تناظر دوري ثلاثي الأبعاد

في الهندسة الرياضية ثلاثية الأبعاد، هناك أربع متسلسلات لا نهائية من زمر التناظر النقطي في ثلاثة أبعاد (n≥1) بتماثل دوراني أو انعكاسي من رتبة n حول محور (بزاوية 360°/n) لا يغيّر الجسم.

وهي زمر تناظر منتهية على المخروط، ولـ n = ∞ فإنها تقابل أربع زمر إفريز. يُستخدم ترميز شونفليس. يشير المصطلحان أفقي (h) وعمودي (v) إلى وجود واتجاه الانعكاسات بالنسبة لمحور تماثل عمودي. كما تظهر  بين أقواس مربعة، ورموز الأوربيفولد بين أقواس دائرية.
تصغير|مثال لشجرة زمر فرعية للتماثل ثنائي السطوح: D4h, [4,2], (*224)

 الأنواع 

يدوي (Chiral)
 Cn, [n]+, (nn) من الرتبة n - تناظر دوراني من رتبة n - زمرة acro-n-gonal (الزمرة المجردة Zn); لـ n=1: لا تناظر (زمرة بديهية)
لاأيدوي (Achiral)
تصغير|قطعة من مواد تغليف واقٍ بتناظر C2h
 Cnh, [n+,2], (n*) من الرتبة 2n - تناظر منشوري أو زمرة ortho-n-gonal (الزمرة المجردة Zn × Dih1); لـ n=1 يرمز لها بـ Cs (1*) وتسمى التناظر الانعكاسي، وتعرف أيضًا بالتناظر الثنائي. لها تناظر انعكاسي بالنسبة لمستوى عمودي على محور الدوران من رتبة n.
 Cnv, [n], (*nn) من الرتبة 2n - تناظر هرمي أو زمرة acro-n-gonal كاملة (الزمرة المجردة Dihn); في علم الأحياء يسمى C2v بالتناظر الثنائي الشعاعي. لـ n=1 نحصل مرة أخرى على Cs (1*). له مستويات انعكاس عمودية. هذه زمرة التناظر لهرم منتظم ذي n أضلاع.
 S2n, [2+,2n+], (n×) من الرتبة 2n - زمرة gyro-n-gonal (لا تخلط مع الزمر المتناظرة التي يُستخدم لها نفس الترميز؛ الزمرة المجردة Z2n); لها محور دوران غير سليم من رتبة 2n، يعرف أيضًا بمحور دوران غير سليم 2n، أي أن زمرة التناظر تحتوي على تركيب من انعكاس في المستوى الأفقي ودوران بزاوية 180°/n. وهكذا، مثل Dnd, فهي تحتوي على عدد من الدورانات غير السليمة دون أن تحتوي على الدورانات المقابلة.
 لـ n=1 نحصل على S2 (1×)، ويرمز لها أيضًا بـ Ci; هذا هو تناظر الانعكاس المركزي.

C2h, [2,2+] (2*) و C2v, [2], (*22) من الرتبة 4 هما اثنان من ثلاثة أنواع من زمر التناظر ثلاثي الأبعاد التي لها زمرة كلاين رباعية العناصر كزمرة مجردة. ينطبق C2v مثلاً على بلاطة مستطيلة يكون وجهها العلوي مختلفًا عن السفلي.

 زمر إفريز 
في الحد، تمثل هذه المجموعات الأربع زمر إفريز في المستوي الإقليدي وهي: C∞, C∞h, C∞v, و S∞. تصبح الدورانات إزاحات في الحد. يمكن أيضًا قص أجزاء من المستوي اللامتناهي وربطها لتكوين أسطوانة لا نهائية.

+ زمر إفريزالرموزأمثلةترميز IUC *المستوي الإقليديأسطواني (n=6)p1∞∞[∞]+C∞150px150pxp1m1*∞∞[∞]C∞v150px150pxp11m∞*[∞+,2]C∞h150px150pxp11g∞×[∞+,2+]S∞150px150px

 أمثلة 

S2/Ci (1x):C4v (*44):C5v (*55):100pxمتوازي وجوه سداسي100pxهرم مربع100pxهرم مربع مطال100pxهرم مخمس

 المراجع 

 On Quaternions and Octonions, 2003, John Horton Conway and Derek A. Smith 
 The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, 
 Kaleidoscopes: Selected Writings of كوكستر, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,  
 نورمن جونسون: Geometries and Transformations, (2018)  الفصل 11: زمر التناظر المنتهية، 11.5 زمر كوكستر كروية

تصنيف:تناظر