سطح داربو الحلقي

سطح داربو الحلقي (بالإنجليزية: Darboux cyclide) هو سطح جبري من الدرجة الرابعة كحد أقصى، يمثل تعميماً لـ سطح دوبان الحلقي والأسطح التربيعية. سُمي بهذا الاسم نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي جاستون داربو الذي قدم دراسة شاملة لهذه الأسطح في عام 1880.Darboux, G. (1880). Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques. Gauthier-Villars.

تصغير|سطح داربو الحلقي (بالإنجليزية: Darboux cyclide)
يُعد هذا السطح موضوعاً مركزياً في الهندسة التركيبية (Synthetic Geometry) والهندسة التفاضلية، حيث يتميز بخصائص هندسية فريدة تتعلق بالدوائر والتحويلات الكروية.

 الوصف الهندسي والتركيب 
من منظور الهندسة التركيبية، يُعرف سطح داربو الحلقي بأنه السطح الناتج عن تطبيق انعكاس كروي (Spherical Inversion) لسطح تربيعي عام (مثل القطع الناقص أو القطع الزائد).بموجب هذا التعريف، تكتسب أسطح داربو الخصائص التالية:
 التوليد بالانعكاس: كل سطح داربو هو صورة لسطح تربيعي تحت تأثير تحويل كروي.
 الدوائر على السطح: نظراً لأن الانعكاس الكروي يحفظ الدوائر، فإن أسطح داربو تحتوي على عائلات متعددة من الدوائر. أثبتت الأبحاث أن السطح يمكن أن يحتوي على ما يصل إلى 6 عائلات من الدوائر تتقاطع لتشكل شبكات هندسية منتظمة.Pottmann, H.; Grohs, P.; Mitra, N. J. (2012), "Darboux cyclides and webs from circles", Computer Aided Geometric Design, 29 (5): 272–287, arXiv:1105.1542.

 جيومترية العمارة (Architectural Geometry) 
تكتسب أسطح داربو الحلقية أهمية كبرى في مجال الهندسة المعمارية الرقمية وتصميم الأسطح الحرة. وتكمن الميزة الأساسية في قدرة هذه الأسطح على "التجزئة الدائرية" (Circular tiling):
 الأسطح القابلة للتقسيم: بفضل احتوائها على عائلات من الدوائر، يمكن تغطية أسطح داربو الحلقية بألواح زجاجية أو معدنية دائرية تماماً أو منحنية بشكل متسق، مما يقلل تكاليف التصنيع بشكل كبير.
 تصميم المنشآت: تُستخدم هذه الأسطح في تصميم الهياكل الشبكية (Gridshells) حيث تلتقي العناصر الإنشائية عند زوايا محددة تسهل عملية الربط الهندسي، وهو ما يعرف في العمارة بـ "هندسة الأسطح العقلانية".

 المنظور الإسقاطي التركيبي 
في الهندسة الإسقاطية، يظهر سطح داربو كتقاطع بين "تربيعي موبيوس" وفضاء مماس في أبعاد عليا.الارتباط بالمقطع المطلق: السطح "ثنائي الدائرة" (Bicyclic) لأنه يمر بـ "المقطع المطلق" (Absolute conic) مرتين.التناظر: أي تحويل كروي (Möbius transformation) يحول سطح داربو حلقي إلى سطح داربو حلقي آخر، مما يجعله كياناً ثابتاً في إطار هندسة موبيوس.

 المقارنة مع دويرية دوبين 
يُعد سطح داربو الحلقي تعميماً مباشراً لـ دويرية دوبين (Dupin cyclide)، إلا أنهما يختلفان في عدة جوانب جوهرية من منظور الهندسة التركيبية والتحليلية:

 أصل التوليد: تنتج دويرية دوبان عن انعكاس الأسطح التربيعية الدورانية (مثل الأسطوانة أو المخروط الدائري)، بينما ينتج سطح داربو عن انعكاس أي سطح تربيعي عام (كـ Partial Ellipsoid)، مما يجعله أكثر مرونة هندسياً.

 كثافة الدوائر: في حين تكتفي دويرية دوبان بامتلاك عائلتين فقط من الدوائر (وهما خطوط الانحناء الأساسية)، يمتلك سطح داربو العام ما يصل إلى 6 عائلات من الدوائر تتقاطع على سطحه، وهو ما أكدته الأبحاث المنشورة في دوريات الهندسة الحاسوبية. Pottmann, H.; Grohs, P.; Mitra, N. J. (2012), "Darboux cyclides and webs from circles", Computer Aided Geometric Design, 29 (5): 272–287.

 خطوط الانحناء: في دويرية دوبان، تكون جميع خطوط الانحناء عبارة عن دوائر تماماً. أما في سطح داربو، فإن خطوط الانحناء هي منحنيات جبرية من الدرجة الرابعة، والدوائر الموجودة عليه لا تمثل بالضرورة خطوط الانحناء الرئيسية للسطح.Coolidge, Julian (1916), A Treatise on the Circle and the Sphere, Oxford University Press.

 المرونة المعمارية: دويرية دوبين محدود بالأشكال الدورانية، أما دويرية داربو فتتميز بمرونة عالية في الأشكال الحرة (Freeform).

 المراجع 

 وصلات خارجية 
 Darboux Cyclides and Webs from Circles - بحث مفصل حول الخصائص الهندسية (Arxiv).

تصنيف:تصميم بمساعدة الحاسوب
تصنيف:سطوح
تصنيف:عناصر معمارية
تصنيف:هندسة تفاضلية
تصنيف:هندسة وصفية