Hipérbola

Una hipérbola (del griegu ὑπερβολή) ye una seición cónica, una curva abierta de dos rames llograda cortando un conu rectu por un planu oblicuu a la exa de simetría, y con ángulu menor que'l de la generatriz respectu de la exa de revolución.Si l'ángulu de planu interseición, respectu de la exa de revolución, ye mayor que l'entendíu ente la generatriz y la exa de revolución, la interseición va ser una elipse. Va Ser una parábola si ye paralelu a la citada exa, y una circunferencia si ye perpendicular a la exa.

 Etimoloxía. Hipérbole ya hipérbola 
miniaturadeimagen|Seiciones cóniques.

Hipérbola deriva de la pallabra griega ὑπερβολή (escesu), y ye cognáu de hipérbole (la figura lliteraria qu'equival a desaxeración).

 Historia 

Según la tradición, les seiciones cóniques fueron afayaes por Menecmo, nel so estudiu del problema de la duplicación del cubu, onde demuestra la esistencia d'una solución por aciu la corte d'una parábola con una hipérbola, lo cual ye confirmáu darréu por Proclo y Eratóstenes.

Sicasí, el primeru n'usar el términu hipérbola foi Apolonio de Perge nel so tratáu Cóniques, considerada obra cume sobre la tema de les matemátiques griegues, y onde se desenvuelve l'estudiu de les tanxentes a seiciones cóniques.

 Ecuaciones de la hipérbola 
Ecuaciones en coordenaes cartesianes:
Ecuación d'una hipérbola con centru nel orixe de coordenaes  y ecuación de la hipérbola na so forma canónica.



Ecuación d'una hipérbola con centru nel puntu  



Exemplos: 

a) 

b) 

Si la exa x ye positivu, entós la hipérbola ye horizontal; si ye al aviesu, ye vertical. La escentricidá d'una hipérbola siempres ye mayor qu'unu.

Ecuación de la hipérbola na so forma complexa

Una hipérbola nel planu complexu ye'l llugar xeométricu formáu por un conxuntu de puntos , nel planu ; tales que, cualesquier d'ellos satisfai la condición xeométrica de que'l valor absolutu de la diferencia de les sos distancies , a dos puntos fixos llamaos focos y , ye una constante positiva igual al doble de la distancia (esto ye  ) qu'esiste ente'l so centru y cualesquier de los sos vértices de la exa focal.

La ecuación queda:  

Evidentemente esta operación llevar a cabu nel conxuntu de los númberos complexos.

 Ecuaciones en coordenaes polares 

Hipérbola abierta de derecha a esquierda: 80px

Hipérbola abierta de riba abaxo:

Hipérbola abierta de nordés a suroeste: 80px

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

Hipérbola con orixe nel focu derechu:

Hipérbola con orixe nel focu esquierdu:

 Ecuaciones paramétricas 

Hipérbola abierta de derecha a esquierda:

Hipérbola abierta de riba abaxo:

En toles fórmules (h,k) son les coordenaes del centru de la hipérbola, a ye'l llargor del semiexe mayor, b ye'l llargor del semiexe menor.

 Elementos de la hipérbola 

 Exa mayor o real 
La exa mayor ye la recta de la hipérbola onde pertenecen los focos y los vértices de la mesma. El so valor ye 2a y ye perpendicular a la exa imaxinaria

 Exa menor o imaxinariu 
La exa menor o imaxinariu nun tien puntos de mancomún cola hipérbola. Sicasí, siempres se cumple que les perpendiculares llanzaes pelos sos estremos corten coles perpendiculares llanzaes pelos estremos de la exa mayor en 4 puntos que pueden sirvir pa trazar les asíntotas.

 Asíntotas 
Son les rectes r y r' que pasen pel centru de la hipérbola y verifiquen que s'averen a les cañes al alloñar del centru de la hipérbola.

Les ecuaciones de les asíntotas son: r: y= b/a x r': y = -b/a r

 Vértices 
Los vértices d'una hipérbola son los puntos onde esta curtia a les sos exes.

 Focos 
Son dos puntos, , respectu de los cualos permanez constante la diferencia de distancies (en valor absolutu) a cualquier puntu, , de dicha hipérbola.

 Centro 
Puntu mediu de los vértices y de los focos de la hipérbola.

 Tanxentes 
La tanxente a una hipérbola en cualquier puntu de la curva ye bisectriz del ángulu formáu pelos radios vectores d'esi puntu.

 Radiu de combadura 
Sía'l puntu  de la hipérbola, entós el radiu de combadura ye , la ecuación de la hipérbola ye  
Bronshtein et al Manual de matemátiques pa inxenieros y estudiantes Editorial Mir Moscú (1973)

 Árees 
01.Sía'l segmentu  onde A, vértiz d'una caña; M y N estremos d'una cuerda perpendicular a la exa focal, entós l'área ye 

02. Sía'l cuadriláteru curvu , onde O (orixe de coordenaes); segmentu OG sobre una asíntota; OA estremos centru y un vértiz; y  un puntu de la hipérbola; MA un arcu d'hipérbola; L'área ye 

 Ver tamién 
 Xeometría analítica
 Seición cónica
 Recta
 Circunferencia
 Elipse
 Parábola
 Esferes de Dandelin

 Referencies 

 Enllaces esternos 

 Exercicios resueltos y videu tutoriales sobre hipérbola

 Apollonius' Derivation of the Hyperbola at Convergence





Categoría:Seiciones cóniques