Identidá d'Euler

Llámase identidá d'Euler a un casu especial de la fórmula desenvuelta por Leonhard Euler, notable por rellacionar cinco números bien utilizaos na historia de les matemátiques y que pertenecen a distintes cañes de la mesma:

onde:

 π (númberu pi) ye un númberu irracional y trascendente que rellaciona'l llargor de la circunferencia col so diámetru y ta presente en delles de les ecuaciones más fundamentales de la física. 
 e (númberu d'Euler) ye la suma de la serie , qu'apaez en numberosos procesos naturales y en distintos problemes físicos y matemáticos y ye tamién un númberu irracional y trascendente.
 i (unidá imaxinaria) ye la raíz cuadrada de -1, a partir del cuál constrúi'l conxuntu de los númberos complexos.
 0 y 1 son los elementos neutros respeutivamente de l'adición y la multiplicación

 Esplicación 
La identidá ye un casu especial de la Fórmula d'Euler, que especifica que



pa cualesquier númberu real x. (Nótese que los argumentos pa les funciones trigonométriques sen y cos tomar en radianes.) En particular si



entós



y yá que 



y que

síguese que



Lo cual implica la identidá



Pa una forma alternativa de notar que la identidá d'Euler ye tanto verdadera como fonda, supongamos que:


nel desenvolvimientu polinómico de y a la potencia x:

pa llograr:

simplificando (usando i² = -1):

Al dixebrar el segundu miembru de la ecuación en subseries real ya imaxinaries:


Puede comprobase la converxencia d'estos dos subseries infinites, lo cual implica



 Llogaritmos de númberos negativos 

El llogaritmu natural d'un númberu complexu z = a+bi (onde a y b son númberos reales) defínese como: 

Onde  ye:

Notar que con esta definición, arg(z) ta nel intervalu  (l'argumentu nesti intervalu ye conocíu como'l "valor principal del argumentu" o a cencielles "argumentu principal"). Esta definición nun ye la única posible, yá que pudo habese definíu en [0, 2π), etc.

Pa llogaritmos d'otres bases, tiense la siguiente rellación por aciu "cambéu de base" :



Por casu :

. 

Y tamién se cumple:

.

Lo anterior puede deducise de la definición. Tamién puede llograse  a partir de la identidá d'Euler, pero nun ye la razón de la deducción de ln(-1). Esti detalle va esplicase de siguío.

Sábese que , pero tamién ye ciertu que  o . De fechu polo xeneral:

L'error que puede cometese equí, ye que si , entós a = b. Lo anterior ye válidu si a y b son númberos reales, pero en complexos esto non se siempres se cumple. Per ende magar , nun ye ciertu que . D'esta forma, puede vese que:

.

Antes mentóse que si se puede llograr  cola identidá d'Euler, pero nun ye recomendable faelo, porque puede cometese errores como lu describir más arriba, yá que non siempres se cumple'l fechu de que si  entós a = ln(b).

Otru error ye lo siguiente:

.

L'error equí asocede en . Esto postreru nun ye correutu y el motivu ye que 

.

Porque  solo cumplir de manera xeneral si a ye positivu. Per un sitiu , pero  nun ye real, yá que ln(-y) nun ye un númberu real.

 Identidá Aumentada 

El númberu áureo (tamién llamáu númberu d'oru​) ye un númberu irracional,​ representáu por la lletra griega φ (phi) o Φ (Phi) = 1,61803398874988.... 

Una de les sos propiedaes ye:

Por tanto: 

Reemplazando '1' na identidá d'Euler, , tiense:

Por tanto:

Ordenando los términos de la ecuación queda:

D'esta manera rellacionen siete númberos bien utilizaos, cinco operaciones de les matemátiques y la ecuación cuadrática.

 Ver tamién 
 Leonhard Euler
 Fórmula d'Euler
 Fórmula de De Moivre
 Númberu áureo

 Referencies 


Categoría:Π
Categoría:Analís matemáticu
Euler
Categoría:Esponenciales