Probabilidá

La probabilidá ye un métodu pol cual llógrase la frecuencia d'un acontecimientu determináu por aciu la realización d'un esperimentu aleatoriu, del que se conocen tolos resultaos posibles, so condiciones abondo estables.

La probabilidá ye un eventu o socesu que puede ser improbable, probable o seguro.

La teoría de la probabilidá úsase estensamente n'árees como la estadística, la física, la matemática, les ciencies y la filosofía pa sacar conclusiones sobre la probabilidá discreta de sucesos potenciales y la mecánica subxacente discreta de sistemes complexos, polo tanto ye la caña de les matemátiques qu'estudia, mide o determina a los esperimentos o fenómenos aleatorios.

 Historia 

La definición de probabilidá surde debíu al deséu del ser humanu por conocer con certidume los eventos que van asoceder nel futuru. Ye por eso qu'al traviés de la historia desenvolviéronse distintos enfoques pa tener un conceutu de la probabilidá y determinar los sos valores. 

Pierre-Simon Laplace afirmó: "Ye notable qu'una ciencia qu'empezó con considerancies sobre xuegos d'azar aportara a l'oxetu más importante de la conocencia humana". Entender y estudiar l'azar ye indispensable, porque la probabilidá ye un soporte necesariu pa tomar decisiones en cualquier ámbitu.

Según Amanda Dure, "Antes de la metá del sieglu XVII, el términu 'probable' (en llatín probable) significaba aprobable, y aplicábase nesi sentíu, unívocamente, a la opinión y a l'aición. Una aición o opinión probable yera una que les persones sensates entamaríen o caltendríen, nes circunstancies."Jeffrey, R.C., Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992). páxs. 54-55. ISBN 0-521-39459-7

Amás de delles considerancies elementales feches por Girolamo Cardano nel sieglu XVI, la doctrina de les probabilidaes data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) dio-y el tratamientu científicu conocíu más tempranu al conceutu. Ars Conjectandi (póstumu, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) d'Abraham de Moivre trataron la tema como una caña de les matemátiques. Vease El surdimientu de la probabilidá (The Emergence of Probability) d'Ian Hacking pa una hestoria de los entamos del desenvolvimientu del propiu conceutu de probabilidá matemática.

La teoría d'errores puede trazase tras nel tiempu hasta Opera Miscellanea (póstumu, 1722) de Roger Cotes, pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó per primer vegada la teoría pal discutiniu d'errores d'observación. La reimpresión (1757) d'esta memoria espón los axomes de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y qu'hai ciertes llendes asignables dientro de los cualos supónse que cayen tolos errores; alderíquense los errores continuos y dase una curva de la probabilidá.

Pierre-Simon Laplace (1774) fixo'l primer intentu pa deducir una regla pa la combinación d'observaciones a partir de los principios de la teoría de les probabilidaes. Representó la llei de la probabilidá d'error con una curva , siendo  cualquier error y y  la so probabilidá, y espunxo tres propiedaes d'esta curva:
 ye simétrica a la exa ;
 la exa  ye una asíntota, siendo la probabilidá del error  igual a 0;
 la superficie zarrada ye 1, faciendo cierta la esistencia d'un error.
Dedució una fórmula pa la media de tres observaciones. Tamién llogró (1781) una fórmula pa la llei de facilidá d'error (un términu por cuenta de Lagrange, 1774), pero una que llevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introdució'l principiu del máximu productu de les probabilidaes d'un sistema d'errores concurrentes.

El métodu de mínimos cuadraos deber a Adrien-Marie Legendre (1805), que lo introdució nel so Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Nuevos métodos pa la determinación de les órbites de les cometes). Inorando la contribución de Legendre, un escritor irlandés d'Estaos Xuníos, Robert Adrain, editor de "The Analyst" (1808), dedució per primer vegada la llei de facilidá d'error,

siendo  y  constantes que dependen de la precisión de la observación. Espunxo dos demostraciones, siendo la segunda esencialmente la mesma de John Herschel (1850). Gauss espunxo la primer demostración que paez que se conoció n'Europa (la tercera dempués de la de Adrain) en 1809. Demostraciones adicionales esponer por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856) y Morgan Crofton (1870). Otros personaxes que contribuyeron fueron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters (1856) pa , l'error probable d'una única observación, ye bien conocida.

Nel sieglu XIX, los autores de la teoría xeneral incluyíen a Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole ameyoraron la esposición de la teoría.

En 1930 Andréi Kolmogorov desenvolvió la base axomática de la probabilidá utilizando teoría de la midida.

Na parte xeométrica (vease xeometría integral) los collaboradores de The Educational Times fueron influyentes (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson y Artemas Martin).

 Teoría 

La probabilidá constitúi un importante parámetru na determinación de les diverses casualidaes llograes tres una serie d'eventos esperaos dientro d'un rangu estadísticu.

Esisten diverses formes como métodu astractu, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividá numbérica, esta postrera con un altu grau d'aceptación si tomar en cuenta que mengua considerablemente les posibilidaes hasta un nivel mínimu yá que somete a toles antigües regles a una simple llei de relatividá.

La probabilidá d'un eventu se denota cola lletra p y esprésase en términos d'una fraición y non en porcentaxes, polo que'l valor de p cai ente 0 y 1. Per otra parte, la probabilidá de qu'un eventu "nun asoceda" equival a 1 menos el valor de p y se denota cola lletra q



Los trés métodos pa calcular les probabilidaes son la regla de la adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial.

 Regla de la adición 
La regla de la adición o regla de la suma establez que la probabilidá d'escurrimientu de cualquier eventu en particular ye igual a la suma de les probabilidaes individuales, si ye que los eventos son mutuamente escluyentes, esto ye, que dos nun pueden asoceder coles mesmes.

P(A o B) = P(A) O P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente escluyente.
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son non escluyentes.

Siendo: P(A) = probabilidá d'escurrimientu del eventu A. 
P(B) = probabilidá d'escurrimientu del eventu B.
P(A y B) = probabilidá d'escurrimientu simultáneu de los eventos A y B.

 Regla de la multiplicación 
La regla de la multiplicación establez que la probabilidá d'escurrimientu de dos o más eventos estadísticamente independientes ye igual al productu de les sos probabilidaes individuales.

P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B) si A y B son independientes.

P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B|A) si A y B son dependientes.

Un llote contién "100" oxetos de los cualos "20" son defectuosos. Los oxetos son escoyíos unu dempués del otru pa ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos oxetos son escoyíos ensin reemplazamiento (significa que l'oxetu que s'escueye al azar dexar por fora del llote). ¿Cuál ye la probabilidá de que los dos oxetos escoyíos seyan defectuosos?

Solución:

Sía los eventos 

A1 = {primer oxetu defectuosu}, A2 {segundu oxetu defectuosu}

entós dos oxetos escoyíos van ser defectuosos, cuando asocede l'eventu A1∩ A2 que ye la interseición ente los eventos A1 y A2. De la información dada tiense que: 

P (A1) = 20/100 ; P (A2/A1) = 19/99

asina probabilidá de que los dos oxetos escoyíos seyan defectuosos ye 

 P (A1 ∩ A2) = P (A1) P (A2/A1)
 (20/100)(19/99)
 19/495 = 0.038

Agora suponga qu'escueye un tercer oxetu, entós la probabilidá de que los trés oxetos escoyíos seyan defectuosos ye 

 P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1) P (A2/A1) P (A3/A1∩A2)
 (20/100)(19/99)(18/98)
 19/2695 = 0.007

 Regla de Laplace 
La Regla de Laplace establez que:
 La probabilidá d'escurrimientu d'un socesu imposible ye 0.
 La probabilidá d'escurrimientu d'un socesu seguro ye 1, esto ye, P(A) = 1.
P'aplicar la regla de Laplace ye necesariu que los esperimentos dean llugar a sucesos equiprobables, esto ye, que toos tengan o tengan la mesma probabilidá.
 La probabilidá de qu'asoceda un socesu calcúlase asina:
P(A) = Nᵘde casos favorables / Nᵘde resultancies posibles

Esto significa que: la probabilidá del eventu A ye igual al cociente del númberu de casos favorables (los casos ónde asocede A) sobre'l total de casos posibles.

 Distribución binomial 
La probabilidá d'escurrimientu d'una combinación específica d'eventos independientes y mutuamente escluyentes determinar cola distribución binomial, que ye aquella onde hai solu dos posibilidaes, tales como masculín/femenín o si/non.

 Hai dos resultaos posibles mutuamente escluyentes en cada ensayu o observación.
 La serie d'ensayos o observaciones constitúin eventos independientes.
 La probabilidá d'ésitu permanez constante d'ensayu a ensayu, ye dicir el procesu ye estacionariu.

P'aplicar esta distribución al cálculu de la probabilidá de llograr un númberu dau d'ésitos nuna serie d'esperimentos nun procesu de Bermnoulli, ríquense trés valores: el númberu designáu d'ésitos (m), el númberu d'ensayos y observaciones (n); y la probabilidá d'ésitu en cada ensayu (p). 
Entós la probabilidá de qu'asocedan m ésitos nun esperimentu de n ensayos ye:
P (x = m) = (nCm)(Pm)(1−P)n−m
Siendo: nCm el númberu total de combinaciones posibles de m elementos nun conxuntu de n elementos. 
N'otres pallabres P(x = m) = [n!/(m!(n−m)!)](pm)(1−p)n−m

Exemplu. La probabilidá de qu'un alumnu apruebe l'asignatura Cálculu de Probabilidaes ye de 0,15. Si nun semestre intensivu inscríbense 15 alumnos ¿Cuál ye la probabilidá de qu'aprueben 10 d'ellos?
P(x = 10) = 15C10(0,15)10(0,85)5 = 15!/(10!(15−10)!)(0,15)10(0,85)5 = 7,68 * 10−6
Xeneralmente esiste un interés na probabilidá acumulada de "m o más " ésitos o "m o menos" ésitos en n ensayos. En tal casu tenemos de tomar en cuenta que:
P(x < m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m − 1)
P(x > m) = P(x = m+ 1) + P(x = m+ 2) + P(x = m+3) +....+ P(x = n)
P(x ≤ m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m)
P(x ≥ m) = P(x = m) + P(x = m+1) + P(x = m+2) +....+ P(x = n)
Supongamos que del exemplu anterior deseyar saber la probabilidá de qu'aprueben:
a.− siquier 5
b.− más de 12
a.− la probabilidá de qu'aprueben siquier 5 ye:
P(x ≥ 5) esto ye, que:
1 - P(x < 5) = 1 - [P(x = 0)+P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)+P(x = 4)] =
1 - [0,0874 + 0,2312 + 0,2856 + 0,2184 + 0,1156] = 0,0618
Nota: Siquier, a lo menos y a lo menos son llocuciones alverbiales sinónimas.

Exemplu: La entrada al cine a lo menos va tener un costu de 10 soles (a lo menos podría costar 10 soles o más).
b.− la probabilidá de qu'aprueben más de 12 ye P(x > 12) esto ye, que:
P(x > 12) = P(x = 13)+P(x = 14)+P(x = 15)
P(x > 12) = 1,47 *10−9 +3,722 *10−11 +4,38 *10−13 = 1,507 *10−9
La esperanza matemática nuna distribución binomial puede espresase como:
Y(x) = np = 15(0,15)=2,25
Y la varianza del númberu esperáu d'ésitos puede calculase direutamente:
Var(x) = np(1−p)= 15(0,15)(1-0,15)=1,9125
Estadístiques y probabilidaes, colos sos distintos diagramaciones como: diagrama de barres. diagrama de llinia. y diagrama de círculos que s'apliquen d'alcuerdu al tipu d'estadístiques y probabilidaes matemátiques.

 Aplicaciones 
Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidá nel día ente día son nel analís de riesgu y nel comerciu de los mercaos de materies primes. Los gobiernos de normal apliquen métodos probabilísticos en regulación ambiental onde se-yos llama "analís de víes de dispersión", y de cutiu miden el bienestar usando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escueyen qué proyeutos entamar basándose n'analises estadísticos del so probable efeutu na población como un conxuntu. Nun ye correutu dicir que la estadística ta incluyida nel mesmu modeláu, yá que típicamente los analises de riesgu son pa una única vegada y polo tanto riquen más modelos de probabilidá fundamentales, por ex. "la probabilidá d'otru 11-S". Una llei de númberos pequeños tiende a aplicase a toes aquelles eleiciones y perceiciones del efeutu d'estes eleiciones, lo que fai de les midíes probabilísticas una tema política.
Un bon exemplu ye l'efeutu de la probabilidá percibida de cualquier conflictu xeneralizáu sobre los precios del petroleu n'Oriente Mediu - que producen un efeutu apoderó na economía en xunto. Un cálculu por un mercáu de materies primes en que la guerra ye más probable en contra de menos probable probablemente unvia los precios escontra riba o escontra baxo ya indica a otros comerciantes esa opinión. Poro, les probabilidaes nun se calculen independientemente y tampoco son necesariamente bien racionales. La teoría de les finances conductuales surdió pa describir l'efeutu d'esti pensamientu de grupu nel preciu, na política, y na paz y nos conflictos.

Puede dicise razonablemente que'l descubrimientu de métodos rigorosos pa calcular y combinar los cálculos de probabilidá tuvo un fondu efeutu na sociedá moderna. Poro, puede ser de dalguna importancia pa la mayoría de los ciudadanos entender cómo se calculen los pronósticos y les probabilidaes, y cómo contribúin a la reputación y a les decisiones, especialmente nuna democracia.

Otra aplicación significativa de la teoría de la probabilidá nel día ente día ye na fiabilidad. Munchos bienes de consumu, como los automóviles y la electrónica de consumu, utilicen la teoría de la fiabilidá nel diseñu del productu p'amenorgar la probabilidá d'avería. La probabilidá d'avería tamién ta estrechamente rellacionada cola garantía del productu.

Puede dicise que nun esiste una cosa llamada probabilidá. Tamién puede dicise que la probabilidá ye la midida del nuesu grau d'incertidume, o esto ye, el grau de la nuesa inorancia dada una situación. Poro, puede haber una probabilidá de 1 ente 52 de que la primer carta nuna baraxa seya la J de diamantes. Sicasí, si unu mira la primer carta y reemplazar, entós la probabilidá ye o bien 100% ó 0%, y la eleición correuta pue ser fecha con precisión pol que ve la carta. La física moderna apurre exemplos importantes de situaciones deterministes onde namái la descripción probabilística ye facedera por cuenta d'información incompleta y la complexidá d'un sistema según exemplos de fenómenos realmente aleatorios.

Nun universu determinista, basáu nos conceutos newtonianos, nun hai probabilidá si conocen toles condiciones. Nel casu d'una ruleta, si la fuercia de la mano y el periodu d'esta fuercia ye conocíu, entós el númberu onde la bola va parar va ser seguru. Naturalmente, esto tamién supón la conocencia de la inercia y el resfregón de la ruleta, el pesu, llisura y redondez de la bola, les variaciones na velocidá de la mano mientres el movimientu y asina socesivamente. Una descripción probabilística puede entós ser más práutica que la mecánica newtoniana p'analizar el modelu de les salíes de llanzamientos repitíos de la ruleta. Los físicos atopar cola mesma situación na teoría cinética de los gases, onde'l sistema determinístico en principiu, ye tan complexu (col númberu de molécules típicamente del orde de magnitú de la constante de Avogadro ) que namái la descripción estadística de les sos propiedaes ye vidable.

La mecánica cuántica, debíu al principiu d'indetermín de Heisenberg, namái puede ser descrita anguaño al traviés de distribuciones de probabilidá, lo que-y da una gran importancia a les descripciones probabilísticas. Dellos científicos falen de la espulsión del paraísu. Otros nun se conformen cola perda del determinismu. Albert Einstein comentó bárbaro nuna carta a Max Born: Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt. (Toi convencíu de que Dios nun tira'l dadu). Sicasí anguaño nun esiste un mediu meyor pa describir la física cuántica si nun ye al traviés de la teoría de la probabilidá. Muncha xente anguaño confunde'l fechu de que la mecánica cuántica descríbese al traviés de distribuciones de probabilidá col camientu de que ye por ello un procesu aleatoriu, cuando la mecánica cuántica ye probabilística non pol fechu de que siga procesos aleatorios sinón pol fechu de nun poder determinar con precisión los sos parámetros fundamentales, lo que imposibilita la creación d'un sistema d'ecuaciones determinista.

 Repaso Probabilidá 

Amuésense dellos problemes nos cualos atopares, pasu a pasu'l procedimientu pa realizar dichos problemes de probabilidá I.

Problemes Probabilidad

 Investigación biomédica 

La mayoría de les investigaciones biomédiques utilicen muestres de probabilidá, esto ye, aquelles que l'investigador pueda especificar la probabilidá de cualquier elementu na población qu'investiga. Les muestres de probabilidá dexen usar estadístiques inferenciales, aquelles que dexen faer inferencias a partir de datos. Per otra parte, les muestres non probabilísticas solo dexen usase estadístiques descriptives, aquelles que solo dexen describir, entamar y resumir datos. Utilícense cuatro tipos de muestres probabilísticas: muestres aleatories simples, muestres aleatories estratificadas, muestra por conglomeraos y muestres sistemátiques.

 Función de Probabilidá Conxunta 
Función de Probabilidá Conxunta

 Ver tamién 
 Teoría de la decisión
 Teoría de xuegos
 Teoría de la información
 Teoría de la midida
 Variable aleatoria
 Estadística
 Procesu estocástico
 Equiprobabilidad
 Frecuencia estadística

 Referencies 

 Problemes selectos de probabilidá (resueltos)
 Edwin Thompson Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science . Preprint: Washington University, (1996). (PDF) (n'inglés)
 Un problema de probabilidaes: 

Categoría:Matemátiques aplicaes
Categoría:Teoría de probabilidaes
Categoría:Wikipedia:Páxines con enllaces interllingüísticos