Problema matemáticu

Un problema matemáticu consiste en buscar una determinada entidá matemática d'ente un conxuntu d'entidaes del mesmu tipu qu'amás satisfaiga les llamaes condiciones del problema. Formalmente tou problema puede amenorgase a una terna  onde  ye un conxuntu d'oxetos,  ye una condición (o condiciones) tal que dau  puede o nun ser satisfechu (pa ello la condición tien de ser una fórmula lóxica bien formada y zarrada). La resolución del problema ye un procedimientu que determina cual ye l'únicu  que satisfai . 

Dellos problemes clásicos como'l de la cuadradura del círculu o otros onde se trata de decidir si una afirmación P ye o non cierta, pueden amenorgase a la forma de terna si tomamos como  el conxuntu de demostraciones posibles y  como la condición de "X ye una demostración válida de que l'afirmación del problema P ye cierta". Dizse qu'un problema nun tien solución cuando , esto ye, .

 Ejemplo 
 Ecuación alxebraica 

Un exemplu senciellu sería atopar los númberos enteros que satisfaen la siguiente igualdá . Equí'l conxuntu sobre'l que se plantega'l problema ye conxuntu de los númberos enteros , la condición ye que se cumpla l'anterior igualdá, y  ye l'únicu númberu que la satisfai (puede trate que = 1).

Más polo xeneral, la resolución d'una ecuación alxebraica ye un problema matemáticu plantegáu sobre un conxuntu  que tien estructura de cuerpu o aniellu alxebraicu consistente en buscar elementos  que cumplan la siguiente igualdá:

Si namái esiste un elementu que cumpla l'anterior igualdá, esto puédese reformular como un problema del tipu , anque de normal el problema anterior almite más d'una solución polo que'l problema matemáticu puramente dichu ye atopar un conxuntu de soluciones , y por tanto cuando la solución nun ye única tenemos de resolver un problema de tipu , onde  ye'l conxuntu de les partes de 

 Problema xeométricu elemental 
Otros problemes consisten n'atopar un procedimientu xeométricu pa trazar con regla y compás una circunferencia, ángulu, polígonu o recta que cumpla ciertes condiciones.

Un problema bien senciellu ye'l de fitos 3 puntos non alinealdos nel planu euclídeo, atopar una circunferencia que pase por toos ellos.
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El problema matemáticu asociáu podría ser denotado como , onde  ye'l conxuntu de tolos círculos posibles del planu euclídeo.
El problema anterior resuélvese si toma'l segmentu  y atópase la so recta mediatriz M1 y tómase el segmentu  y atópase la so recta mediatriz M2
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el centru O de la circunferencia buscada  coincide cola interseición de les mediatrices
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el radiu de la circunferencia buscada col llargor de los segementos que xunen el centru con cualesquier de los puntos:
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Al conocer el centru de la circunferencia y el so radiu, queda totalmente determinada la solución al problema xeométricu plantegáu.
Otru exemplu ye'l problema de Apolonio.

 Problema de cálculu elemental 
Un tipu bien frecuente de problema matemáticu de cálculu elemental son los problemes de maximización o minimización. Por casu:

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Pa fabricar un recipientes cilíndricos metálicos de chapa, atopar la rellación ente l'altor: h y el radiu: r necesaria por que pueda contener un volume V prefijado (por casu V = 400 ml) usando la menor cantidá de chapa posible.

Este ye claramente un problema de minimización yá que pretendemos usar la mínima cantidá de chapa. El problema matemáticu sería  onde,  ye'l conxuntu teóricu de tolos posibles recipientes cilíndricos metálicos de 400 ml de capacidá;  ye l'área del recipiente en función del radiu  del mesmu. La solución preséntase de siguío.

Llamemos S a la superficie total de chapa, que va ser direutamente proporcional a la cantidá de chapa emplegada nel recipiente, llamemos al radiu del recipiente r y al so altor h. Entós tenemos que la so superficie: S y el so volume: V vienen daos por:



Si substituimos estenamos h de la primer ecuación y la substituimos na segunda tenemos que la cantidá de chapa necesaria pa construyir un recipiente cilíndricu de volume V y radiu r vien dada por:


P'atopar el mínimu podemos usar el cálculu elemental que nos diz que'l valor de r pal cual la derivada de l'anterior función anúlase ye'l valor qu'embrive la función:


Colo que queda definíu r pa un V dadu, si'l volume nun se conoz:


Esto ye, que de tolos recipientes cilíndricos de chapa d'igual volume'l que menos chapa precisa pa ser fabricáu ye unu en que l'altor del mesmu sía xustu dos vegaes el radiu.

 Problemes non algorítmicos 
Munchos problemes práuticos pueden resolvese por aciu algoritmos. Inclusive esisten téuniques práutiques pa buscar dichos algoritmos como la resolución de problemes de programación. Práuticamente siempres los problemes didácticos que contienen los llibros de testu pa estudiantes de ciencies, o los problemes práuticos d'inxeniería son problemes qu'almiten solución algorítmica.

Sicasí, pa dellos otros problemes interesantes pudo probase que nun esiste un algoritmu que por aciu un conxuntu finito de pasos atope una solución (o alternativamente amuese que'l conxuntu de soluciones ye vacíu). Dellos exemplos de problemes non algorítmicos son:

 La resolución de sistemes d'ecuaciones diofánticas.
 La equivalencia topolóxica de variedaes.
 El problema de les pallabres para semigrupos.
 El problema de la teselación del planu euclídeo.
 El problema de la determinación y clasificación completa de tolos grupos simples finitosAlgebra Astracta ISBN 0-201-64052-X

 Ver tamién 
 Problemes ensin resolver de la matemática

 Referencies 

 Bibliografía 
 George Pólya: How to Solve It, Princeton, 1945. ISBN 0-691-08097-6.



Categoría:Matemática elemental