التحدب في الاقتصاد

التحدُّب خاصية هندسية ذات تطبيقات متعددة في علم الاقتصاد. وبصورة غير رسمية، تُعدّ الظاهرة الاقتصادية محدَّبة عندما تكون التوليفات (أو الحلول الوسطى) مفضَّلة على الحالات المتطرفة. فعلى سبيل المثال، يفضّل العامل الاقتصادي الذي تتسم تفضيلاته بالتحدُّب مزائج السلع على استهلاك كمية كبيرة من سلعة واحدة بعينها؛ ويعبّر ذلك عن شكلٍ من أشكال تناقص المنفعة الحدّية الناتج عن زيادة استهلاك السلعة نفسه

يُعَدّ التحدُّب افتراضًا تبسيطيًا محوريًا في العديد من النماذج الاقتصادية، إذ يفضي إلى سلوكٍ سوقي يسهل فهمه ويتسم بخصائص مرغوبة. فعلى سبيل المثال، يفترض نموذج آرو–ديبرو للتوازن الاقتصادي العام أنه إذا كانت التفضيلات محدَّبة وسادت المنافسة الكاملة، فإن إجمالي العروض يتساوى مع إجمالي الطلبات لكل سلعة في الاقتصاد.

في المقابل، يرتبط عدمُ التحدُّب بإخفاقات السوق، حيث لا يتساوى العرض والطلب، أو قد تكون توازنات السوق غير كفؤة.

يُطلق على فرع الرياضيات الذي يوفر الأدوات اللازمة للدوال المحدبة وخصائصها اسم التحليل المحدب؛ أما الظواهر غير المحدبة فتتم دراستها في إطار التحليل غير الأملس .

 تمهيد رياضي 
يعتمد علم الاقتصاد على التعريفات والنتائج التالية المستمدة من الهندسة المحدَّبة.

 الفضاءات المتجهية الحقيقية 

يمكن تمثيل الفضاء المتجهي الحقيقي ثنائي الأبعاد بنظام إحداثيات ديكارتي، حيث تُحدد كل نقطة فيه بواسطة عددين حقيقيين يُطلق عليهما «الإحداثيات»، ويرمز لهما عادةً بـ x وy. ويمكن جمع نقطتين في المستوى الديكارتي بإجراء الجمع مكوّنًا بمكوّن على الإحداثيات

 (x 1, y 1) + (x 2, y 2) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2).

علاوة على ذلك، يمكن ضرب النقطة بأي عدد حقيقيλ مكونًا بمكوّن على الإحداثيات.
 λ (x, y) = ( λx, λy ).

وبشكل أعمّ، يمكن اعتبار أي فضاء متجهي حقيقي ذي بُعد محدود D على أنه مجموعة كل القوائم الممكنة المكوَّنة من D عددًا حقيقيًا

(v1,v2,…,vD)، مصحوبة بعمليتين: جمع المتجهات والضرب العددي. بالنسبة للفضاءات المتجهية ذات البُعد المحدود، يمكن تعريف كل من عمليتي جمع المتجهات والضرب العددي مكوّنًا بمكوّن لكل إحداثية، كما في المثال الخاص بالمستوى الديكارتي.

 المجموعات المحدَّبة 
بديل=A picture of a smoothed triangle, like a triangular tortilla-chip or a triangular road-sign. Each of the three rounded corners is drawn with a red curve. The remaining interior points of the triangular shape are shaded with blue.|يسار|تصغير|في الغلاف المحدَّب للمجموعة الحمراء، كل نقطة زرقاء هي تركيبة محدَّبة لبعض النقاط الحمراء.
في فضاء متجهي حقيقي، تُعرَّف المجموعة بأنها محدَّبة إذا كانت، لكل زوج من نقاطها، كل نقطة على القطعة المستقيمة الواصلة بين هذين النقاط تقع داخل المجموعة. على سبيل المثال، المكعب الصلب محدب، أما أي شكل مجوف أو منخسف، مثل شكل الهلال، فهو غير محدب. وبديهياً، تُعدّ المجموعة الفارغة محدبة.

بصورة أكثر رسمية، تكون المجموعة Q محدَّبة إذا كان، لكل نقطتين v0 وv1 في Q، ولكل عدد حقيقي λ في الفترة [0,1] ، تقع النقطة

 (1−λ )v 0 + λv 1

هو عضو في المجموعة Q.

باستخدام الاستقراء الرياضي، تكون المجموعة Q محدَّبة إذا وفقط إذا كان كل تركيب محدَّب لعناصر Q ينتمي أيضًا إلى Q. وبحسب التعريف، فإن التركيب المحدَّب لمجموعة جزئية مفهرسة {v0,v1,…,vD} من فضاء متجهي هو أي متوسط مرجح:

λ0v0+λ1v1+⋯+λDvD

حيث {λd} مجموعة من الأعداد الحقيقية غير السالبة التي تحقق المعادلة:

λ0+λ1+⋯+λD=1

يشير تعريف المجموعة المحدَّبة إلى أن تقاطع مجموعتين محدَّبتين يُشكّل مجموعة محدَّبة. وبشكل أعمّ، فإن تقاطع أي مجموعة من المجموعات المحدَّبة يُنتج مجموعة محدَّبة.

 الهيكل المحدَّب أو الغلاف المحدَّب 
لكل مجموعة جزئية Q من فضاء متجهي حقيقي، يُعرَّف الهيكل المحدَّب Conv(Q) على أنه أصغر مجموعة محدَّبة تحتوي على Q. وبذلك، يمكن تمثيل Conv(Q) على أنه تقاطع جميع المجموعات المحدَّبة التي تشمل Q. كما يمكن تعريف الهيكل المحدَّب لمجموعة ما بشكل مكافئ على أنه مجموعة كل التركيبات المحدَّبة الممكنة للنقاط في Q

 الازدواجية: تقاطع أنصاف الفضاءات 
يسار|تصغير|مجموعة محدَّبة 𝑆 (باللون الوردي)، مستوى فائق داعم لـ 𝑆 (الخط المتقطع)، ونصف الفضاء المحدد بالمستوى الفائق والذي يحتوي على 𝑆 (باللون الأزرق الفاتح).
المستوى الفائق الداعم هو مفهوم في الهندسة . يقسم المستوى الفائق الفضاء إلى نصفين . ويُقال إن المستوى الفائق يدعم مجموعة  في الفضاء الحقيقي ذي البعد n  إذا استوفى الشرطين التاليين:

 تقع المجموعة S بالكامل داخل أحد أنصاف الفضاءات المغلقة المحددة بواسطة المستوى الفائق.
 تحتوي المجموعة 𝑆 على نقطة واحدة على الأقل تقع على المستوى الفائق.

هنا، يُقصد بـ نصف الفضاء المغلق هو النصف من الفضاء الذي يحتوي على المستوى الفائق.

 نظرية المستوى الفائق الداعم 
يسار|تصغير|يمكن أن تحتوي المجموعة المحدَّبة على أكثر من مستوى فائق داعم واحد عند نقطة معينة على حدودها.
تنص هذه النظرية على أنه إذا  هي مجموعة محدبة مغلقة في  و وكانت  هي نقطة على حدود  فإن هناك مستوى فائق داعم يمر ب 

قد لا يكون المستوى الفائق في النظرية فريدًا، كما هو موضح في الصورة الثانية على اليمين. إذا كانت المجموعة المغلقة  إذا لم يكن محدبًا، فإن نص النظرية لا يكون صحيحًا عند جميع النقاط على حدوده.  كما هو موضح في الصورة الثالثة على اليمين.
يسار|تصغير|قد لا يوجد مستوى فائق داعم يمر بنقطة معينة على حدود S إذا كانت S غير محدَّبة.

 الاقتصاد 
يسار|تصغير|يفضل المستهلك متجه السلع(Qx,Qy) على المتجهات الأخرى التي يمكنه تحمّلها. عند هذا المتجه الأمثل، يقوم خط الميزانية بدعم منحنى السواء2 I .
تتحقق سلة السلع المثلى عند النقطة التي تدعم فيها قيود الميزانية مجموعة تفضيلات المستهلك المحدَّبة، كما هو موضح في الرسم البياني. إذا كانت مجموعة التفضيلات محدَّبة، فإن مجموعة القرارات المثلى للمستهلك تكون مجموعة محدَّبة أيضًا، على سبيل المثال، سلة سلع مثلى واحدة أو حتى قطعة مستقيمة من سلال السلع المثلى.

لتبسيط الأمور، سنفترض أن تفضيلات المستهلك يمكن تمثيلها بدالة منفعة مستمرة، مما يعني أن مجموعات التفضيلات مغلقة. (سيتم توضيح معنى "المجموعة المغلقة" لاحقًا في القسم الفرعي الخاص بتطبيقات التحسين).

 عدم التحدب 
يسار|تصغير|عندما تحتوي تفضيلات المستهلك على مناطق مقعَّرة، فإن الميزانيات الخطية لا تضمن دعم التوازنات، إذ يمكن للمستهلكين القفز بين التخصيصات.
إذا كانت مجموعة التفضيلات غير محدَّبة، فإن بعض الأسعار قد تؤدي إلى ميزانية تدعم قرارين استهلاكيين أمثلين مختلفين. على سبيل المثال، يمكن تخيل أنه في حدائق الحيوان، تكلفة الأسد تساوي تكلفة النسر، وأن ميزانية الحديقة تكفي لشراء نسر واحد أو أسد واحد. كما يمكن افتراض أن حارس الحديقة يعتبر كلا الحيوانين متساويين في القيمة. في هذه الحالة، ستقوم الحديقة بشراء إما أسدًا واحدًا أو نسرًا واحدًا. بالطبع، لا يرغب حارس الحديقة المعاصر في شراء نصف نسر ونصف أسد (أو غريفين)! لذلك، فإن تفضيلات حارس الحديقة المعاصر غير محدَّبة، إذ يفضل امتلاك أي من الحيوانين على امتلاك أي توليفة محدَّبة تمامًا منهما.

تم تضمين المجموعات غير المحدَّبة في نظريات التوازن الاقتصادي العام،Pages 392–399 and page 188:  Pages 52–55 with applications on pages 145–146, 152–153, and 274–275:  Theorem C(6) on page 37 and applications on pages 115–116, 122, and 168:   وفشل الأسواق،Pages 112–113 in Section 7.2 "Convexification by numbers" (and more generally pp. 107–115):  والاقتصاد العام.Pages 63–65:  وتُعرض هذه النتائج في كتب الدراسات العليا الخاصة بـ الاقتصاد الجزئي،  Page 628:  ونظرية التوازن العام،Page 169 in the first edition:   In Ellickson, page xviii, and especially Chapter 7 "Walras meets Nash" (especially section 7.4 "Nonconvexity" pages 306–310 and 312, and also 328–329) and Chapter 8 "What is Competition?" (pages 347 and 352):  ونظرية الألعاب،Theorem 1.6.5 on pages 24–25:  والاقتصاد الرياضي،Pages 127 and 33–34:  والرياضيات التطبيقية للاقتصاديين.Pages 93–94 (especially example 1.92), 143, 318–319, 375–377, and 416:   Page 309:   Pages 47–48:  تُثبت نتائج مبرهنة شابلي–فولكمان أن المجموعات غير المحدَّبة متوافقة مع التوازنات التقريبية في الأسواق التي تضم عددًا كبيرًا من المستهلكين، كما تنطبق هذه النتائج أيضًا على اقتصادات الإنتاج التي تضم العديد من الشركات الصغيرة.Economists have studied non‑convex sets using advanced mathematics, particularly differential geometry and topology، Baire category، measure and integration theory, and ergodic theory: 

في أسواق احتكار القلة (الأسواق التي يهيمن عليها عدد قليل من المنتجين)، وخاصة في أسواق الاحتكار (الأسواق التي يهيمن عليها منتج واحد)، تظلّ المجموعات غير المحدَّبة ذات أهمية بالغة.Page 1:  () إن المخاوف المتعلقة بـ استغلال المنتجين الكبار لقوتهم السوقية هي التي أطلقت الأدبيات حول المجموعات غير المحدَّبة، عندما كتب بييرو سرافا عن الشركات ذات العوائد المتزايدة على نطاق الإنتاج في عام 1926، وبعد ذلك كتب هارولد هوتلينج عن تسعير التكلفة الحدية في عام 1938. وقد سلّط كل من سرافا وهوتلينج الضوء على القوة السوقية للمنتجين الذين لا منافس لهم، مما حفّز بوضوح ظهور أدبيات حول جانب العرض في الاقتصاد.Pages 5–7:  كما تظهر المجموعات غير المحدَّبة أيضًا مع السلع البيئية (وغيرها من العوامل الخارجية)،Pages 106, 110–137, 172, and 248: Starrett discusses non‑convexities in his textbook on public economics (pages 33, 43, 48, 56, 70–72, 82, 147, and 234–236):  واقتصاديات المعلومات، وأسواق الأسهم (وغيرها من الأسواق غير الكاملة).Page 270:  (Originally published as )Page 371:  واستمرت هذه التطبيقات في تحفيز الاقتصاديين على دراسة المجموعات غير المحدَّبة.

 التحليل غير الأملس 
زاد اهتمام الاقتصاديين بدراسة المجموعات غير المحدَّبة باستخدام التحليل غير الأملس، الذي يُعمم التحليل المحدب. "لقد تطلّبت حالات عدم التحدب في كل من الإنتاج والاستهلاك أدوات رياضية تتجاوز مفهوم التحدب، وكان لا بد من انتظار ابتكار حساب التفاضل غير الأملس" (على سبيل المثال، حساب ليبشيتز المحلي لفرانسيس كلارك)، كما وصفه Rockafellar & Wets (1998) وMordukhovich (2006)،Chapter 8 "Applications to economics", especially Section 8.5.3 "Enter nonconvexity" (and the remainder of the chapter), particularly page 495:  وفقًا لـ Khan (2008). كتب Brown (1991, ص. 1967–1968) أن "الابتكار المنهجي الرئيسي في تحليل التوازن العام للشركات ذات قواعد التسعير" كان "إدخال أساليب التحليل غير الأملس، كتوليفة بين التحليل العالمي (الطوبولوجيا التفاضلية) والتحليل المحدب". وفقًا لـ Brown (1991, ص. 1966)، "يُوسّع التحليل غير الأملس التقريب المحلي للمتشعبات بواسطة المستويات المماسية، ويُوسّع التقريب المماثل للمجموعات المحدبة بواسطة المخاريط المماسية ليشمل مجموعات قد تكون غير ملساء أو غير محدَّبة". كما استخدم الاقتصاديون أيضًا الطوبولوجيا الجبرية.

 انظر أيضاً 

 الازدواجية المحدبة
 الملاحظات 

 المراجع 







 Luenberger, David G. Microeconomic Theory, McGraw-Hill, Inc., New York, 1995.



 .


تصنيف:التوازن العام واختلال التوازن
تصنيف:هندسة محدبة