente que seya una matriz de rotación, tal qu'invirtiendo una exa nun tenga nengún efeutu en , pero invirtiendo una columna, camude'l signu del determinante de O. La distribución  ye n'efeutu  esguilada por , rotada por O y treslladada por .

Recíprocamente, cualquier eleición de , matriz de rangu completu O, y valores diagonales positivos  dexa'l pasu a una distribución normal non singular multivariante. Si cualesquier  ye cero y O ye cuadrada, la matriz de covarianza  ye una singular. Geométricamente esto significa que cada curva elipsoide ye infinitamente delgada y tien volume cero nun espaciu n-dimensional, según, siquier, unu de les principales exes tien longitud cero.

 Correllaciones ya independencia 

Polo xeneral, les variables aleatories pueden ser incorreladas, pero altamente dependientes. Pero si un vector aleatoriu tien una distribución normal multivariante, entós cualesquier dos o más de los sos componentes que sían incorreladas, son independientes. 

Pero non''' ye ciertu que dos variables aleatories que tán (xebradamente, marginalmente) de normal distribuyíes y incorreladas sían independientes. Dos variables aleatories que tán de normal distribuyíes pueden que nun lo tean conxuntamente. Pa un exemplu de dos variables de normal distribuyíes que sían incorreladas pero non independientes, vease de normal distribuyíes y incorreladas nun implica independencia.

 Momentos más altos 
El momentu estándar de k-ésimo orde de X defínese como

onde 

Los momentos centrales d'orde k vien daos como sigue:

(a) Si k ye impar, .

(b) Si k ye par, con , entós

onde la suma toma sobre toles disposiciones de conxuntos 
en  pareyes (non ordenar). Esto ye, si tiense un k-ésimo () momentu central, tarán sumándose los productos de  covarianzas (la notación - desprecióse pa facilitar la llectura):

Esto da llugar a  términos na suma (15 nel casu de riba), caúnu siendo'l productu de  (3 nesti casu) covarianzas. Pa momentos de cuartu orde (cuatro variables) hai tres términos. Pa momentos de sestu orde hai 3 × 5 = 15 términos, y pa momentos d'octavu orde hai 3 × 5 × 7 = 105 términos.

Les covarianzas son entós determinaes por aciu el reemplazu de los términos de la llista  polos términos correspondientes de la llista que consiste en  unos, entós  doses, etc... Pa ilustrar esto, esamínese'l siguiente casu pel momento central de cuartu orde:

onde  ye la covarianza de  y . La idea del métodu de riba ye que primero s'atopa'l casu xeneral pal momentu -ésimo, onde se tien  distintos variables  -  y entós pueden simplificase apropiadamente. Si tiense  entós, a cencielles seya  y síguese que .

 Distribuciones condicionales 

Si  y  son estremaes como sigue:

 con tamaños 

 con tamaños 

entós la distribución de  condicionada a  ye una normal multivariante  onde

y matriz de covarianza

Esta matriz ye'l complementu de Schur de  en . Esto significa que pa calcular la matriz condicional de covarianza, inviértese la matriz global de covarianza, despréciense les files y columnes correspondientes a les variables so les cualos ta condicionada y entós inviértese de nuevu pa consiguir la matriz condicional de covarianza.

Nótese que se sabe que  alteria la varianza, anque la nueva varianza nun dependa del valor específicu de ; quiciabes más sorprendentemente, la media camudar por ; compárese esto cola situación na que nun se conoz el valor de , y nesi casu  tendría como distribución

.

La matriz  conozse como la matriz de coeficientes de regresión.

 Esperanza condicional bivariante 

Nel casu

entós

onde esta última razón llámase de cutiu razón inversa de Mills.

 Matriz d'información de Fisher 

La matriz d'información de Fisher (MIF) pa una distribución normal toma una formulación especial. L'elementu  de la MIF pa  ye

onde *

 ye la función traza d'una matriz.

 Diverxencia de Kullback-Leibler 

La diverxencia de Kullback-Leibler de  a  ye:

El llogaritmu tien de tomase con base e nos dos términos (llogaritmos neperianos), siguiendo'l llogaritmu tán los llogaritmos neperianos de les espresiones que son dambos factores de la función de densidá o si non, surden naturalmente. La diverxencia de riba mídese en nats. Estremando la espresión de riba por logy 2 dase pasu a la diverxencia en bits.

 Estimación de parámetros 
La derivación del estimador de máxima verosimilitud de la matriz de covarianza d'una distribución normal multivariante ye, quiciabes sorprendentemente, sutil y elegante. Vease estimación de matrices de covarianza.

En poques pallabres, la función de densidá de probabilidá d'una normal multivariante N-dimensional ye

y el estimador MV de la matriz de covarianza pa una muestra de n'' observaciones ye

lo cual ye, a cencielles, la matriz muestral de covarianza. Este ye un estimador sesgado que la so esperanza ye

Una covarianza muestral insesgada ye

 Entropía 
La entropía diferencial de la distribución normal multivariante ye 

onde  ye'l determinante de la matriz de covarianza .

 Tests de normalidá multivariante 
Los tests de normalidá multivariante comprueben la semeyanza d'un conxuntu dau de datos cola distribución normal multivariante. La hipótesis nula ye que'l conxuntu de datos ye similar a la distribución normal, por consiguiente un p-valor abondo pequeñu indica datos non normales. Los tests de normalidá multivariante inclúin el test de Cox-Small y l'adaptación de Smith y Jain
 del test de Friedman-Rafsky.

 Asemeyando valores de la distribución 
Un métodu llargamente usáu p'asemeyar un vector aleatoriu  de la distribución normal multivariada -dimensional con vector de medies  y matriz de covarianza  (riquida pa ser simétrica y definida positiva) funciona como sigue:

 Calcúlase la descomposición de Cholesky de , esto ye, atópase la única matriz triangular inferior  tal que . Nótese que cualesquier otra matriz  que satisfaiga esta condición, esto ye, que ye unu la raigañu cuadráu de , podría usase, pero de cutiu atopar tal matriz, distinta de la de la descomposición de Cholesky, sería abondo más costosu en términos de computación.
 Sía  un vector que les sos componentes  normales ya independientes varien (lo cual puede xenerase, por casu, usando'l métodu de Box-Muller.
 Sía  

 Referencies 

Categoría:Distribuciones continues
Categoría:Distribuciones continues multivariantes