Seición cónica

Conócense por seición cónica (o a cencielles cónica) a toles curves resultantes de les distintes interseiciones ente un conu y un planu; si dichu planu nun pasa pol vértiz, llógrense les cóniques puramente diches. Clasificar en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

 Etimoloxía 

La primera definición conocida de seición cónica surde na Antigua Grecia, cerca del añu 340 a.C (Menecmo) onde les definieron como seiciones «d'un conu circular rectu».Oswald Veblen, John Wesley Young, Proyective Geometry, vol I, Ginn & Co. Ed. (1910) Los nomes d'hipérbola, parábola y elipse deber a Apolonio de Perge. Anguaño, les seiciones cóniques pueden definise de delles maneres; estes definiciones provienen de les diverses cañes de la matemática: como la xeometría analítica, la xeometría proyectiva, etc.

 Tipos 

En función de la rellación esistente ente l'ángulu de conicidad (α) y l'enclín del planu respectu de la exa del conu (β), pueden llograse distintes seiciones cóniques, a saber:

 β < α : Hipérbola (naranxa)
 β = α : Parábola (azuláu)
 β > α : Elipse (verde)
 β = 90º: Circunferencia (un casu particular d'elipse) (colloráu)
Y β= 180° : Triangular

Si'l planu pasa pol vértiz del conu, puede comprobase que:
 Cuando β > α la interseición ye un únicu puntu (el vértiz).
 Cuando β = α la interseición ye una recta generatriz del conu (el planu va ser tanxente al conu).
 Cuando β < α la interseición va venir dada por dos rectes que se corten nel vértiz. 
 Cuando β = 90º L'ángulu formáu poles rectes va dir aumentando a midida β mengua,cuando'l planu contenga a la exa del conu (β = 0).

 Espresión alxebraica 

220px|thumb|Partiendo d'una circunferencia (y=0), al aumentar la escentricidá llógrense elipses, paráboles ya hipérboles.

En coordenaes cartesianes, les cóniques espresar en forma alxebraica por aciu ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:

na que, en función de los valores de los parámetros, va tenese:

h² > ab: hipérbola.

h² = ab: parábola.

h² < ab: elipse.

 a = b y h = 0: circunferencia.

 a:C y Z:0: triangular

Por aciu un software pueden representase les gráfiques de la ecuación xeneral de les cóniques. De siguío preséntense los trés casos: Parábola, elipse ya hipérbola.


 Carauterístiques 

La elipse ye'l llugar xeométricu de los puntos del planu tales que la suma de les distancies a dos puntos fixos llamaos focos ye constante. 

Amás de los focos F y F′, nuna elipse destáquense los siguientes elementos:

 Centru, O
 Exa mayor, AA′
 Exa menor, BB′
 Distancia focal, OF

La elipse con centru (0, 0) tien la siguiente espresión alxebraica: 

La hipérbola ye'l llugar xeométricu de los puntos del planu que la so estrema de distancies a dos puntos fixos, llamaos focos, ye constante y menor que la distancia ente los focos. 

Tien dos asíntotas (rectes que les sos distancies a la curva tienden a cero cuando la curva alloñar escontra l'infinitu). Les hipérboles que les sos asíntotas son perpendiculares llámense hipérboles equilláteres.

Amás de los focos y de les asíntotas, na hipérbola destáquense los siguientes elementos: 

 Centru, O
 Vértices, A y A
 Distancia ente los vértices 
 Alloña ente los focos

La ecuación d'una hipérbola horizontal con centru (0, 0), ye: 
De la mesma, la d'una hipérbola vertical ye: 

La parábola ye'l llugar xeométricu de los puntos del planu que equidistan d'un puntu fixu llamáu focu, y de una recta llamada directriz.

Amás del focu, F, y de la directriz, d'una parábola destáquense los siguientes elementos: 

 Exa, y
 Vértiz, V 
 Distancia de F a d, p.

Una parábola, que'l so vértiz ta nel orixe y la so exa coincide col d'ordenaes, tien la siguiente ecuación: 

 Aplicaciones 

Les curves cóniques son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la llei de gravitación universal, les sos trayectories describen seiciones cóniques si'l so centru de masa considerar en reposu. Si tán relativamente próximes van describir elipses, si allóñense demasiáu van describir hipérboles o paráboles.

Tamién son importantes en aerodinámica y na so aplicación industrial, yá que dexen ser repitíes per medios mecánicos con gran exactitú, llogrando superficies, formes y curves perfectes.

 Ver tamién 
Seición cónica dexenerada
Curves cóniques
 Circunferencia
 Elipse
 Parábola
 Hipérbola
 Cuádrica
 Esferes de Dandelin

Aplicaciones
 Aerodinámica
 Astronomía
 Morfoloxía (diseñu)
 Gravitación
 Xeometría proyectiva

 Notes y referencies 

 Enllaces esternos 

 (14/5/12)

Categoría:Xeometría analítica

Categoría:Curves alxebraiques