Analís harmónicu

En matemátiques, l'analís harmónicu o analís de Fourier estudia la representación de funciones o señales como superposición d'ondes "básiques" o harmónicos.

Investiga y xeneraliza les nociones de series de Fourier y tresformaes de Fourier. A lo llargo de los sieglos XIX y XX convirtióse nuna materia enorme con aplicaciones en campos diversos como'l procesamientu de señales, la mecánica cuántica o la neurociencia.

 Serie de Fourier 

Les series de Fourier utilizar pa descomponer una función, señal o onda periódica como suma infinita o finita de funciones, señales o ondes harmóniques o sinusoidales; esto ye, una serie de Fourier ye un tipu de serie trigonométrica.

 Tresformada de Fourier 

La tresformada clásica de Fourier en Rn entá ye una área d'investigación activa, sobremanera nel tresformamientu de Fourier sobre oxetos más xenerales, como les distribuciones temperadas. Por casu, si imponemos dellos requerimientos sobre una distribución f, podemos intentar treslladalos a términos de la so tresformada de Fourier. El Teorema de Paley-Wiener ye un exemplu d'ello, qu'implica darréu que si f ye una distribución de soporte compactu (lo qu'inclúi a les funciones de soporte compactu), entós la so tresformada de Fourier nun tien nunca'l soporte compactu. Esto ye un tipu bien elemental d'un principiu d'incertidume en términos del analís harmónicu.

Les series de Fourier pueden ser estudiaes convenientemente nel contestu de los espacios de Hilbert, lo que nos da una conexón ente l'analís harmónicu y el analís funcional.

 Analís harmónicu astractu 
Una de les cañes más modernes del analís harmónicu, que tien los sos raigaños a mediaos del sieglu XX, ye'l analís sobre grupos topolóxicos. L'ideal central que lu motiva ye la de les varies tresformaes de Fourier, que pueden ser xeneralizaes a un tresformamientu de funciones definíes sobre grupos llocalmente compautos. 

La teoría pa los grupos llocalmente compautos abelianos llámase dualidá de Pontryagin, que se considera una proposición bien satisfactoria yá que esplica les carauterístiques envueltes nel analís harmónicu. Na so páxina atópase desenvuelta en detalle.

L'analís harmónicu estudia les propiedaes de tal dualidá y la tresformada de Fourier; y pretende estender tales carauterístiques a otros marcos, por casu nel del casu de los grupos de Lie non abelianos. 

Pa grupos xenerales non abelianos llocalmente compactos, l'analís harmónicu ta bien rellacionáu cola teoría unitaria de representación de grupos unitarios. Pa grupos compactos, el Teorema de Peter-Weyl esplica cómo pueden consiguise harmónicos estrayendo una representación irreducible de cada clase d'equivalencia de representaciones. Esta eleición d'harmónicos gocia de delles de les propiedaes útiles de la tresformada de Fourier clásica de forma que lleva convoluciones a productos esguilares, o per otra parte amosando cierta comprensión sobre la estructura de grupu subxacente.

 Referencies 

 Bibliografía 
Elias Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. ISBN 0-691-08078-X
Elias Stein with Timothy S. Murphy, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, 1993.
Elias Stein, Topics in Harmonic Analysis Related to the Littlewood-Paley Theory, Princeton University Press, 1970.
Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0; 0-521-54359-2
 Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.

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