Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial ye una ecuación na qu'intervienen derivaes d'una o más funciones desconocíes. Dependiendo del númberu de variables independientes respectu de les que se deriva, les ecuaciones diferenciales estremar en:
 Ecuaciones diferenciales ordinaries: aquelles que contienen derivaes al respective de una sola variable independiente.
 Ecuaciones en derivaes parciales: aquelles que contienen derivaes al respective de dos o más variables.
Un tercer tipu d'ecuación diferencial, usualmente non consideráu nos cursos introductorios del cálculu, son les ecuaciones diferenciales estocásticas que sirven pa definir exemplos de procesos estocásticos.

Historia
 La nacencia de la ciencia d'ecuaciones diferenciales afitar nel 11 de de payares de 1675, cuando Leibnitz asitió nun papel la ecuación Integral de y diferencial de y igual a la metá del cuadráu de y.Boyce-Di Prima. Ecuaciones diferenciales y problemes con valores na frontera.  En símbolos de Leibnitz

 Newton formuló la llei de la gravitación, resolviendo dempués el sistema d'ecuaciones diferenciales correspondiente pa probar que la Tierra muévese alredor del Sol, describiendo aproximao una elipse, unu de que los sos focos ye'l Sol.
Maxwell concibió una rellación ente corriente llétrica y el campu magnéticu correspondiente.
 Les ecuaciones diferenciales cumplieron un rol destacáu nel desenvolvimientu de les teoríes de radiu, radar, televisión y lletricidá xeneral.
 Les ecuaciones estremes estocásticas fueron introducíes con un tratamientu rigorosu por Kiyoshi Itō y Ruslan Stratonovich mientres los años 1940 y 1950.

 Introducción 
 Por casu considérase la llei, sofitada n'esperiencies, de que'l radiu se desintegra a una velocidá proporcional a la cantidá de radio presente, fechu que se describe por aciu la ecuación 
 , Q la cantidá de radio ye función del tiempu t; de cuenta que Q = Q(t).Kells. Ecuaciones diferenciales elementales.
Una ecuación diferencial ye una ecuación qu'inclúi espresiones o términos qu'arreyen a una función matemática incógnita y les sos derivaes. Dellos exemplos d'ecuaciones diferenciales son:

ye una ecuación diferencial ordinaria, onde  representa una función ensin especificar de la variable independiente , esto ye, ,  ye la derivada de  con al respective de .
 La espresión 
ye una ecuación en derivaes parciales.

A la variable dependiente tamién se-y llama función incógnita (desconocida). La resolución d'ecuaciones diferenciales ye un tipu de problema matemáticu que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Puede llevase a cabu por aciu un métodu específicu pa la ecuación diferencial en cuestión o por aciu una tresformada (como, por casu, la tresformada de Laplace).

 Orde de la ecuación 
L'orde de la derivada más alta nuna ecuación diferencial denominar orde de la ecuación. Exemplos: 
Orde 1: 
Orde 2: 
Orde 3: 

 Grau de la ecuación 
Ye la potencia de la derivada de mayor orde qu'apaez na ecuación, siempres y cuando la ecuación tea en forma polinómica, de nun ser asina se considera que nun tien grau.

 Ecuación diferencial llinial 
Dizse qu'una ecuación ye llinial si tien la forma , esto ye:

 Nin la función nin les sos derivaes tán alzaes a nenguna potencia distinta d'unu o cero.
 En cada coeficiente qu'apaez multiplicándoles namái intervién la variable independiente.
 Una combinación llinial de les sos soluciones ye tamién solución de la ecuación.

Exemplos:
  ye una ecuación diferencial ordinaria llinial de primer orde, tien como soluciones , con k un númberu real cualesquier.
  ye una ecuación diferencial ordinaria llinial de segundu orde, tien como soluciones , con a y b reales.
  ye una ecuación diferencial ordinaria llinial de segundu orde, tien como soluciones , con a y b reales.

 Usos 
Les ecuaciones diferenciales son bien utilizaes en toles cañes de la inxeniería pal modeláu de fenómenos físicos. El so usu ye común tantu en ciencies aplicaes, como en ciencies fundamentales (física, química, bioloxía) o matemátiques, como en economía.

 En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define'l movimientu d'una estructura ye:

Onde M ye la matriz que describe la masa de la estructura, C ye la matriz que describe'l amortiguamientu de la estructura, K ye la matriz de rixidez que describe la rixidez de la estructura, x ye vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P ye'l vector de fuercies (nodales equivalentes), y t indica tiempu. Esta ye una ecuación de segundu orde por cuenta de que tiense el desplazamientu x y la so primera y segunda derivada con respectu al tiempu.
 La vibración d'una cuerda ta descrita pola siguiente ecuación diferencial en derivaes parciales de segundu orde: 

onde  ye'l tiempu y  ye la coordenada del puntu sobre la cuerda y  una constante que correspuende a la velocidá d'espardimientu de dicha onda. A esta ecuación llámase-y ecuación d'onda.

 Ecuaciones semilineales y cuasilineales 
Nun esiste un procedimientu xeneral pa resolver ecuaciones diferenciales non lliniales. Sicasí, dellos casos particulares de non linealidad sí pueden ser resueltos. Son d'interés el casu semilineal y el casu cuasilineal.

Una ecuación diferencial ordinaria d'orde n llámase cuasilineal si ye "llinial" na derivada d'orde n. Más específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria pa la función  puede escribise na forma:

Dizse que dicha ecuación ye cuasilineal si  ye una función allegada, esto ye, .

Una ecuación diferencial ordinaria d'orde n llámase semilineal si puede escribise como suma d'una función "llinial" de la derivada d'orde n más una función cualesquier del restu de derivaes. Formalmente, si la ecuación diferencial ordinaria pa la función  puede escribise na forma:

Dizse que dicha ecuación ye semilineal si  ye una función llinial.

 Solución d'una ecuación diferencial 
 Tipos de soluciones 
Una solución d'una ecuación diferencial ye una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada casu coles derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, esto ye, convertir nuna identidá. Hai tres tipos de soluciones:

 Solución xeneral: una solución de tipu xenéricu, espresada con una o más constantes. 
Solución xeneral
Ye un fexe de curves. Tien un orde de infinitud d'alcuerdu a la so cantidá de constantes (una constante correspuende a una familia a cencielles infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En casu de que la ecuación seya llinial, la solución xeneral llógrase como combinación llinial de les soluciones (tantes como l'orde de la ecuación) de la ecuación homoxénea (que resulta de faer el términu non dependiente de  nin de les sos derivaes igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
 Solución particular: Si afitando cualquier puntu  por onde tien de pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, esiste un únicu valor de C, y polo tanto de la curva integral que satisfai la ecuación, ésti va recibir el nome de solución particular de la ecuación nel puntu , que recibe'l nome de condición inicial. 
Solución particular
Ye un casu particular de la solución xeneral, onde la constante (o constantes) recibe un valor específicu.
 Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que nun se llogra particularizando la solución xeneral.

Solución singular
Solución de la ecuación non consistente nuna particular de la xeneral.

Observaciones sobre les soluciones
 Sía la ecuación diferencial ordinaria d'orde n  ( ye fácil verificar que la función y= f(x) ye la so solución. Basta calcular les sos derivaes de f(x), depués reemplazales na ecuación , xunto con f(x) y probar que se llogra una identidá en x.
 Les soluciones de Y.D.O. se presentanen forma de funciones implícitamente definíes, y dacuando imposibles d'espresar de manera esplícita. Por casuSimmons. Ecuaciones diferenciales. Llibros Mc Graw Hill

que ye solución de 
La más simple de toles ecuación ye  que la so solución ye 
En dellos casos ye posible resolver por métodos elmentales del cálculu. Sicasí, n'otros casos, la solución analítica rique téuniques de variable complexa o más sofisticaes como asocede coles integrales:

nun puede estructurase por aciu un númberu finito de funciones elementales.Simmons. Op. cit.

 Resolución de delles ecuaciones 
 Ecuación diferencial de primer orde
 Ecuación diferencial llinial
 Ecuación diferencial exacta
 Ecuación de Jacobi
 Ecuación de Clairaut y tamién se llamen ecuaciones d'estáu diferencial que como les ecuaciones lliniales de dos variables, éstes son tanxentes.

 Ver tamién 
 Historia de les ecuaciones diferenciales
 Función diferenciable
 Ecuación integral
 Formulación débil d'una ecuación diferencial

 Referencies 

 Bibliografía 
 Zill, Dennis G. (2006). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Segunda edición. Grupu Editorial Iberoamérica
 José Ignacio Aranda Iriarte (2007). apuntes d'ecuaciones diferenciales I. Universidá Complutense de Madrid.
 José Ignacio Aranda Iriarte (2008). apuntes d'ecuaciones diferenciales II (EDPs) . Universidá Complutense de Madrid.
 Enllaces esternos 
 Soluciones exactes d'Ecuaciones Diferenciales Ordinaries
 Soluciones exactes d'Ecuaciones Diferenciales Lliniales en derivaes parciales



Categoría:Ecuaciones diferenciales numbériques