سطح كوستا الاصغري

سطح كوستا الاصغري (Costa's minimal surface) هو سطح أدنى مضمن في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، تم اكتشافه في عام 1982 على يد عالم الرياضيات البرازيلي سيلسو خوسيه دا كوستا (Celso José da Costa) في سياق الهندسة التفاضلية ودراسة السطوح التي تقلل المساحة محليًا.
تصغير|نموذج STL للسطح

 تعريف عام 
من منظور الهندسة التفاضلية التركيبية، يُعتبر سطح كوستا مثالًا على سطح أدنى كامل وضمني (embedded) في 𝑅3، بحيث يكون الانحناء الوسطي صفرًا في كل نقطة عليه ويُمثّل حالة توازن هندسية تتحقق عند التغيرات الطفيفة للمساحة.

يتميز السطح بكونه ذو طوبولوجيا محدودة؛ فهو سطح من طراز طوبولوجي توروسي مُثَقَّب ثلاث مرات (ثلاث فتحات)، ما يعني أنه يمكن الحصول عليه من توروس مغلق من خلال إحداث ثلاث ثقوب عليه.

 الخلفية والدلالة التاريخية 
قبل اكتشاف سطح كوستا، كان يُعتقد أن السطوح الدنيا المضمنة الكاملة في 𝑅3 التي لا تتقاطع ذاتيًا والمشكّلة بإحداث ثقوب في سطح مغلق هي فقط:
 المستوى المستوي
 سطح حلزوني (helicoid)
 سطحي سلسلي (Catenoid )

هذا الاعتقاد نتج عن دراسة السطوح الدنيا الكلاسيكية منذ القرن الثامن عشر، وكان يُفترض ضمنيًا أن هذه الثلاثة تمثّل كافة الأمثلة الممكنة من هذا النوع.

 الوصف الهندسي 
سطح كوستا يتطور هندسيًا من توروس بسيط من خلال تشويه مستمر بحيث تتحوّل نهاية السطح المبدئية إلى شكلٍ كاتينويدي، وفي النهاية يُنتج بذلك سطحًا أدنى ذو ثلاث نهايات مفتوحة.
يمكن التعبير عن إحداثيات هذا السطح باستخدام دوال فايرشتراس الزِتا (Weierstrass zeta) ودوال اِلِبْتِيك (Weierstrass elliptic functions)، وهي دوال معقدة تُستخدم في تمثيل السطوح الدنيا عبر التحليل المركّب والتطبيقات الهندسية.

 الأهمية في الهندسة التفاضلية 
يعتبر سطح كوستا نقطة تحول في تاريخ دراسة السطوح الدنيا لأنه أظهر أن هناك أمثلة كثيرة أخرى غير الثلاثة الكلاسيكية، مما دفع إلى توسيع التصنيف ودراسة مجموعات من السطوح ذات تناظرات وخصائص طوبولوجية مختلفة.

فتح الاكتشاف الباب أمام تطوير عائلات جديدة من السطوح الدنيا، مثل عائلة Costa–Hoffman–Meeks التي تمتد لتشمل سطوحًا ذات تناظرات أعلى وطوبولوجيا مختلفة.

 تمثيلات مرئية وتطبيقات 
سطح كوستا غالبًا ما يُستخدم في التصوير الهندسي والنماذج التعليمية كونه يُظهر كيف يمكن للهندسة التفاضلية أن تنتج أشكالًا معقدة متوازنة هندسيًا. تظهر رسومه بشكل جميل في الرسوم الحاسوبية ثلاثية الأبعاد ونماذج المطبوعة، مما يسهّل دراسة خواصه الهندسية مثل الانحناء الوسطي والتغيرات الطوبولوجية.

 مراجع 








 انظر ايضا 
 الانحناء الوسطي،
 سطوح دنيا

تصنيف:سطوح
تصنيف:هندسة تفاضلية

en:Costa's minimal surface