تحليل الطيف باستخدام طريقة المربعات الصغرى

تحليل الطيف باستخدام طريقة المربعات الصغرى هو صنف من الأساليب لتقدير طيف الترددات من خلال ملاءمة منحنيات جيبية للبيانات باستخدام ملاءمة المربعات الصغرى. على عكس تحليل فورييه، وهو أكثر منهج طيفي شيوعاً في العلوم، حيث لا يشترط أن تكون البيانات متباعدة بشكل متساوٍ لاستخدام هذه الطريقة. وعلاوة على ذلك، بينما يعزز تحليل فورييه عموماً الضوضاء طويلة الأمد في التسجيلات الطويلة أو المتقطعة، فإن تحليل الطيف باستخدام طريقة المربعات الصغرى يخفف من هذا النوع من المشكلات.

تم تطوير أول طريقة قائمة على المربعات الصغرى فحسب لتحليل الأطياف عامي 1969 و1971، وهي معروفة باسم طريقة فانيتشيك أو طريقة غاوس–فانيتشيك، تيمّناً بمبتكرها بيتر فانيتشيك وكارل فريدريش غاوس، واضع طريقة المربعات الصغرى لتقليل الأخطاء.

أحد أشكال تحليل الطيف باستخدام طريقة المربعات الصغرى المعروفة على نطاق واسع هي طريقة لومب، أو مخطط فترة لومب–سكارغلي، والمبنية على تبسيطات حسابية قديمة لطريقة فانيتشيك أُدخلت في سبعينيات وثمانينيات القرن العشرين، أولاً من قبل نيكولاس ر. لومب ولاحقاً من قبل جيفري د. سكارغلي. وقد تطورت أشكال أخرى لاحقاً لتحليل الطيف باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

 الخلفية التاريخية 
لطالما كانت الروابط الوثيقة بين تحليل فورييه، والمخطط الدوري، وملاءمة المنحنيات الجيبية بطريقة المربعات الصغرى معروفة منذ وقت طويل. ومع ذلك، اقتصرت معظم التطورات على مجموعات البيانات الكاملة ذات العينات متساوية التباعد.

في عام ١٩٦٣، عالج فريك ج. م. بارنينج من معهد الرياضيات والمعلوماتية الهولندي في أمستردام البيانات غير متساوية التباعد بتقنيات مشابهة، شملت كلاً من تحليل مخطط دوري مكافئ لما يُعرف اليوم بطريقة لومب، وملاءمة المربعات الصغرى للترددات المختارة للمنحنيات الجيبية المحددة من مثل هذه المخططات الدورية، وربطها بإجراء يُعرف اليوم باسم مطاردة التطابق مع الملاءمة اللاحقة، أو مطاردة التطابق المتعامد.

في عام ١٩٦٩، اقترح بيتر فانيتشيك، الجيوفيزيائي والجيوديسي الكندي من جامعة نيو برونزويك، نهج مطاردة التطابق للبيانات متساوية وغير متساوية التباعد، والذي أطلق عليه اسم "التحليل الطيفي المتتالي" وكانت نتيجته "مخططاً دورياً بطريقة المربعات الصغرى". وقد عمم هذه الطريقة عام ١٩٧١ لتراعي أي مكونات منهجية تتجاوز المتوسط البسيط، مثل "الاتجاه الزمني الخطي (التربيعي، الأسي، ...) المتوقع ذو المقدار المجهول"، وطبقها على مجموعة متنوعة من العينات.

ثم تم تبسيط طريقة فانيتشيك الصارمة القائمة على المربعات الصغرى في عام ١٩٧٦ من قبل نيكولاس ر. لومب من جامعة سيدني، الذي أشار إلى صلتها الوثيقة بتحليل المخطط الدوري. لاحقاً، تم تعديل تعريف المخطط الدوري للبيانات غير متساوية التباعد وتحليله من قبل جيفري د. سكارغلي من مركز أبحاث أميس التابع لوكالة ناسا، الذي أوضح أنه وبمع تعديلات طفيفة، يصبح مطابقاً تماماً لصيغة لومب للمربعات الدنيا في ملاءمة ترددات المنحنى الجيبي المفرد.

يؤكد سكارغلي أن ورقته البحثية "لا تقدم تقنية كشف جديدة، بل تدرس موثوقية وكفاءة الكشف باستخدام التقنية الأكثر شيوعاً، وهي المخطط الدوري، في الحالة التي تكون فيها أوقات الرصد غير متساوية التباعد"، ويشير كذلك فيما يتعلق بملاءمة المنحنيات الجيبية بطريقة المربعات الصغرى مقارنة بتحليل المخطط الدوري، إلى أن ورقته "تؤسس، على ما يبدو للمرة الأولى، أن هذين الأسلوبين (مع التعديلات المقترحة) متكافئان تماماً."

يلخص برس التطور بهذه الطريقة:

في عام ١٩٨٩، طور مايكل ج. كورنبرغ من جامعة كوينز في كينغستون، أونتاريو، طريقة "البحث المتعامد السريع" لإيجاد تحلل شبه أمثل للأطياف أو المشكلات الأخرى بسرعة أكبر، وهي مشابهة للتقنية التي أصبحت تُعرف لاحقاً باسم مطاردة التطابق المتعامد.

 تطور تحليل الطيف باستخدام طريقة المربعات الصغرى ومتغيراته 

 طريقة فانيتشيك 
وصلة=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Linear_least_squares_example2.svg|تصغير|243x243بك|في الانحدار الخطي، يُفترض أن المشاهدات (الحمراء) هي نتيجة انحرافات عشوائية (خضراء) عن علاقة أساسية (زرقاء) بين متغير تابع (ص) ومتغير مستقل (س). ثم في عملية الملاءمة المعيارية، مثل معيار المربعات الصغرى، يتم تمثيل نقاط البيانات (الحمراء) بخط الملاءمة الأفضل معيارياً (الأزرق)، والذي يبقى منه دائماً "بقايا" (خضراء).
في طريقة فانيتشيك، يتم تقريب مجموعة بيانات منفصلة بمجموع مرجح لمنحنيات جيبية بترددات يتم تحديدها تدريجياً باستخدام انحدار خطي قياسي أو ملاءمة بالمربعات الصغرى.Wells, D.E., P. Vaníček, S. Pagiatakis, 1985. Least-squares spectral analysis revisited. Department of Surveying Engineering Technical Report 84, University of New Brunswick, Fredericton, 68 pages, Available at . يتم اختيار الترددات باستخدام طريقة مشابهة لطريقة بارنينج، لكنها تذهب أبعد في تحسين اختيار كل تردد جديد لاحق من خلال انتقاء التردد الذي يقلل البقايا بعد الملاءمة بطريقة المربعات الصغرى (وهو ما يعادل تقنية الملاءمة المعروفة الآن بمطاردة التطابق مع الملاءمة المسبقة). يجب أن يكون عدد المنحنيات الجيبية أقل من أو يساوي عدد عينات البيانات (بحساب دوال الجيب وجيب التمام من نفس التردد كمنحنيات جيبية منفصلة).

يتم تمثيل متجه البيانات Φ كمجموع مرجح لدوال أساسية جيبية، مسجلة في مصفوفة A من خلال تقييم كل دالة عند أوقات أخذ العينات، مع متجه الأوزان س.

يتم اختيار متجه الأوزان "س" لتقليل مجموع مربعات الأخطاء في تقريب Φ. حل "س" هو حل مغلق الصيغة، باستخدام الانحدار الخطي القياسي:Craymer, M.R., The Least Squares Spectrum, Its Inverse Transform and Autocorrelation Function: Theory and Some Applications in Geodesy, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, Canada (1998). 

هنا، يمكن أن تستند المصفوفة "أ" إلى أي مجموعة من الدوال المستقلة بشكل متبادل (ليس بالضرورة متعامدة) عند تقييمها في أوقات أخذ العينات؛ الدوال المستخدمة للتحليل الطيفي هي عادة دوال الجيب وجيب التمام الموزعة بالتساوي على نطاق الترددات محل الاهتمام. إذا اخترنا عددًا كبيرًا جدًا من الترددات في نطاق ترددي ضيق جدًا، فإن الدوال لن تكون مستقلة بشكل كاف، وستكون المصفوفة ذات حالة رديئة، وسيكون الطيف الناتج بلا معنى.

عندما تكون الدوال الأساسية في المصفوفة "A" متعامدة (أي غير مترابطة، بمعنى أن أعمدة المصفوفة لها حاصل ضرب نقطي زوجي يساوي الصفر)، فإن المصفوفة (ATA) تكون قطرية؛ وعندما يكون لجميع الأعمدة نفس القدرة (نفس مجموع مربعات العناصر)، فإن تلك المصفوفة تصبح مصفوفة وحدة مضروبة في ثابت، وبالتالي يكون الانعكاس بسيطًا. الحالة الأخيرة تحدث عندما تكون العينات متساوية التباعد ويتم اختيار المنحنيات الجيبية كدوال جيب وجيب التمام متباعدة بالتساوي على شكل أزواج في الفاصل الترددي من صفر إلى نصف دورة لكل عينة (متباعدة بمقدار 1/N دورة لكل عينة، مع حذف أطوار الجيب عند الترددين صفر والتردد الأعلى حيث تكون قيمتهما مساوية للصفر تمامًا). تُعرف هذه الحالة باسم تحويل فورييه المتقطع، مكتوبة بشكل مختلف قليلاً من حيث القياسات والمعاملات.

 حالة تحويل فورييه المتقطع لعدد ن من العينات والترددات متساوية التباعد، ضمن عامل قياسي.

 طريقة لومب 
وصلة=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Periodogram.svg|تصغير|320x320بك|مخطط للطيف القدرة (المقدار المربع) لدالتين جيبيتين أساسيتين، محسوب بطريقة المخطط الدوري
في محاولة لتخفيف العبء الحسابي لطريقة فانيتشيك في عام ١٩٧٦ (لم تعد قضية الآن)، اقترح لومب استخدام عملية التبسيط المذكورة آنفاً بشكل عام، باستثناء الارتباطات الزوجية بين الدوال الأساسية للجيب وجيب التمام من نفس التردد، حيث أن الارتباطات بين أزواج المنحنيات الجيبية غالباً ما تكون صغيرة، على الأقل عندما لا تكون متقاربة التباعد. هذه الصياغة هي في جوهرها صيغة المخطط الدوري التقليدي ولكن مُكيّفة للاستخدام مع العينات غير متساوية التباعد.

متجه "س" هو تقدير معقول بشكل مناسب للطيف الأساسي، ولكن نظراً لتجاهل أي ارتباطات، فإن "أ س" لم يعد تقريباً جيداً للإشارة، ولم تعد الطريقة طريقة مربعات دنيا — ومع ذلك تستمر الإشارة إليها في الأدبيات على هذا النحو.

بدلاً من مجرد أخذ حاصل الضرب النقطي للبيانات مع موجات الجيب وجيب التمام مباشرة، عدّل سكارغلي صيغة المخطط الدوري القياسي بحيث يجد أولاً تأخيراً زمنياً τ، بحيث يكون هذا الزوج من المنحنيات الجيبية متعامدين بشكل متبادل في أوقات أخذ العينات t_j، وضبط أيضاً القوى المحتملة غير المتساوية لهاتين الدالتين الأساسيتين، للحصول على تقدير أفضل للقدرة عند تردد معين. جعل هذا الإجراء طريقته المعدلة للمخطط الدوري مكافئة تماماً لطريقة لومب.

التأخير الزمني τ يعرف بأنه يساوي:

ثم يتم تقدير المخطط الدوري عند التردد ω على النحو التالي:

والتي، كما يورد سكارغلي، لها نفس التوزيع الإحصائي للمخطط الدوري في حالة العينات متساوية التباعد.

عند أي تردد فردي ω، تعطي هذه الطيفة القدرة نفسها التي تعطيها ملاءمة المربعات الصغرى للمنحنيات الجيبية لهذا التردد وبالصيغة:

عمليًا، من الصعب دائمًا الحكم على ما إذا كانت قمة لومب معينة ذات دلالة أم لا، خاصةً عندما تكون طبيعة الضوضاء غير معروفة، لذا على سبيل المثال، قد تنتج قمة طيفية إنذار كاذب في تحليل مخطط لومب الدوري لإشارة دورية ضوضائية عن ضوضاء في بيانات الاضطراب. كما يمكن لطرق فورييه أيضًا أن تُبلغ عن قمم طيفية كاذبة عند تحليل بيانات مجزأة أو معدلة بشكل آخر.

 المخطط الدوري المعمم لـ لومب-سكارغلي 
المخطط الدوري القياسي لـ لومب-سكارغلي يكون صالحًا فقط لنموذج متوسطه صفر. عادةً ما يُقارب ذلك بطرح متوسط البيانات قبل حساب المخطط الدوري. ومع ذلك، فإن هذا الافتراض غير دقيق عندما يكون متوسط النموذج (المنحنيات الجيبية الملائمة) غير صفري. يقوم المخطط الدوري المعمم لـ لومب-سكارغلي بإزالة هذا الافتراض وحل المتوسط صراحةً. في هذه الحالة، تكون الدالة الملائمة هي:

ويشار إلى المخطط الدوري المعمم لـ لومب-سكارغلي في الأدبيات أيضًا باسم المخطط الدوري ذي المتوسط العائم.
طريقة "البحث المتعامد السريع" لكورنبرغ
طور مايكل كورنبرغ من جامعة كوينز في كينغستون، أونتاريو، طريقة لاختيار مجموعة متفرقة من المكونات من مجموعة زائدة الاكتمال — مثل المكونات الجيبية للتحليل الطيفي — تُسمى البحث المتعامد السريع. رياضياً، يستخدم البحث المتعامد السريع تحلل تشوليسكي معدلاً قليلاً في عملية تقليل الخطأ التربيعي المتوسط، مُنفذة كمعكوس لمصفوفة متفرقة. كما هو الحال مع طرق تحليل الطيف باستخدام طريقة المربعات الصغرى الأخرى، يتجنب البحث المتعامد السريع القصور الرئيسي في تحليل فورييه المتقطع، لذا يمكنه تحديد التكراريات المضمنة بدقة ويتميز في التعامل مع البيانات غير متساوية التباعد. كما طُبقت طريقة البحث المتعامد السريع على مشكلات أخرى، مثل تحديد النظام غير الخطي.

 طريقة مربع كاي لبالمير 
طور بالمير طريقة لإيجاد الدالة ذات الملاءمة الأفضل لأي عدد مختار من التوافقيات، مما يمنح حرية أكبر لإيجاد دوال توافقية غير جيبية. طريقته هي تقنية سريعة (قائمة على تحويل فورييه السريع) لتحليل المربعات الصغرى الموزونة على بيانات متباعدة بشكل عشوائي ذات أخطاء معيارية غير منتظمة. تتوفر الشفرة المصدرية التي تنفذ هذه التقنية. نظراً لأن البيانات غالباً لا يتم أخذ عينات منها في أوقات منفصلة متباعدة بشكل منتظم، فإن هذه الطريقة "تشبّك" البيانات من خلال ملء مصفوفة السلسلة الزمنية بشكل متفرق في أوقات أخذ العينات. جميع نقاط الشبكة المتوسطة تتلقى وزنًا إحصائيًا صفريًا، وهو ما يعادل وجود أشرطة خطأ لا نهائية في الأوقات الواقعة بين العينات.

 التطبيقات 
وصلة=https://en.wikipedia.org/wiki/File:PDF_of_the_Beta_distribution.gif|تصغير|245x245بك|توزيع بيتا لقيم مختلفة من معلماته
أكثر ميزة مفيدة في تحليل الطيف باستخدام طريقة المربعات الصغرى هي تمكين تحليل السجلات غير الكاملة طيفياً — دون الحاجة إلى التلاعب بالبيانات أو اختلاق بيانات غير موجودة.

تمثل المقادير في طيف طريقة المربعات الصغرى مساهمة تردد أو دورة معينة في تباين السلسلة الزمنية.

وبشكل عام، تمكن المقادير الطيفية المعرفة بهذه الطريقة من تطبيق نظام مستوى دلالة مباشر للمخرجات.Beard, A.G., Williams, P.J.S., Mitchell, N.J. & Muller, H.G. A special climatology of planetary waves and tidal variability, J Atm. Solar-Ter. Phys. 63 (09), p.801–811 (2001). بدلاً من ذلك، يمكن أيضًا التعبير عن المقادير الطيفية في طيف فانيتشيك بوحدة الديسيبل.Pagiatakis, S. Stochastic significance of peaks in the least-squares spectrum, J of Geodesy 73, p.67-78 (1999). تجدر الإشارة إلى أن المقادير الطيفية في طيف فانيتشيك تتبع توزيع بيتا.

التحويل العكسي لتحليل الطيف باستخدام طريقة المربعات الصغرى لفانيتشيك ممكن، كما يظهر بوضوح عند كتابة التحويل الأمامي في شكل مصفوفة؛ معكوس المصفوفة (عندما لا تكون المصفوفة فردية) أو المعكوس الزائف سيشكل عندئذ تحويلاً عكسياً؛ وسيطابق المعكوس البيانات الأصلية تماماً إذا كانت المنحنيات الجيبية المختارة مستقلة بشكل متبادل عند نقاط العينة وكان عددها مساوياً لعدد نقاط البيانات. لا توجد إجراءات تحويل عكسي معروفة مماثلة لطريقة المخطط الدوري.

 التنفيذ 
يمكن تنفيذ تحليل الطيف باستخدام طريقة المربعات الصغرى بأقل من صفحة واحدة من كود ماتلاب. في جوهره:

أي، لكل تردد في المجموعة المطلوبة من الترددات، يتم تقييم دوال الجيب وجيب التمام في الأوقات المقابلة لعينات البيانات، ويؤخذ حاصل الضرب النقطي لمتجه البيانات مع متجهات المنحنيات الجيبية وتطبيعها بشكل مناسب؛ وفقاً للطريقة المعروفة باسم مخطط لومب/سكارغلي الدوري، يتم حساب إزاحة زمنية لكل تردد لتعامد مكونات الجيب وجيب التمام قبل أخذ الضرب النقطي؛ أخيراً، يتم حساب القدرة من هذين المكونين السعويين. تنفذ هذه العملية نفسها تحويل فورييه المتقطع عندما تكون البيانات متساوية التباعد زمنياً والترددات المختارة تتوافق مع أعداد صحيحة من الدورات عبر سجل البيانات المحدود.

تعامل هذه الطريقة كل مكون جيبي بشكل مستقل، أو خارج السياق، حتى لو لم تكن هذه المكونات متعامدة مع نقاط البيانات؛ إنها طريقة فانيتشيك الأصلية. بالإضافة إلى ذلك، من الممكن إجراء ملاءمة كاملة متزامنة أو في السياق بطريقة المربعات الصغرى عن طريق حل معادلة مصفوفية وتقسيم التباين الكلي للبيانات بين الترددات الجيبية المحددة. مثل هذا الحل المصفوفي بطريقة المربعات الصغرى متاح أصلاً في ماتلاب كمشغل الشرطة المائلة للخلف.

علاوة على ذلك، فإن الطريقة المتزامنة أو في السياق، على عكس النسخة المستقلة أو خارج السياق (وكذلك نسخة المخطط الدوري الخاصة بلومب)، لا يمكنها ملاءمة مكونات (جيب وجيب التمام) أكثر من عدد عينات البيانات، بحيث:

من ناحية أخرى، يمكن لطريقة لومب للمخطط الدوري استخدام عدد عالٍ بشكل اعتباطي، أو كثافة عالية، من مكونات التردد، كما في المخطط الدوري القياسي؛ أي يمكن زيادة كثافة العينات في مجال التردد بعامل اعتباطي. ومع ذلك، كما ذكر أعلاه، يجب أن نضع في الاعتبار أن تبسيط لومب وانحرافه عن معيار المربعات الصغرى جعل طريقته عرضة لمصادر خطأ جسيمة، تؤدي حتى إلى قمم طيفية كاذبة.

في تحليل فورييه، مثل تحويل فورييه وتحويل فورييه المتقطع، تكون جميع المنحنيات الجيبية الملائمة للبيانات متعامدة بشكل متبادل، لذلك لا يوجد تمييز بين الإسقاط البسيط القائم على الضرب النقطي خارج السياق على الدوال الأساسية مقابل الملاءمة المتزامنة بالمربعات الصغرى في السياق؛ أي لا يلزم انعكاس المصفوفة لتقسيم التباين بطريقة المربعات الصغرى بين المنحنيات الجيبية المتعامدة ذات الترددات المختلفة.

في الماضي، كانت طريقة فورييه هي الخيار للكثيرين بفضل تنفيذها الفعال لتحويل فورييه السريع عندما تكون سجلات البيانات الكاملة ذات العينات متساوية التباعد متاحة، وكانوا يستخدمون عائلة تقنيات فورييه لتحليل السجلات المجزأة أيضاً، الأمر الذي تطلب مع ذلك التلاعب بالبيانات وحتى اختلاق بيانات غير موجودة فقط لتكون قادراً على تشغيل خوارزمية قائمة على فورييه.

 انظر أيضاً 

 تحويل فورييه المتقطع غير المنتظم
 الدوال المتعامدة
 نموذج جيبي
 الكثافة الطيفية
 تقدير الكثافة الطيفية ، للبدائل المتنافسة

 مراجع 

 روابط خارجية 

 تنزيل برنامج LSSA المجاني ، FORTRAN، طريقة فانيك لتحليل الطيف باستخدام المربعات الصغرى، من جامعة نيو برونزويك .
 يتضمن برنامج LSWAVE المجاني للتنزيل ، MATLAB، طريقة تحليل الطيف للمربعات الصغرى لفانيتشيك، من هيئة المسح الجيوديسي الوطنية الأمريكية .

تصنيف:متسلسلة زمنية
تصنيف:علم الحاسوب النظري
تصنيف:عمليات تصادفية
تصنيف:إحصائيات معالجة الإشارة
تصنيف:طرق إحصائية
تصنيف:معالجة الإشارة
تصنيف:جبر خطي عددي
تصنيف:تحليل عددي
تصنيف:إحصائيات متعددة المتغيرات
تصنيف:تحليل التباين
تصنيف:رياضيات حسابية
تصنيف:معالجة رقمية للإشارة
تصنيف:كارل فريدريش غاوس
تصنيف:معالجة البيانات
تصنيف:خوارزميات آمنة نظريا وفق نظرية المعلومات
تصنيف:حقول تطبيق الإحصاءات
تصنيف:خوارزميات
تصنيف:تحليل رياضي
تصنيف:تحليل تناسقي
تصنيف:فيزياء رياضية
تصنيف:استمثال رياضي
تصنيف:جبر خطي
تصنيف:إحصاء هندسي
تصنيف:مربعات دنيا
تصنيف:علوم حاسوبية
تصنيف:رياضيات
تصنيف:رياضيات تطبيقية
تصنيف:رياضيات الحوسبة
تصنيف:صفحات بترجمات غير مراجعة