التسرب الطيفي

تحويل فورييه لدالة زمنية  هو دالة ذات قيم مركبة بالنسبة للتردد، نرمز لها بـ ، وغالبًا ما يُشار إليها باسم الطيف الترددي. أي عملية خطية زمنية ثابتة على  تنتج طيفًا جديدًا بالشكل، والذي يغيّر القيم النسبية و/أو الزوايا (الطور) للقيم غير الصفرية في .

أما أي نوع آخر من العمليات، فينشئ مكونات ترددية جديدة يمكن الإشارة إليها بشكل عام على أنها تسرب طيفي. على سبيل المثال، عملية أخذ العينات تُنتج تسربًا يُسمى النسخ المضللة للمكون الطيفي الأصلي. لأغراض تحويل فورييه، يُنمذج أخذ العينات على أنه حاصل ضرب بين  ودالة مشط ديراك طيف حاصل الضرب هو الالتفاف بين  ودالة أخرى، مما يولّد حتمًا مكونات ترددية جديدة.

لكن مصطلح "التسرب" غالبًا ما يشير إلى تأثير التحديد بالنافذة، أي حاصل ضرب  بدالة من نوع آخر تُسمى دالة النافذة. دوال النوافذ عادةً تكون محدودة المدة، لكن هذا ليس شرطًا لحدوث التسرب الطيفي؛ فالضرب بدالة متغيرة زمنياً وحده كافٍ لإنتاج التسرب.

 التحليل الطيفي 
تحويل فورييه للدالة  يكون صفراً عند كل الترددات باستثناء التردد ±ω. ومع ذلك، فإن العديد من الدوال والأشكال الموجية الأخرى لا تمتلك تحويلات معروفة بصيغة مغلقة سهلة الاستخدام. بدلاً من ذلك، قد يكون الهدف معرفة المحتوى الطيفي لتلك الدوال خلال فترة زمنية محددة فقط. في أيٍ من الحالتين، يمكن تطبيق تحويل فورييه (أو تحويل مماثل) على واحدة أو أكثر من الفترات الزمنية المحدودة للشكل الموجي. بشكل عام، يتم تطبيق التحويل على حاصل ضرب الشكل الموجي بدالة نافذة. أي نافذة، بما في ذلك النافذة المستطيلة، تؤثر على تقدير الطيف المحسوب بهذه الطريقة.

تكون التأثيرات أكثر وضوحًا عند تحليل دالة جيبية، حيث يكون تحويل فورييه غير المحدود للنافذة صفراً عند جميع الترددات ما عدا تردد واحد فقط. التردد المعتاد للاختيار هو 0 هرتز، لأن تحويل فورييه للنافذة المطبقة هو ببساطة تحويل فورييه لدالة النافذة نفسها.

عندما يتم تطبيق كل من أخذ العينات والنافذة على ، بأي ترتيب، فإن التسرب الطيفي الناتج عن النافذة يكون عادة انتشارًا محدودًا لمكونات التردد، غالبًا مع تأثير ضبابي، بينما يؤدي الانعكاس الناتج عن أخذ العينات إلى تكرار دوري لكامل الطيف المشوش.

وصلة=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Scalloping_and_noise_floor_comparisons_(2_window_functions).png|تصغير|350x350بك|الشكل 1: مقارنة بين نافذتين من حيث تأثيرهما على موجات جيبية متساوية القوة مع ضوضاء مضافة. الموجة الجيبية عند الصندوق −20 لا تعاني من التقعر الطيفي، بينما الموجة عند الصندوق +20.5 تظهر أسوأ حالة للتقعر. تنتج النافذة المستطيلة أكبر قدر من التقعر، لكنها توفر قممًا أضيق وأرضية ضوضاء أقل. الموجة الجيبية الثالثة ذات السعة −16 ديسيبل ستكون ملحوظة في الطيف العلوي، لكنها غير ملحوظة في الطيف السفلي.

وصلة=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Spectral_leakage_caused_by_%22windowing%22.svg|تصغير|350x350بك|الشكل 2: تطبيق نافذة على موجة جيبية يسبب تسربًا طيفيًا، حتى إذا كانت الموجة تحتوي على عدد صحيح من الدورات داخل نافذة مستطيلة. يُلاحظ التسرب في الصف الثاني، المسار الأزرق. وهو نفس مقدار المسار الأحمر، الذي يمثل ترددًا أعلى قليلًا ولا يحتوي على عدد صحيح من الدورات. عندما تُؤخذ عينات من الموجة وتُطبق النافذة، يُظهر تحويل فورييه الزمني المتقطع نفس نمط التسرب (الصفوف 3 و4). لكن عند أخذ عينات نادرة من التحويل الزمني المتقطع عند فترات معينة، يكون من الممكن (اعتمادًا على وجهة نظرك) أن: (1) تتجنب التسرب، أو (2) تخلق وهم عدم وجود تسرب. في حالة موجة DTFT الزرقاء (الصف الثالث من المخططات، الجانب الأيمن)، تكون هذه العينات هي نواتج تحويل فورييه المتقطع. أما موجة DTFT الحمراء (الصف الرابع)، فلها نفس فترات عبور الصفر، لكن عينات تحويل فورييه المتقطع تقع بين هذه الفترات، ويظهر التسرب بوضوح.

 اختيار دالة النافذة 
تطبيق نافذة على شكل موجة بسيط مثل  يتسبب في ظهور قيم غير صفرية لتحويل فورييه الخاص بها (يُطلق عليها عادةً تسرب طيفي) عند ترددات مختلفة عن ω. يكون التسرب عادةً أكبر قرب ω وأقل عند الترددات الأبعد عن ω.

إذا كانت الموجة قيد التحليل تتكون من موجتين جيبيتين ذات ترددات مختلفة، فقد يتداخل التسرب مع قدرتنا على تمييزهما طيفيًا. غالبًا ما يتم تصنيف أنواع التداخل الممكنة إلى فئتين متعارضتين كما يلي: إذا كانت ترددات المكونات مختلفة وكان أحد المكونات أضعف، فقد يحجب التسرب من المكون الأقوى وجود المكون الأضعف. أما إذا كانت الترددات متقاربة جدًا، فقد يجعل التسرب من المستحيل تمييزها حتى لو كانت الموجتان متساويتين في القوة. النوافذ الفعالة ضد النوع الأول من التداخل، أي حيث تكون الترددات والسعات مختلفة، تُسمى نوافذ ذات نطاق ديناميكي عالٍ. أما النوافذ التي تستطيع تمييز المكونات ذات الترددات والسعات المتقاربة فتُسمى نوافذ عالية الدقة.
النافذة المستطيلة مثال على نافذة عالية الدقة ولكن ذات نطاق ديناميكي منخفض، أي أنها جيدة في تمييز المكونات ذات السعات المتقاربة حتى عندما تكون الترددات أيضًا قريبة، لكنها ضعيفة في تمييز المكونات ذات السعات المختلفة حتى لو كانت الترددات بعيدة. كما أن النوافذ عالية الدقة وذات نطاق ديناميكي منخفض مثل النافذة المستطيلة تتميز بحساسية عالية، وهي القدرة على الكشف عن الموجات الضعيفة نسبيًا في وجود ضوضاء عشوائية إضافية. ويرجع ذلك إلى أن الضوضاء تُنتج استجابة أقوى مع النوافذ ذات النطاق الديناميكي العالي مقارنةً بالنوافذ عالية الدقة.
في الطرف الآخر من نطاق أنواع النوافذ توجد النوافذ ذات النطاق الديناميكي العالي ولكن الدقة والحساسية منخفضة. غالبًا ما تكون النوافذ ذات النطاق الديناميكي العالي مبررة في التطبيقات واسعة النطاق، حيث يُتوقع أن يحتوي الطيف قيد التحليل على العديد من المكونات المختلفة ذات السعات متنوعة.

بين هذين الطرفين توجد النوافذ المعتدلة، مثل نافذة هان ونافذة هامنج. تُستخدم هذه عادةً في التطبيقات ضيقة النطاق، مثل طيف قناة الهاتف.

باختصار، ينطوي تحليل الطيف على مقايضة بين القدرة على تمييز المكونات ذات السعات المتقاربة والترددات المتشابهة (دقة عالية / حساسية عالية) والقدرة على تمييز المكونات ذات السعات المختلفة والترددات غير المتشابهة (نطاق ديناميكي عالي). تحدث هذه المقايضة عند اختيار دالة النافذة.

 الإشارات الزمنية المنفصلة 
عندما تكون الموجة الداخلة مأخوذة عينات زمنية بدلاً من أن تكون مستمرة، يتم عادةً إجراء التحليل عن طريق تطبيق دالة نافذة ثم تحويل فورييه المنفصل. لكن تحويل فورييه المنفصل يوفر فقط عينات متفرقة من طيف تحويل فورييه الزمني المنفصل الفعلي. تُظهر الصف الثالث من الشكل 2 تحويل فورييه المنفصل الفعلي لموجة جيبية مُطبّقة عليها نافذة مستطيلة. التردد الفعلي للموجة الجيبية مشار إليه بالرقم "13" على المحور الأفقي. كل ما عدا ذلك يعتبر تسريباً طيفياً، مضخماً باستخدام العرض اللوغاريتمي. وحدة التردد هي "صناديق تحويل فورييه المنفصل"، أي أن القيم الصحيحة على محور التردد تتوافق مع الترددات التي أخذت عينات عنها بواسطة تحويل فورييه المنفصل.

يعرض الشكل حالة حيث يتطابق التردد الفعلي للموجة الجيبية مع عينة تحويل فورييه المنفصل، ويقاس الحد الأقصى للطيف بدقة بواسطة تلك العينة. في الصف الرابع، تفوّت العينة الحد الأقصى بمقدار نصف صندوق، والخطأ الناتج في القياس يُعرف باسم خسارة التموج (مستوحاة من شكل القمة). بالنسبة لتردد معروف، مثل نغمة موسيقية أو إشارة اختبار جيبية، يمكن ضبط التردد بحيث يتوافق مع صندوق تحويل فورييه المنفصل مسبقاً عن طريق اختيار معدل أخذ عينات وطول نافذة ينتج عنه عدد صحيح من الدورات داخل النافذة.

وصلة=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Processing_losses_for_3_window_functions.svg|تصغير|407x407بك|الشكل 3: يقارن هذا الشكل خسائر المعالجة لثلاث دوال نافذة لإشارات جيبية، مع إظهار كل من أدنى وأقصى خسارة تموج.

 عرض الضوضاء الترددي 
مفاهيم الدقة والنطاق الديناميكي تميل إلى أن تكون ذاتية إلى حد ما، حسب ما يحاول المستخدم تحقيقه بالفعل. لكنها أيضًا غالبًا ما تكون مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بإجمالي التسرب الطيفي، وهو قابل للقياس الكمي. عادةً ما يُعبر عنه على شكل عرض نطاق مكافئ، ويرمز له بـ B. يمكن اعتباره بمثابة إعادة توزيع تحويل فورييه الزمني المتقطع إلى شكل مستطيل ارتفاعه يساوي الحد الأقصى للطيف وعرضه B. كلما زاد التسرب، زاد عرض النطاق.

يسمى أحيانًا عرض النطاق المكافئ للضوضاء أو عرض النطاق المكافئ للضوضاء الصوتية، لأنه يتناسب مع متوسط القدرة التي ستسجلها كل خانة من تحويل فورييه المتقطع عندما يحتوي إشارة الإدخال على مكون ضوضائي عشوائي (أو عندما تكون مجرد ضوضاء عشوائية). رسم طيف القدرة، المتوسط عبر الزمن، يكشف عادةً عن أرضية ضوضاء مسطحة، ناتجة عن هذا التأثير. ارتفاع أرضية الضوضاء يتناسب مع B. لذلك، يمكن أن تنتج دالتان نافذتان مختلفتان أرضيات ضوضاء مختلفة، كما هو موضح في الشكلين 1 و 3.

 كسب ومعالجات الإشارة 
في معالجة الإشارات، يتم اختيار العمليات بهدف تحسين جانب معين من جودة الإشارة عن طريق استغلال الفروق بين الإشارة والمؤثرات المفسدة لها. عندما تكون الإشارة جيبًا تالفًا بضوضاء عشوائية إضافية، يقوم التحليل الطيفي بتوزيع مكونات الإشارة والضوضاء بشكل مختلف، مما يسهل غالبًا كشف وجود الإشارة أو قياس خصائص معينة مثل السعة والتردد.

فعليًا، يتم تحسين نسبة الإشارة إلى الضوضاء عن طريق توزيع الضوضاء بشكل متساوٍ، مع تركيز معظم طاقة الجيب حول تردد واحد. يُستخدم مصطلح كسب المعالجة لوصف هذا التحسن في نسبة الإشارة إلى الضوضاء.

يعتمد كسب المعالجة في التحليل الطيفي على دالة النافذة، بما في ذلك عرض نطاق الضوضاء وخسارة التموج المحتملة. هذه التأثيرات تعوض جزئيًا بعضها البعض، لأن النوافذ ذات التموج الأقل عادةً ما يكون لديها أكبر قدر من التسرب الطيفي.

يوضح الشكل 3 تأثير ثلاث دوال نافذة مختلفة على نفس مجموعة البيانات، والتي تتكون من جيبين بقوة متساوية في ضوضاء إضافية. تم اختيار ترددات الجيبين بحيث يواجه أحدهما تموجًا صفريًا بينما يواجه الآخر أقصى تموج.

يعاني كلا الجيبين من فقدان أقل في نسبة الإشارة إلى الضوضاء عند استخدام نافذة هان مقارنة بنافذة بلاكمان-هاريس. بوجه عام (كما ذُكر سابقًا)، يشكل هذا سببًا لتجنب استخدام النوافذ ذات نطاق ديناميكي مرتفع في التطبيقات ذات نطاق ديناميكي منخفض.
وصلة=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Two_8-point_Gaussian_window_functions.svg|تصغير|300x300بك|الشكل 4: طريقتان مختلفتان لتوليد تتابع نافذة غاوسية من 8 نقاط (σ = 0.4) لتطبيقات تحليل الطيف. تسميها MATLAB بـ "متماثلة" و"دورية". الطريقة الثانية تُعرف تاريخيًا أيضًا باسم DFT-even.

وصلة=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Spectral_leakage_from_two_8-point_Gaussian_windows.png|تصغير|300x300بك|الشكل 5: خصائص تسرب الطيف للدوال في الشكل 4.

 التناظر 

بعض الدوال لها نقطة أو نقطتان عند الأطراف بقيمة صفر، وهذه غير ضرورية في معظم التطبيقات. حذف نقطة أو نقطتين بقيمة صفر لا يؤثر على تحويل فورييه الزمني المتقطع لها (تسرب طيفي). ولكن الدالة المصممة لـ N + 1 أو N + 2 عينات، مع توقع حذف أحد الطرفين أو كليهما، عادة ما يكون لها الفص الرئيسي أضيق قليلاً، والرفوف الجانبية أعلى قليلاً، وعرض النطاق الضوضائي أصغر قليلاً.

 تناظر تحويل فورييه المتقطع 
السلف لدالة تحويل فورييه المتقطعة هو تحويل فورييه المحدود، وكانت دوال النوافذ "دائمًا ذات عدد فردي من النقاط وتظهر تناظرًا زوجيًا حول الأصل". في هذه الحالة، يكون تحويل فورييه المتقطع للزمن قيمته حقيقية بالكامل. عندما يتم إزاحة نفس التسلسل داخل نافذة بيانات 

يصبح تحويل فورييه المتقطع للزمن ذا قيمة مركبة إلا عند الترددات الموزعة بفواصل منتظمة قدرها 

يقوم تحويل فورييه المتقطع للطول  بأخذ عينات من تحليل فورييه المتقطع الفعلي عند فواصل قدرها 

لذلك، الأمر الشائع هو ببساطة تقصير التسلسل ، وحساب تحليل فورييه المتقطع بطول 

يُطلق أحيانًا على التسلسل المقصّر اسم DFT-even أو دوري، لأنه متماثل زوجيًا ودوري حول  عند تكراره بفواصل قدرها (N).

جدير بالذكر أن تحويلات فورييه المتقطعة للزمن للتسلسل المقصّر والتسلسل المتماثل ليست متكافئة تمامًا. الحل الدقيق، الموضح في قسم ، هو إجراء تحويل فورييه المتقطع بطول (N) على دورة واحدة من مجموع التسلسل بطول  الدوري بفترة (N). هذا يعادل ببساطة إضافة  إلى. يظل التسلسل DFT-even، وتبقى العينات ذات قيمة حقيقية.

لاحظ أن الرسوم الطيفية مثل تلك الموجودة في § أمثلة على دوال النافذة، تُنتج عن طريق أخذ عينات من تحويلات فورييه المتقطعة للزمن عند فواصل أصغر بكثير من  وعرض مكون المقدار فقط للأعداد المركبة.

 الاقتران 
تُفسَّر جاذبية نوافذ تحويل فورييه المتقطع-المتماثلة بشيوع خوارزمية التحويل السريع لفورييه لتطبيق تحويل فورييه المتقطع، لأن اقتطاع سلسلة ذات طول فردي يؤدي إلى سلسلة ذات طول زوجي. كما أن معاملات تحويل فورييه المتقطع ذات القيم الحقيقية تمثل ميزة في بعض التطبيقات المتخصصة حيث يتم تحقيق التأطير بواسطة الاقتران بين معاملات تحويل فورييه المتقطع وسلسلة تحويلات فورييه غير مؤطرة للبيانات.

وفي هذه التطبيقات، تُفضل نوافذ DFT-متماثلة (سواء كانت ذات طول زوجي أو فردي) من عائلة مجموعات جيب التمام، لأن معظم معاملات DFT الخاصة بها تكون صفرية، مما يجعل عملية الاقتران فعّالة جدًا.

 بعض مقاييس النوافذ 
وصلة=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Comparison_of_spectral_leakage_of_several_window_functions.svg|تصغير|500x500بك|مقارنة تسرب الطيف لعدة نوافذ
عند اختيار نافذة مناسبة لتطبيق ما، قد تكون هذه الرسوم البيانية المقارنة مفيدة. محور الترددات يُقاس بوحدات "صناديق" التحويل السريع لفورييه (FFT) عندما تُطبَّق نافذة بطول N على البيانات ويتم حساب تحويل بطول N. على سبيل المثال، القيمة عند التردد  "صندوق" هي الاستجابة التي ستُقاس في الصندوقين k و  لإشارة جيبية عند التردد . وهي نسبةً إلى أقصى استجابة ممكنة، والتي تحدث عندما يكون تردد الإشارة عددًا صحيحًا من الصناديق. تُشير القيمة عند التردد  إلى أكبر فقد في التعرج للنافذة، وهو أحد المقاييس المستخدمة لمقارنة النوافذ. وتعتبر النافذة المستطيلة أسوأ بشكل ملحوظ من غيرها من حيث هذا المقياس.

مقاييس أخرى يمكن ملاحظتها هي عرض اللسان الرئيسي والمستوى الأعلى للجانبية، واللذان يحددان على التوالي القدرة على تمييز الإشارات ذات القوة المماثلة والإشارات ذات القوة المختلفة. النافذة المستطيلة (على سبيل المثال) هي الخيار الأفضل للحالة الأولى والأسوأ للحالة الثانية. ما لا يمكن رؤيته من الرسوم البيانية هو أن النافذة المستطيلة تمتلك أفضل عرض نطاق للضوضاء، مما يجعلها مرشحًا جيدًا لاكتشاف الإشارات الجيبية منخفضة المستوى في بيئة ضوضاء بيضاء. تتوفر تقنيات الاستيفاء، مثل تعبئة الصفر وتحويل التردد، للتخفيف من فقدان التعرج المحتمل لها.

 انظر أيضاً 


 Knife-edge effect, spatial analog of truncation
 Gibbs phenomenon

 ملحوظات 

تصنيف:تحليل فورييه
تصنيف:صفحات بترجمات غير مراجعة
تصنيف:علم الحاسوب النظري
تصنيف:عمليات تصادفية
تصنيف:إحصائيات معالجة الإشارة
تصنيف:طرق إحصائية
تصنيف:معالجة الإشارة
تصنيف:تحليل عددي
تصنيف:إحصائيات متعددة المتغيرات
تصنيف:جبر خطي عددي
تصنيف:تحليل التباين
تصنيف:رياضيات حسابية
تصنيف:معالجة رقمية للإشارة
تصنيف:كارل فريدريش غاوس
تصنيف:معالجة البيانات
تصنيف:خوارزميات آمنة نظريا وفق نظرية المعلومات
تصنيف:حقول تطبيق الإحصاءات
تصنيف:تحليل رياضي
تصنيف:تحليل تناسقي
تصنيف:فيزياء رياضية
تصنيف:إحصاء هندسي
تصنيف:مربعات دنيا
تصنيف:علوم حاسوبية
تصنيف:رياضيات تطبيقية
تصنيف:رياضيات الحوسبة