Principiu d'Arquímedes

El principiu d'Arquímedes ye un principiu físicu qu'afirma: «Un cuerpu total o parcialmente somorguiáu nun fluyíu en reposu, esperimenta un emburrie vertical y escontra riba igual al pesu de la masa del volume del fluyíu que desalluga». Esta fuerciaL'emburrie de baxo escontra riba non siempres ye abondu pa mover al cuerpu pos si esti ye más trupu que'l fluyíu nel que ta somorguiáu dichu cuerpu nun se moviera escontra riba, ye más se va fundir a pesar del emburrie arquimideano, solo que lo fadrá más amodo. Va Xubir (va llexar) solu si la so densidá ye menor que la del fluyíu. recibe'l nome de emburrie hidrostáticu o d'Arquímedes, y mídese en newtons (nel SI). El principiu d'Arquímedes formúlase asina:

o bien cuando se desea determinar pa comparalo contra'l pesu del oxetu:

onde Y ye l'emburrie [N], Pe ye'l pesu específicu del fluyíu [N/m^3], ρf ye la densidá del fluyíu, V el volume de fluyíu movíu» por dalgún cuerpu somorguiáu parcial o totalmente nel mesmu, g l'aceleración de la gravedá y m la masa. D'esta miente, l'emburrie depende de la densidá del fluyíu, del volume del cuerpu y de la gravedá esistente nesi llugar. L'emburrie (en condiciones normalesEn condiciones de ingravidez (o pseudo-ingravidez por cayida llibre como asocede al orbitar) y pa cuerpos abondo pequeños que nun puedan xenerar un campu gravitatoriu mesmu apreciable, la presión hidrostática dexa d'esistir. Arriendes d'ello, so eses condiciones nun hai nenguna clase d'emburrie escontra nengún llau por ausencia de gradiente de presiones, lo cual implica que'l principiu d'Arquímedes, neses condiciones, “nun ye aplicable”. y descritu de manera simplificadaLes fuercies qu'actúen hidrostáticamente sobre otru cuerpu facer distribuyíes por tola superficie de contautu que tengan col mesmu; la integral d'estes fuercies de superficie (presiones) va danos una resultante de fuercies allugada nel centru de gravedá. Esto déxanos válidamente y por simplicidá l'imaxinar abstractamente que ta actuando una sola fuercia ellí, pero lo concreto ye que nun esiste na realidá una fuercia aplicao nel centru de gravedá.) actúa verticalmente escontra riba y ta aplicáu nel centru de gravedá del cuerpu; esti puntu recibe'l nome de centru de carena.

 Historia 
Arquímedes creció nun ambiente onde la ciencia yera familiar, yá que'l so padre, Fidias, yera astrónomu. Arquímedes reveló tempranamente particular disposición pa los estudios. Viaxó pola península ibérica y estudió n'Alexandría. Ellí trabó amistá col famosu Eratóstenes de Cirene, con quien efeutuó la midida de la circunferencia terrestre. Probablemente por cuenta de los estudios realizaos con Eratóstenes, más que por tradición familiar, en Arquímedes nació l'afición pola astronomía. Vueltu a Siracusa, dedicar a los sos estudios de matemática, física, xeometría, mecánica, óptica y astronomía. En toes estes materies realizó investigaciones qu'entá güei resulten difíciles pa una persona de bona preparación.

L'anéudota más conocida sobre Arquímedes, matemáticu griegu, cunta cómo inventó un métodu pa determinar el volume d'un oxetu con una forma irregular. Acordies con Vitruvio, arquiteutu de l'antigua Roma, una nueva corona con forma de corona trunfal fuera fabricada para Hierón II, tiranu gobernador de Siracusa, que pidió-y a Arquímedes determinar si la corona taba fecha d'oru puru o si un orfebre deshonesto amestára-y plata. Arquímedes tenía que resolver el problema ensin estropiar la corona, asina que nun podía fundila y convertila nun cuerpu regular pa calcular el so densidá.

Mientres tomaba un bañu, notó que'l nivel d'agua xubía na tina cuando entraba, y asina se dio cuenta de qu'esi efeutu podría usase pa determinar el volume de la corona. Por cuenta de que la compresión de l'agua sería despreciable, la corona, al ser somorguiada, movería una cantidá d'agua igual al so propiu volume. Al estremar la masa de la corona pol volume d'agua movida, podría llograse la densidá de la corona. La densidá de la corona sería menor si otros metales más baratos y menos trupos fuéren-y añadíos. Entós, Arquímedes salió corriendo desnudu peles cais, tan emocionáu taba pol so descubrimientu pa recordar vistise, glayando «¡Eureka!» (en griegu antiguu: «εὕρηκα» que significa «¡Lo atopé!»)

Yá que la hestoria tresmitiérase de forma oral, mientres la renacencia foi cuestionada pola imprecisión de midir el volume y l'emburrie por separáu y estremalos, y tamién pol fechu de que la descripción anterior nun utiliza pa nada el Principiu d'Arquimedes. Galileo En 1586, con solu 22 años, publicó l'artículu La Bilancetta, nel que describía una forma de comparar densidaes con una balanza somorguiada y proponía que podría ser el dispositivu orixinal del propiu Arquímedes.Galileo Galilei, La Bilancetta. 1586

La hestoria de la corona dorada nun apaez nos trabayos conocíos d'Arquímedes, pero nel so tratáu Sobre los cuerpos flotantes él da'l principiu de hidrostática conocíu como'l principiu d'Arquímedes. Este plantega que tou cuerpu somorguiáu nun fluyíu esperimenta un emburrie vertical y escontra riba igual al pesu del volume de fluyíu desallugáu; esto ye, daos dos cuerpos que se somorguien nel senu d'un fluyíu (ej:agua), el más trupu o'l que tenga compuestos más pesaos somórguiase más rápidu, esto ye, tarda menos tiempu pa llegar a una posición d'equilibriu. Esto asocede pol gradiente de presión qu'apaez nel senu del fluyíu, que ye direutamente proporcional a la fondura d'inmersión y al pesu del propiu fluyíu.

 Demostración 
El principiu d'Arquímedes puede deducise matemáticamente de les ecuaciones de Euler pa un fluyíu en reposu que de la mesma pueden deducise xeneralizando les lleis de Newton a un mediu continuu. De la mesma manera'l principiu d'Arquímedes puede deducise de les ecuaciones de Navier-Stokes pa un fluyíu:

La condición de que'l fluyíu incompresible que tea en reposu implica tomar na ecuación anterior , lo que dexa llegar a la rellación fundamental ente presión del fluyíu, densidá del fluyíu y aceleración de la gravedá:

A partir d'esa rellación podemos reescribir fácilmente les fuercies sobre un cuerpu somorguiáu en términos del pesu del fluyíu desallugáu pol cuerpu. Cuando se somorguia un sólidu K nun fluyíu, en cada puntu de la so superficie apaez una fuercia por unidá de superficie  perpendicular a la superficie nesi puntu y proporcional a la presión del fluyíu p nesi puntu. Si llamamos  al vector normal a la superficie del cuerpu podemos escribir la resultante de les fuercies  cenciellamente por aciu el teorema de Stokes de la diverxencia:

onde la última igualdá dase solu si'l fluyíu ye incompresible.

 Otra demostración 
Supongamos un cuerpu de volume  somorguiáu nun fluyíu de densidá , agora podemos escoyer pequeños elementos d'área , tales que tiendan a ser un puntu de la superficie del cuerpu.

Sobre cada puntu (elementu d'área) actúa una presión de valor  y una fuercia  acomuñada a ella, tal que 

Toles fuercies que tán bordiando'l cuerpu por cuenta de la presión a un mesmu nivel  anúlense. quedando namái fuercies en direición escontra baxo y escontra riba.

Agora si tomamos dos puntos de la superficie del cuerpu que tean coneutaos al traviés d'una vertical tenemos una respeutiva fuercia escontra baxo  y otra escontra riba  y per ende una respeutiva resultante 

Onde la parte  ye un pequeñu elementu de volume del cuerpu, .

Poro,  puede reescribise como:

Agora, l'emburrie  vien ser la fuercia neto 

Onde la suma de tolos pequeños elementos de volume del cuerpu, , resulta ser el volume total del cuerpu somorguiáu, esto ye, 

Polo tanto llegar a:

Esto ye, l'emburrie ye proporcional al volume del líquidu movíu pol cuerpu, ye dicir proporcional al volume del cuerpu somorguiáu.

Sabiendo que , reemplazando llógrase:

Esto ye, l'emburrie ye igual al pesu del líquidu movíu.

Con esto queda demostráu'l principiu d'Arquímedes.

 Prisma rectu 
Pa un prisma rectu de base Ab y altor H, somorguiáu en posición totalmente vertical, la demostración anterior ye realmente elemental. Pola configuración del prisma dientro del fluyíu les presiones sobre l'área llateral solo producen emburries horizontales qu'amás s'anulen ente sigo y nun contribúin a sofitalo. Pa les cares cimera ya inferior, yá que tolos sos puntos tán somorguiaos a la mesma fondura, la presión ye constante y podemos usar la rellación Fuercia = presión x Área, y teniendo en cuenta la resultante sobre la cara cimera ya inferior, tenemos:

onde  ye la presión aplicada sobre la cara inferior del cuerpu,  ye la presión aplicada sobre la cara cimera y A ye l'área proyeutada del cuerpu. Teniendo en cuenta la ecuación xeneral de la hidrostática, qu'establez que la presión nun fluyíu en reposu aumenta proporcionalmente cola fondura:

Introduciendo nel últimu términu'l volume del cuerpu y multiplicando pola densidá del fluyíu ρf vemos que la fuercia vertical ascendente FV ye precisamente'l pesu del fluyíu desallugáu.

L'emburrie o fuercia qu'exerz el líquidu sobre un cuerpu, en forma vertical y ascendente, cuando esti tópase somorguiáu, resulta ser tamién la diferencia ente'l pesu que tien el cuerpu suspendíu nel aire y el "pesu" que tien el mesmu cuando lo introduz nun líquidu. A esti postreru conocer como pesu "aparente" del cuerpu, pos el so pesu nel líquidu mengua "aparentemente"; la fuercia qu'exerz la Tierra sobre'l cuerpu permanez constante, pero'l cuerpu, de la mesma, recibe una fuercia escontra riba que mengua la resultante vertical.

onde  ye'l pesu del cuerpu nel aire y  ye'l pesu del cuerpu somorguiáu nel líquidu.
 Notes

 Referencies 

 Bibliografía 




 Ver tamién 
 Hidrostática
 Arquímedes

Arquimedes
Categoría:Arquímedes