Llende d'una socesión

El llende d'una socesión ye unu de los conceutos más antiguos del analís matemáticu. Ye'l valor al que tienden los términos de la socesión cuando  toma valores bien grandes. Representar por aciu , y lléese llende cuando  tiende a más infinitu de  sub .

Esti conceutu ta estrechamente amestáu al de converxencia, una socesión d'elementos d'un conxuntu ye converxente si y solu si nel mesmu conxuntu esiste un elementu (al que se-y conoz como llende) al cual la socesión avérase tanto como se deseye a partir d'un momentu dau. Si una socesión tien llende, dizse que ye una socesión #Tipos de converxencia converxente, y que la socesión converxe o tiende a la llende. En casu contrariu, la socesión ye diverxente.

La definición significa que eventualmente tolos elementos de la socesión avérense tanto como queramos al valor llende. La condición qu'impon que los elementos atópense arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes non implica, polo xeneral, que la socesión tenga una llende (vease socesión de Cauchy).

Qué s'entiende por próximu da llugar a distintes definiciones de llende dependiendo del conxuntu onde se definió la socesión (vease distancia).

 Llende d'una socesión de númberos reales 

 Definición formal 
El términu xeneral d'una socesión  tien llende , cuando  tiende a , si pa tou valor  por pequeñu que sía, esiste un valor  a partir del cual si  tenemos que la distancia de  a  ye menor que , esto ye:

.
x=a

 Notación 

o bien

o tamién

o a cencielles

 Exemplos 
 La socesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converxe a la llende 0.
 La socesión 1, -1, 1, -1, 1, ... ye trémbole.
 La socesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converxe a la llende 1.
 Si a ye un númberu real con valor absolutu |a| < 1, entós la socesión an tien llende 0. Si 0 < a ≤ 1, entós la socesión a1/n tien llende 1.




 Propiedaes 
 Si una socesión  tien llende positiva, esiste un términu a partir del cual tolos términos de la socesión son positivos.
 Si una socesión  tien llende negativa, esiste un términu a partir del cual los términos de la socesión son negativos.
 Si una socesión  converxe a cero, nun puede asegurase nada avera del signu de cada unu de los términos de la socesión.
 Si una socesión  tiende a menos infinitu y  entós  tiende a 0.

 Llende d'una socesión complexa  

Dizse que la socesión converxe escontra un complexu  si y solu si :
Nótese que ye la mesma definición que pa , con módulu en llugar del valor absolutu.

Puede escribise
 o más a cencielles, si nun hai ambigüedá 
Les socesiones complexes converxentes tienen les mesmes propiedaes que les socesiones reales, sacante les de rellación d'orde: la llende ye únicu, una socesión converxente tien módulu acutáu, toa socesión de Cauchy converxe (n'efeutu,  ye tamién completu).

 Exemplos 
 Socesiones en  ó 
 Socesiones en 
 Socesiones nel espaciu 
 Socesiones nel espaciu 
 Socesiones nel espaciu de les funciones continues 

 Tipos de converxencia 

 Converxencia puntual 
El conceutu de converxencia puntual ye unu de los varios sentíos nos cualos una socesión de funciones puede converxer a una función particular.

Una socesión de funciones  definíes nun conxuntu non vacíu  con valores nun espaciu métricu  converxe puntualmente a una función  si

pa cada  fixu. Esto significa que

La socesión de funciones  con  converxe puntualmente a la función  yá que

pa cada  fixu.

 Converxencia uniforme 
Una socesión de funciones  definíes nun conxuntu non vacíu  con valores nun espaciu métricu  converxe uniformemente a una función  si pa tou  esiste un enteru  (que depende de ) tal que

pa tou  y tou . Esto ye,

El conceutu de converxencia uniforme ye un conceutu más fuerte que'l de converxencia puntual. En ,  puede depender de  y de  ente qu'en ,  namái puede depender de . Asina, toa socesión que converxe uniformemente, converxe puntualmente. L'enunciáu recíprocu ye falsu, y un contraejemplo clásicu constituyir les socesión de funciones  definíes por . Esta socesión converxe puntualmente a la función

yá que

ente que  Sicasí esta socesión nun converxe uniformemente, pos para  nun esiste un  que satisfaiga .

D'especial interés ye l'espaciu de les funciones continues  definíes sobre un compactu  Nesti casu, una socesión de funciones  converxe uniformemente a una función  si, y namái si, converxe na norma del sup, i.e.,

 Socesiones n'otros espacios matemáticos 
Una socesión d'elementos  d'un espaciu métricu  converxe a un elementu  si pa tou númberu  esiste un enteru positivu  (que depende de ) tal que

Intuitivamente, esto significa que los elementos  de la socesión pueden faese arbitrariamente cercanos a  si  ye abondo grande, yá que  determina la distancia ente  y . A partir de la definición ye posible demostrar que si una socesión converxe, facer escontra una única llende.

La definición aplicar en particular a los espacios vectoriales normados y a los espacios con productu internu. Nel casu d'un espaciu normado  la norma  induz la métrica  pa cada ; nel casu d'un espaciu con productu internu  el productu internu  induz la norma  pa cada 

 Converxencia uniforme sobre compactos 

 Converxencia débil 
Una socesión dizse que converxe sele a  o en sentíu débil si pa toa funcional llinial ,  converxe a .

Por casu la serie  dende  hasta infinitu converxe sele a cero. Pos:


Tou esto, pos  ye llinial.

 Llende nun espaciu topolóxicu 

Una xeneralización d'esta rellación, pa una socesión de puntos  nun espaciu topolóxicu T:

Si  dizse que L ye una llende d'esta socesión y escríbese

si y solu si pa tou redolada S de L esiste un númberu natural N tal que  pa tou 

De forma intuitiva, suponiendo que se tien una socesión de puntos (por casu un conxuntu infinitu de puntos numberaos utilizando los númberos naturales) en dalgún tipu d'oxetu matemáticu (por casu los númberos reales o un espaciu vectorial) qu'almite'l conceutu de redolada (nel sentíu de "tolos puntos dientro d'una cierta distancia d'un dau puntu fixu"). Un puntu L ye la llende de la socesión si pa toa redolada que se defina, tolos puntos de la socesión (cola posible esceición d'un númberu finito de puntos) tán próximos a L. Esto pue ser interpretáu como si hubiera un conxuntu d'esferes de tamaños decrecientes hasta cero, toes centraes en L, y pa cualesquier d'estes esferes, solo esistiera un númberu finito de númberos fora d'ella.

Ye posible tamién qu'una socesión nun espaciu topolóxicu xeneral, pueda tener delles llendes distintes, pero una socesión converxente tien un únicu llende si T'' ye un espaciu de Hausdorff, por casu la recta real (estendida), el planu complexu, los sos subconxuntos (R, Q, Z...) y productos cartesianos (Rn...).

 Teoría de la probabilidá 
En teoría de la probabilidá esisten distintes nociones de converxencia: converxencia de funciones medibles, converxencia en distribución y llendes de variables aleatories.

 Ver tamién 
Socesión matemática
Serie matemática
Serie converxente
Orde de converxencia
Llende d'una función
Llende matemática
Radio de converxencia

 Referencies 

 Enllaces esternos 

 Exemplos de socesiones

Categoría:Socesiones
Categoría:Analís real