Teoría de categoríes

La teoría de categoríes ye un estudiu matemáticu que trata d'axomatizar de forma astracta diverses estructures matemátiques como una sola, por aciu l'usu d'oxetos y morfismos. Coles mesmes trata d'amosar una nueva forma de ver les matemátiques ensin incluyir les nociones d'elementos, pertenencia, ente otres.
 Historia 
La teoría de categoríes foi introducida en Topoloxía alxebraica, por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane en 1942, nun importante pasu pa la transición dende homoloxía a Teoría de la homoloxía. Stanislaw Ulam afirma qu'esistíen idees asemeyaes na escuela polaca de los años 30 (ver Stanislaw Ulam).Introducción a la álxebra astracta".Juan Francísco Escamílla Catillo , páxs. 329.

Los desarrollos subsiguientes de la teoría fueron impulsaos poles necesidaes computacionales del Álxebra homológica y más tarde poles necesidaes axomátiques de la Xeometría alxebraica.Introducción a la álxebra astracta".Juan Francísco Escamílla Catillo , páxs. 329. La teoría xeneral -cierta actualización del álxebra universal con munches carauterístiques nueves que daben pie a una cierta flexibilidá en semántica y lóxiques d'orde cimeru- vieno más tarde.

Estes aplicaciones de categoríes nel campu de los fundamentos tán siendo trabayaes en bastante detalle y non solamente en matemátiques. Esisten matemáticos como William Lawvere que trabayen na física, esisten físicos trabayando en n-categoríes, John Baez. 
La Lóxica Categórica ye agora un campu bien definíu basáu na teoría de tipos pa la Lóxica intuicionista, con aplicaciones a la teoría de la programación funcional y la teoría de dominios, toes enmarcaes nuna categoría cartesianamente zarrada como descripciones non sintáctiques del cálculo lambda. L'usu del llinguaxe de la teoría de les categoríes déxa-y a unu esclariar qué tienen esautamente de mancomún toes estes árees.

 Rellación filosófica 
Escuéyese'l términu categoría d'Aristóteles pero nel sentíu de Kant col enfotu de acomuñar a una forma pura pero nel contestu puramente matemáticu, esto ye, ensin efeutos fora de les matemátiques.

 Funtores  

Col conceutu de categoría pretende prindase -poniendo l'énfasis nel conceutu de rellación (d'aplicación), más que d'elementu y pertenencia- la esencia d'una clase d'oxetos matemáticos, que se rellacionen por aciu aplicaciones, los morfismos na categoría en cuestión. Por casu, la clase de los grupos: en cuenta de estudiar los oxetos individuales (cada grupu) como se vieno faciendo, se enfatizan dichos morfismos ente ellos, que nun son otra cosa que les aplicaciones que "caltienen la so estructura". Nel exemplu de los grupos, dichos morfismos son los homomorfismos de grupos. Entós, una vegada que tenemos el nuesu "universu categorial" definíu -esto ye, una categoría- ye posible rellacionala con otres categoríes por aciu funtores, que son cierta xeneralización del conceutu de función pa categoríes: un funtor acomuña a cada oxetu d'una categoría un oxetu de la otra, y a cada aplicación de la primera una aplicación de la segunda. De cierta manera llévanos d'una imaxe de la categoría escontra la otra categoría, con ciertos graos de "afinamientu". Ciertes "construcciones naturales", como'l grupu fundamental d'un espaciu topolóxicu, pueden ser espresaes como funtores. Amás, dichos funtores tán bien de cutiu naturalmente rellacionaos y esto lleva al conceutu de tresformamientu natural.

Categoríes especiales, como los topos, tán sirviendo tamién como alternativa "generalizadora" y conceptualmente más rica de la teoría de conxuntos como fundamentu de les matemátiques .

 Aproximamientu de la teoría de clases 

Pa esaniciar los problemes surdíos de les paradoxes como la de Russell plantegóse'l siguiente parche a la Teoría de conxuntos:

Vamos Llamar "clase" a una agrupación d'oxetos.

Vamos Llamar "conxuntu" a les clases capaces de ser, elles mesmes, oxetos d'otres clases.

Vamos Llamar "clase mesma" a les clases incapaces de ser oxetos d'otra clase.

= Definición de categoría Complexu|1delles definiciones y demostraciones matemátiques formales}}

 ye una categoría si tien:

1) una clase , llamada clase d'oxetos de .

2) , pa tou , un conxuntu de morfismos de  en , llamáu , que los sos elementos  escríbense como  o tamién . 

3) , pa tou , y pa tou ,  cumplir les siguientes propiedaes:

a) esisti  tal que , esto ye, tenemos l'aplicación 

b) propiedá asociativa na composición, ye dicir , pa tou .

c) esistencia del morfismo identidá  tal que  y .
Nota Si les clases d'oxetos son solamente conxuntos, dizse que la categoría ye "pequeña" (small category). Esisten importantes categoríes que nun lo son.

 Definición de subcategoría 


Daes dos categoríes  y , vamos dicir que  ye una subcategoría de  si:

i)  ye subclase de 

ii) 

iii) 

iv) .

nota Dizse que la subcategoría ye llena si 

 Exemplos básicos 

De cada categoría da'l nome, oxetos que formen la clase y morfismos propios ente dichos oxetos respeutivamente:

 La categoría Con, de tolos teoría de conxuntos conxuntos y aplicaciones ente estos.

 La categoría Top, de tolos espacios topolóxicos y les aplicaciones continues ente estos.

 y 

 La categoría G, de tolos grupos y los homomorfismos ente estos.

 y 

 La categoría Gab, de tolos grupos abelianos y los homomorfismos ente estos.

 y 

 La categoría VecK, de tolos espacios vectoriales sobre un cuerpu K y les aplicaciones lliniales ente estos.

 y 

 La categoría An, de tolos aniellos y les aplicaciones ente estos.

 y 

 La categoría Anc, de tolos aniellos conmutativos y les aplicaciones ente estos.

 y 

 Dau un conxuntu parcialmente ordenáu, , hai una categoría , de tolos elementos de , y, , el conxuntu de morfismos vien dau por: 

 Dada una categoría , hai una categoría llamada dual o opuesta , cola mesma clase d'oxetos y, 

 Daes dos categoríes  y , hai la categoría productu , de clase  y de morfismos 

 La categoría ModR de tolos módulos pela derecha sobre'l aniellu R con unidá, xunto colos sos homomorfismos de módulos. Análogamente, la categoría de los módulos pela esquierda.
 La categoría Met de tolos espacios métricos xunto a les funciones curties.
 La categoría Uni de tolos espacios uniformes xunto a los unimorfismos.
 La categoría Ord de tolos conxuntos preordenados xunto a les funciones crecientes.
 Una categoría monoidal ye una categoría con una operación asociativa y un únicu elementu neutral con ésta operación. Los exemplos prototípicos son la categoría de conxuntos cola operación: unión dixunta y el conxuntu vacíu como elementu neutru, y la categoría d'espacios vectoriales sobre un cuerpu col productu tensorial d'espacios vectoriales y el mesmu cuerpu como l'únicu elementu neutral.
 Un grafo puede considerase como una categoría pequeña: los oxetos seríen los vértices del grafo y los morfismos los caminos nel grafo. La composición de morfismos ye la concatenación de caminos.
 Si I ye un conxuntu, la categoría: categoría discreta sobre I ye la categoría pequeña que tien como oxetos a los elementos de I y como morfismos namái a los morfismos identidá (qu'hai en toa categoría, como vais recordar).
 La categoría Mag de tolos magmes xunto colos sos homomorfismos.
 La categoría Med de tolos magmes mediales xunto colos sos homomorfismos.
 La cat Mon, de los monoides y los sos monoide-morfismos. Usaes en TQFT, álxebres de Frobenius, cobordismo.

 Definiciones pa tipos de morfismos 

Dada una categoría  y oxetos , vamos dicir qu'un morfismo  ye :

monomorfismo si  y  tales que  siempres asocede qu'o implica que .

epimorfismo si  y  tales que  siempres asocede qu'o implica que .

isomorfismu si  y .

endomorfismo si 
automorfismo si  ye un isomorfismu y 

 Proposición 

Dada una categoría , oxetos  y  cumplir:

 y  tal que  ye un monomorfismo, implica que  ye un monomorfismo.

 y  tal que  ye un epimorfismo, implica que  ye un epimorfismo.

 isomorfismu, implica que ye monomorfismo y epimorfismo.

Nota Esisten morfismos que son monomorfismos y epimorfismos que nun son isomorfismos.

 Definiciones pa tipos d'oxetos 

Dada una categoría , vamos dicir qu'un oxetu  ye:

inicial si 

final, si 

nulu, si ye inicial y terminal al empar.

 Exemplos 

Na categoría Con, el Conxuntu vacíu ye un oxetu inicial, y tou conxuntu formáu con un únicu elementu ye un oxetu final na categoría de conxuntos.

 Proposición 

Dada una categoría , ente los sos oxetos iniciales/finales hai un únicu isomorfismu.

 Definición de funtor 


Daes dos categoríes  y , vamos dicir que  ye:

funtor covariante si:

1),, tenemos que .

2),, tenemos que  tal que:

a),, tenemos que .

b), ,

.

funtor contravariante si:

1),, tenemos que .

3),, tenemos que  tal que:

a),, tenemos que .

b), ,

.
Nota Daes tres categoríes , y dos funtores covariantes  y , la composición ye'l funtor covariante  tal que:

, 

, .

 Exemplos 

Dada una categoría , vamos dicir que ye'l funtor identidá a  si dexa tou  igual, claramente ye un funtor covariante recurriendo a la definición.

Daes una categoría  y una subcategoría  de , vamos dicir que ye funtor inclusión  si dexa tou  igual, claramente ye funtor covariante recurriendo a la definición.

 Definiciones pa tipos de funtores 

Daes dos categoríes  y , vamos dicir qu'un funtor covariante  ye:

plenu si,  ye refechu.

fiel si,  ye inyectivo.

dafechu fiel si,  ye biyectivo.

mestu si,  ye isomorfu a .

Dau un funtor covariante , vamos dicir que ye un isomorfismu de categoríes, si  y .

 Definición de tresformamientu natural 

Daes dos categoríes , , y dos funtores covariantes  y , hai una tresformamientu natural  ente  y  si tien:

, , un morfismo 

, , esto ye, el siguiente diagrama ye conmutativu:

Vamos Dicir qu'un morfismo  ye una equivalencia si  ye un isomorfismu.

Vamos Dicir qu'un funtor  ye una equivalencia si esiste un funtor  tal que  y , onde vamos dicir que les dos categoríes son equivalentes.

 Exemplos 

Espaciu vectorial dual: un exemplu d'un funtor contravariante dende la categoría de tolos espacios vectoriales reales a la categoría de tolos espacios vectoriales reales ta dau pola asignación a cada oxetu (cada espaciu vectorial real) un oxetu llamáu espaciu dual y a cada morfismo (esto ye, a cada aplicación llinial), el so dual o trespuesta.

Álxebra de les funciones continues: un funtor contravariante dende la categoría de los espacio topolóxicos (que los sos morfismos son les aplicaciones continues) a la categoría de les álxebres asociatives reales, ye dau asignando a cada espaciu topolóxicuX la álxebra C(X) de toles funciones reales continues sobre tal espaciu. Cada aplicación continua f : X → Y (morfismo na categoría d'espacios topolóxicos) induz un homomorfismo d'álxebres C(f) : C(Y) → C(X) por aciu la regla C(f)(φ) = φ o f pa tou φ en C(Y).

Homomorfismo de grupos: a cada par A, B de grupos abelianos puede asignase el grupu abelianu Hom(A,B) que consiste en toos homomorfismos de grupos dende A a B. Esto ye un funtor que ye contravariante nel primer argumentu y covariante nel segundu, esto ye, ye un funtor Abop x Ab → Ab (onde Ab denota la categoría de los grupos abelianos colos homomorfismos de grupos). Si f : A1 → A2 and g : B1 → B2 son morfismos en Ab, entós tiense esti homomorfismo Hom(f,g) : Hom(A2,B1) → Hom(A1,B2) dau por φ |→ g o φ o f.

Funtores 'Olvidu', o 'Forgetful': el funtor F : Ring → Ab qu'aplica un aniellu escontra'l so grupu subxacente abelianu ye un funtor qu'escaez ("forgetful"), que nos crea una imaxe de daqué más "ricu" nun oxetu más probe, con menos estructura. Los morfismos na categoría de Aniellos (homomorfismos d'aniellos) convertir en morfismos en Ab (la categoría de grupos abelianos y los sos homomorfismos).

Productos tensoriales: Si C denota la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpu fitu, coles aplicaciones lliniales como morfismos, entós el productu tensorial V [símbolu] W define un funtor C × C → C que ye covariante en dambos argumentos.

Álxebres de Lie: A cada grupu de Lie real o complexu asígnase-y el so real (o complexa) Álxebra de Lie, colo que se define un funtor.

Grupu fundamental: Considera la categoría de los espacios topolóxicos con "puntos base", con "puntos distinguíos". Los oxetos son los pares (X,x), onde X ye un espaciu topolóxicu y x ye un elementu de X. Un morfismo dende (X,x) escontra (Y,y) vien dau por una aplicación continua f : X → Y tal que f(x) = y.

Pa cada espaciu topolóxicu con puntu base (X,x), vamos definir un grupu fundamental. El cual va ser un funtor dende la categoría de los espacios topolóxicos con puntos base escontra la categoría de los grupos.

Sía f una función continua dende'l intervalu unidá [0,1] escontra X tal que f(0) = f(1) = x. (Esto ye equivalente a que, f sía una aplicación continua dende'l círculu unidá nel planu complexu tal que f(1) = x.) Llamamos a tal función un llazu en X. Si f y g son llazos en X, podemos pegalos unu de siguío del otru definiendo h(t) = f(2t) cuando t percuerra [0,0.5] y h(t) = g(2(t - 0.5)) cuando t percuerra [0.5,1]. Ye fácil comprobar qu'esti h tamién ye un llazu. Si esiste una aplicación continua F(x,t) dende [0,1] × [0,1] a X tal que f(t) = F(0,t) ye un llazu y g(t) = F(1,t) ye tamién un llazu entós dizse que f y g son equivalentes. Puede probase qu'esto define una rellación d'equivalencia. La nuesa regla de composición asegura que tou vaya bien. Agora, amás, podemos ver que se tien un elementu neutru y(t) = x (una aplicación constante) y que cada llazu tien un llazu inversu. Ello ye que si f(t) ye un llazu entós f(1 - t) ye'l so inversu. El conxuntu de clases d'equivalencia de llazos forma entós un grupu (el grupu fundamental de X). Puede comprobase que l'aplicación dende la categoría d'espacios topolóxicos con puntu base a la categoría de grupos ye funtorial: un (homo/iso)morfismo topolóxicu va faese corresponder naturalmente a un (homo/iso)morfismo de grupos.

Teoría de fexes: prehaces. Si X ye un espacio topolóxicu, entós los conxuntos abiertos en X pueden ser consideraos como los oxetos d'una categoría CX; esistiendo un morfismo de O a V si y namái si O ye un subconxuntu de V. En sí mesma, esta categoría nun ye bien escitante, pero los funtores dende CXop escontra otres categoríes, llamaos pre-faes sobre X, son interesantes. Por casu, asignando a cada conxuntu abiertu O el álxebra asociativa de les funciones reales sobre O, llógrase un pre-fexe d'álxebres sobre X.

Esti exemplu de motivación xeneralizar por aciu la considerancia de pre-fexes sobre categoríes arbitraries: un pre-fai sobre C ye un funtor definíu sobre Cop. El Lema de Yoneda da cuenta de que de cutiu una categoría C puede estendese por aciu la considerancia de la categoría de pre-faes sobre C.

La Categoría de les categoríes pequeñes: La categoría Cat tien como oxetos a toles categoríes pequeñes, y como morfismos a los funtores ente elles.

 Construcciones universales 
Los funtores son de cutiu definíos per mediu de propiedaes universales; como exemplos tenemos los productos tensoriales de riba, la suma direuta y el productu direutu de grupos o d'espacios vectoriales, la construcción de los grupos llibres módulos, y llendes direutos y inversos. Los conceutos de llende y colímite xeneralicen múltiples conceutos.
Les construcciones universales de cutiu dan llugar a pares de funtores axuntos.

 Productu 
Dada una categoría  y una familia d'oxetos , vamos llamar productu de  al par  onde  y  ye una familia de morfismos onde , y tal que satisfai la condición de que pa cada familia , onde , esiste un únicu morfismo  tal que 

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El productu se denota por  y en particular tamién  si 

 Coproducto 
Dada una categoría  y una familia d'oxetos , vamos llamar coproducto de  al par  onde  y  ye una familia de morfismos onde , y tal que satisfai la condición de que pa cada familia , onde , esiste un únicu morfismo  tal que 

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El coproducto se denota por 

 Otros conceutos y resultaos 
Les definiciones de categoríes y funtores apróvennos namái de la base inicial de la álxebra categorial. Los tópicos llistaos embaxo son bien importantes. Anque hai fuertes interrellaciones ente toos ellos, l'orde en que los damos pue ser consideráu una guía pa posteriores llectures.

 tresformamientu natural: Mientres los funtores dan un camín pa pasar, imprimir una categoría n'otra, los tresformamientos naturales apróvennos d'una rellación similar ente funtores.
 El Lema de Yoneda ye unu de los resultaos más famoses de la teoría de categoríes.
 Llendes y colímites: Pa introducir ciertes construcciones como los productos (de conxuntos, de topoloxíes, d'ordes parciales, ...), na teoría, les llendes y los colímites son d'ayuda.
 funtores axuntos: Un funtor puede ser l'adxuntu pela esquierda (o pela derecha) d'otru funtor que vaya na direición opuesta. Sicasí, cuando los comparamos coles rellaciones clásiques de les aplicaciones que caltienen les estructures (inverses...), el conceutu de adjunción de funtores aparenta ser bastante astractu y xeneral. Ye de gran utilidá entá y tien rellación con munchos otros conceutos importantes, como asocede na construcción de llendes.
 equivalencia de categoríes: Pa llograr un criteriu fayadizu pa discernir si dos categoríes pueden o nun ser consideraes similares, ye necesariu atopar una noción más xeneral que'l conceutu clásicu d'isomorfismu. Les equivalencies de categoríes tán bien rellacionaes con dualidá de categoríes.
 diagrames conmutativos: Una y bones la teoría de categoríes trata usualmente con oxetos y fleches ye conveniente espresar les identidaes por aciu diagrames.

 Referencies 

 Bibliografía 
Los dos testos de Lawvere son les introducciones más sencielles qu'esisten.
El de Mac Lane ye unu "clásicu" nesta materia, y el Borceaux ye una pequeña enciclopedia.

 William Lawvere & Steve Schanuel, Matemátiques Conceptuales: Una primer introducción a categoríes, Sieglu XXI, 2002 (traducción de Marmolejo Rivas, Francisco a partir de Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge University Press, Cambridge, 1997).
 William Lawvere & Steve Schanuel, Sets for mathematics, Cambridge University Press, 2003.
 Saunders Mac Lane (1998): Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5, Springer; ISBN 0-387-98403-8
 Francis Borceux. Handbook of Categorical Algebra, volumes 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, 1994.
 Juan Francísco Escamilla Castillo. Introducción a la Álxebra Astracta, Lulu.
 A. J. Berrick & M. Y. Keating. Categories and Modules. Cambridge University Press. 2000.

 Enllaces esternos 
 Primer presentación: http://www.jstor.org/stable/1990284

 Un proyeutu que pretende empezar la divulgación en castellán ye'l d'http://arrows.ourproject.org/.

 "Category Theory" artículu n'inglés de Jean-Pierre Marquis na Stanford Encyclopedia of Philosophy .


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