حلزونية دويل

حلزونية دويل (Doyle Spiral)
في الرياضيات وتحديداً في هندسة تراص الدوائر (Circle Packing)، تُعد حلزونية دويل نمطاً هندسياً فريداً يتكون من دوائر متماسة تملأ المستوي، حيث تقع مراكز هذه الدوائر على مسارات حلزونية لوغاريتمية. سُمي هذا النمط نسبة إلى عالم الرياضيات بيتر جي. دويل الذي قدم مساهمات جوهرية في توصيفها الرياضي.

تصغير|حلزونية دويل من النوع (8,16) نُشرت عام 1911 في مجلة بوبيولار ساينس (Popular Science) كإيضاح لظاهرة ترتيب الأوراق (Phyllotaxis)، ويظهر في الرسم أحد أذرعها الحلزونية بشكل مُظلل.
حلزونية دويل من النوع (8,16) نُشرت عام 1911 في مجلة بوبيولار ساينس (Popular Science) كإيضاح لظاهرة ترتيب الأوراق (Phyllotaxis)، ويظهر في الرسم أحد أذرعها الحلزونية بشكل مُظلل.
 الوصف الهندسي التركيبي 
تعتمد بنية حلزونية دويل على مبدأ التماسات المتعددة؛ حيث تُحاط كل دائرة داخل النمط بست دوائر أخرى متماسة لها. هذا الترتيب السداسي يضمن ملء الفراغ بشكل حلزوني متناغم. رياضياً، يمكن تمثيل هذه الحلزونات في المستوي المركب، حيث يتم اشتقاق مواضع الدوائر وأقطارها بناءً على دوال أسية وخرائط متطابقة (Conformal Maps).

من الناحية التركيبية، تتحدد حلزونية دويل بواسطة معادلين مركبيين يربطان بين نصف قطر الدائرة وموضعها. يُرمز للنسبة الثابتة بين أقطار الدوائر المتتالية بالرمز Φ، وعند صياغة الشروط اللازمة لإغلاق الحلزونية على نفسها دون تداخل أو فجوات، تظهر لنا القيمة ΦN (حيث ترمز N هنا إلى عدد الأذرع الحلزونية في التصميم).

 الخصائص الرياضية 
تتميز حلزونية دويل بعدة خصائص هندسية هامة:

 التشابه الذاتي: يظهر النمط تكراراً بنيوياً عند تكبير أو تصغير الشكل بنسب محددة.
 الارتباط بالحلزون اللوغاريتمي: تتبع مراكز الدوائر معادلة الحلزون اللوغاريتمي التي تحافظ على الزاوية بين نصف القطر والمماس عند أي نقطة.
 التراص المترافق: يمكن اعتبارها تعميماً لشبكة التراص السداسي المنتظم، ولكن بدلاً من الانتقال الخطي، يتم الانتقال عبر تحويلات هندسية دائرية.

 التطبيقات والظهور 
تتقاطع حلزونية دويل مع العديد من المجالات:
 البيولوجيا: تشبه إلى حد بعيد ترتيب البذور في زهرة دوار الشمس أو قشور الصنوبر (ظاهرة Phyllotaxis).
 التصميم الهندسي: تُستخدم في إنشاء واجهات معمارية وأنماط زخرفية تعتمد على التدرج الحجمي المنتظم.
 التحليل المركب: تُعد مثالاً تطبيقياً على نظرية تراص الدوائر وعلاقتها بالدوال التحليلية.

 الصيغة الرياضية 
لتحقيق التماس المثالي في الحلزونية، يجب أن تحقق الثوابت الهندسية معادلة تشتمل على جذور الوحدة والقوى الأسية، حيث تضمن القيمة ΦN الحفاظ على التناسب الهندسي المطلوب لنمو الدوائر بشكل يضمن تلاحم النسيج الحلزوني كاملاً.

 مراجع 

Beardon, A. F., & Stephenson, K. (2003). The Transformation of Circle Packings. Conform. Geom. Dyn. 7, 88–113.

Doyle, P. G. (1991). The Geometry of Circle Packings. (Unpublished notes and correspondence regarding the spiral constructions).

Stephenson, K. (2005). Introduction to Circle Packing: The Theory of Discrete Analytic Functions. Cambridge University Press.

Bobenko, A. I., & Hoffmann, T. (2003). Hexagonal Circle Packings and Quasiconformal Maps. Discrete & Computational Geometry, 29(3), 405–439.

Collins, C. R., & Stephenson, K. (2003). A Circle Packing Algorithm. Computational Geometry: Theory and Applications, 25(3), 233–256.

Mumford, D., Series, C., & Wright, D. (2002). Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein. Cambridge University Press (Discusses the geometric foundations of circle limit sets and packing).

تصنيف:تعبئة وتغليف