Kurt Gödel

Kurt Gödel o tamién Kurt Goedel  foi un lóxicu, matemáticu y filósofu austriaco-americanu.

Reconocíu como unu de los más importantes lóxicos de tolos tiempos, el trabayu de Gödel tuvo un impautu inmensu nel pensamientu científico y filosófico del sieglu XX. Gödel, al igual qu'otros pensadores como Gottlob Frege, Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intentó emplegar la lóxica y la teoría de conxuntos pa entender los fundamentos de la matemática.
A Gödel conózse-y meyor polos sos dos teoremes de la incompletitud, publicaos en 1931 a los 25 años d'edá, un añu dempués de rematar el so doctoráu na Universidá de Viena.

El más célebre de los sos teoremes de la incompletitud establez que pa tou sistema axomáticu recursivo autu-consistente lo suficientemente poderosu como pa describir l'aritmética de los númberos naturales (l'aritmética de Peano), esisten proposiciones verdaderes sobre los naturales que nun pueden demostrase a partir de los axomes. Pa demostrar esti teorema desenvolvió una téunica denomada agora como numberación de Gödel, que codifica espresiones formales como númberos naturales.

Tamién demostró que la hipótesis del continuu nun puede refutarse dende los axomes aceptaos de la teoría de conxuntos, si dichos axomes son consistentes. Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración al esclariar les conexones ente la lóxica clásica, la lóxica intuicionista y la lóxica modal.

 Vida 

 Infancia 
Kurt Friedrich Gödel nació'l 28 d'abril de 1906 en Brünn, la capital de la Moravia Austrohúngara (anguaño Brno, República Checa) nuna familia d'etnia xermana acomodada, compuesta por Rudolf August Gödel, home de negocios y alministrador d'una fábrica de testiles, y Marianne Gödel (nacida Handschuh), una muyer educao y culto quien permaneció cercana a Gödel mientres tola so vida, (tal como puede reparase na estensa correspondencia ente dambos). Nel momentu de la so nacencia la so ciudá cuntaba cola mayoría de población de fala alemana y este yera l'idioma de los sos padres.

Gödel que falaba bien pocu'l checu convirtióse automáticamente en checoslovacu a la edá de 12 años tres la cayida del Imperiu austrohúngaru a la fin de la Primer Guerra Mundial. Darréu cuntólu al so biógrafu John W. Dawson que mientres esi tiempu sentíase como un "exiliáu austriacu en Checoslovaquia" ("ein Österreicher im Exil in der Tschechoslowakei"). Decidió convertise en ciudadanu austriacu a la edá de 23 años. Cuando l'Alemaña nazi anexonó Austria Gödel automáticamente convertir en ciudadanu alemán a la edá de 32 años. Dempués de la Segunda Guerra Mundial, a la edá de 42 años, convertir en ciudadanu d'Estaos Xuníos.

Na so familia, al nuevu Kurt llamar Herr Warum (Sr. Por qué) por cuenta del so insaciable interés. La única esceición a una infancia ensin incidentes foi'l qu'a partir de los cuatro años Kurt sufrió quebrantos de salú y fiebres reumátiques, de les cualos recuperóse dafechu, pero quedó convencíu pal restu de la so vida de que'l so corazón sufriera un dañu permanente.

Asistió a la escuela primaria y secundaria n'idioma alemán en Brno de la cual graduóse con honores en 1923 y sobresalió en matemátiques, idiomes y relixón. Nel intre de la so adolescencia Kurt estudió, ente otres materies, la  Teoría de los colores de Goethe, crítiques d'Isaac Newton y la obra d'Immanuel Kant.

 Estudios en Viena 
A la edá de 18 años Kurt axuntar col so hermanu mayor Rudolf (nacíu en 1902) ya ingresó na Universidá de Viena. Aquel día yá apoderaba les matemátiques a nivel universitariu y anque nun principiu pretendió estudiar física teórica, tamién asistió a cursos de filosofía impartíos por Heinrich Gomperz y de matemátiques. Mientres esti periodu adoptó idees del empirismu matemáticu, lleó los Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft (Fundamentos metafísicos de la ciencia natural) de Kant, y anque él mesmu nun foi un positivista lóxicu participó en xuntes del Círculu de Viena con Moritz Schlick, Hans Hahn y Rudolf Carnap, siendo estos dos últimos de quien aprendió lóxica. Dempués estudió tamién la teoría de los númberos, y foi l'asistir a un seminariu empobináu por Schlick, nel cual estudiábase'l llibru Introducción a la lóxica matemática de Bertrand Russell, lo que lo motivó a interesase pola lóxica matemática.

L'asistir a una conferencia de Hilbert sobre la completud y la consistencia de los sistemes matemáticos podría ser lo que decidió'l cursu de la so vida. En 1928 Hilbert y Wilhelm Ackermann publicaron los Grundzüge der theoretischen Logik (Principios de lóxica teórica), una introducción a la lóxica de primer orde na cual plantegábase'l problema de la completitud: “¿Son abondos los axomes d'un sistema formal pa derivar caúna de les proposiciones verdaderes en tolos modelos del sistema?” Este foi la tema escoyida por Gödel pa la so disertación doctoral. En 1929, a la edá de 23 años, completó'l so disertación so la supervisión de Hans Hahn, na cual Gödel estableció la completud del cálculu de predicaos de primer orde (esta resultancia conozse agora como'l teorema de completitud de Gödel). El doctoráu foi-y concedíu en 1930 y la so tesis, xunto a trabayu adicional, foi publicada pola Academia de Ciencies de Viena.Gödel, Kurt, 1986, Collected Works. I: Publications 1929–1936. S. Feferman, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay, and J. van Heijenoort (eds.), Oxford: Oxford University Press.

 Obra en Viena 
En 1931 Gödel publicó los sos célebres teoremes de la incompletud en Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemes rellacionaos). En dichu artículu demostró que pa tou sistema axomáticu computable que seya lo suficientemente poderosu como pa describir l'aritmética de los númberos naturales (e.g. los axomes de Peano (o ZFC), entós:
 Si'l sistema ye demostración de coherencia coherente nun puede ser completu. (A esto xeneralmente conózse-y como'l teorema de la incompletud).
 La consistencia de los axioma nun puede demostrase nel interior del sistema.
Estos teoremes remataron mediu sieglu d'intentos académicos (empezando col trabayu de Frege y rematando nos Principia Mathematica y nel formalismu de Hilbert) por atopar un conxuntu d'axomes abondu pa tola matemática. El teorema de la incompletud implica tamién que non tola matemática ye computable.

La idea básica del teorema de la incompletud ye más bien simple. Esencialmente Gödel construyó una fórmula qu'asegura ser non-demostrable pa ciertu sistema formal. Si fuera demostrable sería falsa, lo cual contradiz el fechu de que nun sistema consistente les proposiciones demostrables son siempres verdaderes. De cuenta que siempres va haber a lo menos una proposición verdadera pero non demostrable. Esto ye, pa tou conxuntu d'axomes de l'aritmética construible pol home esiste una fórmula la cual llógrase de l'aritmética pero ye indemostrable nesi sistema. Sicasí, pa precisar esto Gödel precisaba resolver delles cuestiones téuniques, tales como proposiciones de codificación y el conceutu mesmu de demostrabilidad na teoría de los númberos naturales. Esto últimu realizar por aciu un procesu denomináu numberación de Gödel.

Nel so ensayu de dos páxines Zum intuitionistischen Aussagenkalkül (1932) Gödel refutó la “valuabilidad” finita de la lóxica intuicionista. Na demostración emplegó implícitamente lo que dempués se conoció como la lóxica entemedia de Gödel–Dummett (o Gödel fuzzy logic).

Gödel recibió'l so habilitación na Universidá de Viena en 1932, y en 1933 convertir en Privatdozent (profesor non remunerado). L'ascensión de Hitler n'Alemaña en 1933 afectó pocu a Gödel en Viena, yá que tenía poco interés na política. Sicasí, viose bien afeutáu pol asesinatu de Moritz Schlick (que'l so seminariu espertara'l so interés pola lóxica) a manes d'un estudiante venáu, incidente que resultó nel so primer colapsu nerviosu.

 Visites a los Estaos Xuníos 
En 1933 Gödel viaxó per primer vegada a los Estaos Xuníos onde conoció a Albert Einstein, con quien estrechó llazos d'amistá. Presentó una conferencia na xunta añal de la Sociedá Americana de Matemátiques. Nel intre d'esi añu Gödel tamién desenvolvió idees sobre la computabilidad y la función recursiva al puntu que presentó una conferencia sobre diches funciones y sobre el conceutu de verdá. Darréu, esti trabayu desenvolver na teoría de los númberos, emplegando la numberación de Gödel.

En 1934 Gödel presentó una serie de conferencies nel Institutu d'Estudios Avanzaos (IEA) en Princeton, titulada Sobre les proposiciones indecidibles de los sistemes matemáticos formales. Stephen Kleene, quien acababa de rematar el so doctoráu en Princeton, tomó notes d'esta conferencia, que fueron publicaes darréu.

Gödel visitaría'l IEA nuevamente na seronda de 1935, pero los viaxes y l'intensu trabayu haber desimíu y al añu siguiente convaleció productu d'una depresión, y nun tornó a la docencia sinón hasta 1937. Mientres esi tiempu dedicar a la prueba de consistencia del axoma d'eleición y a la hipótesis del continuu en que'l so trabayu siguió hasta amosar qu'estes hipótesis nun pueden refutarse dende'l sistema común d'axomes de la teoría de conxuntos.

Casóse'l 20 de setiembre de 1938 con Adele Nimbursky (nacida Porkert, 1899-1981), a la cual conocía dende faía 10 años. Los padres de Gödel oponer a la rellación sobre la base de que se trataba d'una baillarina divorciada y seis años mayor qu'él. Nunca tuvieron fíos.

Darréu realizó otra visita a los Estaos Xuníos, onde pasó la seronda de 1938 nel IEA y la primavera de 1939 na Universidá de Notre Dame. Mientres les sos vacaciones del IEA, Gödel y la so esposa Adele pasaron el branu de 1942 en Blue Hill, Maine. Sicasí Gödel nun taba puramente vacacionando pos tuvo un branu de trabayu bien granible. John W. Dawson, Jr. conxetura que mientres eses vacaciones Gödel, emplegando'l volume 15 de la so obra inda ensin publicar Arbeitshefte (Cuadiernos de notes), afayó una prueba de la independencia del axoma d'eleición de la teoría finita de tipos, una forma debilitada de la teoría de conxuntos. Hao Wang, amigu cercanu de Gödel, sofita dicha conxetura, señalando que los cuadiernos de notes de Blue Hill contienen el so tratamientu más estensu del problema.

 Trabayu en Princeton 
Dempués del Anschluss en 1938, Austria pasó a formar parte de l'Alemaña Nazi. Alemaña abolió'l títulu de Privatdozent, de cuenta que Gödel tuvo que concursar a un cargu distintu nel nuevu orde. Sicasí, los sos venceyos anteriores con miembros xudíos del Círculu de Viena, especialmente con Hahn, pesaben nel so contra. La so situación bastióse cuando se-y atopó aptu pal serviciu militar, quedando en riesgu de ser llamáu a les files del exércitu alemán, razón pola cual emigró escontra los Estaos Xuníos p'asumir un cargu docente nel IEA.

Rápido retomó'l so trabayu en matemátiques y en 1940 publicó la so obra Consistencia del axoma d'eleición y de la hipótesis del continuu xeneralizada colos axomes de la teoría de conxuntos, que constitúi un clásicu de la matemática moderna. En dichu trabayu introdució'l universu construible, un modelu de la teoría de conxuntos nel cual los únicos conxuntos qu'esisten son aquellos que pueden construyise a partir de conxuntos más simples. Gödel amosó que tanto l'axoma d'eleición (AC) y la hipótesis del continuu xeneralizada (HCG) son verdaderes nel universu construible y polo tanto deben de ser consistentes colos axomes de Zermelo-Fraenkel pa la teoría de conxuntos (ZF). Darréu Paul Cohen construyó un modelu de ZF nel cual AC y HCG son falsos; en xunto estes demostraciones signifiquen que AC y HCG son independientes de los axomes de ZF pa la teoría de conxuntos.

Escontra'l final de la década de 1940 Gödel demostró la esistencia de soluciones paradóxiques a les ecuaciones de campu de la relatividá xeneral d'Albert Einstein. Estos "universos rotatorios" dexaríen viaxar nel tiempu y provocaron duldes en Einstein sobre la so propia teoría. Les sos soluciones conócense como la métrica de Gödel (o l'Universu de Gödel).

Mientres los sos munchos años nel Institutu, los intereses de Gödel tornar escontra la filosofía y la física. Estudió y almiró les obres de Gottfried Leibniz, pero llegó a la conclusión (ensin evidencia) de que la mayor parte del trabayu de Leibniz fuera suprimida. En menor midida tamién estudió a Kant y a Edmund Husserl. De primeres de los 1970s Gödel circuló ente les sos amistaes una ellaboración de la demostración ontolóxica de Leibniz sobre la esistencia de Dios, que se conoz agora como la demostración ontolóxica de Gödel.

En 1946 Gödel convertir nun miembru permanente del IEA. Alredor d'esti periodu dexó de publicar, anque continuu trabayando. Convirtióse dafechu en profesor del Institutu en 1955 y en profesor eméritu en 1976.

En 1951 Gödel foi reconocíu (xunto a Julian Schwinger) col primer Premiu Albert Einstein, y tamién se-y apurrió la National Medal of Science en 1974.

 Muerte 
Nos sos últimos años, Gödel sufrió de periodos d'inestabilidá y enfermedá mental. Tenía medranes obsesives de ser envelenáu, y nun comía nun siendo que la so esposa Adele probara la comida primero qu'él. A finales de 1977 Adele foi hospitalizada mientres seis meses y nun pudo siguir probando la comida de Gödel. Na so ausencia refugó comer, hasta'l puntu de dexase morrer de fame. Nel momentu de la so muerte pesaba 65 llibres (32.5kg). El certificáu de fallecimientu nel Hospital de Princeton, el 14 de xineru de 1978, diz que morrió de "desnutrición y inanición causaes por perturbaciones na personalidá".

 Legáu y distinciones 
La Kurt Gödel Society, fundada en 1987, foi asina nomada nel so honor. Ye una organización internacional dedicada a la promoción de la investigación en lóxica, filosofía y la historia de les matemátiques. Foi nomáu doctor honorariu en Lliteratura pola Universidá Yale en 1951. Tamién recibió un doctoráu honorariu en Ciencies pola Universidá de Harvard en 1952 con una mención na que lu declaró "el descubridor de la verdá matemática más significativa del sieglu". Foi escoyíu como miembru de l'Academia Nacional de Ciencies en 1955 y de l'Academia de les Artes y les Ciencies d'Estaos Xuníos en 1957. En 1961 ingresó na Sociedá Filosófica d'América y en 1967 foi escoyíu miembru honorariu de la Sociedá Matemática de Londres. Finalmente, en 1975 el presidente Gerald Ford apurrió-y la Medaya Nacional de les Ciencies.

 L'amistá de Gödel con Einstein 

Albert Einstein y Gödel entablaron una amistá llexendaria, compartida nes caminaes que daben xuntos nel IEA. La naturaleza de les sos conversaciones permaneció nel misteriu pa los otros miembros del Institutu. L'economista Oskar Morgenstern recuerda que, escontra'l final de la so vida, Einstein confió-y que "el so propiu trabayu yá nun importaba enforma, que llegaba al Institutu namái pa tener el privilexu de caminar a casa xunto a Gödel".

Einstein y Morgenstern asesoraron a Gödel pal exame de la so ciudadanía d'Estaos Xuníos, esmolecíos de que'l comportamientu impredicible del so amigu punxera en riesgu la so oportunidá. Cuando se mentó de volao el réxime nazi, Gödel informó-y al xuez que presidía de qu'afayara una manera en qu'una dictadura pudiera instaurase llegalmente nos EE.XX., por aciu una contradicción lóxica na Constitución. Nin el xuez nin Einstein o Morgenstern, dexáron-y a Gödel terminar la ellaboración del so pensamientu y la ciudadanía foi-y apurrida.

 Publicaciones importantes 
N'alemán:
 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme," Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173-98.
 1932, "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül", Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69: 65–66.

N'inglés:
 1940. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton University Press.
 1947. "What is Cantor's continuum problem?" The American Mathematical Monthly 54: 515-25. Revised version in Paul Benacerraf and Hilary Putnam, eds., 1984 (1964). Philosophy of Mathematics: Selected Readings. Cambridge Univ. Press: 470-85.

En traducción al inglés:
 Kurt Godel, 1992. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. B. Meltzer, with a comprehensive introduction by Richard Braithwaite. Dover reprint of the 1962 Basic Books edition.
 Kurt Godel, 2000. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. Martin Hirzel
 Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press.
 1930. "The completeness of the axioms of the functional calculus of logic," 582-91.
 1930. "Some metamathematical results on completeness and consistency," 595-96. Abstract to (1931).
 1931. "On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems," 596-616.
 1931a. "On completeness and consistency," 616-17.

 My philosophical viewpoint, c. 1960, unpublished.
 The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy, 1961, unpublished.

 Collected Works: Oxford University Press: New York. Editor-in-chief: Solomon Feferman.
 Volume I: Publications 1929-1936 ISBN 0-19-503964-5, **
Volume II: Publications 1938-1974 ISBN 0-19-503972-6, **
Volume III: Unpublished Essays and Lectures ISBN 0-19-507255-3, **
Volume IV: Correspondence, A-G ISBN 0-19-850073-4.
 Volume V: Correspondence, H-Z ISBN 0-19-850075-0

 Gödel na cultura popular 
Na comedia romántica de 1994 I.Q. empobinada por Fred Schepisi, se dramatizó a Gödel como un personaxe secundariu encarnáu pol actor Lou Jacobi; nel filme apaez ensin la so paranoya y esfrutando dafechu de la so xubilación.
En 2007 estudiantes de la Nederlandse Filmacademie (Dutch) (Dutch Film Academy) graduar con un curtiu de 25 minutos, dirixíu por Igor Kramer col actor austriacu Robert
Stuc nel papel principal; un Gödel retiráu decatar de que la so contorna son el decoráu d'un rodaxe, lo cual alimenta la so paranoya.

 Ver tamién 
 Teoremes d'incompletitú de Gödel
 Métrica de Gödel, una solución exacta a la ecuación de campu d'Einstein
 Premiu Gödel
 Llinguaxe de programación de Gödel
 Gödel, Escher, Bach

 Notes y referencies 

 Bibliografía 
Fontes primaries:

 Gödel, Kurt 1931 Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia mathematica y sistemes allegaos. Valencia: Teorema, 1980 y 2ª edición: 1981 ISBN 84-370-0168-4
 Gödel, Kurt 1931 Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia mathematica y sistemes allegaos. Uviéu: krk ediciones, 2006. ISBN 978-84-96476-95-0
 Gödel, Kurt 1994: Ensayos inéditos. Francisco Rodríguez Consuegra, editor. Biblioteca Mondadori. ISBN 84-397-1966-3
 Gödel, Kurt 2007: Sobre consistencia y completud nel sistema axomáticu / Über Widerspruchsfreiheit und Entscheidbarkeit in Axiomensystem. Jesús Padilla Gálvez, editor y traductor, Mathesis, Serie III, Vol. II - Nr 1, 197-204. (ISSN: 0185-6200).
 Gödel, Kurt 2006: Obres completes, Jesús Mosterín, editor, Madrid: Alianza, 2006. ISBN 84-206-4773-X

Fontes secundaries:

 Enllaces esternos 

 Biografía de Kurt Gödel

 La situación presente nos fundamentos de les matemátiques : traducción al castellán d'una conferencia de 1933 onde Gödel espón la rellación ente les sos teoremes de incompletud y les distintes propuestes de fundamentación de la matemática.
 Prueben que los argumentos lóxicos de Gödel sobre la esistencia de Dios son correutos 

Categoría:Círculu de Viena
Categoría:Filósofos y filósofes d'Austria
Categoría:Filósofos y filósofes d'Estaos Xuníos
Categoría:Informáticos teóricos d'Austria
Categoría:Lóxicos y lóxiques
Categoría:Matemáticos y matemátiques d'Austria
Categoría:Matemáticos y matemátiques d'Estaos Xuníos
Categoría:Miembros de la Royal Society