تحليل هندسي (رياضيات)

التحليل الهندسي هو تخصّص رياضي تُستَخدم فيه أدوات من المعادلات التفاضلية، ولا سيما المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية، لاستخلاص نتائج جديدة في الهندسة التفاضلية والطوبولوجيا التفاضلية. ويعود استخدام المعادلات الإهليلجية الخطية في هذا السياق إلى فترة مبكرة لا تقل عن زمن نظرية هودج.

 نبذة 
وفي الاستخدام الأحدث، يشير المصطلح في الغالب إلى توظيف المعادلات التفاضلية الجزئية اللاخطية لدراسة الخصائص الهندسية والطوبولوجية للفضاءات، مثل الشعب المتفرعة في الفضاء الإقليدي، والمتنوعة الريمانية، والمتشعبات السيمبلكتية. ويعود هذا المنهج إلى أعمال تيبور رادو وجيسي دوغلاس حول الأسطح الدنيا، وأعمال جون فوربس ناش الابن بشأن الغمرات المتساوية القياس للمتشعبات الريمانية في الفضاء الإقليدي، وكذلك أعمال لويس نبيرغ في مسألة مينكوفسكي ومسألة ويل، وأعمال ألكسندر دانيلوفيتش ألكساندروف وأليكسي بوغوريلوف حول السطوح المحدبة.

وفي ثمانينيات القرن العشرين، أطلقت الإسهامات الأساسية لكل من كارين يوهلينبيك، وكليفورد تاوبس، وشينغ-تونغ ياو، وريتشارد شوين، وريتشارد هاملتون عصرًا بالغ الحيوية والإنتاجية في التحليل الهندسي، ولا يزال مستمرًا إلى اليوم. ومن أبرز الإنجازات في هذا المجال حل حدسية بوانكاريه على يد غريغوري بيرلمان، مستكملًا برنامجًا كان قد بدأه إلى حدٍّ كبير.

يشمل نطاق التحليل الهندسي كلاً من استخدام الأساليب الهندسية في دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية (ويُعرف في هذه الحالة أحيانًا باسم "المعادلات التفاضلية الجزئية الهندسية")، وتطبيق نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية على الهندسة.ويتضمن ذلك مسائل تتعلق بالمنحنيات والأسطح، أو المجالات ذات الحدود المنحنية، بالإضافة إلى دراسة المتشعبات الريمانية في أي بعد كان. ويُعتبر أحيانًا أن حساب المتغيرات جزء من التحليل الهندسي، لأن المعادلات التفاضلية الناتجة عن المبادئ التغايرية تحمل محتوى هندسيًا قويًا.

كما يشمل التحليل الهندسي التحليل الكلي، الذي يهتم بدراسة المعادلات التفاضلية على المتشعبات، وبالعلاقة بين المعادلات التفاضلية والطوبولوجيا.

 مراجع 

 لمزيد من المعلومات 







تصنيف:حساب التفاضل والتكامل