Dimensión

La dimensión (del llatín dīmensiō astractu de dēmētiri 'midir') ye un númberu rellacionáu coles propiedaes métriques o topolóxiques d'un oxetu matemáticu. La dimensión d'un oxetu ye una midida topolóxica del tamañu de les sos propiedaes de recubrimientu. Esisten diverses midíes o conceptualizaciones de dimensión: dimensión d'un espaciu vectorial, dimensión topolóxica, dimensión fractal, etc.

En xeometría, física y ciencies aplicaes, la dimensión d'un oxetu defínese informalmente como'l númberu mínimu de coordenaes necesaries pa especificar cualquier puntu d'ella.MathWorld: Dimension Asina, una llinia tien una dimensión porque namái se precisa una coordenada pa especificar un puntu de la mesma. Una superficie, tal como un planu o la superficie d'un cilindru o una esfera, tien dos dimensiones, porque se precisen dos coordenaes pa especificar un puntu nella (por casu, p'alcontrar un puntu na superficie d'una esfera precisa'l so llatitú y llargor). L'interior d'un cubu, un cilindru o una esfera ye tridimensional porque son necesaries trés coordenaes p'alcontrar un puntu dientro d'estos espacios. En casos más complicaos como la dimensión fractal o la dimensión topolóxica de conxuntos astractos la noción de númberu [enteru] de coordinaes nun ye aplicable y nesos casos tienen d'usase definiciones formales del conceutu de dimensión.

Tamién s'usa'l términu "dimensión" pa indicar el valor d'una midida llinial o llargor recta d'una figura xeométrica o oxetu físicu, anque dichu sentíu nun tien rellación col conceutu más astractu de dimensión, que ye'l númberu de graos de llibertá pa realizar un movimientu nel espaciu.

 Dimensiones físiques 
El mundu físicu nel que vivimos paez de cuatro dimensiones perceptibles. Tradicionalmente, dixebrar en tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal (y na mayoría de los casos ye razonable y práuticu). Podemos movenos escontra riba o escontra baxo, escontra'l norte o sur, este o oeste, y los movimientos en cualquier direición puede espresase en términos d'estos trés movimientos. Un movimientu escontra baxo ye equivalente a un movimientu escontra riba de forma negativa. Un movimientu norte-oeste ye a cencielles una combinación d'un movimientu escontra'l norte y de un movimientu escontra l'oeste.

El tiempu, de cutiu, ye la cuarta dimensión. Ye distintu de los trés dimensiones espaciales una y bones namái hai unu, y el movimientu paez posible namái nuna direición. Nel nivel macroscópicu los procesos físicos nun son simétricos con respectu al tiempu. Pero, a nivel subatómicu (escala de Planck), cuasi tolos procesos físicos son simétricos respectu al tiempu (esto ye, les ecuaciones utilizaes pa describir estos procesos son les mesmes independientemente de la direición del tiempu), anque esto nun significa que les partícules subatómiques puedan tornar a lo llargo del tiempu.

La Teoría de les cuerdes conxetura que l'espaciu en que vivimos tien munches más dimensiones (10, 11 o 26), pero que l'universu midíu a lo llargo d'estes dimensiones adicionales tienen tamañu subatómicu. Estes idees basar nes idees de los años 1920 nel contestu de les teoríes de Kaluza-Klein.

Nes ciencies físiques y la inxeniería, del tamañu d'una magnitú física ye la espresión del tipu d'unidaes de midida en qu'esta cantidá esprésase. La dimensión de la velocidá, por casu, resulta d'estremar el llargor ente'l tiempu [L]/[T]. Nel sistema SI, les dimensiones vienen daes por 7 magnitúes fundamentales rellacionaes coles carauterístiques físiques fundamentales.

 Dimensiones matemátiques 
En matemátiques, nun esiste una definición de dimensión qu'incluya de manera fayadiza toles situaciones. Arriendes d'ello, los matemáticos ellaboraron munches definiciones de dimensión pa los distintos tipos d'espaciu. Toes, sicasí, tán n'última instancia, basaes nel conceutu de la dimensión d'un espaciu euclideu n, Y n. El puntu Y 0 ye 0-dimensional. La llinia Y 1 ye 1-dimensional. El planu Y 2 ye 2-dimensional. Polo xeneral, Y n ye n-dimensional.

 Dimensión d'un espaciu vectorial 

Un espaciu vectorial sobre un cuerpu que se diz que tien dimensión si esiste una base de cardinal n. Nun espaciu vectorial, toles bases tienen el mesmu cardinal, lo que fai de la dimensión el primer invariante del álxebra llinial. L'espaciu vectorial trivial {0} tien como dimensión 0 porque'l conxuntu vacíu ye la so base: una combinación de cero vector da'l vector nulu.

Intuitivamente falando, la dimensión d'un espaciu vectorial diznos cuántos elementos precisamos pa poder espresar cualquier elementu del espaciu en términos de les combinaciones lliniales de los primeres, i.e., cuántos elementos del espaciu precisamos pa poder espresar tolos elementos del espaciu como sumas de múltiplos d'éstos elementos. Los espacios vectoriales de dimensión finita son bien comunes en munches árees de la ciencia, pero en matemátiques y física cuántica tamién apaecen casos importante d'espacios vectoriales de dimensión infinita.

 Dimensión topolóxica 

La dimensión topolóxica ye un númberu enteru, definitible pa cualquier espaciu topolóxicu. Pa un espaciu formáu por un puntu la dimensión topolóxica ye 0, pa la recta real ye 1, pal planu euclídeo ye 2, etc.

Más formalmente escritu, un oxetu tien dimensión topolóxica m cuando cualquier recubrimientu d'esi oxetu, tien a lo menos una dimensión topolóxica = m+1 (estableciendo primeramente que'l puntu tien dimensión topolóxica = 0).

Entá más formalmente: la definición pa conxuntos con dimensión topolóxica 0 queda como sigue: dizse qu'un conxuntu F tien dimensión topolóxica 0, , si y namái si pa tou x perteneciente a F y cualquier conxuntu abiertu O (pa la topoloxía relativa de F) que contenga a x, esiste un abiertu V tal que x pertenez a V que ta incluyíu en O y la frontera de V cola interseición a F ye vacía.

 Dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch 

Esta dimensión ye comúnmente confundible cola entropía de Kolmogórov o la dimensión de Minkowski Bouligand. La dimensión de Hausdorff-Besicovitch llógrase como un puntu d'inflexón del valor de la potencia escoyida na llargor de Hausdorff cuando esta pasa de ser infinita a ser nula. El llargor de Hausdorff ye la suma del diámetru topolóxicu eleváu a una potencia "s" d'un recubrimientu enteru del oxetu a partir de redolaes o cubrimientos de diámetru delta o menor a esti del propiu oxetu.

 La entropía de Kolmogórov 
Denominar entropía de Kolmogórov a una dimensión llograda pa facilidá de cálculos como'l cociente logarítmicu ente'l númberu d'homotecies internes atopaes nun oxetu por tresformamientu, y la inversa de la razón d'esa homotecia. Ye tamién llamada dimensión por contaje de caxes y tien una definición más intuitiva pero más llarga al respeutu.

Ye d'esta manera que los oxetos euclidianos diferenciables ver con una correspondencia nel so valor dimensional topolóxica, dimensión de contaje de caxes y dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Esto nun resulta colos fractales, onde son definíos por Benoit Mandelbrot como: 

Finalmente sabemos qu'esisten casos de fractales que nun s'apeguen a esta definición; una d'eses ye la curva del Diañu, que ye un fractal deriváu del conxuntu de Cantor.

 En ciencia ficción 

En ciencia ficción, dacuando úsase'l términu "dimensión" como sinónimu d'universu paralelu; anque'l términu tea rellacionáu nun son sinónimos (vease teoría de les cuerdes).

 Ver tamién 
 Cuaterniones
 Cuaterniones y rotación nel espaciu
 Cuarta dimensión
 Quinta dimensión
 Multiverso

 Referencies