Distribución binómica

N'estadística, la distribución binómica ye una distribución de probabilidá discreta que cunta'l númberu d'ésitos nuna secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes ente sigo, con una probabilidá fixa p d'escurrimientu del ésitu ente los ensayos. 
Un esperimentu de Bernoulli carauterízase por ser dicotómicu, esto ye, solu dos resultaos son posibles. A unu d'estos denominar ésitu» y tien una probabilidá d'escurrimientu p y al otru, «fracasu», con una probabilidá q = 1 - p.Na distribución binómica l'anterior esperimentu repítise n vegaes, de forma independiente, y trátase de calcular la probabilidá d'un determináu númberu d'ésitos. Pa n = 1, la binómica conviértese, ello ye que nuna distribución de Bernoulli.

Pa representar qu'una variable aleatoria X sigue una distribución binómica de parámetros n y p, escríbese:

La distribución binómica ye la base del test binómicu de significación estadística.

 Exemplos 

Les siguientes situaciones son exemplos d'esperimentos que pueden modelizarse por esta distribución: 
 Llánzase un dau diez vegaes y cúntase el númberu X de trés llograos: entós X ~ B(10, 1/6)

 Esperimentu binómicu 

Esisten munches situaciones nes que se presenta una esperiencia binómica. Cada unu de los esperimentos ye independiente de los restantes (la probabilidá de la resultancia d'un esperimentu nun depende de la resultancia del restu). La resultancia de cada esperimentu hai d'almitir namái dos categoríes (a les que se denomina ésitu y fracasu). Les probabilidaes de dambes posibilidaes han de ser constantes en tolos esperimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).

Designar por X a la variable que mide'l númberu d'ésitos que se producieron nos n esperimentos.

Cuando se dan estes circunstancies, dizse que la variable X sigue una distribución de probabilidá binómica, y se denota B(n,p).

 Carauterístiques analítiques 

El so función de probabilidá ye

onde 

siendo  les combinaciones de  en  ( elementos tomaos de  en )

 Exemplu 

Supongamos que se llanza un dadu (con 6 cares) 51 vegaes y queremos conocer la probabilidá de que'l númberu 3 sala 20 vegaes. Nesti casu tenemos una X ~ B(51, 1/6) y la probabilidá sería P(X=20):

 Propiedaes 

Demostración:
Por definición, , pa  el primer términu de la suma sume y llogramos , depués recordemos que , pa .

Sustituyendo lo anterior na espresión de , tenemos que . Note que nesti pasu, les  atayáronse y el factor "" sale de la suma por ser constante, finalmente pola fórmula de Newton (Teorema del binomiu) tenemos que , entós en formular anterior basta con escoyer  tenemos que:



sacando una  de la suma tenemos:

.

.

Otra forma más senciella ye la siguiente, sabemos que si  son variables aleatories entós  tenemos qu'una variable aleatoria binómica ye la suma de  
variables tipu Bernoulli, entós .

 Rellaciones con otres variables aleatories 

Si  tiende a infinitu y  ye tal que'l productu ente dambos parámetros tiende a , entós la distribución de la variable aleatoria binómica tiende a una distribución de Poisson de parámetru .

A lo último, cumplir que cuando  =0.5 y n ye bien grande (usualmente esíxese que ) la distribución binómica puede averase por aciu la distribución normal.

 Propiedaes reproductives 
Daes m variables binómiques independientes de parámetros ni (i = 1,..., m) y , la so suma ye tamién una variable binómica, de parámetros n1+... + nm, y , esto ye,

 Ver tamién 
 Actuaría
 Estadística
 Matemátiques

 Referencies 

 Enllaces esternos 

 Calculadora Distribución binómica
 Cálculu de la probabilidá d'una distribución binómica con R (llinguaxe de programación)

Binómica