نظرية بابوس السداسية

ان مبدأ الازدواجية الذاتية لبابوس ونظرية بابوس السداسية (أو ببساطة "نظرية بابوس") مترابطان ارتباطًا وثيقًا، وهما، بمعنى ما، وجهان لعملة واحدة. لشرح علاقتهما:
تصغير|نظرية بابوس في الشكل السداسي: النقاط X وY وZ على استقامة واحدة على خط بابوس. الشكل السداسي هو AbCaBc.

 نظرية بابوس السداسية (الحقيقة الهندسية) 
 الحقيقة الهندسية التي يمكن تصورها وإثباتها.
 مبدأها: خذ أي خطين مستقيمين. على أحدهما، اختر ثلاث نقاط (A, B, C). وعلى الآخر، اختر ثلاث نقاط أخرى (A', B', C').
أنشئ "سداسيًا" متقاطعًا: صِل النقاط بالترتيب التالي: A → B' → C → A' → B → C' → A.

 الخلاصة: النقاط الثلاث التي تتقاطع عندها أزواج الأضلاع المتقابلة لهذا السداسي (أي: AB' ∩ A'B، BC' ∩ B'C، CA' ∩ C'A) جميعها موجودة على خط مستقيم واحد.

هذه النظرية مثيرة للدهشة لأنها صحيحة دائمًا، بغض النظر عن ترتيب الخطين الابتدائيين أو النقاط الست عليهما. إنها نظرية في الهندسة الإسقاطية البحتة. Eric W. Weisstein, Pappus's Hexagon Theorem, su MathWorld, Wolfram Research 

 ازدواجية بابوس الذاتية (خاصية التماثل) 

ازدواجية بابوس الذاتية ليست نظرية جديدة، بل هي خاصية من خصائص نظرية بابوس. إنها ملاحظة لبنيتها العميقة.

ماذا يعني "الازدواجية"؟ في الهندسة الإسقاطية، هناك مبدأ قوي يُسمى "الازدواجية". هذا يعني أنه يمكنك استبدال أي "نقطة" بـ "مستقيم"، وأي عبارة "تنتمي على" بـعبارة "يمر عبر". إذا كانت العبارة صحيحة، فإن "مزدوجها" (العبارة الناتجة عن هذا الاستبدال) سيكون صحيحًا أيضًا.

تطبيق على نظرية بابوس: لنأخذ عبارة نظرية بابوس ونطبق هذا التحويل:

 النقاط A, B, C على "مستقيم" تصبح ثلاثة "مستقيمات a, b, c تمر بنفس "النقطة.
 المستقيم الواصل بين نقطتين يصبح "نقطة" تقاطع "مستقيمين".
 تسامت النقاط الثلاث (النتيجة) تصبح "مجموعة من ثلاثة خطوط" (أي ثلاثة خطوط تلتقي في نفس النقطة).

الخلاصة الرئيسية

عند إجراء هذا الاستبدال حرفيًا على عبارة نظرية بابوس، نحصل على عبارة جديدة. يكمن السحر في أن هذه العبارة الجديدة هي بالضبط نظرية بابوس نفسها، ولكن من منظور مختلف.

بعبارة أخرى، فإن ثنائية نظرية بابوس لا تزال هي نفسها. هذه هي ازدواجيتها الذاتية.

باختصار، نظرية بابوس هي القاعدة التي تصف سلوك النقاط والمستقيمات في تكوين معين.

الازدواجية الذاتية هي اكتشاف أن هذه القاعدة تعمل بكفاءة حتى مع تبديل أدوار جميع النقاط بجميع المستقيمات. إنها تناظر مثالي.

إذن، نظرية السداسي هي المظهر الملموس، بينما الازدواجية الذاتية هي الخاصية الأنيقة والعميقة التي تجعلها مميزة للغاية في الهندسة.

 مراجع 

تصنيف:هندسة إسقاطية