تقدير الكثافة الطيفية

في معالجة الإشارات الإحصائية، يهدف تقدير كثافة الطيف (أو ببساطة التقدير الطيفي) إلى تقدير كثافة الطيف (المعروفة أيضاً بكثافة القدرة الطيفية) لإشارة ما من خلال سلسلة من العينات الزمنية لهذه الإشارة. and R Moses, Spectral Analysis of Signals, Prentice Hall, 2005. بشكل بديهي، تصف كثافة الطيف المحتوى الترددي للإشارة. أحد أغراض تقدير كثافة الطيف هو الكشف عن أي دوريات في البيانات، من خلال ملاحظة القمم عند الترددات المقابلة لهذه الدوريات.

تفترض بعض تقنيات تقدير كثافة الطيف أن الإشارة تتكون من عدد محدود (عادةً صغير) من الترددات المولدة بالإضافة إلى الضوضاء، وتسعى إلى تحديد موقع وكثافة الترددات المولدة. بينما لا تفرض تقنيات أخرى أي افتراض حول عدد المكونات وتسعى إلى تقدير الطيف المولد بأكمله.

 نظرة عامة 
وصلة=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Voice_waveform_and_spectrum.png|تصغير|مثال لشكل موجة صوتية وطيفها الترددي.
وصلة=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Triangle-td_and_fd.svg|تصغير|موجة دورية (موجة مثلثية) وطيفها الترددي، يُظهر تردداً "أساسياً" عند 220 هرتز يليه مضاعفات (نغمات توافقية) لـ 220 هرتز.
وصلة=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Comparison_of_periodogram_and_Welch_methods_of_spectral_density_estimation.png|تصغير|للمقارنة، تم تقدير كثافة القدرة الطيفية لمقطع موسيقي بطريقتين مختلفتين.

 تحليل الطيف 
يُشار إليه أيضاً بتحليل مجال التردد أو تقدير كثافة الطيف، وهو العملية التقنية لتفكيك إشارة معقدة إلى أجزاء أبسط. كما وُصف أعلاه، تُوصف العديد من العمليات الفيزيائية بشكل أفضل كمجموع للعديد من مكونات التردد الفردية. يمكن تسمية أي عملية تقوم بتقييم المقادير المختلفة (مثل السعات، والقدرات، الشدات) مقابل التردد (أو الطور) بتحليل الطيف.

يمكن إجراء تحليل الطيف على الإشارة بأكملها. بدلاً من ذلك، يمكن تقسيم الإشارة إلى مقاطع قصيرة (تُسمى أحيانًا الإطارات)، وقد يُطبق تحليل الطيف على هذه المقاطع الفردية. الدوال الدورية مثل  مناسبة بشكل خاص لهذا التقسيم. تقع التقنيات الرياضية العامة لتحليل الدوال غير الدورية ضمن فئة تحليل فورييه.

يُنتج تحليل فورييه لدالة ما طيف تردد يحتوي على جميع المعلومات حول الإشارة الأصلية، ولكن بشكل مختلف. هذا يعني أنه يمكن إعادة بناء الدالة الأصلية بالكامل (تركيبها) عن طريق تحليل فورييه عكسي. لإعادة البناء المثالي، يجب على محلل الطيف الحفاظ على كل من السعة والطور لكل مكون ترددي. يمكن تمثيل هاتين المعلومتين كمتجه ثنائي الأبعاد، أو كعدد مركب، أو كمقدار (سعة) وطور في الإحداثيات القطبية (أي كعداد طوري). تقنية شائعة في معالجة الإشارات هي النظر إلى السعة المربعة، أو القدرة؛ في هذه الحالة يُشار إلى المخطط الناتج باسم طيف القدرة.

بسبب قابلية الانعكاس، يُسمى تحويل فورييه تمثيلاً للدالة، بدلالة التردد بدلاً من الزمن؛ وبالتالي، فهو تمثيل في مجال التردد. العمليات الخطية التي يمكن تنفيذها في المجال الزمني لها نظائر يمكن تنفيذها في كثير من الأحيان بسهولة أكبر في مجال التردد. كما يبسط تحليل التردد فهم وتفسير آثار العمليات المختلفة في المجال الزمني، الخطية وغير الخطية على حد سواء. على سبيل المثال، فقط العمليات غير الخطية أو المتغيرة مع الزمن يمكنها إنشاء ترددات جديدة في الطيف الترددي.

عملياً، تستخدم جميع البرامج والأجهزة الإلكترونية تقريباً التي تولد أطياف تردد تحويل فورييه المنفصل، الذي يعمل على عينات من الإشارة، ويوفر تقديراً رياضياً للحل التكاملي الكامل. يُنفذ تحويل فورييه المنفصل بشكل شبه دائم بواسطة خوارزمية فعالة تسمى تحويل فورييه السريع. مجموعة مكونات المقدار المربع لتحويل فورييه المنفصل هي نوع من طيف القدرة يُسمى المخطط الدوري، ويُستخدم على نطاق واسع لفحص الخصائص الترددية للدوال الخالية من الضوضاء مثل استجابات النبض للمرشحات ودوال النافذة. لكن المخطط الدوري لا يوفر كسب معالجة عند تطبيقه على إشارات شبيهة بالضوضاء أو حتى الموجات الجيبية عند نسب إشارة إلى ضوضاء منخفضة. بعبارة أخرى، لا يقل تباين تقديره الطيفي عند تردد معين مع زيادة عدد العينات المستخدمة في الحساب. يمكن التخفيف من ذلك عن طريق المتوسط عبر الزمن (طريقة ويلش) أو عبر التردد (التنعيم). تُستخدم طريقة ويلش على نطاق واسع لتقدير كثافة الطيف. ومع ذلك، تقدم التقنيات القائمة على المخطط الدوري تحيزات صغيرة غير مقبولة في بعض التطبيقات. لذلك يتم تقديم بدائل أخرى في القسم التالي.

 التقنيات 
طُوّرت العديد من التقنيات الأخرى لتقدير الطيف للتخفيف من عيوب المخطط الدوري الأساسي. يمكن تقسيم هذه التقنيات بشكل عام إلى طرق غير بارامترية، وبارامترية، ومؤخراً شبه بارامترية (تُسمى أيضاً متفرقة). لا تقدّر النهوج غير البارامترية التغاير أو طيف العملية بشكل صريح دون افتراض أن العملية لها أي بنية معينة. بعض أكثر المقدرات شيوعاً في الاستخدام للتطبيقات الأساسية (مثل طريقة ويلش) هي مقدرات غير بارامترية ترتبط ارتباطاً وثيقاً بالمخطط الدوري.

على النقيض من ذلك، تفترض النهوج البارامترية أن عملية الانحراف العشوائي الثابتة الكامنة لها بنية معينة يمكن وصفها باستخدام عدد صغير من المعاملات (على سبيل المثال، باستخدامنموذج التحليل بالتراجع وبالمتوسط المتحرك). في هذه النهوج، تتمثل المهمة في تقدير معاملات النموذج الذي يصف عملية الانحراف العشوائي.

عند استخدام الطرق شبه البارامترية، يتم نمذجة العملية الكامنة باستخدام إطار عمل غير بارامتري، مع افتراض إضافي أن عدد المكونات غير الصفرية في النموذج صغير (أي أن النموذج متفرق). قد تُستخدم نهوج مشابهة أيضاً لاستعادة البيانات المفقودة وكذلك لإعادة بناء الإشارة.

فيما يلي قائمة جزئية لتقنيات تقدير كثافة الطيف:

 طرق غير بارامترية يمكن أن تكون عينات الإشارة فيها متباعدة بشكل غير منتظم زمنياً (يمكن أن تكون السجلات غير كاملة):

 تحليل الطيف بطريقة المربعات الدنيا، بناءً على ملاءمة المربعات الدنيا لترددات معروفة.
 مخطط لومب-سكارغلي الدوري، وهو تقريب لتحليل الطيف بطريقة المربعات الدنيا.
 تحويل فورييه المنفصل غير المنتظم.

 طرق غير بارامترية يجب أن تكون عينات الإشارة فيها متباعدة بشكل منتظم زمنياً (يجب أن تكون السجلات كاملة):

 المخطط الدوري، وهو مربع معامل تحويل فورييه المنفصل.
 طريقة بارتليت، وهي متوسط المخططات الدورية المأخوذة من مقاطع متعددة من الإشارة لتقليل تباين تقدير كثافة الطيف.
 طريقة ويلش، وهي نسخة ذات نافذة من طريقة بارتليت تستخدم مقاطع متداخلة.
 طريقة المتعدد النوافذ، وهي طريقة قائمة على المخطط الدوري تستخدم عدة مخمدات، أو نوافذ، لتشكيل تقديرات مستقلة لكثافة الطيف لتقليل التباين في تقدير كثافة الطيف.
 التحليل الطيفي الفردي، وهي طريقة غير بارامترية تستخدم التحلل القيمي الفردي لمصفوفة التغاير لتقدير كثافة الطيف.
 تحويل فورييه قصير المدى.
 المرشح الحرج، وهو طريقة غير بارامترية قائمة على نظرية المجال المعلوماتي يمكنها التعامل مع الضوضاء، والبيانات غير الكاملة، ودوال الاستجابة الآلية.

 تقنيات بارامترية (قائمة غير كاملة):

 تقدير النموذج الانحداري الذاتي، والذي يفترض أن العينة رقم ن مرتبطة بعينات سابقة عددها ع.
 تقدير نموذج المتوسط المتحرك، والذي يفترض أن العينة رقم ن مرتبطة بحدود ضوضاء في عينات سابقة عددها ع.
 تقدير النموذج الانحداري الذاتي ذو المتوسط المتحرك، والذي يعمم نموذجي الانحدار الذاتي والمتوسط المتحرك.
 تصنيف الإشارات المتعددة، وهي طريقة شائعة للدقة الفائقة.
 تقدير معاملات الإشارة عبر تقنيات ثبات الدوران، وهي طريقة أخرى للدقة الفائقة.
 تقدير الطيف بالإنتروبيا القصوى، وهي طريقة كل-أقطاب مفيدة لتقدير كثافة الطيف عندما يُتوقع وجود سمات طيفية فردية، مثل القمم الحادة.

 تقنيات شبه بارامترية (قائمة غير كاملة):

  تقدير سبايس، والتقدير الأعمم سبايس.
  تقدير النهج التكيفي التكراري.
 لاسو، مشابه لتحليل الطيف بطريقة المربعات الدنيا ولكن بعقوبة تعزز التفرق.

 التقدير البارامتري 
في التقدير الطيفي البارامتري، يفترض المرء أن الإشارة يتم نمذجتها بواسطة عملية ثابتة لها دالة كثافة طيفية هي دالة في التردد ومعاملات عددها ع. ثم تصبح مشكلة التقدير هي تقدير هذه المعاملات.

أكثر أشكال تقدير دالة كثافة الطيف البارامترية شيوعاً يستخدم كنموذج نموذج الانحدار الذاتي من الرتبة ع. تخضع سلسلة إشارة مطيعة لعملية انحدار ذاتي بمتوسط صفري للمعادلة:

حيث `φ_1, ..., φ_p` معاملات ثابتة و `ε_t` عملية ضوضاء بيضاء بمتوسط صفري وتباين إبداعي `σ_p^2`. دالة كثافة الطيف لهذه العملية هي:

مع  فاصل زمن أخذ العينات و 

.

هناك عدد من النهوج لتقدير المعاملات  لعملية الانحدار الذاتي وبالتالي كثافة الطيف:

 مقدرات يول-والكر تُوجد من خلال حل معادلات يول-والكر بشكل تكراري لعملية انحدار ذاتي.
 مقدرات بورغ تُوجد من خلال معاملة معادلات يول-والكر كنوع من مشكلة المربعات الدنيا العادية. تعتبر مقدرات بورغ بشكل عام متفوقة على مقدرات يول-والكر. ربط بورغ هذه بتحليل الطيف بالإنتروبيا القصوى.Burg, J.P. (1967) "Maximum Entropy Spectral Analysis", Proceedings of the 37th Meeting of the Society of Exploration Geophysicists, Oklahoma City, Oklahoma.
 مقدرات المربعات الدنيا الأمامية-الخلفية تعامل عملية الانحدار الذاتي كمشكلة انحدار وتحل تلك المشكلة باستخدام الطريقة الأمامية-الخلفية. وهي منافسة لمقدرات بورغ.
 مقدرات الاحتمالية القصوى تُقدّر المعاملات باستخدام نهج الاحتمالية القصوى. يتضمن هذا تحسيناً غير خطي وهو أكثر تعقيداً من النهج الثلاثة الأولى.

تشمل الطرق البارامترية البديلة الملاءمة لنموذج المتوسط المتحرك والملاءمة لنموذج انحدار ذاتي كامل ذي متوسط متحرك.

 تقدير التردد 
تقدير التردد هو عملية تقدير التردد، السعة، وإزاحة الطور لإشارة ما في وجود ضوضاء، مع افتراضات مسبقة حول عدد المكونات. وهذا يختلف عن الطرق العامة المذكورة أعلاه، والتي لا تفترض افتراضات مسبقة حول المكونات.

 نغمة منفردة 
إذا أردنا فقط تقدير تردد إشارة النغمة الصافية الأعلى شدة، فيمكن استخدام خوارزمية كشف درجة الصوت.

إذا تغير التردد المهيمن مع الزمن، تصبح المشكلة هي تقدير التردد اللحظي كما هو محدد في التمثيل الزمني-الترددي. تشمل طرق تقدير التردد اللحظي تلك القائمة على توزيع فيغنر-فيل ودوال الغموض ذات الرتب الأعلى.

إذا أردنا معرفة جميع مكونات التردد (ربما المركبة) لإشارة مستقبلة (بما في ذلك الإشارة المرسلة والضوضاء)، فإنه يستخدم نهج النغمات المتعددة.

 نغمات متعددة 
يتكون نموذج نمطي لإشارة  من مجموع  أسّيات مركبة في وجود ضوضاء بيضاء:

`P̂_PHD(e^{jω}) = 1 / |e^H v_min|^2`

`P̂_MU(e^{jω}) = 1 / Σ_{i=p+1}^{M} |e^H v_i|^2`

الطريقة الذاتية المتجهة:

`P̂_EV(e^{jω}) = 1 / Σ_{i=p+1}^{M} (1/λ_i) |e^H v_i|^2`

طريقة القيمة القصوى الدنيا:

`P̂_MN(e^{jω}) = 1 / |e^H a|^2;  a = λ P_n u_1`

تتكون دالة كثافة القدرة الطيفية لـ  من  دوال نبضية بالإضافة إلى دالة كثافة الطيف الناتجة عن الضوضاء.

تتضمن أكثر طرق تقدير التردد شيوعاً تحديد فضاء الضوضاء لاستخراج هذه المكونات. تعتمد هذه الطرق على التحليل الذاتي لمصفوفة الارتباط الذاتي إلى فضاء إشارة وفضاء ضوضاء. بعد تحديد هذين الفضاءين، تُستخدم دالة تقدير التردد لإيجاد الترددات المكونة من فضاء الضوضاء. أكثر الطرق شيوعاً لتقدير التردد القائمة على فضاء الضوضاء هي طريقة بيسارينكو، وطريقة تصنيف الإشارات المتعددة، والطريقة الذاتية المتجهة، وطريقة القيمة القصوى الدنيا.

طريقة بيسارينكو:

 طريقة تصنيف الإشارات المتعددة: 

الطريقة الذاتية المتجهة:

طريقة القيمة القصوى الدنيا:

 مثال حسابي 
لنفترض أن  من  إلى، هي سلسلة زمنية (زمن منفصل) بمتوسط صفري. لنفترض أنها مجموع عدد محدود من المكونات الدورية (جميع الترددات موجبة):

حيث: 

التباين لـ لدالة بمتوسط صفري كما ورد أعلاه، يُعطى بالعلاقة:

إذا كانت هذه البيانات عينات مأخوذة من إشارة كهربائية، فسيكون هذا متوسط قدرتها (القدرة هي الطاقة لكل وحدة زمن، لذا فهي مماثلة للتباين إذا كانت الطاقة مماثلة لمربع السعة).

الآن، للتبسيط، لنفترض أن الإشارة تمتد إلى ما لا نهاية في الزمن، لذا ننتقل إلى النهاية عندما . إذا كان متوسط القدرة محدوداً، وهو الحال دائمًا تقريبًا في الواقع، فإن النهاية التالية موجودة وهي تباين البيانات.

مرة أخرى، للتبسيط، سننتقل إلى الزمن المستمر، ونفترض أن الإشارة تمتد إلى ما لا نهاية في الزمن في كلا الاتجاهين. عندها تصبح هاتان الصيغتان:

و

متوسط الجذر التربيعي لدالة  ، لذا فإن تباين  هو .

ومن ثم، فإن مساهمة التردد  في متوسط قدرة  هي. تجمع كل هذه المساهمات لتشكل متوسط قدرة 

إذن القدرة كدالة للتردد هي  ودالتها التوزيعية التراكمية الإحصائية  ستكون:

الدالة  هي دالة خطوة، غير متناقصة رتيبياً. تقع قفزاتها عند ترددات المكونات الدورية لـ ، وقيمة كل قفزة هي القدرة أو تباين ذلك المكون.

التباين هو التغاير للبيانات مع نفسها. إذا أخذنا الآن نفس البيانات ولكن بإزاحة زمنية مقدارها τ، يمكننا أخذ التغاير لـ  مع ، وتعريف هذا على أنه دالة الارتباط الذاتي c للإشارة (أو البيانات) :

إذا كانت موجودة، فهي دالة زوجية في . إذا كان متوسط القدرة محدوداً، فإن  موجودة في كل مكان، ومحدودة، ومحصورة بـ  وهو متوسط القدرة أو تباين البيانات.

يمكن إثبات أنه يمكن تحليل c إلى مكونات دورية لها الفترات نفسها كـ x:

هذا في الحقيقة هو التحليل الطيفي لـ  عبر الترددات المختلفة، ومرتبط بتوزيع القدرة لـ  عبر الترددات: سعة مكون التردد لـ  هي مساهمته في متوسط قدرة الإشارة.

طيف القدرة في هذا المثال ليس مستمراً، وبالتالي ليس له مشتقة، ومن ثم فإن هذه الإشارة لا تملك دالة كثافة قدرة طيفية. بشكل عام، سيكون طيف القدرة عادة مجموع جزأين: طيف خطي كما في هذا المثال، وهو غير مستمر ولا يملك دالة كثافة، وبقايا، وهي مستمرة تماماً وتملك دالة كثافة.

 انظر أيضاً 

  تقدير الطيف متعدد الأبعاد
 المخطط الدوري
 التحديد الطيفي للإشارة
 مخطط الطيف الزمني
 تحليل الزمن-التردد
 تمثيل الزمن-التردد
 احتمالية ويتل
 توزيع القدرة الطيفية

 مراجع 

 للمزيد من القراءة 






تصنيف:تقدير الإشارة
تصنيف:إحصائيات معالجة الإشارة
تصنيف:موجات
تصنيف:فيزياء
تصنيف:بصريات
تصنيف:بصريات فيزيائية
تصنيف:بصريات لاخطية
تصنيف:بصريات هندسية
تصنيف:إحصاء
تصنيف:صفحات بترجمات غير مراجعة